专题02 平面向量与复数4个考点（天津专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦复数与平面向量三大考点，汇编2026年天津多区县二模真题，覆盖运算、基本定理及数量积等核心知识，适配高三二轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|19道|复数运算、共轭复数、向量坐标表示、数量积等|结合三角形、平行四边形等几何背景，注重基础巩固与综合应用| |单选题|2道|向量共线、数量积最值|融入函数图像、动态几何情境，体现能力提升梯度|

专题02 平面向量与复数 3大考点概览 考点01复数 考点02平面向量的基本定理及其坐标表示 考点03平面向量的数量积 复数 运算 考点1 一、填空题 1．（2026·天津东丽·二模）已知是虚数单位，则______． 【答案】1 【详解】由， 则. 2．（2026·天津北辰·二模）已知为虚数单位，若，则的虚部为_____. 【答案】 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的概念可得结果. 【详解】因为，故的虚部为. 3．（2026·天津南开·二模）已知复数，则的共轭复数为_____． 【答案】 【详解】由题意知， 所以的共轭复数为 4．（2026·天津·二模）是虚数单位，___________． 【答案】/ 【详解】由于， 所以. 5．（2026·天津·二模）是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数__________. 【答案】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，故. 6．（2026·天津河西·二模）已知是虚数单位，化简的结果为_______. 【答案】 【分析】利用复数的除法运算求解即可. 【详解】 7．（2026·天津和平·二模）已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 【答案】 【详解】因是纯虚数， 可得，解得. 平面向量的基本定理及其坐标表示 考点2 一、单选题 1．（2026·天津河东·二模）已知，在函数的部分图象中（如图），其图象上的点，，是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知，而且共线，因此可以把这条直线的方向向量设出来，再把三个点都写成同一个参数形式.随后利用它们都在函数的图象上，把几何条件转化为三组正弦值关系，最后联立求出. 【详解】设，并设直线 的单位方向向量为 由可得 因为都在函数的图象上，所以 令 则上面三式化为①②③ 由 ①+②得 若，设，则由②③可推出 即 由于，故，从而，这与图象位置关系矛盾，因此不成立. 所以只能有取最小正值， 此时由①③得 即所以 于是故 再由得 而，所以 因此 二、填空题 2．（2026·天津红桥·二模）已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______． 【答案】 /0.5 【分析】根据向量数量积的运算方法，直接求出结果即可，再根据向量数量积的运算律，列出方程组，求出参数值，求出结果即可. 【详解】由题意可知； 所以 因为，所以， 得，解得， 则. 3．（2026·天津北辰·二模）在中，点是边上一点，且.边上存在点E满足，直线和交于点F，且，记，.当时，______（用和表示）；当时，则的最大值为________. 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算法则计算可得，代入即可得空一；借助平面向量线性运算法则及三点共线定理可得，则可借助平面向量基本定义与数量积定义表示出，再利用基本不等式计算即可得空二. 【详解】， 则， 当时，； 又， 且、、三点共线，故，化简得，即， 则， 故 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 4．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算法则及三点共线定理计算即可得空一；借助模长与数量积关系及基本不等式计算即可得空二. 【详解】由，则，故， 由P为线段CD上一点，则、、三点共线，故，即有； ， 由，当且仅当，即，时，等号成立， 故，则， 即的最小值为. 5．（2026·天津南开·二模）在平行四边形中，和分别是和的中点，则_____；若是的三等分点，点在线段上，，则的取值范围是_____． 【答案】 6 【分析】以为基底把表示出来，再结合数量积的运算律；设，得，再结合二次函数的性质解题. 【详解】由题意可得， 所以,则. 设，， 则        所以 当时，；当或1时，， 综上： 6．（2026·天津河北·二模）是等腰直角三角形，，，点满足，点是线段BD上一点.如果，则________；若在上的投影向量为，则的最大值为________. 【答案】 2 【分析】首先由条件确定出点的位置，然后由三点共线可得，根据条件分别计算出和，然后可得，然后消元变形、分类讨论可求出最大值. 【详解】由知，在边的延长线上，且为的中点， 因为点是线段上一点，且， 所以，即. 因为， 由题意，，所以， 由得， 所以. 则，由于，所以， 令，则. 又因为，上下同除以一个得， 则问题转变成求的最小值. 根据对勾函数性质在上单调递减，在上单调递增， 故在时取得最小值. ，此时取得最大值： . 7．（2026·天津·二模）在平行四边形中，，，点在线段上．若，则___________；的最小值为___________． 【答案】 / 【分析】设，以为基底表示，由此列方程，求得；利用向量模的运算以及基本不等式求得的最小值. 【详解】设，其中， 则 ， 由于， 所以，则为正数， 且. ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 8．（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 【答案】 【分析】以为原点建立坐标系，设，由三点共线，，结合列方程组求解即可；根据即可求解． 【详解】解：如图，以为原点建立坐标系， 则，设， 三点共线，则， 又， ，解得， ； 设的中点为， ， ， 又E为线段上一点， ， ． 9．（2026·天津·二模）已知是边长为2的正三角形，、分别为线段、的中点，为线段上任意一点，若，则__________；若，则的最小值为__________. 【答案】 3 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理求出；再利用向量数量积的运算律列式，结合二次函数求出最小值. 【详解】在边长为2的正中，由、分别为线段、的中点，得， 由为线段上任意一点，得，， 因此，而，向量不共线， 则，所以； 由，得，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 平面向量的数量积 考点3 一、单选题 1．（2026·天津河东·二模）已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的坐标得出直线方程，再根据点在内部列出关于的不等式组，结合，得出所有可能的点坐标，由平面向量数量积的坐标运算即可求解． 【详解】因为点为坐标原点，，， 所以直线的截距式方程为，即， 因为点在内部， 所以满足不等式组， 由，且，， 当时，由得，，点可以是； 当时，由得，，点是； 当时，此时不存在满足题意的正整数， 综上所述，满足条件得点共有三个：，； 因为， 所以，， ， 所以 ， 当点为时，， 当点为时，， 当点为时，， 所以最小值为． 二、填空题 2．（2026·天津河西·二模）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 【答案】 【分析】建系，确定动点的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 菱形边长为2，，设对角线交点为原点，对角线在轴上， 得各点坐标： ， 设动点，则 ， 化简可得的轨迹：​，即在以原点为圆心，半径为的圆上， 则 则 由点是圆上的点，以原点为圆心，半径， 所以， 即， 所以 即的取值范围为. 3．（2026·天津·二模）已知是边长为2的正三角形，、分别为线段、的中点，为线段上任意一点，若，则__________；若，则的最小值为__________. 【答案】 3 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理求出；再利用向量数量积的运算律列式，结合二次函数求出最小值. 【详解】在边长为2的正中，由、分别为线段、的中点，得， 由为线段上任意一点，得，， 因此，而，向量不共线， 则，所以； 由，得，， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02平面向量与复数 考点1 复数 1.1 2.-4 1-2 3.55 010 4.5/5 6.5-2i 7.-1 考点2 平面向量的基本定理及其坐标表示 题号 答案 D 1 3 2. 2/0.5 CF-1a+36 4 3 5 4. 2 5 5. 6 6 2+1 6. 4 7. 56 1/2 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [ 5 9 26 考点3 平面向量的数量积 题号 1 答案 B 2 5 3. 212 专题02 平面向量与复数 3大考点概览 考点01复数 考点02平面向量的基本定理及其坐标表示 考点03平面向量的数量积 复数 运算 考点1 一、填空题 1．（2026·天津东丽·二模）已知是虚数单位，则______． 2．（2026·天津北辰·二模）已知为虚数单位，若，则的虚部为_____. 3．（2026·天津南开·二模）已知复数，则的共轭复数为_____． 4．（2026·天津·二模）是虚数单位，___________． 5．（2026·天津·二模）是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数__________. 6．（2026·天津河西·二模）已知是虚数单位，化简的结果为_______. 7．（2026·天津和平·二模）已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 平面向量的基本定理及其坐标表示 考点2 一、单选题 1．（2026·天津河东·二模）已知，在函数的部分图象中（如图），其图象上的点，，是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·天津红桥·二模）已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______． 3．（2026·天津北辰·二模）在中，点是边上一点，且.边上存在点E满足，直线和交于点F，且，记，.当时，______（用和表示）；当时，则的最大值为________. 4．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 5．（2026·天津南开·二模）在平行四边形中，和分别是和的中点，则_____；若是的三等分点，点在线段上，，则的取值范围是_____． 6．（2026·天津河北·二模）是等腰直角三角形，，，点满足，点是线段BD上一点.如果，则________；若在上的投影向量为，则的最大值为________. 7．（2026·天津·二模）在平行四边形中，，，点在线段上．若，则___________；的最小值为___________． 8．（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 9．（2026·天津·二模）已知是边长为2的正三角形，、分别为线段、的中点，为线段上任意一点，若，则__________；若，则的最小值为__________. 平面向量的数量积 考点3 一、单选题 1．（2026·天津河东·二模）已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·天津河西·二模）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 3．（2026·天津·二模）已知是边长为2的正三角形，、分别为线段、的中点，为线段上任意一点，若，则__________；若，则的最小值为__________. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《3.向量数量积》参考答案 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $