专题09+统计4个考点（天津专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦概率统计四大核心考点，精选2026年天津多区县二模真题，强化情境应用与数学素养考查 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约15题|统计（频率分布直方图、百分位数）、线性回归（独立性检验、残差分析）、二项分布与超几何分布（均值方差）、正态分布（性质应用）|结合“AI助手体验”“芯片研发投入”等科技情境，设置概念辨析（如残差图与预报精确度关系）和计算应用（如概率期望求解）分层试题| |填空题|2题|二项分布期望、独立事件概率|以“AI对话系统轮次分配”为背景，考查数学建模与运算能力，贴合天津二模命题趋势|

专题08 计数原理与概率统计 统计 考点1 题号 1 2 3 答案 C D B 线性回归方程与独立性检验 考点2 题号 1 2 3 4 答案 D B C D 二项分布与超几何分布的均值与方差 考点3 题号 1 2 答案 C C 3． 4． / / 正态分布 考点4 题号 1 2 3 4 5 答案 C C B C D 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 4大考点概览 考点01统计 考点02线性回归方程与独立性检验 考点03二项分布与超几何的均值与方差 考点04正态分布 统计 考点1 一、单选题 1．（2026·天津红桥·二模）为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（   ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】C 【分析】先补全组的频率，再通过累计频率判断中位数落在区间，最后利用中位数定义列方程求解即可． 【详解】根据所给的信息可知，在区间上的数据的频率为 ， 因为的频率为，的频率为， 所以中位数在， 设为中位数为，则， 解得． 2．（2026·天津北辰·二模）下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】D 【分析】利用百分位数的定义求解选项A即可，利用残差图与回归方程的关系求解选项B即可，利用正态分布的定义求解选项C即可，利用独立性检验的定义求解选项D即可. 【详解】将这一组数据2，3，8，3，10，18，7，4按照从小到大排序得：2，3，3，4，7，8，10，18. 因则50百分位数为第4位和第5位的平均数，即，故A错误. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故B错误. 因，则故C错误. 因故判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确. 3．（2026·天津东丽·二模）下列结论中正确的是（    ） A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强； B．若随机变量X服从正态分布，且，则； C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9； D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个. 【答案】B 【分析】利用相关系数的意义判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；利用百分位数的定义求解判断C；利用组合计数问题列式求解判断D. 【详解】对于A，线性相关系数r的绝对值越接近于1，则两个变量的线性相关性越强，A错误； 对于B，依题意，，B正确； 对于C，由，得所求第三四分位数为，C错误； 对于D，有4个选项的多选题的答案个数可能有，D错误. 线性回归方程与独立性检验 考点2 1．（2026·天津南开·二模）下列说法中，正确的是（   ） A．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 B．在回归分析中，为0.98的模型比为0.99的模型拟合的效果更好 C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】D 【详解】将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，数据相对平均值的波动情况无变化，方差不变，故A错误； 由越接近1，模型拟合效果越好，知B错误； 若残差点所在的水平带状区域越窄，说明残差的波动越小，回归方程对数据的拟合精度越高，进而回归方程的预报精确度也越高（而非越低），故C错误； 因为，所以判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05，故D正确. 2．（2026·天津河北·二模）数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（    ） A．数据，，，…，的平均数是； B．数据，，，…，的平均数是； C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数： D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数. 【答案】B 【分析】根据等差、等比数列的性质，结合平均数、中位数的概念逐项判断即可. 【详解】选项A，数列为等差数列，项数为，其前项和为 由等差数列性质，，故平均数为 A正确. 选项B，取，数列为项数3的等比数列， 设，，数列的平均数为 B错误. 选项C，由，，等差数列的中位数为， 等比数列的中位数为. 由均值不等式，（），故，C正确. 选项D，易知点在直线上，点在曲线上， 因为，所以如下图所示： 由图可知，当时，， 所以数列的前项和大于数列的前项和， 所以数列的前项的平均数比的前项的平均数大，D正确． 3．（2026·天津河北·二模）以下结论错误的是（    ） A．命题：“，”的否定为“，” B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 D．回归直线一定过样本中心 【答案】C 【分析】对于A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断；对于B，根据正态分布的特征判断；对于C，根据决定系数的意义判断；对于D，根据回归直线的特征判断. 【详解】对于A，命题：“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，根据正态分布的性质可知，，则,那么 ，所以，，故B正确； 对于C，用决定系数来刻画回归效果，越大拟合效果越好，故C错误； 对于D，样本中心点一定在回归直线上，故D正确. 4．（2026·天津·二模）芯片作为集成电路上的载体广泛应用于手机和航天等多个领域.某公司根据市场调研与统计得到，从年至年在芯片技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据统计如下： 由上图发现可以用一元线性回归模型刻画收益与投入的关系.根据以上信息，如下判断错误的为（   ） A．该公司收益数据的极差为 B．该公司收益数据的中位数为 C．可推断与两个变量正线性相关 D．若年投入亿元，则收益一定为亿元 【答案】D 【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用相关性可判断C选项；利用回归直线的概念可判断D选项. 【详解】对于AB选项，将收益由小到大排列依次为、、、、、、， 该公司收益数据的极差为，A对， 该公司收益数据的中位数为，B对； 对于C选项，由散点图可知，可推断与两个变量正线性相关，C对； 对于D选项，用回归方程计算的收益只是个估计值，而不是准确值， 即若年投入亿元，则收益不一定为亿元，D错. 二项分布与超几何分布的均值与方差 考点3 一、单选题 1．（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中，错误的个数为（    ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，且，则我们认为在犯错误的概率不超过的前提下，认为两个分类变量不独立，①正确. 对于②，相关系数的绝对值越大，相关性越强，，故甲组数据的线性相关性更强，②错误. 对于③，因为是不放回随机抽样，所以随机变量服从超几何分布，③错误. 对于④，且，，又，，得，④错误. 综上，错误的个数为3个. 2．（2026·天津红桥·二模）下列结论中正确的结论个数为（   ） ①命题：，的否定是，； ②若直线l上有无数个点不在平面内，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则； ④若随机变量，且，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】对于①，利用全称命题的否定是特称命题即可判断；对于②，结合空间中直线与平面的位置关系判断即可；对于③，根据正态分布的性质求解即可；对于④，利用二项分布的期望和方差公式求解即可. 【详解】对于①，全称命题，的否定是特称命题：，；故①正确； 对于②，直线l上有无数个点不在平面内，直线l与平面可能相交，也可能平行，故②错误； 对于③，根据正态分布的性质可得,故③错误； 对于④，由随机变量，且，，可得：，解得，故④正确. 二、填空题 3．（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 【答案】 【分析】应用全概率公式计算求解，先写出可以取的概率，再应用数学期望公式计算求解. 【详解】在第一环节提问中得到正确答案的概率； 在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，可以取， ， ， ， ， 则X的数学期望为. 4．（2026·天津东丽·二模）某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 【答案】 / / 【分析】借助相互独立事件的概率公式以及全概率公式计算即可得. 【详解】；. 正态分布 考点4 一、单选题 1．（2026·天津河北·二模）以下结论错误的是（    ） A．命题：“，”的否定为“，” B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 D．回归直线一定过样本中心 【答案】C 【分析】对于A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断；对于B，根据正态分布的特征判断；对于C，根据决定系数的意义判断；对于D，根据回归直线的特征判断. 【详解】对于A，命题：“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，根据正态分布的性质可知，，则,那么 ，所以，，故B正确； 对于C，用决定系数来刻画回归效果，越大拟合效果越好，故C错误； 对于D，样本中心点一定在回归直线上，故D正确. 2．（2026·天津·二模）下列结论中正确的是（    ） A．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若，则 D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有16个 【答案】C 【分析】利用相关系数、正态分布、条件概率及组合数知识逐一分析各选项. 【详解】在A选项中，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度才越强， 相关系数为负时仅表示负相关，数值越小（负得越多）绝对值越大、相关程度越强，A错误 在B选项中，正态分布的对称轴为，由得： ，根据正态分布的对称性可知： ，所以， 所以，B错误， 在C选项中，根据条件概率公式可得： ，C正确， 在D选项中，正确答案至少选1个，总种数为，D错误. 3．（2026·天津东丽·二模）下列结论中正确的是（    ） A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强； B．若随机变量X服从正态分布，且，则； C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9； D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个. 【答案】B 【分析】利用相关系数的意义判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；利用百分位数的定义求解判断C；利用组合计数问题列式求解判断D. 【详解】对于A，线性相关系数r的绝对值越接近于1，则两个变量的线性相关性越强，A错误； 对于B，依题意，，B正确； 对于C，由，得所求第三四分位数为，C错误； 对于D，有4个选项的多选题的答案个数可能有，D错误. 4．（2026·天津红桥·二模）下列结论中正确的结论个数为（   ） ①命题：，的否定是，； ②若直线l上有无数个点不在平面内，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则； ④若随机变量，且，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】对于①，利用全称命题的否定是特称命题即可判断；对于②，结合空间中直线与平面的位置关系判断即可；对于③，根据正态分布的性质求解即可；对于④，利用二项分布的期望和方差公式求解即可. 【详解】对于①，全称命题，的否定是特称命题：，；故①正确； 对于②，直线l上有无数个点不在平面内，直线l与平面可能相交，也可能平行，故②错误； 对于③，根据正态分布的性质可得,故③错误； 对于④，由随机变量，且，，可得：，解得，故④正确. 5．（2026·天津北辰·二模）下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】D 【分析】利用百分位数的定义求解选项A即可，利用残差图与回归方程的关系求解选项B即可，利用正态分布的定义求解选项C即可，利用独立性检验的定义求解选项D即可. 【详解】将这一组数据2，3，8，3，10，18，7，4按照从小到大排序得：2，3，3，4，7，8，10，18. 因则50百分位数为第4位和第5位的平均数，即，故A错误. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故B错误. 因，则故C错误. 因故判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 4大考点概览 考点01统计 考点02线性回归方程与独立性检验 考点03二项分布与超几何的均值与方差 考点04正态分布 统计 考点1 1．（2026·天津红桥·二模）为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（   ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 2．（2026·天津北辰·二模）下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 3．（2026·天津东丽·二模）下列结论中正确的是（    ） A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强； B．若随机变量X服从正态分布，且，则； C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9； D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个. 线性回归方程与独立性检验 考点2 1．（2026·天津南开·二模）下列说法中，正确的是（   ） A．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 B．在回归分析中，为0.98的模型比为0.99的模型拟合的效果更好 C．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 2．（2026·天津河北·二模）数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（    ） A．数据，，，…，的平均数是； B．数据，，，…，的平均数是； C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数： D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数. 3．（2026·天津河北·二模）以下结论错误的是（    ） A．命题：“，”的否定为“，” B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 D．回归直线一定过样本中心 4．（2026·天津·二模）芯片作为集成电路上的载体广泛应用于手机和航天等多个领域.某公司根据市场调研与统计得到，从年至年在芯片技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据统计如下： 由上图发现可以用一元线性回归模型刻画收益与投入的关系.根据以上信息，如下判断错误的为（   ） A．该公司收益数据的极差为 B．该公司收益数据的中位数为 C．可推断与两个变量正线性相关 D．若年投入亿元，则收益一定为亿元 二项分布与超几何分布的均值与方差 考点3 一、单选题 1．（2026·天津滨海新区·三模）下列说法中，错误的个数为（    ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·天津红桥·二模）下列结论中正确的结论个数为（   ） ①命题：，的否定是，； ②若直线l上有无数个点不在平面内，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则； ④若随机变量，且，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 3．（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______. 4．（2026·天津东丽·二模）某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 正态分布 考点4 一、单选题 1．（2026·天津河北·二模）以下结论错误的是（    ） A．命题：“，”的否定为“，” B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 D．回归直线一定过样本中心 2．（2026·天津·二模）下列结论中正确的是（    ） A．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若，则 D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案种数可能有16个 3．（2026·天津东丽·二模）下列结论中正确的是（    ） A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强； B．若随机变量X服从正态分布，且，则； C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9； D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个. 4．（2026·天津红桥·二模）下列结论中正确的结论个数为（   ） ①命题：，的否定是，； ②若直线l上有无数个点不在平面内，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则； ④若随机变量，且，，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2026·天津北辰·二模）下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $