2026年甘肃省兰州市中考模拟卷（一）

**基本信息** 以航天科技、兰州水车非遗、滑雪热潮等真实情境为载体，通过新定义“双关联线段”、动点函数图像等创新题型，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|相反数、对称图形、分式化简|第2题以航天图标考轴对称与中心对称，体现数学眼光| |填空题|4/12|因式分解、解直角三角形、概率|第13题手机支架结合三角函数，第15题机器人模型考概率，落实应用意识| |解答题|11/75|函数综合、圆的切线、统计分析|20题兰州水车测半径考解直角三角形，21题“双关联线段”新定义题培养推理能力，25题二次函数综合考查运算能力|

2026年兰州市中考模拟卷（一） 数学 注意事项: 1.全卷共120分，考试时间120分钟. 2.考生必须将班级、姓名、学号等个人信息填写在答题卡的相应位置上. 3.考生务必将答案直接填写在答题卡的相应位置上. 1、 选择题：（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．2026的相反数是（     ） A． B．2026 C． D． 2．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．  B．   C．   D．   3．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（     ） A． B． C．4 D．16 5．在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 第5题图 第6题图 第7题图 6．如图，中，，垂足为，如果，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ） A． B． C． D． 8．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．综合实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式可能为（    ） 水的质量 4.5 9 18 36 45 氢气的质量 0.5 1 2 4 5 A． B． C． D． 第8题图 第9题图 第11题图 9．2025年2月，河南省教育厅发布《关于全省义务教育阶段学校每天开展两小时综合体育活动的通知》，为丰富学生的课间体育活动，某中学开设了四个体育活动社团，分别是篮球社团、足球社团、乒乓球社团和羽毛球社团．学校为了解学生最喜欢的体育社团是哪一个，随机调查了部分学生（每人必选且只能选1个社团），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图，已知最喜欢羽毛球社团的学生有20人，下列说法不正确的是（    ） A．最喜欢羽毛球社团的人数占被调查人数的 B．被调查的人数一共有200人 C．被调查的人中最喜欢足球社团的有30人 D．被调查的人中最喜欢篮球社团的人数最多 10．第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备，已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（     ） A．B．C． D． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12．分解因式： ． 13．如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，当，转动到，时，点E在的延长线上，若，则__________． 第13题图 第14题图 14．随着我国电子技术的高速发展，360全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为___________米． 15．2026年央视春晚，宇树科技、松延动力等企业的机器人惊艳亮相某校生物兴趣小组想研究仿生学在机器人设计中的应用，收集了四款机器人模型：A．宇树人形机器人（属于仿生机器人）、B．松延动力机器人（属于仿生机器人）、C．工业机械臂（属于工业机器人）、D．物流分拣机器人（属于服务机器人），该小组从四款模型中随机选取两款进行研究，则选中的两款模型都属于仿生机器人的概率为____________． 三、解答题：（本大题共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解不等式组： 18．（5分）先化简，再求值：，其中． 19．（7分）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数（m为常数）的图象在第二象限交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 20．（7分）兰州水车园是百里黄河风情线上最具兰州地方特色的景点之一，兰州水车是黄河沿岸最古老的提灌工具，酷似古战车的车轮在水车博览园里游玩的小强和小华想知道眼前水车的半径，如图所示，小华站在处观察水车最高点的仰角，小强站在处测得水车最高点的仰角（测角仪高度忽略不计），同时测得两人之间的距离，水车车轮浸入水中的高度，请你帮助他俩求出水车的半径（结果精确到，参考数据：，，，，，）． 21．（7分）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．    【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．   求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …  任务： (1)问题1中的________，问题2中的依据是________________； (2)补全问题2的证明过程； (3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 22．（7分）为了加强学生的传统文化和非遗保护意识，某校对学生进行传统文化知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是：61，63，65，68，72，73，76, 81, 85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100； 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，83，85，88，89，90； 七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 83 a 87 八年级 83 91 b 根据上述信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握传统文化知识更好？并说明理由； (3)若该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有多少名？ 23．（7分）如图，已知是△ABC的外接圆，是的直径，为外一点，于点，且平分． (1)求证：直线为的切线； (2)若，，求的半径． 24．（8分）【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系 __ ； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： 25．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 26．（9分）在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”．    (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 ．在点 ，，，中，矩形的“关联点”是 ； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围； (3)已知点，．图形是以为圆心，为半径的○T，若线段上存在点，使点为○T的“关联点”，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年兰州市中考模拟卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C A B D C C A 题号 11 答案 B 1．A 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：的相反数是． 2．B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．C 【分析】先统一分母，再合并分子后约分得到化简结果． 【详解】解： ． 4．C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 5．A 【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，过的顶点作直线，将分成和，则，由平行线的性质得出，，即可得解． 【详解】解：如图，过的顶点作直线，将分成和， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查平行四边形，垂直的知识，解题的关键是根据平行四边形的性质，得到的角度，再根据三角形的内角和，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．D 【分析】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了求函数关系式．由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查扇形统计图及其相关计算，根据扇形统计图的数据逐一判断即可． 【详解】解：A、最喜欢羽毛球社团的人数占被调查人数的，故A正确，不符合题意； B、被调查的人数一共有（人），故B正确，不符合题意； C、被调查的人中最喜欢足球社团的有（人），故C错误，符合题意； D、由统计图可知，最喜欢篮球社团的人数占被调查人数的，学生人数占比最多，故D正确，不符合题意； 故选：C． 10．A 【分析】根据购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元可得方程，根据购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设1双滑雪鞋的单价是元，1套滑雪杖的单价是元． 由题意得，． 11．B 【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。 根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。 【详解】解：①当点Q在上时，如图 有，， ∴（）． 此时y与x之间的函数为一次函数． ②当点Q在上时，如图 有，， ∴， ∴（）． 此时y与x之间的函数为二次函数． 综上所述，符合当时，图像为一次函数；时，图像为二次函数，只有B选项． 故选B． 12． 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： 故答案为: ． 【点睛】本题主要考查了因式分解．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 13． 【分析】过点E作，垂足为F，根据垂直定义可得：，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：过点E作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】扇形弧长公式为（其中为弧长，为圆心角度数，为扇形半径），将，代入公式即可求解． 【详解】解：根据扇形的弧长公式，该可视区域形成的扇形弧长（米）． 15． 【分析】先求出从四款机器人中随机选两款的所有等可能结果数，再得到选中两款均为仿生机器人的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，四款机器人中仿生机器人共有款，分别是、． 利用列举法列出所有等可能的选取结果如下： ， 共有种等可能的结果，其中选中的两款都属于仿生机器人的结果有种， 根据概率公式可得：． 16． 【分析】根据二次根式的混合运算法则，计算即可． 【详解】解：原式 ． 17． 【分析】先求解两个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可解答． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为． 18． ； 【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则、完全平方公式化简，再合并同类项，然后代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19．(1)， (2)2 【分析】（1）根据已知条件将点A代入一次函数解析式求得b的值，再将点C代入一次函数解析式中求得点C坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）过C点作轴于点H，从而得出的长，再令代入一次函数解析式求得点B的坐标，从而得出的长，最后通过三角形的面积公式即可求得结果． 【详解】（1）解：把点代入中得， ∴， ∴一次函数解析式为， 把点代入中， 得， ∴点C的坐标为， 把代入中， 得，解得：， ∴反比例函数解析式为． （2）解：如图，过C点作轴于点H， ∵， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 20．水车的半径约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设，在中，已知，可得，在中，，可得，根据建立方程，解方程，得出，进而即可求解． 【详解】解：设， 在中， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ 解得： ∴ 水车车轮浸入水中的高度， ∴ ∴水车的半径约为米 21．(1)，等角的补角相等； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据． （2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成； （3）作一个等边三角形即可完成． 【详解】（1）解：设的交点为O，如图； ∵四边形是矩形， ∴； ∵对角线与互为双关联线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴；    故答案为：； 问题2中的依据是：等角的补角相等；                       故答案为：等角的补角相等； （2）解：是的外角，   ． 是的外角，            ．          ， ．                即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是． ， 线段与线段是双关联线段． （3）解：答案不唯一，例如： 作法一：   作法二：   如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键． 22．(1)88；； (2)八年级的学生掌握传统文化知识更好，理由见解析 (3)估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有320名． 【分析】（1）根据中位数、众数的定义可求出的值，再根据八年级20名学生测试成绩在组的人数可求出； （2）根据中位数和众数的大小可得答案； （3）求出样本中七、八年级中优秀所占的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：七年级学生的测试成绩出现次数最多的是88分，共出现3次， ∴众数， 八年级名学生成绩组有（人），组有（人），组有人，组有（人）， 将名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为88，89， ∴， ， ∴； （2）解：八年级的学生掌握传统文化知识更好， 理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高； （3）解：（名）． 估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有320名． 23．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了等边对等角，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接半径构造等腰三角形，通过角的等量代换证明，再结合垂直关系推导出，据此可判定为切线； （）利用直径所对圆周角为直角及角平分线的性质，证明，通过相似三角形对应边成比例求出直径，进而得到圆的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴直线为的切线； （2）解：∵平分， ∴， ∵是的外接圆，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径为． 24．(1) (2) (3)8或4 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； 故答案为： （2）解：结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为8或4； 故答案为：8或4． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 25．(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 26．(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（）根据所给的定义，对每一个点进行判断即可； （）由题意可得，过点作垂直直线，交于点，当时，，则时，直线，上存在点，使点为正方形的“关联点”； （3）由题意可得，当点在轴负半轴上时，过点作交于点L，交圆于点K，当时，由相似三角形的性质求得，此时，则；当点在轴正半轴上时，当时，此时，则时，线段上存在点，使点为的“关联点”； 本题考查了圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，正方形的性质，圆的性质，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴任意两点的距离最值为或， ∴， ∴； 已知，， ∴，到的距离为：，，， ∴矩形的关联点是，； 故答案为：，，； （2）解：∵，四边形是正方形， ∴， 过点作垂直直线，交于点， 当时，，， ∴， ∴时直线上存在点使为正方形的关联点；      （3）解：∵的圆心为半径为， ∴； 当点在轴负半轴上时，过点作交于，交于，交轴于，如图，    当时，， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，此时， 当时，， ∴， ∴时，线段上存在点，使点为的“关联点”， 当点在轴正半轴上时，如图，    当时，点为的“关联点”，此时； 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴时，线段上存在点，使点为的“关联点”， 综上，当或，线段上存在点，使点为的“关联点”． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $