专题03+三角函数与解三角形3个考点（天津专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 天津多区县二模三角函数与解三角形专题汇编，含11道单选与10道解答题，聚焦图像性质分析与解三角形综合应用，适配高三二轮复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|11道|三角函数图像对称性、平移伸缩变换、单调性、奇偶性、方程根问题|结合图像辨析（如第1题判断对称中心与平移），融入充要条件判断（第11题）| |解答题|10道|正余弦定理、面积计算、三角恒等变换|分层设问（如第1题三问逐步深化），贴合天津二模命题趋势|

专题03 三角函数与解三角形 三角函数的图像与性质 考点1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B A D B C A 题号 11 答案 B 解三角形 考点2 1．(1)， (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）由二倍角的正弦及两角和的正弦公式求解； （3）利用正弦定理求解. 【详解】（1）在中，，，， ，解得， ，. （2）由（1），, . （3）因为， 所以由正弦定理可得， 所以，解得. 2．(1) (2)① ；② 【分析】（1）先展开并整理已知等式，得到边的关系式，再代入余弦定理公式，直接求出的值。 （2）① 先由求出，再结合，用正弦定理求出； ②先由判断为锐角，求出，再用二倍角公式算出，，最后用两角差的正弦公式计算． 【详解】（1）由，整理得，                ， 所以； （2）①若，则， 因为，所以，             由，得， 所以； ②由，得，即，所以一定为锐角， 所以，则， 所以， 所以． 3．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】(1)利用正弦定理将题目的角的条件化为边的条件，再结合余弦定理求解出角的余弦值即可求出角. (2)（i）利用余弦定理求解即可.（ii）利用余弦定理解出，再求出再利用二倍角公式求出再利用两角和与差的正弦求解出结果即可. 【详解】（1）由已知化简得： 由正弦定理边角互化可得： 再根据余弦定理，将代入可得： . 因为，所以. （2）（i）由题意得，， 由余弦定理得， 解得或（舍去）. （ii）由余弦定理得 ， 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系可求出，再利用正弦定理计算即可得解； （2）利用三角形内角和关系、诱导公式与两角和的正弦公式计算可得，再利用面积公式计算即可得； （3）借助二倍角公式求出、后，利用两角和的正弦公式计算即可得解. 【详解】（1）由，则，则， 由正弦定理，可得， 由，则，故； （2） ， 则； （3）， ， 则 . 5．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出，结合三角形内角的范围求出角； （2）由正弦定理结合已知条件求出，利用余弦定理求出； （3）利用已知条件求出，进而求出，利用二倍角公式求出，再利用三角形内角关系结合两角差的余弦公式求解． 【详解】（1）已知， 由余弦定理得， 整理可得， ， 又， ． （2）由正弦定理得， ． 由（1）知， ． （3）由（2）知，则，解得， 由（2）知， 为锐角，故， ， ，，即， ． 6．(1) (2) (3) 【分析】 （1）利用正弦定理对进行边化角，即可求得的值； （2）由于第1小问已经求得的值，再利用余弦定理求出边长，最后用面积公式求出的面积； （3）由第1小问及第2小问中可知的值及边长，再由正弦定理求得A的正弦值，由正弦值再求出余弦值，最后用余弦和角公式计算. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 因为，所以，所以， 故，由，得. （2）因为，，由余弦定理， 得，， 解得，或（舍去）. 所以. （3）由正弦定理，得，即， 因为为钝角，所以为锐角，， ，， 所以. 7．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求解. （2）由，可得,利用正弦定理求解. （3）利用二倍角的正弦公式和余弦公式求出和，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】（1）在中，，，. 根据余弦定理， 将，，代入， 可得， 因为为三角形的边长，即，所以. （2）因为是三角形内角，则，所以. 由，可得. ，， ，. ，为钝角，为锐角， . （3），， ， ， . 8．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理得，再结合余弦定理求边长即可； （2）解法一：利用正弦定理求；解法二：利用余弦定理求出，再根据同角三角函数关系得到； （3）利用倍角公式，结合三角和差公式求值即可． 【详解】（1）解法一：因为，根据正弦定理得，即， 根据余弦定理， 则，解得， ； 解法二：因为，根据正弦定理得， 根据余弦定理， 则，解得，， ； （2）解法一：根据正弦定理  得， 所以解得； 解法二：，  由余弦定理可得： ， 是的内角， ； （3），  由余弦定理可得：， ， ， ． 9．(1)，. (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理求解即可； （3）利用二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以设，（）， 根据余弦定理得，将，， 代入得  化简得， 解得，结合得，因此，. （2）因为B为的内角，所以， 根据同角三角函数的平方关系得，, 根据正弦定理，代入，，, 得到; （3）在中，，因为， 所以角为锐角，故, 由同角三角函数平方关系， 由二倍角公式， 而， 由两角差的正弦公式得 . 10．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角得，结合条件利用和角公式求得，进而求出的值； （2）利用（1）的结论，结合和角公式求得的值，进而利用三角形面积公式即可求得； （3）利用三角恒等变换公式依次求得，与的值即可. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，则， 整理得， 故. （2）由（1）可知，则角为锐角，因为，， 求得，，同理解得，， 因为，所以， 则. （3）由，故， ，， 则. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数与解三角形 2大考点概览 考点01三角函数的图像与性质 考点02解三角形 三角函数的图像与性质 考点1 一、单选题 1．（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】对于AB，代入选项的的值并依据正弦函数的图象性质判断即可，对于C，由图象变换结合辅助角公式即可求解，对于D，使用整体代入法结合图象的交点个数即可求解. 【详解】由题意得，最小正周期满足，即， 则，即， 代入得，即， 由此可得，解得， 因为，令，则， 综上，， 对于①，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故①错误； 对于②，若的图象关于点对称，则， 代入得， 因为，故②错误； 对于③，设， 则，故③错误； 对于④，若，则，设，， ，即， 则与在上有两个交点， 即，解得，故④错误. 所以有0个命题正确. 2．（2026·天津红桥·二模）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 【答案】C 【分析】先由最高点与最低点横坐标求出周期，得；再由最高点位置求，结合轴截距求出振幅，确定函数；最后据此逐一验证选项：A周期为错误，B最大值为错误，C的区间符合单调递增区间正确，D化简后不是偶函数错误． 【详解】对于A，由图知，解得，A错误； 对于B，由，得，则， 由时，函数取最大值，得， 化简得，结合，得， 由函数在轴上的截距为，即，解得， 所以，最大值为，B错误； 对于C，由， 得， 当时，递增区间为，C正确； 对于D，， 该函数不是偶函数，D错误． 3．（2026·天津东丽·二模）函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 将的图象向左平移个单位长度，得， 再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. 4．（2026·天津红桥·二模）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案． 【详解】对于A，令，因为为偶函数， 又因为，所以不存在零点，故A不合题意； 对于B，令， 因为为奇函数，故B不合题意； 对于C，令，为非奇非偶函数，故C不合题意； 对于D，令，为偶函数， 当时，，故D符合题意． 5．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 6．（2026·天津河北·二模）已知函数（，，）的图象如图所示，将的图象上各点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】A 【分析】根据图象确定，，，得到的解析式，根据函数图象平移的“左加右减”原则，得到的解析式，再分别利用正弦型函数的单调性、周期、对称中心、对称轴的性质，对每个选项分析验证. 【详解】由图像可知，函数最大值为，且，故， 最高点横坐标为，右侧零点横坐标为，因此，得周期. 由，，得. 将代入，得： ，解得，结合，得. 所以. 将向右平移个单位，得：. 选项A：当时，，在上单调递增， 故在上单调递增，正确. 选项B：的最小正周期，错误. 选项C：，故不是对称中心，错误. 选项D：，不是最值，正弦函数对称轴处函数取最值， 故不是对称轴，错误. 7．（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数， 再把图象向右平移个单位长度得： ． 8．（2026·天津和平·二模）已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二倍角公式将函数化简，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间，最后结合已知条件确定实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以： ， 因为（）的单调递增区间就是的单调递减区间， 由，，解不等式得： ，， 所以的单调递减区间为，， 又因为在区间上单调递减，当时，单调递减区间为， 则有， 由 得 ，由 得 ， 因为 ，所以 ， 因此，实数的取值范围为. 9．（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的一个对称中心 B．在区间上单调递增 C．的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到 D．的图象可以由函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后，再将图象向右平移个单位长度得到 【答案】C 【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用三角函数的图象变换可判断CD选项. 【详解】由图象可知，可得，又因为，所以， 所以， 结合图象可知函数的一条对称轴为直线， 且为函数的一个最大值点，即， 所以，则，解得， 设函数的最小正周期为，则，故， 所以，即，解得， 又因为，即，故，， 所以， 对于A选项，， 所以不是函数的一个对称中心，A错； 对于B选项，当时，， 所以函数在区间上单调递减，B错； 对于C选项，将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象， 再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 可得到函数的图象，C对； 对于D选项，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，可得到函数，D错. 10．（2026·天津河西·二模）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的解析式，换元，画出函数图象，数形结合得到的取值范围，并分两种情况，结合函数对称性得到方程，求出答案 【详解】图象的两个相邻对称中心之间的距离为，故的最小正周期为， 又，所以，解得，故， 因为为函数的对称中心，所以， 所以，解得， 因为，所以只有满足要求，故， ，故， 画出在上的函数图象，如下： 有且只有两个不同的实数根，， 则与有且只有两个不同的实数根， 所以且， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 则的所有可能取值构成的集合为 11．（2026·天津·二模）已知，，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，时，； 反之，当时，或，， 因此“”是“，”的必要不充分条件. 解三角形 考点2 一、解答题 1．（2026·天津河东·二模）已知正三角形，边长为3，点在边上（如图），，． (1)求的长，的值； (2)求的值； (3)求的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）由二倍角的正弦及两角和的正弦公式求解； （3）利用正弦定理求解. 【详解】（1）在中，，，， ，解得， ，. （2）由（1），, . （3）因为， 所以由正弦定理可得， 所以，解得. 2．（2026·天津红桥·二模）在中，内角所对的边分别是，已知． (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）先展开并整理已知等式，得到边的关系式，再代入余弦定理公式，直接求出的值。 （2）① 先由求出，再结合，用正弦定理求出； ②先由判断为锐角，求出，再用二倍角公式算出，，最后用两角差的正弦公式计算． 【详解】（1）由，整理得，                ， 所以； （2）①若，则， 因为，所以，             由，得， 所以； ②由，得，即，所以一定为锐角， 所以，则， 所以， 所以． 3．（2026·天津北辰·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求角B的大小； (2)若， （i）求的值； （ii）求. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】(1)利用正弦定理将题目的角的条件化为边的条件，再结合余弦定理求解出角的余弦值即可求出角. (2)（i）利用余弦定理求解即可.（ii）利用余弦定理解出，再求出再利用二倍角公式求出再利用两角和与差的正弦求解出结果即可. 【详解】（1）由已知化简得： 由正弦定理边角互化可得： 再根据余弦定理，将代入可得： . 因为，所以. （2）（i）由题意得，， 由余弦定理得， 解得或（舍去）. （ii）由余弦定理得 ， 4．（2026·天津东丽·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系可求出，再利用正弦定理计算即可得解； （2）利用三角形内角和关系、诱导公式与两角和的正弦公式计算可得，再利用面积公式计算即可得； （3）借助二倍角公式求出、后，利用两角和的正弦公式计算即可得解. 【详解】（1）由，则，则， 由正弦定理，可得， 由，则，故； （2） ， 则； （3）， ， 则 . 5．（2026·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出，结合三角形内角的范围求出角； （2）由正弦定理结合已知条件求出，利用余弦定理求出； （3）利用已知条件求出，进而求出，利用二倍角公式求出，再利用三角形内角关系结合两角差的余弦公式求解． 【详解】（1）已知， 由余弦定理得， 整理可得， ， 又， ． （2）由正弦定理得， ． 由（1）知， ． （3）由（2）知，则，解得， 由（2）知， 为锐角，故， ， ，，即， ． 6．（2026·天津河北·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. (1)求的值： (2)求的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）利用正弦定理对进行边化角，即可求得的值； （2）由于第1小问已经求得的值，再利用余弦定理求出边长，最后用面积公式求出的面积； （3）由第1小问及第2小问中可知的值及边长，再由正弦定理求得A的正弦值，由正弦值再求出余弦值，最后用余弦和角公式计算. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 因为，所以，所以， 故，由，得. （2）因为，，由余弦定理， 得，， 解得，或（舍去）. 所以. （3）由正弦定理，得，即， 因为为钝角，所以为锐角，， ，， 所以. 7．（2026·天津·二模）在中，角所对的边分别为．已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求解. （2）由，可得,利用正弦定理求解. （3）利用二倍角的正弦公式和余弦公式求出和，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】（1）在中，，，. 根据余弦定理， 将，，代入， 可得， 因为为三角形的边长，即，所以. （2）因为是三角形内角，则，所以. 由，可得. ，， ，. ，为钝角，为锐角， . （3），， ， ， . 8．（2026·天津·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理得，再结合余弦定理求边长即可； （2）解法一：利用正弦定理求；解法二：利用余弦定理求出，再根据同角三角函数关系得到； （3）利用倍角公式，结合三角和差公式求值即可． 【详解】（1）解法一：因为，根据正弦定理得，即， 根据余弦定理， 则，解得， ； 解法二：因为，根据正弦定理得， 根据余弦定理， 则，解得，， ； （2）解法一：根据正弦定理  得， 所以解得； 解法二：，  由余弦定理可得： ， 是的内角， ； （3），  由余弦定理可得：， ， ， ． 9．（2026·天津河西·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求a和c的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理求解即可； （3）利用二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以设，（）， 根据余弦定理得，将，， 代入得  化简得， 解得，结合得，因此，. （2）因为B为的内角，所以， 根据同角三角函数的平方关系得，, 根据正弦定理，代入，，, 得到; （3）在中，，因为， 所以角为锐角，故, 由同角三角函数平方关系， 由二倍角公式， 而， 由两角差的正弦公式得 . 10．（2026·天津和平·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角得，结合条件利用和角公式求得，进而求出的值； （2）利用（1）的结论，结合和角公式求得的值，进而利用三角形面积公式即可求得； （3）利用三角恒等变换公式依次求得，与的值即可. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，则， 整理得， 故. （2）由（1）可知，则角为锐角，因为，， 求得，，同理解得，， 因为，所以， 则. （3）由，故， ，， 则. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数与解三角形 2大考点概览 考点02三角函数的图像与性质 考点03解三角形 三角函数的图像与性质 考点1 一、单选题 1．（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·天津红桥·二模）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为，图象在轴上的截距为．则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．为偶函数 3．（2026·天津东丽·二模）函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津红桥·二模）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 6．（2026·天津河北·二模）已知函数（，，）的图象如图所示，将的图象上各点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 7．（2026·天津·二模）把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津和平·二模）已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的一个对称中心 B．在区间上单调递增 C．的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到 D．的图象可以由函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后，再将图象向右平移个单位长度得到 10．（2026·天津河西·二模）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·天津·二模）已知，，则“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 解三角形 考点2 一、解答题 1．（2026·天津河东·二模）已知正三角形，边长为3，点在边上（如图），，． (1)求的长，的值； (2)求的值； (3)求的长． 2．（2026·天津红桥·二模）在中，内角所对的边分别是，已知． (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②求的值． 3．（2026·天津北辰·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求角B的大小； (2)若， （i）求的值； （ii）求. 4．（2026·天津东丽·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求的值； (2)求的面积； (3)求的值． 5．（2026·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 6．（2026·天津河北·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，. (1)求的值：(2)求的面积； (3)求的值. 7．（2026·天津·二模）在中，角所对的边分别为．已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 8．（2026·天津·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 9．（2026·天津河西·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求a和c的值； (2)求的值； (3)求的值. 10．（2026·天津和平·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积； (3)求的值. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $