2026年甘肃定西市渭源县莲峰中学等校中考数学质量检测试题

**基本信息** 立足中考模拟，以春节旅游数据、无人机测量等时代情境和三十六计文化元素为载体，梯度设计选择、填空、解答题，考查数学抽象、运算推理及模型应用素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数比较、科学记数法、菱形面积、统计分析|第2题结合2026春节旅游数据考查科学记数法，第8题通过男女生训练达标次数对比考查统计量| |填空题|6/24|因式分解、分式方程、反比例函数、动态面积|第14题以长方形广告屏动态展开为情境考查面积计算，第16题折叠问题融合几何直观| |解答题|11/66|函数综合、圆的切线、统计应用、抛物线探究|第21题无人机测量假山高度体现数学建模，27题抛物线综合探究考查创新意识|

2026年渭源县莲峰中学中考数学质量检测试题 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1．在实数，0，，中最小的是（    ） A． B．0 C． D． 2．2026年春节假期，文化和旅游系统精心组织“欢欢喜喜过大年”主题活动，多措并举保障市场秩序和安全稳定．经文化和旅游部数据中心测算，春节假日9天，全国国内出游亿人次，较2025年春节假日8天增加0.95亿人次．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线BD=8,则菱形ABCD的面积为（ ） A.40 B.20 C.24 D.15 5．关于x的一元二次方程的一个解为，则实数t的值是（   ） A．6 B．4 C．3 D．0 6．正边形的每一个外角的度数为，则的值是（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 7．如图，四边形内接于，连接，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（  ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 9．某班为了举办活动准备做一个拱形门，要在拱形门的，，，，处粘贴装饰物，拱形门的形状近似一个抛物线形，如图在平面直角坐标系中，，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，，，连接，，，，点F是上一动点，连接，以为直角边作等腰，，连接，点F在运动过程中，周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分. 11．因式分解：______． 12．解分式方程，则___． 13．若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 14．如图，在长方形电子广告屏中，．动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面．当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3，则播放结束时电子屏幕未展开的面积是________． 15．在等腰中，、、皆为锐角，且，过点作的垂线，垂足为，且，则的长为___________． 16．如图，将边沿过点A的直线折叠，使落在边上，折痕为，展开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为，展开后连接、，测得，，当是直角三角形时，的长为______ 三、解答题:本大题共6小题，共30分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17（4分）计算： 18.（4分）解下列不等式组： 19. （5分）先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 20.（6分）如图，四边形是矩形． (1)实践与操作：①以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接；②过点作的垂线，垂足为（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)猜想与证明：在（1）的基础上，猜想与的数量关系，并说明理由． 21.（7分）校园文化广场的水池中有一座假山．九年级”数学实践社团”的同学们想利用所学知识，测量假山的高度．他们向学校科教中心借用了一架无人机，如图，先在地面上作了一个标记点A，然后将无人机放到假山所要测量高度的顶部B处，测得标记点A的俯角为，接着又将无人机竖直向上飞升2米到达C处，测得标记点A的俯角为，假山所要测量高度的底部记为点D，且点D，B，C在同一条直线上．求假山的高度．（结果精确到米；参考数据：，，） 22.（8分）三十六计，是指中国古代三十六个兵法策略，是根据中国古代军事思想和丰富的斗争经验总结而成的兵书．某班班长课余时间组织同学玩关于三十六计的小游戏，将一个均匀的转盘平均分成四份，四个扇形分别写有：A．打草惊蛇，B．暗度陈仓，C．欲擒故纵，D．调虎离山这四个计谋，其中B．暗度陈仓属于敌战计，A．打草惊蛇，C．欲擒故纵，D．调虎离山属于攻战计，参与游戏的同学转动一次转盘，指针指向哪个计谋，该同学就解释对应的计谋（若指针指向分割线，则重新转动转盘）． (1)参与游戏的小明同学解释的计谋是“B．暗度陈仓”的概率是______； (2)用画树状图或列表的方法，求参与游戏的小美与小丽解释的计谋均属于攻战计的概率． 四、解答题:本大题共5小题，共36分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 23（8）.为了解市民对该市创建全国文明城市工作的满意度，某中学数学兴趣小组在全市随机调查了100名市民，并将他们的满意度评分（满分100分，评分均为整数），进行分组整理，绘制了如下统计图表．其中，C组数据为：77，77，78，78，79，79，80，80，81，81，82，82，83，83，83． 满意度评分频数分布表 组别 频数 A（） 5 B（） C（） 15 D（） 41 E（） 18 满意度评分统计表如下： 平均数 中位数 众数 方差 84 88 180.12 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中，_____，_____； (2)若评分不低于80分视为“满意”，请估计该市680000名市民中，对创建全国文明城市工作感到“满意”的人数； (3)结合一个统计量，简要评价该市创建全国文明城市的工作效果，并提出一条合理化建议． 24（8分）.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 25.（8分）如图，在中，．以为直径的与线段交于点D，过点D作，垂足为点E，的延长线与的延长线交于点P． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的半径以及的长． 26（10分）.如图，在矩形中，O为对角线的中点，点E，F分别在边上，且． (1)求证：； (2)如图1，若， ①求证：； ②猜想线段和之间的数量关系是______； (3) 如图2，若，那么（2）②中线段和之间的数量关系还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 27（12分）.综合与探究 如图1，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 答案A D B D D D B 11.2(m+2)(m-2 12.2 13.1(答案不唯一，比3小的数均可) 4号 15.4成6或写 16. 4v33或4v6 11 11 17.解：原式=-27+5-6×+1 =-27+5-3+1 =-24. -x+1≤x+5① 18.解： 3(x-1<2x-1②' 解不等式①得，x≥-2， 解不等式②得，x<2, 不等式组的解集为：-2≤x<2. 19.解： x-1 「x+(x-131 x(x-2) x-1 x-1 x-1 =-13） x(x-2) x-1x-1°x-1 （x+2)(x-2 x-1 x-1 xx-2] =X+2 答案第1页，共2页 、 9 :x-1≠0，xx-2)≠0， .x≠1，x≠0，x≠2， 3+25 当x=3时，原式= 3 31 20.(1)解：如图所示： D E (2)解：DF=AB. 理由如下：由作图可知AE=AD, :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∠B=90°. ∴.∠DAF=∠AEB, :DF⊥AE, .∠DFA=90°. 在△AFD和△EBA中， ∠DFA=∠B ∠DAF=∠AEB, AD=EA AAFD≌△EBA(AAS. :DF=AB 21. 22.4.7米 【分析】在Ri△ABD中，根据an∠BAD=BD 万，得出AD=BD，设AD=BD=x米，则 CD=(r+2)米，在Rt△ACD中，根据tan∠CAD=CD 待出牛2143，求出x的值，即 可得出答案. 【详解】解：根据题意得：∠DAB=45°，∠DAC=55°，∠ADC=90°，BC=2米， 在Rt△ABD中，tan∠BAD=BD AD 答案第1页，共2页 即tan45°= BD AD 1=BD AD .AD =BD 设AD=BD=x米，则CD=(x+2)米， 在R△ACD中，tan∠CAD=CD AD 即tan55°=x+2 r+2 ≈1.43， 解得：x≈4.7， 即假山的高度为4.7米. 23.(1)21;86 (2)54°，83 (3)462400名 (4)建议见详解 【分析】(1)根据题意及中位数的定义可直接进行求解： (2)先得出C组数据人数所占百分比，然后根据众数的定义可进行求解； (3)根据题意可直接进行求解； (4)由题意提出合理化建议即可. 【详解】(1)解：由题意得：m=100-5-15-41-18=21, 由D组折线统计图可知：得分85的有6人，得分86的有4人，得分87的有2人，得分88 的有18人，得分89的有4人，得分90的有2人，得分91的有1人，得分92的有4人， .100÷2=50,5+21+15+6+4=51, :.根据中位数的定义可知：该组数据的中位数为第50和第51数据之和的平均数，即为 n=86+86=86; 2 (2)解：由题意得： C组所对应扇形圆心角的度数为360°× 15 =54°， 100 根据众数的定义可知：C组数据中出现次数最多的是83，故该组数据的众数是83： (3)解：由题意得： 答案第1页，共2页 680000× 9+41+18=462400; 100 答：该市680000名市民中，对创建全国文明城市工作感到满意”的人数为462400名. (4)解：根据图表可知：平均数是84分，中位数是86分，众数是88分，方差为180.12 分，说明市民对该市创建全国文明城市的工作效果基本满意，但从方差来看，波动比较大， 所以给该市的建议为加大对创建全国文明城市的工作的宣传，让市民参与其中，（答案不唯 一) 24.0月 名 【分析】(1)根据概率的公式解题即可； (2)根据列表法解题即可. 【详解】(1)解：参与游戏的小明同学解释的计谋是B.暗度陈仓的概率是 4 (2)解：可能出现的所有可能情况如下： 小美小丽 A ◇ D (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B) c (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D) 其中等可能的情况有16种，其中符合题意的有9种， 9 :参与游戏的小美与小丽解释的计谋均属于攻战计的概率为 16 25.0①，=3，月=-x+4: x (2)0<x≤1或x≥3； ⑧点P的坐标为0a2皮0-引 【分析】(1)由B的坐标，求出反比例函数解析式，再求出A点坐标，最后待定系数法求 出一次函数解析式； (2)根据函数图象即可得到不等式的解集； 答案第1页，共2页 (3)先求出M,N的坐标，再分a>0和a<0,表示出四边形AB0P面积，计算即可. 【详解】(1)解：把B(3,代入片=”得1=”， 3 n=3, ·反比例函数的解析式为乃=3 3 3 把A(1,m)代入y2=二得m= 1 ∴.m=3, k+b=3 把A(1,3),B(3,1,代入y,=x+b得： 3k+b=1' k=-1 解得： b=4 :一次函数的解析式为y=-x+4; (2)由图象得，当+b-”≤0时，即：+b≤”时，x的取值范围为0<x<1或x≥3： (3)解：设P(0,a, 由y=-x+4得，当x=0时，y=4,当y=0时，x=4, M(0,4),N4,0, 当a>0时，S阳边形Bop=S.MoN-SAwp-S0BN， 4x4-4-x1 1 2*4x1 1 =8+20-2-2 1 =4+20, 1 4+20=5, a=2, :点P的坐标为0,2)， 如下图， 答案第1页，共2页 B 当a<0时，S四边形HBnO=SaMB-SMOA, 1 =24-a)×3-2x4x刘 、3 0+4 3 0+4=5, 2 a=3 :点R的坐标为Q引 综上所述：点P的坐标为0.2到或0》 26.(1)见解析 2)圆的半径为3，AD=125 5 【分析】(1)连接0D,AD,通过直径所对的圆周角等于90度，得到LADB=90°，结合 等腰三角形三线合一，可得∠BAD=∠CAD,接着证明∠AD0=∠CAD,推出ACIIOD,即 可得到∠0DP=90°，即可得证； (2)连接OD,AD,在RtAOPD中，利用sinP,可算得OD,再用勾股定理得到DP,接 着在Rt△APE中，利用sinP,可算得AE,再用勾股定理得到PE,推导出DE,最后在 RtAADE中利用勾股定理求得AD. 【详解】(1)证明：连接0D,AD, 答案第1页，共2页 B :AB是直径， .∠ADB=90°， AB=AC, .∠BAD=∠CAD, :0A=0D, .∠BAD=∠ADO, .∠AD0=∠CAD, :AC‖OD, DE⊥AC, .∠0DP=90°， :0D是⊙0的半径， .直线PE是⊙0的切线： (2)解：连接0D,AD, 由(1)可知，∠0DP=90°， sin p=PB=2.0B=OD sin P=OD OD OD 3 OP OB+PB OD+25' :.0D=3,即圆的半径为3， .P0=5,AP=A0+0B+BP=3+3+2=8, 答案第1页， 女2味 DP=V0P2-0D2=V52-32=4, :在RtAPE中，LAEP=90°，sinP=AE-AE_3 AP85 ·AE=24 .PE=√AP2-AE2 DE=PE-PD=-4=12 :AD=AE2+DE2= 27.(1)④ (2)见解析 (3)EF=BE+DF,理由见解析 (43+v59 4 【分析】(1)根据直菱四边形的定义，逐个分析判断即可； (2)先推导出AD平分∠BAC,得到∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，证明△DCE为等边 三角形，进而推导出△BCE≌△ACD(SAS),得到LCBE=LCAD=30°，求出 ∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+30°=90°，即可解答； (3》先求出∠4BC=∠D=×180°=90°，将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM, 推导出∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°，得到M,B,E三点共线，进而证明 △MAE≌△FAE(SAS),得到EM=EF,则EF=EM=BM+BE=DF+BE,即可解答； (4)连接DM,作DG⊥CM于点G,先求出LCBD=LBCD-LBDC=30°，得到 AD=BD=2,推导出LCDE=LADB,证明△CDE∽△BDA,得到∠DCM=∠DBM, C片，求出CE气9导出点D,M,B,C共圆，得L0WB80°=∠BC0=90 DNc=<DsC0,可求出8M=4M=5,c0=BG-cE-9,则 2 DM=BD-BM-,得到GM-DM-9,则CM-CG+GM-5+6 ,即 2 2 4 4 可解答。 【详解】(1)解：①平行四边形的邻边不一定相等，不符合直菱四边形的定义； 答案第1页，共2页 ②矩形的邻边不一定相等，不符合直菱四边形的定义； ③菱形的四边相等，但内角不一定为直角，不符合直菱四边形 ④正方形的四边相等，四个内角都为直角，根据新定义可得： (2)证明： ∵ABC 是等边三角形， $$\therefore A B = A C = B C ， \angle A B C = \angle A C B = \angle B A C = 6 0 ^ { \circ } ，$$ ∵ 点D为 ABC 中线上一点， ∴AD 平分 ∠BAC， $$\therefore \angle B A D = \angle C A D = \frac { 1 } { 2 } \angle B A C = 3 0 ^ { \circ } ，$$ ∵ 将线段DC绕点D顺时针旋转 $$6 0 ^ { \circ }$$ 得到线段 DE， $$\therefore D C = D E ， \angle C D E = 6 0 ^ { \circ } ，$$ ∴△DCE 为等边三角形， $$\therefore C E = C D ， \angle D C E = 6 0 ^ { \circ } = \angle A C B ，$$ ∴∠BCE=∠ACD. 在 △BCE 和 △ACD 中 BC=AC ∠BCE=∠ACD， CE=CD ∴△BCE≅△ACD(SAS)， $$\therefore \angle C B E = \angle C A D = 3 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A B E = \angle A B C + \angle C B E = 6 0 ^ { \circ } + 3 0 ^ { \circ } = 9 0 ^ { \circ }$$ ∴ 四边形 ABEC 是直菱四边形. (3)解：结论： EF=BE+DF. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是对角互补的直菱四边形， $$\angle B C D = 6 0 ^ { \circ } ，$$ $$\therefore \angle A B C = \angle D = \frac { 1 } { 2 } \times 1 8 0 ^ { \circ } = 9 0 ^ { \circ } .$$ 如图 1， ，将 △ADF 绕点A顺时针旋转 $$1 2 0 ^ { \circ }$$ 得到 △ABM， ， 答案第1页，共2页 的定义； 正方形一定是直菱四边形 60° M B 图1 .△ABM≌AADF, ∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD,AM=AF,MB=FD, ∠ABE=90°， ∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°， M,B,E三点共线， .∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°， .∠MAE=∠FAE, AE=AE,AM=AF, △MAE≌aFAE(SAS), .:EM =EF, .EF=EM=BM+BE=DF+BE· (4)解：如图2，连接DM,作DG⊥CM于点G, E. 图2 :∠BCD=90°，∠BDC=60°， ∠CBD=∠BCD-∠BDC=30°， .CD-BC.30=x-1.BD-2CD=2, 3 .AD=BD=2. :DE⊥AE,∠DAE=30°， 答案第1页，共2页 1 DE=AD=1,∠ADE=60°， 2 .∠CDE=∠ADB, CD-BD DE AD =1, .△CDE∽△BDA, .∠DCM=∠DBM, CE_CD AB BD' 即cE、1 32, ·C6=5 2 .:∠DCM=∠DBM, 点D,M,B,C共圆， ∠DMB=180°-∠BCD=90°，∠DMC=∠DBC=30°， ·BM=AM= 2 ，CG=EG=cE 4 :DM=BD2 BM2 GM =3 M=39 4 CM-CG+GM=+9 4 28.(1)见解析 (2)①见解析；②BE2+DF2=EF2 (3)成立，证明见解析 【分析】(1)利用四边形的内角和定理以及邻补角进行证明； (2)①连接A0,，利用正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质证明； ②根据正方形的性质得出相等的边，利用勾股定理求解； (3)延长FO交BC于点G,连接EG,根据矩形的性质证明△FOD≌△GOB和 △EOF≌△EOG,得出相等的边，然后利用勾股定理求解. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形， .∠A=90°， 0E10F, .∠E0F=90°， 答案第1页，共2页 .:∠A+∠AE0+∠EOF+∠AF0=360°， .∠AE0+∠AF0=360°-90°-90°=180°， :∠DF0+∠AF0=180°， .LAE0=∠DFO; (2)解：①证明：如图1，连接A0, 图1 :四边形ABCD是矩形，且AB=AD, .四边形ABCD是正方形，△ABD是等腰直角三角形， 40=BD=BO=DO.ZEAO-ZFDO=45 由(1)可知∠AE0=∠DF0, 在△AOE和△DOF中， ∠EAO=∠FDO=459 ∠AEO=∠DFO, AO=DO .△AOE≌△DOF(AAS), .OE=OF ②BE2+DF2=EF2,证明如下： 由①得△A0E≌△D0F, .AE=DF, :四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠BAD=90°， :BE AF, 由勾股定理得AF2+AE2=EF2, 即BE2+DF2=EF2; (3)解：线段BE,DF和EF之间的数量关系还成立，证明如下： 如图2，延长FO交BC于点G,连接EG, 答案第1页，共2页 D 图2 :四边形ABCD是矩形， .FD∥BG,∠EBG=90°， LFD0=∠GB0, 又：∠F0D=∠G0B,0D=0B, △FOD≌△GOB(ASA), ..OF=OG,DF=BG; :0E10F, .∠E0F=∠E0G=90°， 又：E0=E0, .△EOF≌△EOG(SAS, .EF =EG, 在直角三角形EBG中，由勾股定理得：BE2+BG=EG, BE2+DF2=EF2. 29.(1)该抛物线的解析式是y=-x2+2x+3; (2)存在，点F的坐标是-V3+1,或5-3,8-15)： (3)△BCe面积是27， (④ME+CE的最小值是下+！ 4 【分析】(1)已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于C(0,3),将三点坐标代 入y=axC+bx+c,解三元一次方程组即可得到a、b、c的值. (2)先求直线BC的解析式为y=-x+3,再分析△B0C为等腰直角三角形得∠CBA=45°， 最后设点F(x,y)(y>0),结合∠FBA=15°分情况讨论 (3)设Q(t,-t2+2t+3),过Q作QG∥y轴交BC于G,表示出QG的长度，根据二次函数 的性质求出QG的最大值，再利用三角形面积公式计算△BCQ的最大面积. 答案第1页，共2页 (4)先确定抛物线对称轴上的点M,通过sn∠ECB=}将}CE转化为点E到直线1的距离， 4 结合垂线段最短确定最小值为MD. 【详解】(1)解：将点A-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=axC+bx+c,得方程组 a-b+c=0 9a+3b+c=0, c=3 a-b=-3 将c=3代入前两个方程，得{ 9a+3b=-3' 因为a-b=-3, 所以a=b-3, 代入9a+3b=-3, 解得b=2,a=-1, 因此，抛物线解析式为y=-x+2x+3. [3k+d=0 (2)解：设直线BC为y=x+d,代入B(3,0)、C(0,3,得 d=3 解得k=-1,d=3, 所以直线BC的解析式为y=-x+3. 因为OB=OC=3,△BOC为等腰直角三角形， 所以LCBA=45°. 分两种情况： 情况一：点F在x轴上方 因为∠FBA=15°， 所以∠FBC=∠CBA-∠FBA=45°-15°=30°， 过C作CE⊥BF于E,连接BF,CE,如图， 答案第1页，共2页 图1 在Rt△CEB中， BC=V0B2+0C2=V32+32=3√2； 因为LCBE=30°， 3V2 所以CE=BC= 2 2 所以BE=VBc2-CE=32-25y-36 设F(x,y)(y>0), 所以BF=V(x-3)2+y2, 所以CF=Vx2+(y-3)2, 所以EF=BF-BE=K-r+y_3N6 2 在Rt△CEF中， 由勾股定理得， 3v2) 2 G-3驴+36 =x2+(0y-3)2, 代入抛物线y=-xC+2x+3, 解得x=-√5+1（舍去x=0,3), 代入抛物线得y=1, 所以F(-5+1,1), 情况二：点F在x轴下方， 过C作CE⊥BF交FB延长线于点E,连接AF,CE 答案第1页，共 U 分 图1 因为LFBA=165°， 所以∠FBC=∠FBA-∠CBA=165°-45°=120°， 所以LFBC的补角∠CBE=60°， 在Rt△CEB中， 因为BC=3√2，∠CBE=60°， 所以BE=BC=3V2 2 2 所以CE=VBC?-BE_36 设F(x,y)(y<0), 所以BF=Vx-3)2+y2, 所以EF=BF+BE=VK-3)+少+3V2 2 在Rt△CEF中， 由勾股定理得， 代入抛物线y=-xG2x+3, 解得，x=√5-3（舍去x=0,3), 代入抛物线得y=8V5-15, 所以F(5-3,85-15). 综上，点F的坐标为(-√3+1,1)或(5-3,8√3-15). (3)解：设Q(6,-2+2t+3, 答案第1页，共2页 过Q作QG∥y轴交BC于G(t,-1+3,如图， 图2 所以9G=(-t2+2t+3)-(-t+3)=-12+3t. 因为△QHG∽△OHC, 所以1_G=-+31 OH OC 3 当4-2时，00取得最大值} 所以SARCO= 0c0a 193=22 24 8 (4)解：抛物线的对称轴为x=-6=1, 2a 代入直线BC得y=-1+3=2, 所以点M的坐标为M(1,2). 过点C作直线，使sin∠ECB=4' 过M作直线1的垂线，垂足为D,垂线交y轴于E 图1 答案第1页， ,如图， 共2页 此时ME+CE=MD为最小值， 所以MD=5+1 4 【点晴】本题综合考查了二次函数解析式的求法（待定系数法、一次函数解析式的确定、 三角函数值的应用、直线与抛物线的交点问题、二次函数的最值问题以及几何最值中的胡不 归模型.解题关键在于代入已知点求解析式，联立方程求交点，设点表线段用二次函数求最 值，构造三角函数转化线段和利用垂线段最短求最值.易错点包括：忽略点F在x轴下方的 情况、二次函数最值的计算错误、几何模型的构造不当. 30.(1)y=-x2+2x+3 (2)点P的坐标为(2,3) (3)①DE=n2②m≥√2+1或m≤1-√2 【分析】(1)待定系数法求函数解析式： (2)连接BC,过点P作PG∥y轴，交BC于点G,待定系数法求出直线BC的解析式，假 设点P的坐标为m,-m2+2m+3,则G(m,-m+3),根据面积列出方程求解： (3)①分两种情况进行讨论，利用PE=n得出m,n的关系，然后表示出点P的坐标，即可 求解： ②借助①的结论表示出各点的坐标，根据F点的坐标情况，列出不等式求解 【详解】(1)解：将点A-1,0)和点B(3,0)代入y=ax2+bx+3得， a-b+3=0 9a+3b+3=0 a=-1 解得b=2' .y=-x2+2x+3; (2)解：如图所示，连接BC,过点P作PG∥y轴，交BC于点G, 答案第1页，共2页 当x=0时，y=3, .C(0,3); 假设直线BC的解析式为y=x+b,将C(0,3)和B(3,0)代入得， 「b=3 3k+b=0 b=3 解得k=1 直线BC的解析式为y=-x+3, y=-x2+2x+3=-(x-12+4, D(1,4, 假设点P的坐标为m,-m2+2m+3,(0<m<3,则G(m,-m+3), PG=-m2+2m+3--m+3=-m2+3m, 5=PGy-)-m2+3mjx3=3. 解得m=1或m=2, 当m=1时，-m2+2m+3=4, 点P的坐标为1,4)（与顶点重合，舍去）： 当m=2时，-m2+2m+3=3; 点P的坐标为(2,3)： (3)解：设点P的横坐标为m, ①如图所示， 答案第1页，共2页 D E 由(2)得：D1,4), 当m>1时，m-1=n, .m=n+1, .点P的纵坐标为：y=-(n+1-12+4=-n2+4, 点P的坐标为n+1,-n2+4, .DE=4-(-n2+4=n2; 当m<1时，1-m=n, .m=1-n, .点P的纵坐标为：y=-(1-n-12+4=-n2+4, 点P的坐标为1-n,-n2+4, DE=4--n2+4=n2; 综上，DE=n2; ②如图所示，过点F作FH⊥DE于点H, E P A B、 :△DEF为等腰直角三角形，且∠DFE=90°， DH=EH-FH-IDE 2 2 答案第1页，共2页 4.14》F±号4 :直角△DEF的直角顶点不在二次函数图象内部， 4引 =t, 2 则4-t≥-(1±)2+2(1±t)+3, 整理得t2-t≥0， 解得t≤0（舍去）或t≥1， 经. :n>0 .解得n≥√2， 当m>1时，m-1=n, .m-1≥√2， 解得m≥√2+1； 当m<1时，1-m=n, 1-m≥√2， 解得m≤1-√2； 综上，m的取值范围为m≥√2+1或m≤1-√2 答案第1页，共2页