湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷

**基本信息** 该试卷融入《九章算术》“堑堵”“阳马”“鳖臑”等古算文化素材，设置统计调查、函数对称性、立体几何翻折等问题，考查数学眼光（空间观念）、数学思维（推理能力）与数学语言（数据观念）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、三角函数终边、充分必要条件|结合古算情境（第7题“阳马”体积比）| |填空题|3题15分|解三角形、统计方差、外接球表面积|实际应用（第13题兴趣小组成绩方差）| |解答题|5题77分|三角函数性质、解三角形面积、函数中心对称、统计直方图、立体几何翻折|能力梯度设计（从基础性质到综合翻折问题）|

湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列选项中与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．定义在R上的函数满足：，且，当时，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵”，如图所示，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为（ ） A．1:2 B．2:3 C．1:4 D．4:5 8．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．在复平面内对应的点位于第二象限 10．已知函数，以下说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．函数的值域为 C．在上单调递减 D．在上单调递增 11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（    ） A． B．鳖臑体积的最大值为2 C．点到面的距离是 D．鳖臑内切球的半径为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．在中，若a=5，b=2，C=，则边长c＝________. 13．衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为________. 14．在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，二面角的大小为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的最值及相应x的值． 16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若角A的平分线交BC边于D且，求的面积的最小值. 17．若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)运用第（2）问的结论，求的值，其中． 18．某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长(单位: 分钟)， 并将样本数据分成 ，，，，，六组， 绘制如图所示的频率分布直方图. (1)若该校高二段有800名学生，估计该段日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名? (2)估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数. 19．如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． (1)若，求的长； (2)求异面直线与所成角余弦值的最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 1．D 【分析】先解带绝对值的不等式化简集合再求即可. 【详解】或，， 所以或. 故选：D 2．C 【分析】根据终边相同的角的定义可得结果. 【详解】因为，故与角终边相同的角为. 故选：C. 3．D 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小. 【详解】，，，， ，， 所以. 故选：D. 4．B 【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果. 【详解】解不等式可得或； 显然是或的真子集， 所以可得“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．B 【分析】根据已知条件利用二倍角公式化简求出函数的解析式，根据函数的变化规律结合诱导公式即可求得结论. 【详解】令，则有， 设向右平移个单位长度后得到的函数为， 则有， 根据已知条件的图象与的图象关于原点对称， 则有，即， 所以，解得, 又因为，所以当时，取最小值为. 故选：B 6．B 【分析】根据题意，由条件可得函数的周期为，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果. 【详解】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为， 则的最小值为. 故选：B 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 7．B 【分析】设，由“阳马”的定义结合棱锥的体积公式求出“阳马”的体积，由“堑堵”的定义根据棱柱的体积公式求出“堑堵”的体积，从而得出体积比. 【详解】解：设，由“阳马”的定义及可知， 四边形是矩形，平面， “阳马”的体积为： ， 由“堑堵”的定义可知，，且平面， “堑堵”的体积为： ， 所以“阳马”与“堑堵”的体积之比为：. 故选：B. 8．D 【分析】根据题设在上运动，结合棱柱的结构特征及线面平行的性质判断各棱锥的体积是否为定值即可. 【详解】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B、C不符合条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 9．AC 【分析】根据复数的乘法计算，判断A；根据复数的模的概念判断B；计算，根据虚部的概念判断C；计算，根据复数的几何意义判断D. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：因为，故B错误； 对C：因为，所以的虚部为，故C正确； 对D：，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故D错误. 故选：AC 10．AB 【分析】A.利用奇偶性的定义判断；B.由且时求解判断；CD.作出函数的图象判断. 【详解】A.的定义域为，且，所以是偶函数，故A正确； B. 当且时，，又所以是偶函数，所以函数的值域为，故B正确； C. 作出函数的图象如图所示： 由图象知：在上单调递增，在上单调递减，故C,D错误； 故选：AB 11．BCD 【分析】根据外接球体积得到外接球半径，找到球心位置，设，，利用基本不等式得到体积的最值及判断AB，利用等体积法判断CD. 【详解】选项AB：设鳖臑外接球半径为， 由题意可得，解得， 因为四个面都为直角三角形，中点到四个顶点的距离都相等， 所以点是外接球的球心，， 因为平面，，， 所以， 设，，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，鳖臑体积的最大值为2，A错误，B正确； 选项C：设点到面的距离为， 因为平面，所以，， 所以，，解得， 即点到面的距离为，C说法正确； 选项D：因为， 所以，，，， 设鳖臑内切球的半径为，则， 即，解得，D说法正确； 故选：BCD 12． 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解作答. 【详解】在中，a=5，b=2，C=，由余弦定理， 得，而，所以. 故答案为： 13．/ 【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】设，，，，，， 则全班学生成绩的平均数为， 全班学生成绩的方差为， 故答案为： 14． 【分析】根据题意作出球心，利用正弦定理求得四边形外接圆直径，根据勾股定理即可求外接球半径，得到表面积. 【详解】设的外心为，过分别作平面和平面的垂线， 则垂线交点即为三棱锥的外接球的球心，设中点为， ，则就是二面角的平面角，， 又和均为边长为的等边三角形，所以， 又，所以为等边三角形，则四边形外接圆直径， 所以三棱锥的外接球半径， 则外接球的表面积. 故答案为：. 15．(1)， (2)当时，取最大值为，当时，取最小值为 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，然后利用整体代入法求得函数的单调递增区间； （2）根据三角函数最值的求法求得的最值及相应x的值． 【详解】（1）（1）因为 ， 所以令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为：，， （2）因为，所以， 令，则函数在单调递增，在单调递减； 所以时，； 时，； 所以当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合三角变换公式和三角形内角和公式，可求，进而确定角的值. （2）根据余弦定理探索边满足的条件，再结合基本不等式和三角形的面积公式求面积的最小值. 【详解】（1），由正弦定理可得 所以 所以 ， 因为，所以 所以， ， . （2）如图：    由 得 由 得 （当时等号成立） 故的面积的最小值为. 17．(1)，. (2)是中心对称函数，且对称中心为 (3) 【分析】（1）根据对称性，利用赋值法即可求出，的值； （2）由定义列，化简后令系数为0，求解m、n,，根据是否有解做出结论； （3）利用函数对称性的性质化简后利用基本不等式求解. 【详解】（1）由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 当时，，， ， ，. （2）若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立. ， 根据中心对称定义有， 整理得：， 为了使等式对所有 成立，系数必须分别等于零： ，解得： 是中心对称图形，且对称中心是. （3）由（2）知，；， 经检验，时，一致；时，一致， 所以. 18．(1) (2)该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为 【分析】（1）结合频率分布直方图，由频率计算概率，再计算人数即可； （2）利用频率分布直方图的平均数的计算公式可得平均数；先确定第百分位数在内，然后列式计算. 【详解】（1）由题意知不低于分钟的频率为， 所以该段日平均数学学习时长不低于分钟的学生有． （2），可知名学生的日平均数学学习时长的平均数约为． ， ， 所以第百分位数在内， 设第百分位数为，则有，解得， 所以该名学生的日平均数学学习时长的平均数为，第百分位数为． 19．(1)5 (2) 【分析】（1）由翻折后的位置关系和可得平面，进而得，进而可得； （2）先在平面中找到，进而转化为求余弦的最小值，先利用求其正切的最大值，进而可得. 【详解】（1）连接，平面平面，交线为， 由，有平面，又平面，所以, 当，，所以平面， 又平面，所以， 此时与相似，故， 设，由，解得，所以. （2）过作的平行线交于点，连接， 由，且， 得四边形是平行四边形，故， 所以即为异面直线与所成的角， 设， ， 所以锐角正切值的最大值为，此时余弦值有最小值， 所以异面直线与所成角余弦值的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $