专练09 运用根的定义求代数式的值&专练10 配方法的应用-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（华东师大版·新教材）

专练09运用根的定义求代数式的值 【方法规律】解决求代数式的值的问题有两种方法：一是直接解方程求出字母的值， 再代入求代数式的值；二是把所求的式子（变形）用已知的式子（整体）表示出来， 心)典例导练 示范题已知a是方程x2一x一1=0的根，求a3-2a十2023的值. 【思路点拨】根据一元二次方程的解的定义得到a一a一1=0，则a一a=1,然后利 用因式分解的方法对a3一2a十2023进行降次求值. 【自主解答】 知能检测 1.已知x=1是方程x2一5ax十a=0的一个根，求代数式3a一15a一7的值. 2.若m是一元二次方程x2-3x+1=0的根，求代数式m-的值， 777 10 专练10 配方法的应用 【方法规律】将多项式x十bx十c变形为(x十m)十n的形式，然后由(x十m)≥0就 可以求出多项式x2+bx十c的最小值. 典例导练 示范题求代数式m2一6m十10的最小值. 【思路点拨】通过配方法求解， 【自主解答】 心知能检测 1.判断代数式一3y2+6y+2是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最 小值. 2.若多项式M=a+b一2a+4b+2024,求M的最小值.专练05二次根式的化简与 3+√7 3+7 求值（一）代入法求值 (3-√7)(3+7) 2 典例导练 (2)由题意，得m十n=3,mn= 1 1 (1) √n+I+m 2心m2+mn十n2=(m十n)2 n+I-√m mn=32- 117 2=2 (√n+1+√n)(√n+I-m) =/n+I-/n; 2.由题意，得a一b=2√2，ab= (5)2-(2)2=1, √2-1 (2)原式 ∴.a224b2023-a2023b2024=(ab)223· (2+1)(W2-1) a-(ab)223·b=12w23·a-1223. 5-2 (5+√2)(5-√2) b=a-b=2√2 专练07二次根式的化简与 4-5 求值（三）配方法求值 (4+√5)(4-√5) 典例导练 100-99 .3-5a≥0且5a-3≥0，∴.3-5a (√100+√99)（√/100-√99） 2-1+√5-√2+√4-√5+…+ =0,即a= 方b=15,原式 √/100-√99=√/100-1=10-1 a2+b2+2ab a2+b-2ab =9. ab ab 5+2 atb a-b atb b-a 1 (3).a= √ab √ab Vab ab 5-2(wW5-2)(W5+2) =5+2,∴.a-2=√5.∴.(a-2)2= 2a 2 5 5,即a2-4a+4=5.∴.a24a=1. ab 3×15 5· .3a2-12a-1=3(a2-4a)-1=3 ×1-1=2. 知能检测 知能检测 1.x=-5,y=4,(x+y)2025=-1. 3(3+√6) 2.原方程可变形为(Wā一1)2十形=0， a= =3十√6， (3-6)(3+√6) .(a-1)2≥0，b≥0， ∴.a-3=√6，∴.a2-6a=-3, ∴√a-1=0,b=0, .原式=2(a2-6a)+1=-5. ∴.a=1,b=0. 专练06二次根式的化简与 专练08 二次根式的规律探究 求值（二）对称式求值 典例导练 典例导练 1品 (1)由题意，得x十y=√5+1+√5 1=23;xy=(5+1)(W5-1)= 2√1+ (n+1)2 =1+ 3-1=2..x2-xy+y=(x十y)2 /501 3xy=(23)2-3X2=12-6=6: (2)号+兰 z2+y 知能检测 (x十y)2-2xy=(23)2-2X2 xy (2)Vn+ 1 12-4=4. n+2 =(n+1√+2 2 1 In2+2n 知能检测 (3)n+ n+2 Vn+2 n+2 1.(1)m= 3-√7 3- -;n n2+2n+1 (n十1)2 (3+√7)(3-√7) 2 n+2 n+2 =(n十 52 -k-1)=0,∴.x1=2,x2=k十1. 1)Wn+2 由题意，得k十1<1，解得：k<0, 专练09运用根的定义求代数式的值 的取值范围为k<0. 典例导练 专练12特殊法解方程（二）】 由题意，得a2-a-1=0,即a2-a 换元法 =1,a3-2a+2023=a3-a2+a2-a 典例导练 -a+2023=a(a2-a)+(a2-a)- 设x2+2x=y,则原方程转化为y a+2023=a+1-a+2023 -y-12=0, =2024. 整理，得(y一4)(y+3)=0. 知能检测 解此方程，得y=4,2=一3. 1.由题意，得1-5a十a2=0. 当y=4时，x2+2x=4,.x=-1士 ∴.a2-5a=-1, √5；当y=-3时，x2+2x=-3,此 ∴.3a2-15a-7=3(a2-5a)-7 时该方程无解.∴.原方程的解为 =3×(-1)-7=-10. 2.由题意，得m2-3m+1=0,且m =-1十√5，x2=-1-5. ≠0，m-3十1=0， 知能检测 m 1.设m2=2.x十y(m≥>0)，原方程可 m+ 1 2 =9. 变为m2-9=8m. m =3,.（m十 m 整理，得(m一9)(m十1)=0.所以 即m+2+是 =9 m=9或m=-1(舍去). 即代数式2x+y的值为81. ∴m-2+2=5(m 1m1 2.设x2+2x=n,则n+4n-5=0, 1 整理，得(n一1)(n+5)=0,解得 =5,.m m =土5， n=1或n=-5, 专练10配方法的应用 当n=-5时，x2+2.x=-5无解 典例导练 (舍去)，即x2+2x=1, m2-6m+10=m2-6m+9+1=(m 所以x3+3.x2+x=x(x2+2x+ -3)2+1≥0+1=1，.m2-6m+ 1)+x2=2x+x2=1. 10的最小值是1，此时m=3. 专练13根的判别式（一）】 知能检测 判断根的情况 1.原式=-3(y2-2y+1)+5=-3 典例导练 (y-1)2+5,由-3(y-1)≤0， 证明：.△=b2-4ac=(m-6)2-4 得-3(y-1)2+5≤5，.-3y2+ ×(-6m)×1=m2+12m+36=(m 6y十2有最大值，最大值为5. 十6)≥0，.不论m取何值时，方程 2.M=a2+b-2a+4b+2024 总有两个实数根。 =(a2-2a+1)+(b+4b+4)-1 知能检测 -4+2024 1.在方程x2-(2k十3)x+k2+3k十 =(a-1)2+(b+2)2+2019, 2=0中，△=b-4ac=[-(2k+ ∴.当a=1,b=-2时，M有最小 3)]2-4(k2+3k+2)=1>0, 值，最小值为2019. 专练11特殊法解方程（一）】 .方程有两个不相等的实数根. 十字相乘法 2.“蛟龙”方程a.x2十bx十c=0(a≠ 典例导练 0)有两个不相等的实数根，理由 x1=-1,x2=-3. 如下：由题意，得b=ac, 知能检测 .△=b-4ac=2-4b=b(b-4) 1.(1)x1=10,x2=-9. >0,.“蛟龙”方程a.x2+bx十c= 0(a≠0)有两个不相等的实数根. (2)x=3=-4 专练14根的判别式（二） 2.x2-(k+3)x+2k十2=(x-2)(x 确定字母系数的值或取值范围 53 典例导练 ≠1，.不存在. 依题意，得△=（一3）2一4(m一1)×知能检测 2=-8m+17≥0，且m一1≠0，解1.根据根与系数的关系得x十x2= 得m<名且m≠1. -2k,x1x2=k-1, x1(x2-2)=2x2,∴.2(+x2) 知能检测 -x1x2=0,.2X(-2k)-(k 1.根据题意得△=一4aX= 1)=-4k-k+1=-5k+1=0, -a=0,即a=b, 解得及== a=1,b=1.(答案不唯一) 2.根据“凤凰方程”的定义知x=一 2.设-x2十4x-1=y,.方程x2 1是一元二次方程2x2-m.x-n 4x+(y十1)=0有实数根， =0的根. ∴.b-4ac=16-4(y+1)≥0，解 ①当m=-1时，2x2-m.x-n=0 得y≤3，则代数式一x2+4x一1 是关于x的风凰方程： 的最大值为3. ②当m≠一1时，，m是方程2x 专练15根与系数的关系（一） m.x一n=0的一个根，.一1十 求代数式的值 典例导练 m=受，解得m=2 由题意，得a2+3a+1=0,3+33+ 综上所述，m的值是2或一1. 1=0,a十3=-3，a8=1,∴.a2+3a= 专练17一元二次方程的 -1,3+38=-1..(a2+4a)(g+ 应用（一）单（双）循环问题 4=(a2+3a+a)(8+33+3)=(a 典例导练 -1)(g-1)=a8-(a+B+1=1- 初中组共有10个队参加比赛. (-3)+1=5. 知能检测 知能检测 1.这样的多边形不存在。 1.由题意，得a十b=2,a2-+ 2.这个微信群里共有30个好友， 专练18一元二次方程的 4b=(a+b)(a-b)+4b=2a-2b +4b=2a+2b=4. 应用（二）传播问题、变化率问题 2.(1)-6 典例导练 (2).p>0,.△=36-4×1× 每个人计划发展下线7人 知能检测 (-p)=36+4p>0, 1.每轮感染中平均每一台电脑会感 .m,n是一元二次方程x2十6x 染8台电脑. 一p=0的两个实数根，且m≠n, 2.第一次提价后的售价为120元. .m+n=-6,mn=-p, 专练19一元二次方程的 .∴.m2+n2=(m+n)2-2mn= 应用（三）利润问题 36+2p, 典例导练 :.m+片-36_36+236=2. 设售价定为x元，[600-10(x 专练16根与系数的关系（二） 40)](x-30)=10000,整理，得x 求字母系数的值或取值范围 -130x+4000=0,解得：x1=50,x2 典例导练 =80(舍去).600-10(x-40)=600 (1)由题意，得k一1≠0，且△= 10×(50-40)=500(个).答：台 灯的定价定为50元，这时应进台灯 12k+13>0,解得<得且k≠1. 500个. (2)假设存在两根的值互为相反数， 知能检测 设为x1,x2,,0十x2=0,∴. (1)由题意得：当x>40时，每台学习 03-0k=号，又k是且 机的售价为（元）：800一5(x一40)= k-1 5.x+1000. 54