专题07+函数与导数7个考点（天津专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 函数与导数专题汇编，精选2026年天津多区县二模真题，覆盖函数性质、抽象函数、指对幂函数、函数应用、导数综合5大考点，导数解答题含切线方程、极值证明、不等式证明等综合题型，适配高三二模复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约18题|函数性质（图象识别、奇偶性）、指对幂函数（大小比较、充要条件）、函数应用（零点区间）|结合天津二模命题趋势，注重图象与性质综合判断| |解答题|9题|导数综合（切线、极值、不等式证明、零点问题）|多题涉及多问递进设计，如导数大题结合切线方程与不等式证明，体现逻辑推理与数学运算素养|

专题07 函数与导数 函数的基本性质 考点1 题号 1 2 3 4 5 答案 A B A C D 抽象函数 考点2 题号 1 答案 A 指对幂函数 考点3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B A C A A C A D 函数的应用 考点4 题号 1 2 3 4 答案 B B C A 导数的综合大题 考点5 1．(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）（ⅰ）求出及其导数，利用极值点的意义列式并分离参数，再构造函数并利用导数证明不等式；（ⅱ）由（ⅰ）求出，再构造函数，利用导数推理证明. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则当时，，， 由，得，则， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即，，于是， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）知，，，则 ， 由（i）知，，令，求导得， 函数在上单调递减，则，即， 因此，令函数， 求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以. 2．(1)当时，单调递增区间为、；当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为、 (2) (3) 【分析】（1）求导后因式分解，再分、与进行讨论即可得； （2）借助导数的几何意义可求出曲线在处的切线方程，再设出此切线和曲线的切点，利用导数的几何意义计算即可得解； （3）由题意可得，，则可用、、表示出、，从而可表示出，构造相应函数，借助导数结合零点存在性定理可得其单调性，从而可求出其最小值，再结合与的范围即可得的取值范围. 【详解】（1），则， 当时，令，得或， 故在和上单调递增， 当时，可得恒成立，故在上单调递增； 当时，令，得或，故在和上单增； 综上可得：当时，单调递增区间为、； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为、； （2）当 时，，则， ， ， 故曲线在处的切线方程为， 设此切线与曲线的切点为， 则，解得，从而， 即，即， 设，， ， ，∴在上单调递减， ∴在上有唯一解； （3）由题意可知：，， 所以，，∴， 设，则， 令，则 ， 即在单调递增，又当时， ；时， ， 所以存在，使得 ，∴，即， ∴在单调递减，单调递增， ∴ ， 设 为减函数， ， ∴当 时，，又，∴， ∵，设，则在单调递增， ∴ ，所以. 3．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出曲线在处的导数值，再根据切线方程求解即可. （2）利用换元，利用导数分析函数的单调性，把恒成立问题转化为最值问题求解即可. （3）根据不等式将问题转化为，再结合的取值范围以及函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由得，① 当时，时，，①式不成立，所以． 令，由①得，即对任意恒成立， 令， 当时，时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 故，解得，所以的最大值为． （3）当时，， 要证明，只需证明． 令，则，令，解得. 则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为. 则.所以． 只需证明． ①当时，不等式成立， ②时，只需证明， 令，则，进而，即. 令，则，所以单调递增，，即. 因为，所以时，． ③时，由得，即． 令， 所以在递减，因此，即． 因此，当时，成立． 4．(1) (2)证明过程见解析； (3)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式； （3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式. 【详解】（1）由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）要证明，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立； （3）由（2）知，当时，， 即，当时，， 故， 故 5．(1) (2) (3) 【分析】（1）分类讨论，当时不合题意，当时，由导数求得极小值，列出不等式求解即可； （2）设切点为，由已知切线方程列出方程组，由导数求解即可； （3）由切线放缩，构造函数，结合导数分类讨论的范围即可求解． 【详解】（1）， ①当时，，则单调递增，最多有一个零点，不合题意，舍去； ②当时，令，设， 在上，，在单调递减， 在上，，在单调递增， 所以的极小值为， 由已知，时，时，只须， 所以，即， 解得． （2），设切点为，由已知切线方程可知， 由代入下式得， 所以， 令，，由得， 因为， 所以在为单调递增函数，为方程的唯一解． 所以，． （3）， 设， ，令，得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即， 所以， 令，，令，， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， ，解得， 显然当时，恒成立， 当时，，存在，不符合条件， 综上所述． 6．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合的极小值为可求得实数的值； （3）先判断当时，无零点；依题分析当时，分和两种情况分析，在时，存在，使，分析得出；在时，同理可证，，构造函数，分析该函数在上的单调性，由可得，借助于，即可证明. 【详解】（1）当时，，所以，切点为，     则，所以，         则曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为，则，     ①当时，由，得， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，解得不符合题意；     当时，由，得或， ②当时，即时， 由得或；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，不符合题意； ③当时，即时，恒成立，函数无极值，不符合题意； ④当，即时，由，得或；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极小值，解得，符合题意， 综上所述，. （3）因为，令，即， 因为，所以等价于，令，其中， 当，时，恒成立，此时无零点， 当，时，， 令，则， （i）若，则，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而，，， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，     而，，，存在，使得， 故的零点； （ii）当，， 当时，因为， 由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， ， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 由，当时，， 所以在上单调递增，， 所以， 又因为，， 故的零点，， 由（i）（ii）有，， 因为是的零点，即，所以， 令，因为，当，， 所以在上单调递减， 又因为，所以，即， 因为， 而，， 所以，故. 7．(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）求导，得到切线斜率，由导数几何意义得到切线方程； （2）二次求导，分类讨论，结合函数单调性和零点存在性定理可得结论； （3）参变分离，放缩，利用裂项相消法可得结论. 【详解】（1）当时，， ， ，， 曲线在处的切线方程为， 化简即得. （2）已知，注意到， ，注意到， 令，则， ①若，此时. 对于所有，，所以恒成立， 故在上严格单调递增，故， 故在上严格单调递增，故， 函数在时恒为正，无正实数零点； ②若，此时. 令，解得唯一极值点， 当时，单调递减，此时， 当时，单调递增， 先减后增，且当时， 由零点存在性定理，必然存在唯一的，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取得极小值，且极小值， 当时，， 结合单调性，函数在内必存在唯一一个正实数零点， 综上所述，当且仅当时，函数恰好有一个正实数零点. （3）对于正整数，， 由（2）可知，此时必存在唯一的正实数零点， 即满足方程：， 令，，则， 令，则， 令，则， 因为，所以，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，故，即， ，所以， 将代入得，， 对到n累加：， 令，， 构造，， 故， 严格恒成立，所以， 所以，因为， 所以， 将代入得，， 由于，有， 所以， 对到n累加，首尾相消得 ， 故. 8．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求得到切线斜率，再求得到切点坐标，最后用直线的点斜式方程求解即可. （2）（ⅰ）法一：先求出和，将不等式转化为恒成立，根据端点数值得到，进而证明对于时，恒成立即可； 法二：先求出和，将不等式转化为关于的不等式，再通过分离参数法，构造新函数，利用导数求新函数在区间上的最值，从而得到的取值范围. （ⅱ）要证明该不等式，先利用（ⅰ）中得到的结论，得到关于的不等式，再将求和式中的每一项代入该不等式，最后对求和式进行化简、放缩，结合数列求和的方法完成证明即可. 【详解】（1）当，时，， 则，，， 所以， 故切线方程为. （2）（ⅰ）若，，，，， 由，得（）， 法一：令， 由，且，且可得. 下证对于时，恒成立. 将函数视为关于m的一次函数且单调递增， 所以， 故只需证成立，令， ，，， 当时，， 所以，故在单调递减， 当时，，所以在单调递增， ，因此存在，使得， 故在单调递减，在单调递增， 又因为，，有，故在上单调递增， 所以，在单调递减，在单调递增， 因此， 故恒成立，所以，当时，恒成立， 综上，实数m的取值范围. 法二：当时，： 当时，，设， ， 设，， 则时，，单调递增； 时，，单调递减. 而，，，所以在上存在唯一零点，设为， 则时，，，单调递增； 时，，，单调递减. 故在处取得最大值，在处取得最小值，所以， 综上，实数m的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知时，， 即，故， 所以有k，，，令， 则（k，）， 所以 . 所以，. 9．(1)单调减区间为：，单调增区间为：； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，解导函数大于0和小于0的不等式即得. （2）求出函数的导数，由在附近的临近区域导数值左正右负求出范围. （3）由（1）及导数的几何意义求出切线方程，再构造函数利用函数的三个零点可得，再借助换元法及分析法推理论证即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. （2）依题意，函数，求导得， 当时，当时，，则函数在处不可能取到极大值； 当时，由，得，由，得或， 则函数在处取到极大值，所以. （3）由（1）知，，曲线过有三条不同的切线，切点为， 于是，方程有3个不同的根， 该方程整理为， 设，求导得， 而，当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 显然有3个不同的零点，必有， 则，且，即， 又，设， 则方程即为：， 记，则为有三个不同的根， 设，要证，即证， 即证，即证， 即证，即证， 又且， 则，即， 于是即证，即证， 设，记，求导得， 设，则， 则函数在上单调递增，有， 于是，即在上为增函数，有， 因此 记， 则， 于是在为增函数，则， 所以，即， 从而原不等式得证. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数与导数 7大考点概览 考点01函数的基本性质 考点02抽象函数 考点03指对幂函数 考点04函数的应用 考点05导数的综合大题 函数的基本性质 考点1 一、单选题 1．（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数性质，利用排除法逐项判断即可得. 【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且， 对B：的定义域为，不符，故B错误； 对C：时，，不符，故C错误； 对D：时，，不符，故D错误； 对A：时，，定义域为， 且， 故该函数为奇函数，符合题意，故A正确. 2．（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值法判断. 【详解】定义域为，且， 故为奇函数，可排除C； 又，可排除A、D； 故函数的大致图象为B. 3．（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数性质，利用排除法可得正确选项. 【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且， 因为定义域为，不符合题意，故排除B选项； 因为， 所以是偶函数，不符合题意，故排除C选项； 因为，故不符合题意，故排除D选项； 因为，， 所以定义域为，为奇函数，且， 故的解析式可能为，A符合题意. 4．（2026·天津河西·二模）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得为定义域在上的奇函数，且，结合奇偶函数的定义依次判断选项. 【详解】根据图象可得为定义域在上的奇函数，且， 对于A，因为 所以是定义域在上的奇函数， 因为，所以不满足条件； 对于B，因为 所以是定义域在上的偶函数，不满足条件； 对于C，因为 所以是定义域在上的奇函数， 因为，所以满足条件； 对于D，因为 所以是定义域在上的偶函数，不满足条件； 5．（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊值结合单调性的性质判断选项ABC；根据奇偶性的定义以及利用导数证明单调性即可判断D选项． 【详解】，定义域为， 又，所以为奇函数， 易知，则不单调，故A不符合题意； 因为， ，则为偶函数，故B不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， 又在单调递减， 则在单调递减，故C不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， ，所以在上单调递增，故D符合题意． 抽象函数 考点2 一、单选题 1．（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，再结合函数单调性的表示可知函数在上单调递减，再利用单调性比较大小即可． 【详解】解：，， ， 又对，，（），有， 则函数在上单调递减， ，即． 指对幂函数 考点3 一、单选题 1．（2026·天津红桥·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 由且，得， 由，得， 所以． 2．（2026·天津东丽·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分性与必要性定义，结合函数的定义域与单调性判断即可得. 【详解】若，此时、无意义，故充分性不成立； 若，由函数在定义域内单调递增，故，即必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 3．（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 则， 所以. 4．（2026·天津河北·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性及对数的运算求解即可. 【详解】指数函数 在定义域内单调递减，所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 又 ， ，， 所以 ，即 ，所以 . 综上，. 5．（2026·天津·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则； 当时，不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 6．（2026·天津河东·二模）已知函数，当函数为奇函数时，为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质求得，再根据对数的运算即可求解． 【详解】由题知，，则定义域为， 所以， ，经检验满足题意， 又， 所以． 7．（2026·天津河东·二模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别判断与的大小关系即可. 【详解】由可知，底数，指数，因此 又因为且所以 再看利用换底公式， 由于所以从而 综上可得 因此 8．（2026·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以“0”和“1”为中间量，结合指数函数及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】在上为增函数，所以. 在上为增函数，所以. 当时，，，此时； 当时，，，此时； 又在上为减函数，在上为增函数， 所以方程的解应在之间，即. 综上， 9．（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断出，，，变形，构造函数，比较出，得到答案 【详解】，，， 其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， 所以. 函数的应用 考点4 一、单选题 1．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造函数确定相应零点的取值范围，进而可求解. 【详解】对于，满足，函数是R上的增函数， 又，， 因此 ，即， 对于，满足 ，因为，，故， 对于，满足 ，函数 是上的增函数， 又 ， ， 因此 ，即， 综上，大小关系为. 2．（2026·天津东丽·二模）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 3．（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论 【详解】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 4．（2026·天津河西·二模）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的解析式，换元，画出函数图象，数形结合得到的取值范围，并分两种情况，结合函数对称性得到方程，求出答案 【详解】图象的两个相邻对称中心之间的距离为，故的最小正周期为， 又，所以，解得，故， 因为为函数的对称中心，所以， 所以，解得， 因为，所以只有满足要求，故， ，故， 画出在上的函数图象，如下： 有且只有两个不同的实数根，， 则与有且只有两个不同的实数根， 所以且， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 则的所有可能取值构成的集合为 导数的综合大题 考点5 一、解答题 1．（2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且，若， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）（ⅰ）求出及其导数，利用极值点的意义列式并分离参数，再构造函数并利用导数证明不等式；（ⅱ）由（ⅰ）求出，再构造函数，利用导数推理证明. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为. （2）（ⅰ）当时，函数，求导得， 由是函数的两个极值点，得是方程的两个不等实根， 由，得，令函数，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则当时，，， 由，得，则， 令，则，，因此， 不等式等价于，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即，，于是， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）知，，，则 ， 由（i）知，，令，求导得， 函数在上单调递减，则，即， 因此，令函数， 求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以. 2．（2026·天津北辰·二模）已知函数，，其中，，e是自然对数的底数 (1)若函数，求的单调递增区间； (2)若，且曲线在处的切线和曲线也相切，求的值； (3)已知（m为常数），设直线与曲线与分别交于，两点，若对任意及，均有，求的取值范围. 【答案】(1)当时，单调递增区间为、；当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为、 (2) (3) 【分析】（1）求导后因式分解，再分、与进行讨论即可得； （2）借助导数的几何意义可求出曲线在处的切线方程，再设出此切线和曲线的切点，利用导数的几何意义计算即可得解； （3）由题意可得，，则可用、、表示出、，从而可表示出，构造相应函数，借助导数结合零点存在性定理可得其单调性，从而可求出其最小值，再结合与的范围即可得的取值范围. 【详解】（1），则， 当时，令，得或， 故在和上单调递增， 当时，可得恒成立，故在上单调递增； 当时，令，得或，故在和上单增； 综上可得：当时，单调递增区间为、； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为、； （2）当 时，，则， ， ， 故曲线在处的切线方程为， 设此切线与曲线的切点为， 则，解得，从而， 即，即， 设，， ， ，∴在上单调递减， ∴在上有唯一解； （3）由题意可知：，， 所以，，∴， 设，则， 令，则 ， 即在单调递增，又当时， ；时， ， 所以存在，使得 ，∴，即， ∴在单调递减，单调递增， ∴ ， 设 为减函数， ， ∴当 时，，又，∴， ∵，设，则在单调递增， ∴ ，所以. 3．（2026·天津南开·二模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求实数的最大值； (3)当时，证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出曲线在处的导数值，再根据切线方程求解即可. （2）利用换元，利用导数分析函数的单调性，把恒成立问题转化为最值问题求解即可. （3）根据不等式将问题转化为，再结合的取值范围以及函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由得，① 当时，时，，①式不成立，所以． 令，由①得，即对任意恒成立， 令， 当时，时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 故，解得，所以的最大值为． （3）当时，， 要证明，只需证明． 令，则，令，解得. 则在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为. 则.所以． 只需证明． ①当时，不等式成立， ②时，只需证明， 令，则，进而，即. 令，则，所以单调递增，，即. 因为，所以时，． ③时，由得，即． 令， 所以在递减，因此，即． 因此，当时，成立． 4．（2026·天津·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析； (3)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式； （3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式. 【详解】（1）由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）要证明，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立； （3）由（2）知，当时，， 即，当时，， 故， 故 5．（2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； (2)若直线为函数的一条切线，求的值； (3)函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分类讨论，当时不合题意，当时，由导数求得极小值，列出不等式求解即可； （2）设切点为，由已知切线方程列出方程组，由导数求解即可； （3）由切线放缩，构造函数，结合导数分类讨论的范围即可求解． 【详解】（1）， ①当时，，则单调递增，最多有一个零点，不合题意，舍去； ②当时，令，设， 在上，，在单调递减， 在上，，在单调递增， 所以的极小值为， 由已知，时，时，只须， 所以，即， 解得． （2），设切点为，由已知切线方程可知， 由代入下式得， 所以， 令，，由得， 因为， 所以在为单调递增函数，为方程的唯一解． 所以，． （3）， 设， ，令，得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即， 所以， 令，，令，， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， ，解得， 显然当时，恒成立， 当时，，存在，不符合条件， 综上所述． 6．（2026·天津·二模）已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值为，求的值； (3)当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合的极小值为可求得实数的值； （3）先判断当时，无零点；依题分析当时，分和两种情况分析，在时，存在，使，分析得出；在时，同理可证，，构造函数，分析该函数在上的单调性，由可得，借助于，即可证明. 【详解】（1）当时，，所以，切点为，     则，所以，         则曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为，则，     ①当时，由，得， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，解得不符合题意；     当时，由，得或， ②当时，即时， 由得或；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，不符合题意； ③当时，即时，恒成立，函数无极值，不符合题意； ④当，即时，由，得或；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极小值，解得，符合题意， 综上所述，. （3）因为，令，即， 因为，所以等价于，令，其中， 当，时，恒成立，此时无零点， 当，时，， 令，则， （i）若，则，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而，，， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，     而，，，存在，使得， 故的零点； （ii）当，， 当时，因为， 由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， ， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 由，当时，， 所以在上单调递增，， 所以， 又因为，， 故的零点，， 由（i）（ii）有，， 因为是的零点，即，所以， 令，因为，当，， 所以在上单调递减， 又因为，所以，即， 因为， 而，， 所以，故. 7．（2026·天津河西·二模）已知函数（为自然对数的底数） (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恰有一个正零点，求实数a的取值范围； (3)对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）求导，得到切线斜率，由导数几何意义得到切线方程； （2）二次求导，分类讨论，结合函数单调性和零点存在性定理可得结论； （3）参变分离，放缩，利用裂项相消法可得结论. 【详解】（1）当时，， ， ，， 曲线在处的切线方程为， 化简即得. （2）已知，注意到， ，注意到， 令，则， ①若，此时. 对于所有，，所以恒成立， 故在上严格单调递增，故， 故在上严格单调递增，故， 函数在时恒为正，无正实数零点； ②若，此时. 令，解得唯一极值点， 当时，单调递减，此时， 当时，单调递增， 先减后增，且当时， 由零点存在性定理，必然存在唯一的，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取得极小值，且极小值， 当时，， 结合单调性，函数在内必存在唯一一个正实数零点， 综上所述，当且仅当时，函数恰好有一个正实数零点. （3）对于正整数，， 由（2）可知，此时必存在唯一的正实数零点， 即满足方程：， 令，，则， 令，则， 令，则， 因为，所以，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，故，即， ，所以， 将代入得，， 对到n累加：， 令，， 构造，， 故， 严格恒成立，所以， 所以，因为， 所以， 将代入得，， 由于，有， 所以， 对到n累加，首尾相消得 ， 故. 8．（2026·天津和平·二模）已知，函数（a，），. (1)当，时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知，. （ⅰ）若，分别是函数，的导函数，且在区间上恒成立，求实数m的取值范围； （ⅱ）已知，证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求得到切线斜率，再求得到切点坐标，最后用直线的点斜式方程求解即可. （2）（ⅰ）法一：先求出和，将不等式转化为恒成立，根据端点数值得到，进而证明对于时，恒成立即可； 法二：先求出和，将不等式转化为关于的不等式，再通过分离参数法，构造新函数，利用导数求新函数在区间上的最值，从而得到的取值范围. （ⅱ）要证明该不等式，先利用（ⅰ）中得到的结论，得到关于的不等式，再将求和式中的每一项代入该不等式，最后对求和式进行化简、放缩，结合数列求和的方法完成证明即可. 【详解】（1）当，时，， 则，，， 所以， 故切线方程为. （2）（ⅰ）若，，，，， 由，得（）， 法一：令， 由，且，且可得. 下证对于时，恒成立. 将函数视为关于m的一次函数且单调递增， 所以， 故只需证成立，令， ，，， 当时，， 所以，故在单调递减， 当时，，所以在单调递增， ，因此存在，使得， 故在单调递减，在单调递增， 又因为，，有，故在上单调递增， 所以，在单调递减，在单调递增， 因此， 故恒成立，所以，当时，恒成立， 综上，实数m的取值范围. 法二：当时，： 当时，，设， ， 设，， 则时，，单调递增； 时，，单调递减. 而，，，所以在上存在唯一零点，设为， 则时，，，单调递增； 时，，，单调递减. 故在处取得最大值，在处取得最小值，所以， 综上，实数m的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知时，， 即，故， 所以有k，，，令， 则（k，）， 所以 . 所以，. 9．（2024·天津·二模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在处取得极大值，求实数的取值范围： (3)已知，曲线在不同的三点处的切线都经过点，且，当时，证明：. 【答案】(1)单调减区间为：，单调增区间为：； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，解导函数大于0和小于0的不等式即得. （2）求出函数的导数，由在附近的临近区域导数值左正右负求出范围. （3）由（1）及导数的几何意义求出切线方程，再构造函数利用函数的三个零点可得，再借助换元法及分析法推理论证即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. （2）依题意，函数，求导得， 当时，当时，，则函数在处不可能取到极大值； 当时，由，得，由，得或， 则函数在处取到极大值，所以. （3）由（1）知，，曲线过有三条不同的切线，切点为， 于是，方程有3个不同的根， 该方程整理为， 设，求导得， 而，当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 显然有3个不同的零点，必有， 则，且，即， 又，设， 则方程即为：， 记，则为有三个不同的根， 设，要证，即证， 即证，即证， 即证，即证， 又且， 则，即， 于是即证，即证， 设，记，求导得， 设，则， 则函数在上单调递增，有， 于是，即在上为增函数，有， 因此 记， 则， 于是在为增函数，则， 所以，即， 从而原不等式得证. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数与导数 7大考点概览 考点01函数的基本性质 考点02抽象函数 考点03指对幂函数 考点04函数的应用 考点05导数的综合大题 函数的基本性质 考点1 一、单选题 1．（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津河西·二模）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 抽象函数 考点2 一、单选题 1．（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 指对幂函数 考点3 一、单选题 1．（2026·天津红桥·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津东丽·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津河北·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·天津·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·天津河东·二模）已知函数，当函数为奇函数时，为（   ） A． B． C．0 D． 7．（2026·天津河东·二模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 函数的应用 考点4 一、单选题 1．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津东丽·二模）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津河西·二模）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 导数的综合大题 考点6 一、解答题 1．（2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，有两个极值点，且，若， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：. 2．（2026·天津北辰·二模）已知函数，，其中，，e是自然对数的底数 (1)若函数，求的单调递增区间； (2)若，且曲线在处的切线和曲线也相切，求的值； (3)已知（m为常数），设直线与曲线与分别交于，两点，若对任意及，均有，求的取值范围. 3．（2026·天津南开·二模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求实数的最大值； (3)当时，证明． 4．（2026·天津·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 5．（2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； (2)若直线为函数的一条切线，求的值； (3)函数，若对任意，恒成立，求的取值范围． 6．（2026·天津·二模）已知，函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值为，求的值； (3)当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证：. 7．（2026·天津河西·二模）已知函数（为自然对数的底数） (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恰有一个正零点，求实数a的取值范围； (3)对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 8．（2026·天津和平·二模）已知，函数（a，），. (1)当，时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知，. （ⅰ）若，分别是函数，的导函数，且在区间上恒成立，求实数m的取值范围； （ⅱ）已知，证明：. 9．（2024·天津·二模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在处取得极大值，求实数的取值范围： (3)已知，曲线在不同的三点处的切线都经过点，且，当时，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $