2026年甘肃省兰州市中考模拟卷（二）

**基本信息** 融合传统文化（如侗族鼓楼、数学家卡片）与跨学科情境（光的折射、小孔成像），通过基础题（正分数判断）、能力题（动点面积函数图像）、创新题（“k级牵挂点”新定义）梯度设计，覆盖数学抽象、几何直观、数据意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|数与式、图形性质等|第2题窗花轴对称（文化与几何直观）、第7题小孔成像相似（物理与数学建模）| |填空题|4/12|因式分解、概率等|第15题数学家卡片概率（文化与统计意识）| |解答题|11/75|函数、几何综合等|24题折纸探究（空间观念与推理能力）、26题新定义问题（创新意识与符号运算）|

2026年兰州市中考模拟卷（二） 数学 注意事项: 1.全卷共120分，考试时间120分钟. 2.考生必须将班级、姓名、学号等个人信息填写在答题卡的相应位置上. 3.考生务必将答案直接填写在答题卡的相应位置上. 1、 选择题：（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列各数中，是正分数的是（    ） A． B． C． D． 2．剪窗花是中国的传统民俗文化，下列窗花不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．关于的方程有实数根，那么的可能值是（     ） A．4 B．2 C．0或2 D．0或1 5．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（     ） A． B． C． D． 第5题图 第6题图 第7题图 6．某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．△ABC三条高线的交点处 B．△ABC三条角平分线的交点处 C．△ABC三条中线的交点处 D．以上都不对 7．小孔成像的原理是基于光在同种均匀介质中沿直线传播的特性．当光线通过一个小孔时，物体上部的光线会穿过小孔投射到屏幕下部，而下部的光线则投射到屏幕上部，同时左侧光线投向右侧，右侧光线投向左侧，导致像的上下和左右颠倒，形成一个倒立的实像．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离是（     ） A． B． C． D． 8．在物理实验课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），当滑轮组悬挂物体时，所用拉力与重力的关系式为（    ） A． B． C． D． 第8题图 第9题图 第11题图 9．甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 10．古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方形的边长为，点、同时从点出发，均以的速度运动，其中，点沿路径运动，点沿运动，两点均在到达点停止．设运动时间为（），的面积为（），则下列图像中能正确反映（）与（）之间函数关系的是（     ） A．B．C．D． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12．分解因式： ． 13．如图，在△ABC中，，，垂直于于点，则的长是____________． 第13题图 第14题图 14．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，重物上升了，则滑轮旋转了________度．（假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动） 15．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明随机抽取了2张卡片，抽到的卡片恰好是现代数学家华罗庚和陈景润图案的概率为_________． 三、解答题：（本大题共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解不等式组： 18．（5分）先化简，再求值：，其中． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（k为常数，）在第一象限内的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移m个单位长度后与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与y轴交于点C，连接，求的面积． 20．（7分）为建设美好社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，在如图②的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为6米，与水平面的夹角为． (1)求点A到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米．求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 21．（7分）观察发现：数学课上我们学习了应用尺规作“平分任意一个已知角"，小明对此问题展开进一步探究学习． 如图①，鼓楼是我国西南民族地区侗族的特色建筑，它的平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，充分体现侗族工匠的数学应用能力．例如古代侗族没有量角器，仅凭一把“角尺”（如图②所示），即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法： 已知， 第一步：分别在的和边上，用带有刻度的“角尺”测量得到点C和D，使得； 第二步：连接C，D，得到线段； 第三步：用“角尺”作出过点O与垂直的线段，就是的平分线． 操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息，借助“角尺"，作出图③木料中的平分线； 推理论证：（2）小明尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据； 证明：， 是等腰三角形． 垂直线段， 是的平分线． 依据：____________________________________； 拓展探究：（3）如图④，为了方便环卫工人，某社区服务中心要修建一处爱心驿站，使得驿站到公路，，的距离相等，请你确定驿站P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22．（7分）安徽博物院是展示徽风皖韵的重要窗口．为了解中学生对博物院展览的偏好，某校社会实践小组在参观后，随机抽取了名参观同学，对“徽州古建筑”和“江淮撷珍”两个常设展览进行满意度打分（百分制，分数为整数）． 【数据收集与整理】 实践小组对随机抽取的名参观同学的打分数据进行整理，成绩均高于分（成绩得分用表示，共分为五组：：；：；：；：；：）下面给出了部分信息： “徽州古建筑”展览的份打分为： ． “江淮撷珍”展览的名参观同学打分在等级的数据是：． 两个展览满意度打分统计表（部分） 展览名称 平均数 众数 中位数 徽州古建筑 江淮撷珍 【数据分析与运用】 (1)上述表中________；________； (2)求扇形统计图中组所占圆心角的度数； (3)下列结论一定正确的是________； ①两个展览满意度样本数据的中位数均在组； ②得分分以上的样本数据两个展览一样多； ③两个展览满意度样本数据的满分一样多． (4)博物馆计划根据此次调查，选择一个展览作为“中学生最喜爱的安徽文化窗口”进行重点宣传．请你结合上述统计量，给出推荐建议并说明理由． 23．（7分）如图，为的直径，的切线与的延长线交于点C，连接，，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（8分）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，说明数量关系并证明； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 25．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点、，其中是实数． (1)求、之间的数量关系； (2)已知该二次函数的最大值为，且，求该二次函数的表达式； (3)在（2）的条件下，若、是该函数图象上的两个不同点，且，求证：． 26．（9分）阅读理解，解答下列问题： 在平面直角坐标系中，对于点若点B的坐标为，则称点B为点A的“k级牵挂点”，如点的“2级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标； (2)已知点Q的“4级牵挂点”为，求Q点的坐标； (3)已知点的“2级牵挂点”在x轴上，求点的坐标； (4)如果点的“2级牵挂点”在第二象限，当c取最大整数时，过点作轴于点，连接，将向右平移4个单位长度得到，其中、、的对应点分别为、Q、D，连接，直接写出四边形的面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年兰州市中考模拟卷（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D D C B C D C C 题号 11 答案 D 1．D 【详解】解：对于选项A：是负分数，不符合题意； 对于选项B：是负整数，不符合题意； 对于选项C：既不是正数，也不是负数，且是整数，不符合题意； 对于选项D：是正分数，符合题意． 2．D 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3．D 【分析】题目主要考查平方差公式的计算，根据平方差公式计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．分当，时分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，关于的方程是有实数根， 当时，∵关于的方程是一元二次方程，有两个实数根， ∴，且， 解得：且， 综上所述：整数的值可能是或． 故选：D． 5．C 【分析】根据平行线的性质以及对顶角相等解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用，过作于点，延长交于点，由题意得，，，证明，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点， 由题意得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】解：设， 把代入，得： ，解得， ∴. 9．C 【分析】本题主要考查了方差，正确理解方差与数据集中性的关系是关键．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，所以． 故选：C． 10．C 【分析】本题中“每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗”是干扰信息，根据两次称量的总重量找等量关系列二元一次方程组即可． 【详解】解：∵每个大量器可装米斤，每个小量器可装米斤， 第一次称量，3个大量器和2个小量器，总重量为230斤， ∴可得方程 ， ∵第二次称量，2个大量器和3个小量器，总重量为220斤， ∴可得方程 ， ∴列方程组为， ∴选C． 11．D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的性质．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出与的函数关系式． 分类讨论：当时，利用可得；当时，直接根据三角形面积公式得到，于是根据二次函数可对四个选项进行判断． 【详解】解：当时，如图， ， 此时抛物线开口向下，且顶点为； 当时，如图， ， 此时抛物线开口向上，且顶点为． 选项中只有D选项图象，符合条件． 故选：D． 12． 【分析】本题考查因式分解，解题思路为先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可求解． 【详解】解：原式． 13．/ 【分析】由等边对等角和勾股定理，得出，即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ． 14．120 【分析】设滑轮旋转了n度，然后根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设滑轮旋转了n度 根据题意， ∴． ∴滑轮旋转了120度． 15． 【分析】根据题意，画出树状图，进行求解即可． 【详解】解：从A，B，C，D四张卡片中随机抽取2张卡片，作树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的卡片恰好是现代数学家华罗庚和陈景润图案的有2种结果， ∴小明抽到的卡片恰好是现代数学家华罗庚和陈景润图案的概率为． 16． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先化简，计算乘法与零指数幂，再计算加减． 【详解】解：原式． 17． 【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小无解找，解不等式组解答即可． 本题考查了求不等式组的解集，掌握解集求解是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得，解不等式②得， 故不等式的解集为． 18．， 【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式； （2）根据直线的平移规律设直线的解析式为，再利用待定系数法求解，求出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得， 解得， ∴点， 把点代入中， 得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入中，得， ∴， 由题意知，直线向上平移m个单位长度后的函数表达式为， 将点代入中，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得， 即， ∴． 20．(1)米 (2)米 【分析】（1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，，的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，如图所示： 在中，米，， ∴米， 答：点A到墙面的距离约为米； （2）解：过点A作，垂足为G，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴米， 答：遮阳篷靠墙端离地高的长约为米． 21．（1）答案见解析；（2）等腰三角形顶角平分线与底边上的高重合；（3）答案见解析 【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握用直尺和圆规作角平分线及等腰三角形的三线合一性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一性质，分别在的和边上，用带有刻度的“角尺”测量得到点C和D，使得；连接C，D，得到线段；用“角尺”作出过点O与垂直的射线，则就是的平分线； （2）根据等腰三角形的三线合一性质即可解答； （3）用直尺和圆规分别作和的平分线，两线相交于点P，根据角平分线定理可知，点P到三边的距离相等． 【详解】解：（1）如图，射线即为所求； （2）证明：， 是等腰三角形． 垂直线段， 是的平分线． 依据：等腰三角形顶角平分线与底边上的高重合． 故答案为：等腰三角形顶角平分线与底边上的高重合． （3）如图，点P即为所求． 22．(1)， (2) (3)② (4)推荐选择“徽州古建筑”展览进行重点宣传，理由见解析 【分析】（）根据平均数和中位数的定义计算即可求解； （）用乘以扇形统计图中组所占的百分比即可求解； （）根据题意并结合表格的数据逐项分析即可判断求解； （）根据平均数、中位数和众数的意义分析即可判断求解； 本题考查了平均数、中位数和众数，扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图表是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：， 由扇形统计图可得，“江淮撷珍”展览的名参观同学打分在等级的人数为：（人）， ∵“江淮撷珍”展览的名参观同学打分在等级的数据是：， ∴“江淮撷珍”展览的名参观同学打分按照从高到低排列，处在第个和第的分数为和，故， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴扇形统计图中组所占圆心角的度数为； （3）解：由表格可得，“徽州古建筑”展览的份打分的中位数为，在组；“江淮撷珍”展览的份打分的中位数为，在组，故①说法错误； “徽州古建筑”展览的份打分中得分分以上的有人，“江淮撷珍”展览的份打分中得分分以上的有人，故②说法正确； “徽州古建筑”展览的份打分中分的人数有人，“江淮撷珍”展览的份打分中在组的人数为人，因为众数是，所以分的人数一定小于人，即两个展览满意度样本数据的满分不一样多，故③说法错误； 故答案为：②； （4）解：选择“徽州古建筑”展览进行重点宣传，理由如下： 由表格可得，“江淮撷珍”和“徽州古建筑”展览的份打分的平均数相同，但“徽州古建筑”展览的份打分的中位数和众数均高于“江淮撷珍”展览的份打分的中位数和众数，故推荐选择“徽州古建筑”展览进行重点宣传． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出．根据切线的性质可得出，结合，可得，然后根据平行线的性质即可得证； （2）设的半径为r，在中，根据勾股定理得出，则，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵是的切线， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设的半径为r，且， 则，． 在中，，， ∴， 解得：， ∴，，． 由（1）知， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 24．（1）；（2）；证明见解析；（3）①2；② 【分析】（1）由“十字架”模型可证，进而得解； （2）先证，再利用“十字架”模型构造全等，过点G作，可证，进而得解； （3）①过点D作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可．②构造平行四边形，可得，可证，可得，再利用逆等线模型，过K作于点K，且，证明，得到，所以，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图， 根据题意得：垂直平分， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）；证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接． 由折叠的性质得：D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 根据勾股定理，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， 同理（2）证明， ∴， ∴， 在中， ， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）对称性求出对称轴即可得出结果； （2）根据（1）中关系，结合二次函数的性质，列出方程求出的值即可； （3）根据题意，得到是方程的两个实数根，进而推出，整体代入法，即可得证． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，对称轴为， ∵， ∴当时，值最大为， 解得或（舍去）； ∴， ∴； （3）证明：由题意，是方程，即的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ． 26．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题意知道，从而写出点的坐标； （2）由题意知道，然后写出点Q的坐标； （3）由题意可以得到关于m的方程，解方程求出m的值后即可求出点的坐标； （4）由题意可以用c表示的坐标，根据在第二象限可以求得c的取值范围，得到c的最大整数值，由题意作出四边形后可以求得其面积． 【详解】（1）解：∵点的“级牵挂点”为， ∴，， 即； （2）解：∵点Q的“4级牵挂点”为， 设点Q的坐标为，则， ， 解得， ∴点Q的坐标为； （3）解：∵点的“2级牵挂点”为， ∴，， 即， ∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为； （4）解：∵点的“2级牵挂点” 为， ∴，， 即， ∵点在第二象限 ， ∴， 解得， ∴c的最大整数为， ∴，如图： ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义——点的“k级牵挂点”．熟练掌握新定义，直角坐标系中坐标轴上的点的坐标特征，各象限的点的坐标特征，图形平移及图形面积的计算，通过阅读材料归纳出级牵挂点的计算方法是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $