八年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷（新教材华东师大版，举一反三，测试范围：八下全册）

**基本信息** 八年级数学拔尖卷立足华东师大版教材，以翻花绳几何、茶吧机函数、低空经济统计等真实情境为载体，通过24题分层设计（单选10、填空6、解答8），考查分式、函数、几何等核心知识，渗透抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|分式性质、函数图像判断|结合翻花绳文化情境（第4题），考查几何直观| |填空|6/18|统计离差平方和、几何证明|融入温州月考真题（第13题），强化运算能力| |解答|8/72|函数综合、统计分析、应用题|20题防疫物资购买（模型意识）、23题函数图像综合（推理能力），适配期末拔尖需求|

八年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的判断，分式有意义的条件及分式的基本性质，解题的关键是根据最简分式的定义、分式有意义的条件及分式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式， ∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意； B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； C．若分式有意义，则，得， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； D．， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．在同一直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论的情况，根据一次函数性质判断两个函数图象位于哪些象限，再根据当时，，进行判断即可． 【详解】解：当，图象过第一、二、三象限，过第一、二、三象限； 当，图象过第一、三、四象限，过第一、二、四象限； 当，图象过第一、二、四象限，过第一、三、四象限； 当，图象过第二、三、四象限，过第二、三、四象限； 当时，， 综上，只有D符合题意． 3．（25-26九年级上·河南郑州·期末）已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像和性质，根据时，可知反比例函数在第三象限内随的增大而减小，由此得出比例系数，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上，且时，， ∴该反比例函数在第三象限内随的增大而减小， ， ， ． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，点，是双曲线上的点，分别过点，作轴和轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上的点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8， ∴， ∴． 故选：C． 6．若关于的分式方程解为正数，且关于的不等式组恰有五个整数解，则所有满足条件的整数的和为（    ） A．22 B．30 C．32 D．40 【答案】A 【分析】分别解分式方程和一元一次方程组，根据解得情况可得的不等式，取出符合条件的所有整数解求和即可． 【详解】解：解分式方程， 去分母得， 移项合并得：， 解得， ∵解为正数， ∴且， 即，且， 解得， 解得， ∴的解集为， ∵恰有五个整数解， ∴，解得， ∴且，符合条件的整数有6,7,9，和为22， 故选：A． 【点睛】本题考查根据分式方程解得情况求参数和根据一元一次不等式组的情况求参数．注意分式方程的解要使分母不能为0． 7．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题． 根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 上午10点到共30分钟，， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故C选项说法正确，不合题意； D、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 8．（25-26八年级上·河南郑州·期末）体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（   ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 9．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③当时，甲、乙两人相距； ④在内，当甲、乙两人相距时，乙行驶了或． 其中正确的个数为（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．从一次函数的图象中获取信息，并解得一次函数的解析式，继而根据时间、距离的关系得到相应问题的答案，是解题的关键． 根据图象获得信息后，利用待定系数法求解一次函数解析式，根据路程=速度×时间的等量关系来判断即可． 【详解】解：根据甲行驶的函数图象可知， 直线与轴的交点为，即时间过了甲的路程为，即乙比甲提前出发， 故①正确，符合题意； 根据函数图象知甲个小时行驶了， 则甲的速度为， 故②正确，符合题意； 设甲的解析式为，代入、， 得， 解得， 则， 设乙的解析式为，代入， 得， 解得， 则， 当时，，， ∴， ∴时，甲、乙两人相距， 故③错误，不符合题意； 当甲运动前，乙比甲多行驶时， 根据题意得， 解得， 当甲运动后，乙比甲多行驶时， 根据题意得， 解得， 当甲运动后，甲比乙多行驶时， 根据题意得， 解得， 综上，， 或时，甲、乙两人相距， 故④错误，不符合题意； ∴正确的个数为个， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图象可得比例系数的坐标在和之间，即可得，据此即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，比例系数的坐标在和之间， ∴，即， ∴满足图象的一个的值可以为， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【答案】且 【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 展开并整理，得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验增根：若方程有增根，则或， 若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是， 若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解， 因此，分式方程有解的条件为且． 13．（25-26八年级下·浙江温州·月考）某小组6名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，90，92，90，96老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布，若按照以下分组方式：第一组，第二组，则组内离差平方和为_____________． 【答案】10 【分析】根据离差平方和是各组内数据与本组平均数之差的平方和，组内离差平方和为两组离差平方和之和，先分别计算两组的离差平方和，再求和即可． 【详解】解：第一组数据为， 第一组数据的平均数为：， 第一组的离差平方和为：， 第二组数据为， 第二组数据的平均数为：， 第二组的离差平方和为：， 因此组内离差平方和为． 14．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是 _____________． 【答案】 【分析】首先分别把代入两个函数解析式中，解得，，即得，，然后根据三点坐标求的面积． 【详解】解：把代入和两个函数解析式中， 得：，， ∴，， ∴，， ∴． 15．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定，证出四边形是矩形是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质得到，，利用勾股定理求出，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】作，交于点，连接交于点，由平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，即可推得，，根据等角对等边得出，根据平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定和性质得出，，，，推得，根据平行线的判定定理得出，根据平行四边形的判定和性质得出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：解：作，交于点，连接交于点，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，的平分线分别交于点，， ∴，， ∵， ∴，， 故，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，等角对等边，勾股定理等知识，正确添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）由平行线的性质得到，，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）可证明四边形是平行四边形，，则可证明四边形的周长，同理可得四边形的周长，则可推出，再根据三角形的周长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ，， ∵O为对角线的中点， ∴ ∴， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长； 同理可得四边形的周长， ∵四边形与四边形的周长分别是16与10， ∴， ∴， ∴的周长． 18．（6分）（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 19．（8分）（2026·山东潍坊·一模）低空经济作为战略性新兴产业，正逐步成为经济增长新引擎．某市举办中小学生“低空经济知识竞赛”，组委会为了解甲、乙两所学校的准备情况，从甲、乙两所学校各随机抽取名学生进行测试，对测试成绩进行整理、描述和分析（满分分，成绩均为整数），成绩分成五组： A组：，B组：，C组：，D组：，E组：． 【信息一】两校成绩在D组的数据如下（单位：分）： 甲校：； 乙校：． 【信息二】甲校成绩的频数分布直方图如图，乙校成绩的扇形统计图如图． 【信息三】甲、乙两校成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲校 乙校 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全甲校成绩的频数分布直方图和乙校成绩的扇形统计图中的信息； (2)小亮求得表中的值是，小莹求得的值是，请判断他们所求的结果是否正确，并说明理由； (3)综合以上信息，试对两所学校的学生关于低空经济知识的掌握情况做出分析． 【答案】(1)见解析 (2)小亮所求结果错误；小莹所求结果错误；理由见解析 (3)甲校学生关于低空经济知识的掌握情况更好些且成绩稳定，乙校中位数较高但成绩波动较大 【分析】（1）分别求出甲校组的频数，乙校组的百分比，补全图形即可； （2）分别求出平均数及中位数进行判断即可； （3）比较甲乙校成绩的平均数、中位数及方差得出结论即可. 【详解】（1）解：由题意得：甲校组：人； ∴甲校组：（人）； ∵由题意得：乙校组：； ∴乙校组：； 补全图中信息见下图： （2）解：∵甲组平均数：， ∴小亮所求结果错误； ∵组所占百分比为：， ∴乙校成绩从小到大排列第个数在组是：， ∴ ∴小莹所求结果错误； （3）解：从平均分的角度看： ∵，∴甲校优于乙校； 从中位数的角度看：，甲乙校相同； 从方差的角度看： ∴甲校成绩较稳定； 综上：甲校学生关于低空经济知识的掌握情况更好些且成绩稳定，乙校中位数较高但成绩波动较大. 20．（8分）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价． (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？ (3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元； (2)该校共有两种购买方案：方案一：购买甲种个，乙种个；方案二：购买甲种个，乙种个； (3)购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元． 【分析】（1）设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，根据用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍列方程即可得到答案； （2）根据总费用不超过15000元及乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍列不等式组求解即可得到答案； （3）根据（2）代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，由题意可得， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 则， 答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元； （2）解：由题意可得， 且m为整数， 解得：，且m为整数， ∴m为：或， ∴该校共有两种购买方案， 方案一：购买甲种个，乙种个； 方案二：购买甲种个，乙种个； （3）解：由（2）得， 方案一费用为：（元）， 方案二费用为： （元）， ∵， ∴方案二：购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元． 【点睛】本题考查分式方程解决应用题，不等式组择优方案选取问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式及不等关系式． 21．（10分）（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且，点D是线段上一个动点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标及直线的表达式； (2)过点D作x轴的垂线，交直线于点E，交直线于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②在点D的运动过程中，当的面积为14时，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)，，， (2)①或；②点E的坐标为或 【分析】（1）令和，计算即可求得各点坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）①由题意得，，，求得，，根据，列式计算即可求解； ②分两种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则，令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：①∵轴，且点D的横坐标为m， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，解得或； ②∵，，， ∴， 当点在线段上时， ， ∴， 解得； 点E的坐标为 当点在射线上时， ， ∴， 解得； 点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或． 22．（10分）（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）说明四边形是平行四边形即可； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解； （3）连接交于点，当四边形是菱形时，，则，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，总是互相平分． （2）解：若四边形是菱形，则， ∴在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴t的值为3． （3）解：存在． 如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， 解得， ∴当秒时，四边形是菱形． 23．（12分）（25-26九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象交y轴于点，与反比例函数图象交于，B两点（点A在点B的右侧）． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图（1），点P是反比例函数第三象限图象上一点，且点P位于点B的下方，连接，，若，求的长； (3)点Q是反比例函数图象上一动点，直线交x轴于点D，连接，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，函数和几何图形的结合，解一元二次方程，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上函数的性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴，交于点N，联立解析式求出交点坐标，然后根据三角形面积公式列出方程求解，最后根据勾股定理求线段长度即可； （3）根据一次函数和反比例函数的图象和性质，结合几何图形的性质，证明全等三角形得出相等的边，求出点的坐标，求出相关函数的解析式，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， 又过点， ， ∴，代入得， ， ∴； （2）解：作轴，交于点N， 设， ， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ， 解得：，（舍）， ∴由勾股定理得； （3）解：如图，连接， 由，可得，， ， 又 ， 又， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， 又∵，根据的内角和为得： ， 过点O作， ∴，则点Q，D落在直线上， 过点A作轴于点E，轴于点F， ，， 又， ， ， ∴， 又， ∴， ， 假设直线的解析式为，将和代入解析式得， 解得， ， 联立解析式， ， 解得或（舍去） ， 当时，， ∴， 又，，，根据轴对称得， ， 同理，利用待定系数法可得， ， 联立解析式得， ， 解得或（舍去）， ， ，． 24．（12分）（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 【答案】(1)图见详解，； (2)，证明见详解； (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形即可；过点作交于点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，即，得出当时，，当时，四边形为菱形，得出，，得出当点在对角线的交点上时，符合题意，此时； （2）连接、， 证明，得出，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，，根据，即可得出； （3）连接，，证明，得出，证明，由（2）得四边形为平行四边形，得出，从而得出． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示： 过点作交于点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，即， 当时，， ， 四边形为菱形， ，， 当点在对角线的交点上时，符合题意， 此时， 故答案为：； （2）； 证明：连接、，如图所示： ， ， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ； （3）解：连接，，如图所示： 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 根据解析（2）可知，四边形为平行四边形， ， ， 即当时，将平行， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期期末学情自测·拔尖卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 2．在同一直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南郑州·期末）已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，点，是双曲线上的点，分别过点，作轴和轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．若关于的分式方程解为正数，且关于的不等式组恰有五个整数解，则所有满足条件的整数的和为（    ） A．22 B．30 C．32 D．40 7．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 8．（25-26八年级上·河南郑州·期末）体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（   ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 9．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末），两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地．甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则下列结论： ①乙比甲提前出发； ②甲行驶的速度为； ③当时，甲、乙两人相距； ④在内，当甲、乙两人相距时，乙行驶了或． 其中正确的个数为（   ）. A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值______．    12．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 13．（25-26八年级下·浙江温州·月考）某小组6名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，90，92，90，96老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布，若按照以下分组方式：第一组，第二组，则组内离差平方和为_____________． 14．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是 _____________． 15．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______． 16．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 18．（6分）（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 19．（8分）（2026·山东潍坊·一模）低空经济作为战略性新兴产业，正逐步成为经济增长新引擎．某市举办中小学生“低空经济知识竞赛”，组委会为了解甲、乙两所学校的准备情况，从甲、乙两所学校各随机抽取名学生进行测试，对测试成绩进行整理、描述和分析（满分分，成绩均为整数），成绩分成五组： A组：，B组：，C组：，D组：，E组：． 【信息一】两校成绩在D组的数据如下（单位：分）： 甲校：； 乙校：． 【信息二】甲校成绩的频数分布直方图如图，乙校成绩的扇形统计图如图． 【信息三】甲、乙两校成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲校 乙校 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全甲校成绩的频数分布直方图和乙校成绩的扇形统计图中的信息； (2)小亮求得表中的值是，小莹求得的值是，请判断他们所求的结果是否正确，并说明理由； (3)综合以上信息，试对两所学校的学生关于低空经济知识的掌握情况做出分析． 20．（8分）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价． (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？ (3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 21．（10分）（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且，点D是线段上一个动点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标及直线的表达式； (2)过点D作x轴的垂线，交直线于点E，交直线于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②在点D的运动过程中，当的面积为14时，请直接写出点E的坐标． 22．（10分）（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： (1)如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； (2)如图2，若四边形是菱形，求t的值； (3)如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 23．（12分）（25-26九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，一次函数图象交y轴于点，与反比例函数图象交于，B两点（点A在点B的右侧）． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图（1），点P是反比例函数第三象限图象上一点，且点P位于点B的下方，连接，，若，求的长； (3)点Q是反比例函数图象上一动点，直线交x轴于点D，连接，当时，求点Q的坐标． 24．（12分）（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当 时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当 时，将平行． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $