3.4 相似三角形的性质-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

56 3.4相似三角形的性质 第1课时 相似三角形对应线段的比与相似比的关系 01基础达标 6.如图，在6×6的方格纸上有△ABC和△DEF, 它们的顶点都在格点上，AG和DH分别是它 知识点相似三角形对应重要线段的性质 们的高，则AG:DH等于 () 1.顺次连接三角形三边的中点，新所成的三角形与 A.1:2 B.2:3 C.1:3 D.3:4 原三角形对应高的比是 ( 7.已知△ABC∽△AB'C',BD和B'D'是它们的 A.1:4 B.1:3 C.1:√2 D.1:2 2.已知△ABCp△DEF,若△ABC与△DEF的 对应中线，且S-多，BD=4,则BD的长 相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的 为 8.如图，AD是△ABC的高，AD= 比为 ( h,点R在AC边上，点S在AB A量 边上，SR⊥AD,垂足为E.当 3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个 SR=3BC时，则DE= 三角形的三边长分别为5cm,15cm和18cm,另 9.如图，AD是△ABC的高，点Q、M在BC边 一个三角形的最长边长为9cm,则它的最短边 上，点N在AC边上，点P在AB边上，AD 为 ( ) 60cm,BC=40cm,四边形PQMN是矩形， A.2cm B.2.5cm C.4cm D.7.5cm (1)求证：△APN∽△ABC; 4.已知，△ABC∽△A'B'C',AB=4cm,A'B'= (2)若PQ:PN=3:2,求矩形 10cm,AE是△ABC的一条高，AE=4.8cm.求 PQMN的长和宽 △A'B'C中对应高线A'E的长， 02能力提升 5.如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛 (AB)在暗盒中所成的像CD的长是1cm,则像 CD到小孔O的距离为 A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm G 6 第5题图 第6题图 57 第2课时 相似三角形对应周长、面积的比与相似比的关系 01基础达标 02能力提升 知识点一相似三角形的周长比等于相似比 7.如果把两条直角边长分别为5,10的直角三角 1.若△ABC∽△A'B'C',相似比为12，则△ABC 形按相似比三进行缩小，得到的直角三角形的 与△ABC的周长的比为 ( A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:4 面积是 2.已知△ABC△DEF,其中AB=6,BC=8, 8.在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD AC=12,DE=3,那么△DEF的周长为( 分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F,则 A号 R SAAF:SABF是 C.13 D.26 9.如图，在等腰三角形△ABC 3.两个相似三角形的最短边分别为4cm和2cm, 中，AB=AC,图中所有三角 它们的周长之差为12cm,那么大三角形的周 形均相似，其中最小的三角 B 长为 ( 形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形 A.18cm B.24cm C.28cm D.30cm DBCE的面积为 知识点二相似三角形的比等于相似比的平方 10.如图，已知：在△ABC中，AB=5,BC=3,AC 4.若△ABC∽△DEF且面积比为9：25，则 =4,PQ∥AB,点P在AC上（与点A、C不重 △ABC与△DEF的周长之比为 合)，Q点在BC上 A.9:25B.3:25 C.3:5 D.2:5 (1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积 5.(2025·淄博)如图，在△AB℃中，AC=2,BC= 相等时，求CP的长： 4,D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B.若 (2)当△PQC的周长与四 △ADC的面积为a,则△ABD的面积为() 边形PABQ的周长相等 A.2a C.3a D.a 时，求CP的长. 第5题图 第6题图 易错点将相似三角形的面积比与等高的三角 形的面积比相混淆而出错 6.如图，在□ABCD中，AC,BD相交于点O,点 E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点 F,已知Sg=4,则下列结论：①需- ②SAE=36;③S△ABE=12;④△AEFU刀 △ACD,其中一定正确的是 A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.①②③8.x=12,y= 3 2∠a=83. 5.54 75 6.证明略 9.D 10.D 11.5+1 2 12.6 7.A8.A9.D10.C 13.图略， 11.(-1,0)或(-4,0)或(1,0) 14.1)A"=1,AE-1DE1 AB 3'AC3'BC3 12.△APB与△PCE相似，理由略. (2)证明略. 13.(1)△PBA与△ABC相似，理由 15.不能使小路内外边缘形成的两 略； 矩形相似.理由略。 (2)∠BAC=135°. 第2课时 等比性质 14.PB=2或12或号时，△PAB与 2 1.B2.A3. 4.4. △PCD相似. 5.A6.C7.5. 第3课时利用三边证相似 8.△ABC为直角三角形 1.A2.B3.D4.B5.1.5 3.2探索三角形相似的条件 6.∠A=∠D或BC=2EF 第1课时利用两角证相似 7.证明略 8.D9.C 10.B11.B 1LB243告是 4 4.C 12.①②④ 5.56.157.证明略 13~14.证明略。 8.AC=2√/21cm. 15.(1)△ABCc∽△DEF,由三边对 A10.号11.9 应成比例可知； (2)不唯一，△PPD,△PPF, 12.AE=7. △PPD,△PPD,△P2PP, 13.(1)证明略；(2)DE=4.9. △PFD中，选2个即可.图略 14.(1).∠ABC=90°，DE⊥DG, 第4课时黄金分割 ∴.∠ADG=∠ABC=90°， 1.C2.B3.D4.23 .∠BAD+∠ADB=90°， 5.AB=6+2√5. ∠ADB+∠CDG=90°， 6.D7.1.730 .∠BAE=∠CDG, BFLAC,∴∠ABE+∠BAC&.ID-15 2 =90°，.∠C+∠BAC=90°， (2)右边窗户BCNM是黄金矩 ∴.∠ABE=∠C, 形.证明：设AB=CD=1,矩形 ∴.△ABE△DCG. ABCD是黄金矩形， (2)证明：△ABE∽△ACD,或 △DCGC∽△ACD.易证∠BAE ∴AD=AM=MN=5-1 2 =∠CAD,∠AEB=∠ADC可 知△ABEP△ACD. ∴MB=AB-AM=1-5-1 第2课时利用两边及其夹角 3-√5 证相似 3-5.MB 2 3-5 2…MN 5-15-1 1.B2.D3.B4.B 55 (3-√5)(W5+1) 25-2 3.4相似三角形的性质 (5-1)(5+1) 4 第1课时相似三角形对应线段的 5-1 比与相似比的关系 2 1.D2.A3.B ∴.矩形BCNM是黄金矩形 4.A'E'=12cm. 3.3相似三角形判定定理的证明 2h 第1课时 平行线分线段成比例 5.B6.A7.68. 1.D2.43. EF AD 9.(1)证明略； BD (2)PQ=30,PN=20. 5.B6.6 第2课时相似三角形对应周长、 7.BF= ,CF16 面积的比与相似比的关系 1.B2.C3.B4.C5.C6.D 8.B9.C10.6或12 7.98.4:25或9：259.26 11.BC= 9,DB=1 10.(1)PC=22; 12.(1)AB=4,BC=10: (2)CP-24 7 (2)BE=9. 3.5图形的位似 微课堂 第1课时位似图形的概念及性质 【变式练】B 1.D2.A3.D4.B5.36.D 第2课时 相似三角形判定定理 7.图略.8.A9.A10.C 的证明 11.A12.18cm13.图略. 1.D2.B3.D 14.(1)AC∥A'C',理由略； 4.证明略. (2)CC=5. 5.经过5秒或2秒时，以P、B、Q为 15.24040 顶点的三角形与以A、C、D为顶 第2课时坐标系中的位似变换 点的三角形相似. 1.A2.D3.(-5,-1) 6.(1)1:3(2)(3)略. 专题六相似三角形的几种常见模型 4.(-2,号) 5.(-2,2) 1.C2.AF=12cm. 6.(1)~(2)图略，点B2的坐标为 3证明略。4号 (-4,-6) 5.DE=3. 7.(2,1)或(-2，-1) 8.D9.C 6.(1)专；(2)BM= 4 10.00或（号4 7.(1)△ABC与△DAC相似，理由 略； 11.(1)D(2,1),D(6,3) 1 (2)y=16 (2)yM=x,yw= (3)是位似图形，先证明相似，再 8.EF的长为图 2 证明AA',BB',CC',DD都经过 9.证明略 点O. 56 12.(1)(0,-1); 1.PE 2…PF的值是定值，该定值为 (2)(-3,4)(-2,2); (3).AE=m,∴.BE=2-m, (3)(-3,0) 13.(1)①(5,6)：②1：2： ①当'=时，：∠B=∠EPF (2)△A'B'C'的面积为4m. ☆问题解决活动利用相似三角 =90,∴△BPE△PFE∴8器 形测高 1 1.C2.C3.B4.11.55.D 6.5.1m7.D8.2000 ②当器-时，∠B=∠BPF 3 90°，∴.△BPE∽△PEF, 9.河宽AB的长为17米. 10.由题意得：DA⊥AC,∴.∠DAC =90°，.∠ACB=35°，∴.∠ABC 综上所述，当m=0或号时，△BPE =90°-∠ACB=55°， .∠AED=55°，.∠AED= 与△PEF相似. ∠ABC=55°，又：∠DAC= 综合与实践（二）折叠相似变换 ∠BAC,'.△BACP△EAD, (1)证明：四边形ABCD是矩形， -器即品 .∠A=∠D=∠C=90°，.∠1+ ∠3=90°， 10.8+9.2,解得AD=18, 由折叠的性质，可知∠EPH=∠A AD 7 =90°，.∠1+∠2=90°，.∠3= ∴.BD=AD-AB≈1.4m, ∠2，.△EDP△PCH: 答：教学楼顶部宣传牌BD的高 (2),四边形ABCD是矩形，.CD 度约为1.4m. =AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D 综合与实践（一）旋转相似变换 =∠C=90°，P为CD中点， (1)证明：，四边形ABCD是矩形， .DP=CP=1,设EP=AE=x, .∠B=∠C=90°，.∠BAP+ ∴.ED=AD-AE=3-x, ∠BPA=90°， 在Rt△EDP中，EP=ED+DP, ∠MPN=90°，∴.∠CPD+ 即x2=(3-x)2+1,解得x=号， 5 ∠BPA=90°，∴∠BAP=∠CPD, .△ABPp△PCD: EP=AP=号ED=AD-AE (2票的值为定值，理由如下： 过点F作FG⊥BC于G,∴∠FGP -告，：△EDP△rCH0 =90°，∴.∠FGP=∠B,∠PFG+ 4 5 ∠FPG90,易知四边形ABF是開即-高PH-是， EP 3 矩形，∴.FG=AB=2, .PG=AB=2,..GH=PG-PH .∠MPN=90°，∴.∠EPB+ 4 ∠FPG=90°，∴.∠EPB=∠FPG, (3)延长AB,PG交于一点M,连接 △EBPO△PG,器-器 :AP,由折叠的性质，可知AP⊥EF, 57