山东泰安新泰市第一中学2026届高考冲刺数学训练

**基本信息** 以高考高频考点为核心，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现复数、数列、函数等知识的跨模块整合，突出数学思维的逻辑推理与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础（复数/集合）|2|概念辨析与运算|复数几何意义、集合交并补的应用| |函数与导数|5|单调性判断及恒成立|函数性质推导与导数工具的综合应用| |几何综合（立体/解析）|4|空间证明与椭圆方程|空间向量与几何证明结合、椭圆定义与韦达定理应用| |概率统计|2|分布列与期望计算|古典概型与随机变量的数学建模|

山东泰安新泰市第一中学2026年高考冲刺训练 一、选择题(共40分) 1．（5分）复数在复平面内对应的点位于(      ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．（5分）已知集合,则(      ) A. B. C. D. 3．（5分）在等差数列中,若,则(      ) A. B.0 C.1 D.3 4．（5分）已知函数,则满足的实数a的取值范围是(      ) A. B. C. D. 5．（5分）已知,则向量的夹角为(      ) A. B. C. D. 6．（5分）某历史文化街区春节期间客流量较大，特安排包括甲在内的6名志愿者在A，B，C三个重要路口进行执勤，疏导客流，若每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C，则不同的安排方法数为(      ) A.30 B.50 C.60 D.75 7．（5分）已知，则的最小值为(      ) A. B. C.5 D.9 8．（5分）函数f(x)=在[—π,π]的图像大致为(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题(共18分) 9．（6分）已知随机事件A,B,C满足,,,,则下列说法正确的是(      ) A.事件A,B相互独立 B. C.若,则 D.若,则 10．（6分）已知数列的前n项和，则(      ) A. B.数列是等差数列 C.的最小值为 D. 11．（6分）设函数，则(      ) A.是奇函数 B.当时，的最小值为 C.当时，在区间上单调递增 D.当时， 三、填空题(共15分) 12．（5分）已知随机变量,且,则展开式中各项系数之和为______. 13．（5分）如图,设椭圆的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,且,则C的离心率为__________. 14．（5分）已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形,其体积为.若点,都在球O的球面上,则球O的表面积为__________. 四、解答题(共77分) 15．（13分）在锐角中,角 所对边分别为 且满足 . (1)求A; (2)若A的角平分线交于点D,,求的最小值. 16．（15分）如图,在三棱锥中,平面,,,E为的中点. （1）证明:; （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）某食盐厂生产标准质量为500克的袋装食盐，由于各种因素，实际质量与标准质量或多或少会存在一些误差，误差在克以内视为质量合格，现为了检测一条自动流水线的机器运行情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐检测它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为，，…，且由样本数据绘制频率分布直方图如图： (1)求a的值； (2)从质量不合格的食盐样本中，随机抽取3袋，其中质量在的食盐袋数记为X，求X的分布列和期望. 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为,且,点P在椭圆上,满足. （1）求椭圆E的标准方程; （2）斜率为1的直线l与椭圆E交于A、B两点,点O为坐标原点,若,求的面积. 19．（17分）已知函数. (1)当时,求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立,求a的取值范围； (3)已知,若,且,证明：. 参考答案 1．答案：B 解析：由于，其在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 2．答案：B 解析：由, 得,所以集合, 集合,即, 因为,所以. 3．答案：B 解析：因为为等差数列,所以. 4．答案：C 解析：当时,, 令,则恒成立, 故在上单调递增,则, 则在上单调递减,则, 又当时,, 则有,解得, 故满足的实数a的取值范围是. 5．答案：C 解析：因为, 所以,则, 则, 因为,所以,即向量的夹角为. 6．答案：A 解析：因为每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C， 所以路口C还缺1人，从剩下的5人中选一人到路口C，有种选法； 从剩下的4人中再安排两人到路口A，有种选法； 将剩下的2人安排到路口B，有种选法. 由分步乘法计数原理知不同的安排方法数为种. 7．答案：B 解析：因为，所以，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 8．答案：D 解析：由,得是奇函数,其图象关于原点对称.又.故选D. 9．答案：ACD 解析：利用概率加法公式:由, 代入,,得:, 又,所以算, 所以事件相互独立,故A正确; 根据条件概率公式计算:, 则,故B错误; 由,且,得, 因为,所以, 即,故C正确; 由可得:, 代入,,可得, 又因为,两式消元解得: ,故D正确. 10．答案：ABD 解析：对于A，因为数列的前n项和， 当时，可得，所以A正确； 对于B，当时，， 其中，适合上式，所以数列的通项公式为， 又因为， 所以数列是首项为-2，公差为2的等差数列，所以B正确； 对于C，由，令，即，解得， 所以数列满足：，，当且时，， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，由选项C的分析知：，，当且时，， 可得，所以D正确. 11．答案：BCD 解析：对于A，函数，， 则，故不是奇函数，故A错误； 对于B，当时，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故B正确； 对于C，当时，，则， 当时，， 则在区间上单调递增，故C正确； 对于D，由，， 当时，由，得，，则； 当时，由， 设，，则， 由，得，， 所以，则函数在上单调递增， 所以，则函数在上单调递增， 所以. 综上所述，当时，，故D正确. 12．答案：32 解析：因为,所以,解得, 代入可得, 令,可得展开式各项系数和为. 故答案为:32. 13．答案： 解析：因为,则, 所以为直角三角形,又, 得,. 故答案为: 14．答案： 解析：因为底面是边长为的正三角形, 所以的面积为, 设P到底面的距离为d,正三棱锥的体积为. 则,所以. 底面正三角形的外接圆半径,故, 设球的半径为R,则, 所以,球O的表面积为. 15．答案：(1) (2) 解析：(1)因为, 故, 整理得,而为锐角三角形, 故,故,故. (2)因为, 所以, 而,故, 故,即, 故,故, 当且仅当时等号成立,故的最小值为. 16．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）因为,E为的中点,所以, 又因为平面,平面,所以, 又因为,、平面, 所以平面,又因为平面,所以; （2）法一:如图,过E作于H,连接, 由（1）知,又因为,、平面, 所以平面,所以就是平面与平面的夹角, 因为平面,平面,所以, 因为, 则, ,则, 则, 所以,平面与平面夹角的余弦值为. 法二:以A为原点建立如图所示的坐标系, 则,,,, 由轴平面,则平面的一个法向量为, 设平面的一个法向量为, 由题意,可得平面的一个法向量为, 所以, 所以,平面与平面夹角的余弦值为. 17．答案：(1) (2) X 0 1 2 3 P 解析：(1)由直方图得，则； (2)区间中有5袋食盐，区间中有5袋食盐， 且质量不合格的食盐所在区间为和， 从中随机抽取3袋，则X的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以. 18．答案：（1） （2） 解析：（1）由椭圆的定义可得,可得, 因为,所以,故, 因此椭圆E的标准方程为. （2）设点、,且, 联立可得,, 由韦达定理可得,, 所以 ,解得, 所以,则O到直线l的距离, 所以. 19．答案：(1) (2) (3)证明见解析 解析：(1)当时,, 因为,所以, 所以函数的图象在处的切线方程为,即. (2)由,则, 令,则, 令,解得, 若,则在上恒成立,所以在上单调递增, 又,所以,则在上单调递增, 又,所以在上恒成立. 若,令,得, 当时,单调递减； 当时,单调递增. 又,所以时,单调递减,, 与在上恒成立矛盾. 综上所述,若在上恒成立,则a的取值范围是. (3)已知,由(2)可知在上单调递减,在上单调递增. 又,所以在上恒成立,即在上单调递增, 又,所以时,时,. 若,则,不合题意； 若,则,不合题意,所以. 设, 则. 设, 则. 所以在上单调递减. 又,所以,从而在上单调递增. 因为,所以. 因为,所以, 又,所以,即. 又在上单调递增,所以,即. 所以,即. 学科网（北京）股份有限公司 $