专题一 特殊四边形中的折叠问题&专题二 特殊四边形中的最值问题-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

15 专题一特殊四边形中的折叠问题 1.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AC=4√5，将 得到折痕EF,把纸片展平 矩形沿AC折叠，点B落在点B'处，AB交CD (2)再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折 于点F,则CF一DF等于 ( 痕经过点B,得到折痕BM,同时得到了线段 A.32 B.16 C.8 D.4 BN. ①直接写出BE和BN的数量关系： F ②求∠ABM的角度大小. B------ (3)小雅在小西研究的基础上，再次动手操作 B 第1题图 第2题图 (如图2)：将MN延长交BC于点G,将△BMG 2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°， 沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处， AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直 连接GH,把纸片再次展平， 线翻折得△ABE,AB与CD边交于点F,则 求证：四边形BGHM是菱形. BF的长为 A.2-√2 B.√2 C.1 D.22-2 3.如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边 图1 图2 CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到 △ABF的位置，连接EF,过点A作FE的垂 线，垂足为点H,与BC交于点G.若CG=2,则 CE的长为 ( A C.4 D.2 D D G 第3题图 第4题图 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,若将 矩形折叠，使点D与点B重合，则折痕EF的 长为 5.如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作 60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法 (如图1)： (I)对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合， 16 专题二特殊四边形中的最值问题 1.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边CD,BC5.(2025·陕西)如图，在 上的动点，连接AE,EF,G,H分别为AE,EF □ABCD中，AB=6,AD 的中点，连接GH.若∠B=45°，BC=2√3，则 =8,∠B=60°.动点M, B GH的最小值为 ( N分别在边AB,AD上，且AM=AN,以MN 为边作等边△MNP,使点P始终在□ABCD A.√5 B号 C.√6 D.16 2 的内部或边上.当△MNP的面积最大时，DN 的长为 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15,AC =12,以AB为边在AB上方作正方形ABDE, 过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连 第1题图 第2题图 接BE. 2.如图，正方形ABCD的边长为4cm,点E是边 (1)求证：△ABC≌△BDF: AD的中点，P为对角线BD上一动点，则AP (2)M,N分别为AC,BE上的动点，连接AN, 十PE的最小值为 ( MN,则AN+MN的最小值为 A.√5cm B.2√5cm C.3√5cm D.4√5 3.如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=6,动点 P满足SAPAB= S形m则点P到A、B两点 距离之和PA十PB的最小值为 A.10√2 B.2√41 C.234 D.52 第3题图 第4题图 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3, AC=4,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E, PF⊥AC于F,M为EF的中点，则AM的最 小值是 ( A.2.4 B.2 C.1.5 D.1.2温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第一章特殊平行四边形 13.若AE=BF,△DEF是等边三 1.1认识特殊平行四边形 角形.证明：连接BD 1.C2.A3.C4.菱5.22.5 ,四边形ABCD是菱形，∴.AB 6.证明略 =BC=CD,∠C=∠A=60°，AD∥ 7.D8.B9.(-2,3) BC,∴.△BCD是等边三角形， 10.(1)△BEC是等腰三角形，证明 ∠ABC=180°-∠A=120°， 如下：，四边形ABCD是矩形， ∠DBE=2∠ABC=60,BD= .AD∥BC,.∠BCE=∠DEC, .EC平分∠BED,.∠BEC= CD,.∠DBE=∠C, ∠DEC,∴.∠BCE=∠BEC, ,AE=BF,∴.AB-AE=BC .'BC=BE, BF,即BE=CF, △BEC是等腰三角形； 在△DBE和△DCF中， (2),四边形ABCD是矩形， BD-CD .∠A=90°， ∠DBE=∠C, 又.∠ABE=45°， BE=CF ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴.△DBE≌△DCF(SAS), 在Rt△ABE中，由勾股定理得： .DE=DF,∠EDB=∠FDC BE=√JAB+AE区=√2， ∴.∠EDB+∠BDF=∠FDCH ∠BDF=∠BDC=60°， .BC=BE=√2. 11.(1)2 ∴.△DEF是等边三角形 (2)过点F作FM⊥AB于点M, 第2课时菱形的判定 1.C2.证明略 在Rt△BCF中，易求BF=23, 3.平行四边形菱形 在Rt△BFM中，易求MF=3, 4.③5.证明略. 则Ss=2X4X3=6. 6.(1)四边形ABCD为菱形.理由略； 12.(1)图略 (2)BD=6. (2)图略.EG的长为12或4√o.7.C8.C9.DF∥AB 1.2菱形的性质与判定 10.(1)略(2)18√5. 第1课时菱形的性质 11.(1)证明略； 1.A2.B3.C4.D5.C (2)先证四边形ABPF是平行 6.菱形ABCD的周长是AD+BC 四边形，再由AB=AF证平行 +CD+AB=4/10: 四边形ABPF是菱形， 7.2或48.D9.120°10.33 1.3矩形的性质与判定 11.(1)证明略；(2)2. 第1课时矩形的性质 12.(1)证明略；(2)∠ADC=150°. 1.C2.B3.B4.B5.C 49 6.(1)证明略：(2)27. 10.证明略. 7.58.C9.C 11.（1)证明略；(2)45°. 10.号 11.①③④ 12.(1)矩形（正方形） (2)略 12.（1)证明略； (3)在正方形ABCD中，.AF= (2)当EF⊥AC时，四边形 CG,AB=BC,∴.FB=BG, AECF是菱形.理由略. ∴.∠AEF=∠AFE=45,∠BFG= 13.证明略. ∠BGF=45°，∴.∠EFG=90°， 第2课时矩形的判定 :∠A=∠C=90°，DA=DC, 1.C2.90 AF=CG, 3.证明略.4.B ∴.△ADF≌△CDG(SAS), 5.对角线相等的平行四边形是矩形 ∴.DF=DG, 6.(1)证明略；(2)AB=BC .AD∥CB,∴.∠EDG=∠DGC, 7.证明略.8.B9.A10.矩形 ,∠DGC=∠DEG, 11.2.4 ∴.∠GDE=∠GED, 12.(1)证明略； ∴.DG=EG,.DF=EG, (2)四边形GCF是矩形.理由略 ∴.四边形DEFG是垂等四边形 13.(1)证明略； 专题一 特殊四边形中的折叠问题 (2)AE的长为√73. 1.B2.A3B4. 15 1.4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 5.(2)①BE= BN,()证明略 1.正方形2.C3.A4.D 专题二特殊四边形中的最值问题 5.22.5°6.6 1.D2.B3.B4.D5.5 7.(1)证明略；(2)EF=5√2. 6.(1)证明略；(2)21. 8.C9.A10.8√511.12 专题三特殊四边形中的动点问题 12.证明略 1.(1)证明略； 13.(1)证明略； (2)①当AM=1时，四边形 (2)仍然成立.理由：首先过点E AMDN是矩形.理由略； 分别作BC,CD的垂线，垂足分 ②当AM=2时，四边形AMDN 别为H,I,然后利用ASA证得 是菱形.理由略. Rt△FEI≌Rt△GEH,则问题得：2.(1)证明略； 证. (2)当点O运动到AC中点处时， 第2课时正方形的判定 四边形AECF是矩形. 1.C2.D3.D 理由略； 4.邻边相等的矩形是正方形 (3)当点O运动到AC中点处时， 5.平行四边形菱形矩形正方形 且△ABC满足∠ACB是直角的 6.证明略， 直角三角形时，四边形AECF为 7.A8.D9.3 正方形 50 理由略。 5.(1)设长为xm,则x(x-2)= 专题四特殊四边形中的类比 120,整理得x2-2x-120=0; 探究问题 (2)设中间的偶数是x,则另外两 1.(1)理由略； 个是x一2，x十2，根据勾股定理， (2)①AC=BD②AC⊥BD 得(x-2)2+x2=(x+2)2,整理 2.(1)证明略； 得x2-8x=0. (2)EF=2√5；(3)成立. 6.-1 章末核心考点与素养提升 7.x2+(x+6.8)2=102 1.D2.121°3.B 8.17.x2+16.x-1=0 4.证明略.5.150 9.15x(30-2m)×2 =750 6.答案不唯一，如：AC=BD 7.B8.A9.B10.25 第2课时一元二次方程的 解和近似解 1.2212.2或3 1.C2.A3.12 13.(1)② 4.填表略；方程的两个解为x= (2)过点Q作QH LPO,连接 2.5,x2=3. OH,HS,则四边形PQHO是平5.-16.x2-3=0 行四边形， 7.x1=10,x2=-2 ∴.PQ∥OH,PQ=OH, 8.(1)311 在平行六边形OPQRST中，PO (2).m是方程2x2-7x+2=0 ∥RS,PO=RS,∴.QH IRS, 的根，.2m2一7m十2=0，方程两 .四边形QRSH为平行四边 形，∴.QR∥HS,QR=HS, 边同时除以2m,得m一号+从 在平行六边形OPQRST中，PQ 0,.m十 1=7 m 2 ∥ST,QR∥OT,∴.OH∥ST, HS∥OT,∴.四边形HSTO为 (m+) =m++2 平行四边形， ..HS-OT,OH-ST, m+动=(m+品)-2 ∴.QR=OT,PQ=ST, ()-29-2-4 .OP-PQ-QR=RS, (3)C ∴.PQ=QR=RS=ST=OT= 2.2 一元二次方程的解法 PO,.平行六边形OPQRST是 第1课时用配方法解二次项系数 菱六边形. 为1的一元二次方程 14.略. 1.D 2.C 第二章一元二次方程 2.1认识一元二次方程 3.(1)=2+√7，x2=2-√7： 第1课时一元二次方程 (2)x=1土5. 1.C2.C3.略 4.B5.D6.±12 4.x(22-2x)=60 7.3或一7 51