辽宁大连市长海县高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高二数学期中试卷聚焦概率统计与数列核心知识，以电商直播下单量、学生运动调查等现实情境为载体，通过基础题与综合探究题梯度设计，培养数据意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|独立事件概率、等差数列通项、分布列性质|基础概念辨析，如第4题用全概率公式解决学生近视率问题| |多选题|3|线性回归方程、超几何分布、等差数列前n项和|选项分层设计，如第11题对比有放回与不放回抽样的期望与概率| |填空题|3|正态分布、数列周期性、随机游走概率|情境简洁，如第14题质点移动概率体现数学建模| |解答题|5|数列裂项求和、独立性检验、二项分布列、综合证明|梯度明显，18题交通岗概率分布列注重应用，19题球涂色证明考查逻辑推理|

长海县高级中学2025-2026年度第二学期期中考试 高二数学试卷 一、单选题 1．已知随机事件A，B相互独立，若，，则（    ）． A．0.6 B．0.5 C．0.2 D．0.15 2．已知随机变量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 4．某校男女生人数之比为9：11，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为（   ） A． B． C． D． 5．在数列中，，（，），则（    ） A． B．1 C． D．2 6．某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（    ） A． B． C． D． 7．从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知随机变量的取值范围为，且满足，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（   ） A． B．回归直线过点 C． D．当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 10．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D．当或5时，最大 11．已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 三、填空题 12．已知随机变量服从正态分布，若，则______. 13．已知等差数列中，，，则______. 14．数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位，则移动4次后，该质点的坐标为2的概率为________. 四、解答题 15．设为等差数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，求. 16．为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢运动 40 20 60 不喜欢运动 20 20 40 合计 60 40 100 (1)依据的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？ (2)按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17．长海县高级中学高二数学备课组对学生的记忆力和判断力进行统计分析，所得数据如下表所示： 4 6 8 10 2 3 5 6 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力. （参考公式：，） 18．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 19．编号为的个球依次被等可能地涂成黑色或白色，设编号为奇数的黑色球的个数为，编号为偶数的白色球的个数为，记事件“”为． (1)求； (2)当时，求； (3)当时，设，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期中考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D A C C B ACD AC 题号 11 答案 BCD 1．A 【详解】事件A，B相互独立，即， 得，． 2．C 【详解】因为随机变量， 则. 3．B 【分析】由分布列的性质结合题意可得答案. 【详解】由题，． 故选：B 4．D 【分析】根据全概率的公式进行求解即可. 【详解】设该校总学生人数为，则根据题意得 . 故选：D. 5．A 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】因为，（，）， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，则. 故选：A 6．C 【解析】本题首先可以求出当时的概率，然后求出当时的概率，最后两者相加，即可得出结果. 【详解】当时，； 当时，， 则， 故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布的概率计算公式，能否将分为、两种情况是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题. 7．C 【详解】设事件为至少有一个为奇数，事件为这两个数为一奇一偶， 由题意可得，， 所以. 8．B 【分析】根据已知直接求解即可. 【详解】由题意可知. 故选：B． 9．ACD 【详解】对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大， 因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确； 对于B，由数据可知，，， 则回归直线过中心点，不过点，故B错误； 对于C，将点代入，可得，解得，故C正确； 对于D，由C知，与的经验回归方程为， 则时，，故D正确. 10．AC 【分析】由题意列方程组求得，根据等差数列通项公式计算可判断AB；根据等差数列前项和公式计算可判断C；根据等差数列性质可判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以数列单调递增， 当时，，当时，，且， 所以当或5时，最小，故D错误. 11．BCD 【分析】先得到，Y服从超几何分布，A选项，计算出，，A错误；B选项，，得到B正确；C选项，根据二项分布和超几何分布求期望公式得到C正确；D选项，方案一中，每次抽到次品的概率均为，方案二中，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，求出每种情况下的概率，相加得到概率，得到D正确. 【详解】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数， ，， 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则，. 选项A，，，，A错误； 选项B，，由于，故或3时，最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为， 方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”， 其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为， “次正次”的概率为，“次次次”的概率为， 故第三次抽到次品的概率为，D正确. 故选：BCD. 12．0.8/ 【详解】由可得，因， 由正态曲线对称性，得， 则. 13．12 【分析】方法1，利用等差数列性质求解；方法2，利用等差数列通项公式列式求出首项、公差，进而求出目标项. 【详解】方法1：已知为等差数列，则， 由，得，解得， 又，所以. 方法2：设等差数列的公差为， 依题意，，解得， 所以. 14． 【分析】由题意分析可知质点4次运动中有1次向左，3次向右，根据独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意可知质点移动4次后位于坐标为2的位置，说明4次中有1次向左，3次向右，并且每次向左或向右的概率都是，所以移动4次后，该质点的坐标为2的概率. 故答案为： 【点睛】本题考查独立事件概率的实际应用问题，属于基础题型，本题的关键是抽象出质点运动方向，以及概率类型. 15 (1) (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可； （2）先求出数列的通项公式，然后利用裂项相减法求和，可求出的值. 【详解】（1）等差数列中，，， ，解得，， . （2），， . 16．(1)学生的性别与是否喜欢运动有关 (2) 【分析】（1）计算卡方，与临界值比较即可得解； （2）由古典概型概率计算公式结合组合数计算即可得解. 【详解】（1）零假设为：学生的性别与是否喜欢运动无关， 根据列联表中的数据，计算得到， 根据的独立性检验，我们推断不成立，即学生的性别与是否喜欢运动有关. （2）由题意得选取的喜欢运动的男学生人数为，则不喜欢运动的男学生、喜欢运动的女学生、不喜欢运动的女学生的人数之和为， 则至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率为. 17．（1）；（2）判断力为5.4. 【分析】（1）直接利用公式求解即可 （2）把代入回归方程中求解 【详解】解：（1）由表中数据可得， ， ， 所以， 所以， 所以关于的线性回归方程为， （2）当时，， 所以记忆力为9的学生的判断力约为5.4 18(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）由条件可知，，根据二项分布的概率公式，求分布列； （2）依题意的可能取值为、、、、、，求出所对应的概率，即可求解分布列； （3）利用对立事件求概率. 【详解】（1）由，则，， 即，， ，， ，， 故的分布列为 0 1 2 3 4 5 （2）依题意的可能取值为、、、、、， 则，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 5 （3）所求概率为. 19．(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据独立事件定义分析，分别对应的事件，并计算对应概率，再根据条件概率公式计算即可. （2）当时，分析可能情况，记事件“编号为奇数的个球中，被涂成黑色的球的个数为”为，事件“编号为偶数的个球中，被涂成白色的球的个数小于”为，则，且两两互斥，再根据公式计算即可. （3）根据题意列出对应事件及其概率，再用期望公式计算，最后根据组合数性质进行化简计算即可得证. 【详解】（1）记事件“编号为的球被涂黑色”为，则 ，且相互独立，所以， 同理，可得， 所以 事件， 所以， 故． （2）记事件“编号为奇数的个球中，被涂成黑色的球的个数为”为， 事件“编号为偶数的个球中，被涂成白色的球的个数小于”为， 则， 且两两互斥， 所以 设， 则， 故， 从而，所以． （3）设，则可取，故可取， 根据对称性， 且， 根据组合数的对称性， 可得， 因为展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 故， 故 从而， 整理，得 又 ， 所以， 所以， 又 根据，可得． 可得． 记“偶数号白球个数与奇数号黑球个数相等”为事件，其概率为 由（2）知，所以， 又由（2）知，可得， 所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $