专题04+数列4个考点（天津专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 专题04数列试题汇编，聚焦等差数列、等比数列、数列求和三大考点，精选天津各区县2026年二模三模题，包含单选与解答题，注重基础巩固与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8道|等差数列通项与前n项和、等比数列性质、数列单调性|结合数据平均数比较等情境，考查概念辨析| |解答题|9道|递推数列求通项、错位相减求和、跨模块综合|设置“不减数列”“k型数列”等创新情境，突出逻辑推理与数学建模，贴合天津高考二模命题趋势|

专题04 数列 等差数列 考点1 题号 1 2 3 答案 D A B 等比数列 考点2 题号 1 2 3 答案 C C D 数列求和 考点3 题号 1 2 答案 A B 3．(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，当时求得，进而求得，再结合累加法求解的通项公式； （2）根据分组求和与错位相减法求和分别求解，的前项和，，再根据求解即可； （3）结合题意得，再结合分组求和求得即可证明结论. 【详解】（1）解：由数列，满足， 当时，可得，即，解得； 因为是等差数列，所以公差 所以． 所以， 所以时， ， 又时，依然成立， 所以， 所以． （2）解：由（1）知． 记的前项和为，的前项和为， 所以 ① ② ①－②得， 所以． 所以． （3）证明：由（1）得， 所以 所以 ， 所以 ． 因为，，所以 所以，证毕. 4．(1)， (2)（i）；（ii）满足条件的的个数为个，且 【分析】（1）根据等差、等比数列基本量的运算求解； （2）（i）解法一：由题可知，再根据递推式结合错位相减法求和即可；解法二：先并项求和，再利用错位相减法求和即可； （ii）设的公差为，再分、、三种情况讨论求解． 【详解】（1）解：设的公差为，的公比为， 由，，得：，即， 整理得，所以或（舍），从而，     所以，； （2）解法一： ，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又，所以， 所以          所以              所以；         解法二： ，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又，所以 所以， 所以， ， 所以 ， 所以；         （ii）设的公差为，因为， 所以，所以， 又因为，所以，         ①若，则，即时，，满足为等差数列， 将此时满足条件的记作，则； ②若，则，满足为等差数列， 此时，，，，可以是，，，的任意一个排列， 即满足条件的数列有!个，记作，，， 且； ③若，则 ，这与矛盾， 所以此时不存在，即不存在数列使得是公差大于等于2的等差数列； 综上所述，满足条件的的个数为 个， 且． 5．(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）当可求得的值，当时，由已知等式得出，变形得出，结合等比数列的定义证明可得结论； （2）（i）分析可知中元素两两互异，且的所有项中至多有两个和两个，由此可得出的最小值，并找出使得的最小值时的一个； （ii）根据（1）中的结论可求出数列的表达式，可得出的表达式，然后由结合二项式定理可化简的表达式. 解法一：设为数列的前项和，利用分组求和可求得的表达式； 解法二：求出，设为数列的前项和，利用并项求和法可求得的表达式. 【详解】（1）因为数列的前项积为，满足， 所以当时，，解得. 当时，，化为，则， 所以当时，， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）（i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素， 如，在中至多在和中出现两次（规定，）， 且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）. 所以的所有项中至多有两个和两个，所以. 例如，当为、、、、时等号能取到， 所以的最小值为. （ii）由（1），数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即， 又因为，所以. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 法一：设为数列的前项和， 则 ， 所以数列的前项和为. 法二：， 设为数列的前项和， 则 . 6．(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，，所以数列是等差数列，可得通项公式，根据题设得，数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）设，利用并项求和法得解； （3）利用错位相减法求得，假设存在实数，使得数列为“型数列”，则，利用待定系数法得到方程组，求解即可. 【详解】（1）因为为“型数列”， 所以， 即，所以数列是等差数列， 又，，所以的公差为， 故数列的通项公式为. 因为数列是“型数列”，所以， 又因为，也成立，所以为等比数列， 公比，因此. （2）由（1）可得， 设， 因为， 故数列的前项的和为 . （3）由，得，① 所以，② 由①－②，得， 所以. 又，， 假设存在实数，，，使得数列为“型数列”， 则， 即， 整理得， 所以解得，，，不满足，为非零常数， 因此不存在实数，，，使得数列为“型数列”. 7．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】(1)利用等比中项的性质求出，得到数列的通项公式，利用错位相减即可求得的前n项和； (2)（ⅰ）根据题意可得x是最小元素，则X中的其他元素只能从这个元素中选取.得到这样的子集X共有个，从而得到，代入(1)问中的结论，令即可求解； （ⅱ）根据题意分析可得对于固定的最大元素y，所有对应子集的之和为，代入（ⅰ）的结论，则，从而得到，利用等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）由题意，设数列的公差为， 已知，是和的等比中项， 所以，因为，所以， 所以，所以. 所以，① ，② ①式减去②式（错位相减法）得： 因为，两边同除以得： . （2）（ⅰ）假设非空子集X的最小元素为x（），则元素x必属于X. 因为x是最小元素，所以X中的其他元素只能从这个元素中选取， 这样的子集X共有个. 因此，在的求和中，（即x本身）被累加了次， 所以：， 将直接代入(1)的结论中： ， ， 所以：命题得证. （ⅱ）对于任意一个最大元素为y（）的子集X，它必定包含y，由于此时y固定， 也是一个常数，提取公因式后，只需要对这些子集的（最小元素）求和， 设，其中Y是集合的任意子集（可以是空集）， ①若，则，此时最小元素，对应的项为， ②若，则X的最小元素就是Y的最小元素，即， 对于情况②，当Y取遍的所有非空子集时，其最小元素的总和， 恰好就是（ⅰ）中的. 因此，对于固定的最大元素y，所有对应子集的之和为：， 代入（ⅰ）的结论， 可得， 则， 因此，最大元素为y的所有子集，其的和为. 所以， 因为，所以， 所以， 整理得：. 8．(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题意计算求解即可； （2）（i）设等比数列的公比为，根据等差中项可得，进而可得，由题意推导可得得到彼此互异，进而可得；（ii）由题意可得，根据裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 9．(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. （3）由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 10．(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）求导，得到切线斜率，由导数几何意义得到切线方程； （2）二次求导，分类讨论，结合函数单调性和零点存在性定理可得结论； （3）参变分离，放缩，利用裂项相消法可得结论. 【详解】（1）当时，， ， ，， 曲线在处的切线方程为， 化简即得. （2）已知，注意到， ，注意到， 令，则， ①若，此时. 对于所有，，所以恒成立， 故在上严格单调递增，故， 故在上严格单调递增，故， 函数在时恒为正，无正实数零点； ②若，此时. 令，解得唯一极值点， 当时，单调递减，此时， 当时，单调递增， 先减后增，且当时， 由零点存在性定理，必然存在唯一的，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取得极小值，且极小值， 当时，， 结合单调性，函数在内必存在唯一一个正实数零点， 综上所述，当且仅当时，函数恰好有一个正实数零点. （3）对于正整数，， 由（2）可知，此时必存在唯一的正实数零点， 即满足方程：， 令，，则， 令，则， 令，则， 因为，所以，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，故，即， ，所以， 将代入得，， 对到n累加：， 令，， 构造，， 故， 严格恒成立，所以， 所以，因为， 所以， 将代入得，， 由于，有， 所以， 对到n累加，首尾相消得 ， 故. 11．(1)证明见解析 (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【分析】（1）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合已知即可证明； （2）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合得出，再根据的范围即可求解； （3）由分组求和，错位相减法求得，再根据单调性即可求解最小正整数． 【详解】（1）设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 3大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列求和 等差数列 考点1 一、单选题 1．（2026·天津·二模）设为等差数列，为其前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，所以. 2．（2026·天津·二模）已知数列，，对任意的，都有，若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】令，，得到，进而求出，结合等差数列的前项和求解即可. 【详解】令，，则， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为. 所以， 所以，解得. 3．（2026·天津河北·二模）数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（    ） A．数据，，，…，的平均数是； B．数据，，，…，的平均数是； C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数： D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数. 【答案】B 【分析】根据等差、等比数列的性质，结合平均数、中位数的概念逐项判断即可. 【详解】选项A，数列为等差数列，项数为，其前项和为 由等差数列性质，，故平均数为 A正确. 选项B，取，数列为项数3的等比数列， 设，，数列的平均数为 B错误. 选项C，由，，等差数列的中位数为， 等比数列的中位数为. 由均值不等式，（），故，C正确. 选项D，易知点在直线上，点在曲线上， 因为，所以如下图所示： 由图可知，当时，， 所以数列的前项和大于数列的前项和， 所以数列的前项的平均数比的前项的平均数大，D正确． 等比数列 考点2 一、单选题 1．（2026·天津北辰·二模）数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】C 【分析】应用得出等比数列，再应用通项公式得出，进而得出，最后应用等差数列求和公式计算求解. 【详解】数列的前n项和，且， 令时，，所以， 所以当，， 所以，即得， 即，所以是以1为首项以2为公比的等比数列， 所以，所以 ， 则 . 2．（2026·天津和平·二模）等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．9 B．18 C．21 D．27 【答案】C 【分析】利用等比数列的片段和性质列式求解即得. 【详解】由题意，成等比数列，则， 故可得. 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列前n项和公式可得答案. 【详解】设等比数列公比为，首项为， 若，则，不合题意； 则， 则. 数列求和 考点3 一、单选题 1．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 2．（2026·天津河西·二模）在数列中，已知，，那么使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】找到数列的规律，周期，分组求和，结合单调性得到答案 【详解】，故， ，故，，，， ，……， 故当，为奇数时，，当，为偶数时，， 且当时，随着的增大，不减， 其中，， ， 所以使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为2026. 二、解答题 3．（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和； (3)记，证明． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，当时求得，进而求得，再结合累加法求解的通项公式； （2）根据分组求和与错位相减法求和分别求解，的前项和，，再根据求解即可； （3）结合题意得，再结合分组求和求得即可证明结论. 【详解】（1）解：由数列，满足， 当时，可得，即，解得； 因为是等差数列，所以公差 所以． 所以， 所以时， ， 又时，依然成立， 所以， 所以． （2）解：由（1）知． 记的前项和为，的前项和为， 所以 ① ② ①－②得， 所以． 所以． （3）证明：由（1）得， 所以 所以 ， 所以 ． 因为，，所以 所以，证毕. 4．（2026·天津·二模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)若与满足关系：，且当时，则称数列是由数列生成的“不减数列”， （i）若，求的前项和： （ii）满足以下两个条件：①为项有穷数列，且，其中，，，是，，，的任意一个排列；②为等差数列.若满足条件的的个数为，并将不同的记作，且，求. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）满足条件的的个数为个，且 【分析】（1）根据等差、等比数列基本量的运算求解； （2）（i）解法一：由题可知，再根据递推式结合错位相减法求和即可；解法二：先并项求和，再利用错位相减法求和即可； （ii）设的公差为，再分、、三种情况讨论求解． 【详解】（1）解：设的公差为，的公比为， 由，，得：，即， 整理得，所以或（舍），从而，     所以，； （2）解法一： ，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又，所以， 所以          所以              所以；         解法二： ，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又，所以 所以， 所以， ， 所以 ， 所以；         （ii）设的公差为，因为， 所以，所以， 又因为，所以，         ①若，则，即时，，满足为等差数列， 将此时满足条件的记作，则； ②若，则，满足为等差数列， 此时，，，，可以是，，，的任意一个排列， 即满足条件的数列有!个，记作，，， 且； ③若，则 ，这与矛盾， 所以此时不存在，即不存在数列使得是公差大于等于2的等差数列； 综上所述，满足条件的的个数为 个， 且． 5．（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； (2)已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）当可求得的值，当时，由已知等式得出，变形得出，结合等比数列的定义证明可得结论； （2）（i）分析可知中元素两两互异，且的所有项中至多有两个和两个，由此可得出的最小值，并找出使得的最小值时的一个； （ii）根据（1）中的结论可求出数列的表达式，可得出的表达式，然后由结合二项式定理可化简的表达式. 解法一：设为数列的前项和，利用分组求和可求得的表达式； 解法二：求出，设为数列的前项和，利用并项求和法可求得的表达式. 【详解】（1）因为数列的前项积为，满足， 所以当时，，解得. 当时，，化为，则， 所以当时，， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）（i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素， 如，在中至多在和中出现两次（规定，）， 且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）. 所以的所有项中至多有两个和两个，所以. 例如，当为、、、、时等号能取到， 所以的最小值为. （ii）由（1），数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即， 又因为，所以. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 法一：设为数列的前项和， 则 ， 所以数列的前项和为. 法二：， 设为数列的前项和， 则 . 6．（2026·天津河北·二模）若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，，所以数列是等差数列，可得通项公式，根据题设得，数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）设，利用并项求和法得解； （3）利用错位相减法求得，假设存在实数，使得数列为“型数列”，则，利用待定系数法得到方程组，求解即可. 【详解】（1）因为为“型数列”， 所以， 即，所以数列是等差数列， 又，，所以的公差为， 故数列的通项公式为. 因为数列是“型数列”，所以， 又因为，也成立，所以为等比数列， 公比，因此. （2）由（1）可得， 设， 因为， 故数列的前项的和为 . （3）由，得，① 所以，② 由①－②，得， 所以. 又，， 假设存在实数，，，使得数列为“型数列”， 则， 即， 整理得， 所以解得，，，不满足，为非零常数， 因此不存在实数，，，使得数列为“型数列”. 7．（2026·天津河西·二模）已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）. (1)求的前n项和； (2)设集合，对于的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y. （ⅰ）设为所有非空子集对应的之和，求证：； （ⅱ）设为所有非空子集对应的之和，且，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】(1)利用等比中项的性质求出，得到数列的通项公式，利用错位相减即可求得的前n项和； (2)（ⅰ）根据题意可得x是最小元素，则X中的其他元素只能从这个元素中选取.得到这样的子集X共有个，从而得到，代入(1)问中的结论，令即可求解； （ⅱ）根据题意分析可得对于固定的最大元素y，所有对应子集的之和为，代入（ⅰ）的结论，则，从而得到，利用等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）由题意，设数列的公差为， 已知，是和的等比中项， 所以，因为，所以， 所以，所以. 所以，① ，② ①式减去②式（错位相减法）得： 因为，两边同除以得： . （2）（ⅰ）假设非空子集X的最小元素为x（），则元素x必属于X. 因为x是最小元素，所以X中的其他元素只能从这个元素中选取， 这样的子集X共有个. 因此，在的求和中，（即x本身）被累加了次， 所以：， 将直接代入(1)的结论中： ， ， 所以：命题得证. （ⅱ）对于任意一个最大元素为y（）的子集X，它必定包含y，由于此时y固定， 也是一个常数，提取公因式后，只需要对这些子集的（最小元素）求和， 设，其中Y是集合的任意子集（可以是空集）， ①若，则，此时最小元素，对应的项为， ②若，则X的最小元素就是Y的最小元素，即， 对于情况②，当Y取遍的所有非空子集时，其最小元素的总和， 恰好就是（ⅰ）中的. 因此，对于固定的最大元素y，所有对应子集的之和为：， 代入（ⅰ）的结论， 可得， 则， 因此，最大元素为y的所有子集，其的和为. 所以， 因为，所以， 所以， 整理得：. 8．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题意计算求解即可； （2）（i）设等比数列的公比为，根据等差中项可得，进而可得，由题意推导可得得到彼此互异，进而可得；（ii）由题意可得，根据裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 9．（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. （3）由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 10．（2026·天津河西·二模）已知函数（为自然对数的底数） (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恰有一个正零点，求实数a的取值范围； (3)对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）求导，得到切线斜率，由导数几何意义得到切线方程； （2）二次求导，分类讨论，结合函数单调性和零点存在性定理可得结论； （3）参变分离，放缩，利用裂项相消法可得结论. 【详解】（1）当时，， ， ，， 曲线在处的切线方程为， 化简即得. （2）已知，注意到， ，注意到， 令，则， ①若，此时. 对于所有，，所以恒成立， 故在上严格单调递增，故， 故在上严格单调递增，故， 函数在时恒为正，无正实数零点； ②若，此时. 令，解得唯一极值点， 当时，单调递减，此时， 当时，单调递增， 先减后增，且当时， 由零点存在性定理，必然存在唯一的，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取得极小值，且极小值， 当时，， 结合单调性，函数在内必存在唯一一个正实数零点， 综上所述，当且仅当时，函数恰好有一个正实数零点. （3）对于正整数，， 由（2）可知，此时必存在唯一的正实数零点， 即满足方程：， 令，，则， 令，则， 令，则， 因为，所以，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，则，故在上单调递增， 又，故，即， ，所以， 将代入得，， 对到n累加：， 令，， 构造，， 故， 严格恒成立，所以， 所以，因为， 所以， 将代入得，， 由于，有， 所以， 对到n累加，首尾相消得 ， 故. 11．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【分析】（1）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合已知即可证明； （2）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合得出，再根据的范围即可求解； （3）由分组求和，错位相减法求得，再根据单调性即可求解最小正整数． 【详解】（1）设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 3大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列求和 等差数列 考点1 一、单选题 1．（2026·天津·二模）设为等差数列，为其前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·二模）已知数列，，对任意的，都有，若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·天津河北·二模）数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（    ） A．数据，，，…，的平均数是； B．数据，，，…，的平均数是； C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数： D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数. 等比数列 考点2 一、单选题 1．（2026·天津北辰·二模）数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 2．（2026·天津和平·二模）等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．9 B．18 C．21 D．27 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 数列求和 考点3 一、单选题 1．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 2．（2026·天津河西·二模）在数列中，已知，，那么使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 二、解答题 3．（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和； (3)记，证明． 4．（2026·天津·二模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)若与满足关系：，且当时，则称数列是由数列生成的“不减数列”， （i）若，求的前项和： （ii）满足以下两个条件：①为项有穷数列，且，其中，，，是，，，的任意一个排列；②为等差数列.若满足条件的的个数为，并将不同的记作，且，求. 5．（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； (2)已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 6．（2026·天津河北·二模）若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 7．（2026·天津河西·二模）已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）. (1)求的前n项和； (2)设集合，对于的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y. （ⅰ）设为所有非空子集对应的之和，求证：； （ⅱ）设为所有非空子集对应的之和，且，求数列的通项公式. 8．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求；（ii）令，求． 9．（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 10．（2026·天津河西·二模）已知函数（为自然对数的底数） (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若恰有一个正零点，求实数a的取值范围； (3)对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 11．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $