专练27 相似与特殊图形(五)正方形&专练28 全等与相似-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（华东师大版·新教材）

27 专练27相似与特殊图形（五）正方形 【方法规律】利用正方形的性质结合基本图形构造三角形相似. )典例导练 模型一利用正方形的性质构造K型相似 示范题如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC边上一动点（与B,C不重 合)，连接AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于点F,设BE=x,△ECF的面积为 y,求y与x的函数关系式. 【思路点拨】过，点F作FH⊥BC于点H,证△BAEC∽△HEF. 【自主解答】 之知能检测 模型二利用正方形的性质构造A,X型相似 1.如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB,AE,CD 于点G,F,H,求GF:FH的值. 2.如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，DP⊥AE,垂足为点P,BF⊥AE于点F (1)求证：AF=PF E (2)连接CP,若AB=2W5,求CP的长. 128 专练28全等与相似 【方法规律】注意每一问之间的联系及解题方法的类似性. 典例导练 示范题如图，已知正方形纸板ABCD,将一块等腰直角三角板的锐角顶点与A重 合，并将三角板绕A点旋转，使该锐角的两边分别与正方形纸板的两边BC、CD交于点 P、Q(P、Q与B、D不重合)，连接PQ. (1)如图1，直接写出线段BP、PQ、DQ之间的数量关系 (2)如图2，设AP、AQ与对角线BD交于点M、N. ①请在图2所有非直角三角形中，不加注其他线和字母，找出两对相似比为1：√2的 相似三角形，并选择其中一对证明； ②若BP=4,DQ=6,求MN的长 【思路点拨】(1)将△ADQ顺时针旋转90°得到B △ABT,证明△PAT2△PAQ(SAS).(2)①由相似三 图1 图2 角形的判定方法可得出.②由相似三角形的性质可求出答案. 【自主解答】(2)每台学习机可以获利：700一580 专练22相似之基本辅助线 =120(元) 典例导练 (3)该商店可能购进并销售学习机2 18 80台或30台. 专练20 一元二次方程的 知能检测 应用（四）通道、围栏问题 1.过点B作MN⊥l2,交1于点N, 典例导练 交（于点M,则△NAB (1)当羊圈的长为40m,宽为16m .NA 或长为32m,宽为20m时，能围成 △pc品设-号 一个面积为640m的羊圈. 号原BA=VNB+ (2)不能，理由：由题意，得x(72 2x)=650,化简，得x2-36.x+325 ∴AC=2BA=号I 21 =0,△=(-36)2-4×325=-4< 2.(1)过点C作CE∥AB,交AD的 0,.一元二次方程没有实数根. 延长线于点E, .羊圈的面积不能达到650m. ,CE∥AB,.∠E=∠EAB,∠B 知能检测 =∠ECB,∴.△CEDX∽△BAD, 1.1 =AD:∠E=∠EAB, CE CD 2.养鸡场的边长AB为20m,BC为 20m. ∠EAB=∠CAD,∴.∠E=∠CAD, 专练21巧证比例式或等积式 典例导练 E-A提器 证明：：∠ACB=90°，.∠ACD+ ∠BCD=90°，.CD为AB边上的 9 高，∴.∠ADC=90°，.∠A+ 专练23 相似与特殊 ∠ACD=90°，.∠A=∠BCD, 图形（一）直角三角形 ,BE是∠ABC的平分线， 典例导练 .∠ABE=∠CBE,∴.△AEB ,四边形ABCD为正方形，.OC1 △啦带带 BO,∠BCD=90°，.BC=BO· BD,,CF⊥BE,.BC=BF·BE, ,∠ABE=∠CBE,∠CEF=90 BO·BD=BF·BE,即R ∠CBE,∠CFE=∠BFD=90 ∠ABE,∴.∠CEF=∠CFE, B BD,而∠OBF=∠EBD,∴△BOF Ec甍器 P△BED. 知能检测 知能检测 1.,四边形ABCD为正方形，.AB 1.连接CM,则EF垂直平分CM, =BC,∠A=∠C=90°，AB∥ 过点M作MN⊥BC于点N,证 CD,∴.∠ABE=∠F,∴.△ABE △CERANCM.:需-发 △CFB∴票-装.AB· BN_BM1 CN AM 3 BC=AE·CF,∴.AB=AE·CF 2.,四边形ABCD为菱形， 2.吗 ∴.∠ACB=∠ACD,即∠ACD (2)作OD⊥AC于D,OE⊥BC于 ∠D,:∠EAF-∠BCD, E,易证△OD△Q0E,得5 ∴.∠ACD=∠EAF,.∠AFC= 泥在Rt△AOD和Rt△BOE OD ∠GFA,∠FCA=∠FAG, ∴.△FACc∽△FGA,∴.AF:FG= CF:AF,.AF2=FC·FG 中，0D-号0A.0E=30B, 55 贤县 2.(1)证明：AB∥CG,∴∠ABF =∠G,又，∠ABF=∠ACF, 专练24相似与特殊 .∠ECF=∠G,又.∠CEF 图形（二）等腰三角形 ∠GEC,∴.△ECF∽△EGC,∴. 典例导练 证明：(1)，AB=AC,.∠B= 需即CR=EF·BC ∠ACB,.∠EDF=∠B,∠EDC (2).平行四边形ABCD中，AB ∠B+∠BED=∠EDF+∠FDC, =CD,又DG=DC,.AB=CD .∠DEB=∠CDF,∴.△BDEC =DG,.AB:CG=1:2,AB∥ △CFD. (2)点D是BC的中点，∴.BD= c0…怨器=7即元 CD,由(1)可知：△BDE∽△CFD, 2G=14,G=21.“AB/ 需漂儡 DG器-提=1dF= 1 又，∠EDF=∠B=∠ACB, △(DFn△DE儒， BC-号EF=BF-BE- ∴.DF=EF·CF 知能检测 专练26相似与特 告 殊图形（四）矩形 2.过点C作CH∥AD交DE的延 典例导练 长线于点H,则∠ADE=∠H= 过点E作EM⊥AB交BA的延长 ∠B,AD=AE,∠H= 线于点M,则EM=号AE=1, ∠ADE=∠AED=∠CEH, .∠EMB=∠HBC=90°，且CH⊥ ∴.CE=CH,,∠ADC=∠ADE +∠HDC=∠B+∠BAD, BE∴△BMBn△HiBC器 ∴.∠HDC=∠BAD,∴.△BAD △HC∴器=器∴带 BBH·BM=EM·BC=2, BM 易话△GH∽△BME需 E BM 专练25相似与特殊 BCBE·BG=BH·BM=2. 图形（三）平行四边形 知能检测 典例导练 1.过点P作AD的垂线MN,交AD 作OG∥BC,交边CD于点G,.O 于点M,交BC于点N,易证 为BD中点，.OG为△BDC的中 位线，OG=BC,又：CE=2CD, △MPn△PEN.÷ CF 易证微既器兴 CF∥OG,∴.△ECF∽△EGO,. OG 需需 部子路 2.过点E作MN∥AB分别交AD, 知能检测 BC于点M,N,过点A作AGI 1.在□ABCD中，AB∥CD,. BD于点G,则△EFN∽△AEM, ∠AED=∠CDE,,DE=AE ·CD,DECD AE-品△ADE △EFHn△ABG器-器 △BD.0 AD. DE 器祭畏专H=青 CD=CE·DE G易证骆品青A0号 56 G8得 兴提号赠袋9 专练27相似与特殊 ∠MAN=∠QAP,∴.△ANM∽ 图形（五）正方形 典例导练 △MQ洽器号由可知 过点F作FH⊥BC于点H, :∠DCH=90°，CF平分∠DCH, Q-P+0-4+6=10份 ∴∠PCH=2∠DCH=45,PH 号N=52. =CH,易证△BAE∽△HEF, 专练29相似之类比探究 .AB:EH=BE:FH,∴.4：(4-x+ 典例导练 FH)=x:FH,∴FH=x,·y= 1 (1)2(2)2 (3)过点P作DP⊥AB于点P,DQ ×CEXFH=-号(4-)·x=2x AC于点Q,'.∠DPA=∠DQA= ∠A=90°，∴.四边形APDQ是矩形， Dp=AQ.Q-AP,需号 知能检测 CD a BD b 1.分别延长AE,DC交于点K, C西a+6=a十b:DP/AC, △ABE∽△KCE, DQ∥AB,.△DQCp△BAC,△DPB .AE:EK=BE:CE,E是BC中 CAB,∴.是-C常·A0- DQ CD DP BD 点，则BE=CE,AE=EK, ,GH平分AE,.EK=AE= 0 ·AB= 2AF,FK=3AF, P畏 .AG∥HK,∴.△AGF∽△KHF, 4b ∴.GF:FH=AF:FK=1:3. AC-4b.DE_DP_ab26 a+b…DF=DQ2a-a 2.(1)设EP=x,则PD=2x,PA=4x, a+b 易证△ABF≌△DAP, (4)当△DEF与△ABC相似时，CD ∴.AF=DP=2x,∴.PF=2x=AF (2)连接BD,DF,易知BD=√2CD, -或89 DF=N2DP,∠BDF=∠CDP 专练30三角函数与三角形、四边形 △CDP△BDF,帶-器-E, 典例导练 I)ACLBD,eos∠ABC=A BC BF=2CR器-号r=4, 告，BC-8AB=10,在R△MCB ∴.CP=22. 中，由勾股定理得，AC= 专练28全等与相似 典例导练 AB-BC=√102-82=6，即 (1)PQ-BP+DQ AC的长为6. (2)①△BAMp△CAQ,△DAN∽ (2)连接CF,过F点作BD的垂线， △CAP,△ANM∽△APQ证明： 垂足E,,F是AD中点，FELBD, △BAMP△CAQ.,四边形ABCD是 AC⊥BD,∴.FE∥AC,.FE是 正方形，∴.∠ABM=∠ACQ=∠BAC△ACD的中位线，∴.FE=2AC= =45°，AC=2AB,,∠BAC=∠PAQ =45,∴∠BAM=∠CAQ:.ABMM3,CE=2CD=2.∴在R△BFE △CAQ,相似比为BA:CA=12. ②易证△DAN∽△CAP,DA-AY 中，tan∠FBD=BE8十210 AC AP 知能检测 1.25 号，由(2)证ABAMO△CAQ.2.)证明略。 57