第八单元 数学广角——找次品（单元自测练习卷）-2025-2026学年人教版五年级下册数学

**基本信息** 本单元卷聚焦“找次品”核心内容，通过生活情境（如苹果装箱、冰糖称重）与梯度问题设计，强化三分法最优策略，适配小学数学第八单元复习，培养推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|6|次品判断、分法合理性|结合天平图示（如5个零件找正品），考查几何直观| |填空|9|最少次数计算（9/12/20个物品）|覆盖不同数量物品找次品，强化抽象能力| |判断|5|次数结论辨析（27/14个零件）|检验推理严谨性，培养批判性思维| |解答|5|策略设计与流程图绘制（26个零件）|综合应用三分法，体现模型意识与创新意识|

第八单元数学广角——找次品 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．有5个零件，其中1个是次品，次品稍重，根据如图所示可以推断出（    ）号零件一定是正品。 A．①② B．②③④ C．③④⑤ 2．有8瓶同样的钙片，其中1瓶被吃了2片。要找出这瓶比较轻的钙片，如果用天平称，下面（    ）种分法比较合理。 A． B． C． 3．有9颗黄豆，其中一颗略轻一些，用天平称，至少称（    ）次才能保证找到它。 A．5 B．2 C．4 4．大荔县的嘎啦苹果要上市了！欢欢的爷爷从果园摘了苹果装箱销售，总共装了12箱，其中有1箱质量较轻，至少称（    ）次保证能找出质量较轻的那箱。 A．3 B．4 C．5 5．有15个零件，14个质量相同，其中有一个是次品，略重一些，用天平至少称（    ）次，就一定能保证找到次品。 A．3 B．4 C．5 6．从只有1件次品的10件物品中找次品（次品比正品轻一些），用天平称至少称（    ）次就一定能找到次品。 A．2 B．3 C．4 二、填空题 7．在9颗螺丝钉中，混入了1颗不合格的螺丝钉（次品），它与合格螺丝钉的外形一模一样，只是质量略重一些。如果用天平称，最少称( )次能保证找出这个次品。 8．有12个零件，其中有一个是次品（次品比其他零件略轻），用天平至少称( )次能保证找出这个次品。 9．有8瓶水，其中7瓶质量相同，另有1瓶加了一些糖（比其他的水略重一些）。如果用天平称，至少称( )次才能保证找出这瓶糖水。 10．有20个外观一样的硬币，其中有一个硬币比真币要轻一些。用天平称的办法去找，至少( )次可以把假硬币找出来。 11．有9袋白糖，其中8袋质量相同，其中一袋质量不足，轻一些，至少称( )次保证能找到这袋糖。 12．有27个外观完全相同的玻璃球，其中1个比其他略重一些。如果不用砝码，用天平称，最少称( )次就一定能把它找出来。 13．一批零件有10个，其中一个是次品（次品较轻一些），如果用天平称，那么至少要称( )次可以保证找出次品。 14．有11盒饼干，其中1盒质量稍重。如果第一次在天平左右两边都放4盒，天平平衡，那么接下来要从( )盒中找出这盒饼干。 15．有5包糖果，用天平找出质量不足的一包，至少需要称( )次． 三、判断题 16．有27个零件，其中有一个是次品（轻一些），至少称3次才能保证找出次品。( ) 17．有5瓶钙片，其中一瓶少了3片，用天平称至少称3次，保证能找出次品。( ) 18．有14个零件,其中1个质量轻一些,至少称3次能保证找出这个轻一些的零件．( ) 19．有8瓶口香糖，其中有一瓶被少装了4颗，如果用称的方法，至少需要称3次，才能找出少装了4颗的那瓶(次品)．                              ( ) 20．12袋糖果中只有一袋质量不足，用无砝码的天平称，至少需要称3次才能找出质量不足的那一袋。( ) 四、解答题 21．有3块外形完全相同的手表,其中1块是劣质产品(可能轻,也可能重),怎样才能用天平很快地把它找出来? 22．8个零件里有1个次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称2次能保证找出次品。下面是找次品的流程图。 26个零件里有1个次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？仿照上面的流程图，在下面的方框里画出能保证找出次品的需要最少次数的流程图。 23．同样体积的水和盐水，盐水稍重一些。如果用天平称，至少称几次就能保证找出加盐的那瓶水？ 24．有10袋冰糖，其中9袋重400克，1袋重390克，用天平称，至少称几次，才能找出这袋重390克的冰糖？ 25．有10瓶钙片，其中一瓶少了3片，用天平称，至少称几次能确保找出少了3片的那一瓶？请你设计一个方案。 学科网（北京）股份有限公司 《第八单元数学广角——找次品》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B B A A B 1．C 【分析】同样个数的零件放到天平两侧，有稍重次品的零件会压低天平，观察天平，①和②号零件压低了天平，次品是①②其中之一，那么就能确定正品是③④⑤。据此解答。 【详解】根据分析，有5个零件，其中有一个是次品，重量稍重，根据如图所示可以推断出③④⑤号零件一定是正品。 故答案为：C 【点睛】本题考查了找次品，掌握用天平找次品的方法是解题的关键。 2．B 【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么比较轻的钙片在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么比较轻的钙片在天平上翘的一组里面，依次找出比较轻的钙片所在的组，直到最后找出这瓶钙片，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】 由上可知，这种分法比较合理。 故答案为：B 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 3．B 【分析】把9颗黄豆平均分成3份，每份3颗，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3颗，如果天平不平衡，次品就在较轻的3颗中；如果天平平衡，次品在剩下的3颗中；再把有次品的3颗黄豆分成（1，1，1），第二次称，天平两边各放1颗，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一颗；如果天平平衡，次品是剩下的那1颗。至少称2次才能保证找到这颗黄豆。 【详解】如图： 至少称2次才能保证找到这颗黄豆。 故答案为：B 【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 4．A 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份； 二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】把12箱苹果平均分成3份，每份4箱，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4箱，如果天平不平衡，次品就在较轻的4箱中；如果天平平衡，次品在剩下的4箱中；再把有次品的4箱苹果分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1箱，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一箱；如果天平平衡，次品在剩下的2箱中；最后把有次品的2箱苹果分成（1，1），第三次称，天平两边各放1箱，次品就是较轻的那一箱。 至少称3次保证能找出质量较轻的那箱。 故答案为：A 【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。 5．A 【分析】把15个零件分成3组5个零件，称量5、5两组，若天平平衡，则未拿的那组里有次品；若不平衡，再将天平低的那端5个零件分成2、2、1三组，把其中两份放入天平两端，若天平平衡，则次品未拿的一个，若天平不平衡，次品在天平较低的2个中；进而再将较重的那2个称量一次就可以找到次品。 【详解】可以份三次称量； 第一次：每边放5个，若天平平衡，则未拿的那组有次品，若不平衡，则次品在低端的5个中；第二次：将天平较低那端的5个零件分成2、2、1三组，把其中2份放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的一个，若天平平衡，次品在天平较低端的2个中；第三次：将含有次品的两个零件放入天平两端，天平较低端的零件为次品。 故天平至少需要称3次，答案选择A。 【点睛】本题主要考查的是用天平找次品，解题的关键是第一次将零件分为三份进行称量，再下一步称量。 6．B 【分析】根据找次品的方法来称，把物品尽量平均分成3份，不能平均分的最多的与最少的至多相差1，根据天平平衡与不平衡来找出次品。 【详解】把物品分成（3，3，4），先在天平左右两边各放3件，如果天平平衡，则次品一定在剩下的4件中，再把这4件物品左右两边各放两件，次品在上升的一端，又把上升的一端中的2件物品左右两边各放1件，上升的一端就是次品；如果天平不平衡，则次品在上升的一端，再把上升一端中的物品任意选2件，天平左右两边各放1件，如果天平平衡，则次品是剩下的1件物品，如果天平不平衡，则次品是上升的一端。 所以用天平称至少称3次就一定能找到次品。 故答案为：B 【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握解决找到品的计算方法。 7．2 【分析】第一次，把9颗螺丝钉平均分成3份，每份3颗，取两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第二次，取含有较重的一份（3个），取其中2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品为未取的一个，若天平不平衡，可找到较重的次品。据此解答。 【详解】根据分析得，要找出这颗略重一些的螺丝钉（次品），最少要称2次。 【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键。 8．3 【分析】第一次两端各放6个，一端下沉次品就在其中。没有次品一端的6个零件取下。 第二次把含有次品一端的6个零件，放在天平两端，每端3个，如果一端下沉，说明次品就在其中。没有次品一端的3个零件取下。 第三次把含有次品一端的3个零件，取其中的2个放在天平上，每端各1个，如果天平平衡说明次品就余下的那个。如果天平不平衡，次品就是下沉的那一端的那个零件。 【详解】由分析可知，至少称3次能保证找出这个次品。 【点睛】本题考查找次品问题，总结规律，称n次最多可以分辨3n个物品。 9．2 【分析】这是一道典型的“找次品”题，做题时关键是把要称的物品数量平均分成3份，或尽量使其接近平均，这样才能保证称的次数最少。 【详解】把8瓶水分成3瓶，3瓶和2瓶，先在天平两端各放3瓶水，如果天平平衡说明次品在另外2瓶中，再称一次即可；如果天平不平衡，则把天平下沉的一端3瓶取出，再分成1瓶，1瓶，1瓶，再称一次，因此共用2次保证找到次品。 所以如果用天平称，至少称2次才能保证找出这瓶糖水。 【点睛】本题主要考查的是找次品，掌握找次品的方法是解题关键。 10．3 【分析】因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量，据此即可解答问题。 【详解】先把20个硬币分成（7，7，6），把两个7个一组的放在天平上称，可找出有假币的一组，再把7分成（3，3，1），可找出有假币的一组，再把3分成（1，1，1），可找出假币，需3次； 如假币在6个一组里，则把6分成（2，2，2），把两个2个一组的放在天平上称，可找出假币一组，再把2成（1，1），可找出假币，需3次； 所以用天平称，至少称3次能保证找出次品硬币。 【点睛】解答此题的关键：①应明确找次品的方法；②所需次数最少。 11．2 【分析】把9袋白糖平均分成3份，每份3袋，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的3袋中；如果天平平衡，次品在剩下的3袋中；再把有次品的3袋白糖分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品就是剩下的那一袋。至少称2次保证能找到这袋糖。 【详解】 至少称2次保证能找到这袋糖。 【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 12．3/三 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将27个玻璃球平均分成（9，9，9）三组，任意取两组出来，称（9、9），如果平衡的话，可确定次品在没称的9个玻璃球之中；如果不平衡，也可确定次品在天平下沉那一端的9个玻璃球之中； 将有次品的9个玻璃球平均分成（3，3，3）三组，任意取两组出来，称（3，3），如果平衡的话，可确定次品在没称的3个玻璃球之中；如果不平衡，也可确定次品在天平下沉那一端的3个玻璃球之中； 将有次品的3个玻璃球平均分成（1，1，1），再称1次即可确定次品，共3次。 所以最少称3次就一定能找出那个略重一些的玻璃球。 【点睛】此题的解题关键是掌握找次品这类问题的处理方法和技巧。 13．3 【分析】本题借助天平秤来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平称两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量轻，反之，则说明托盘中物体的质量重。据此操作解答。 【详解】第一次：把10个零件平均分成两份，每份5个，分别放在天平秤两端，找出轻的一份； 第二次：把轻的这一份平均分成两份，每份2个，分别放在天平秤两端，如平衡，则没称的一个是次品； 第三次：若天平称不平衡，再将轻的一份平均分成两份，每份1个，放在天平称上称，轻的一个即为次品。 【点睛】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理来解答问题的能力，需要开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。 14．3 【分析】根据题意，将有11盒饼干分成了3组（4，4，3），如果第一次在天平左右两边都放4盒，天平平衡，那么质量较重的那一盒在剩下的3盒中，所以接下来要从3盒中找出这盒饼干；据此解答。 【详解】根据分析，11－4－4＝3（盒） 所以，如果第一次在天平左右两边都放4盒，天平平衡，那么接下来要从（3）盒中找出这盒饼干。 【点睛】此题考查了找次品的知识内容，结合条件计算即可，属于基础题。 15．2 【详解】略 16．√ 【分析】第一次，把27个零件分成3份：9个、9个、9个，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有次品的一份分成3份：3个、3个、3个，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；； 第三次，将含有次品的一组取两个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那个，若天平不平衡，较轻的那个是次品。据此解答即可。 【详解】有27个零件，其中有一个是次品（轻一些），至少称3次才能保证找出次品，说法正确； 故答案为：√。 【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。 17．× 【分析】可依据“尽量均分，3等分”的原则，先将5瓶钙片分成2、2、1的形式，再进一步利用天平称量，可得出结论。 【详解】把5瓶钙片分成2瓶、2瓶、1瓶三份， 第一次，把两份2瓶的钙片分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那瓶是次品； 若不平衡，第二次：把在天平称量较轻的那瓶钙片，分别放在天平两端，同时观察天平，称量较轻的一瓶就是次品。 共需2次。 故答案为：×。 【点睛】首先要明白“找次品”所蕴含的道理；其次在称量过程中，要保持耐心和细心，结合科学的方法一步一步来，直到称量出正确结果。 18．√ 【分析】把14个零件按照4个，5个，5个的个数分成3份，并把5个，5个的两份零件，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的零件就在4个一份的零件中（再按照下面方法操作），若不平衡，次品就在天平较高端的那5个中；第二次：从天平秤较高端的5个零件中，任取4个，平均分成两份，每份2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那个零件，即为较轻的，若不平衡，次品就在天平较高端的那2个中；第三次：把天平秤较高端的两个零件，分别放在天平秤两端，天平秤较高端的即为轻一些的零件，据此即可解答． 【详解】把14个零件按照4个，5个，5个的个数分成3份， 第一次：把5个，5个的两份零件，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的零件就在4个一份的零件中（再按照下面方法操作），若不平衡，次品就在天平较高端的那5个中； 第二次：从天平秤较高端的5个零件中，任取4个，平均分成两份，每份2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那个零件，即为较轻的，若不平衡，次品就在天平较高端的那2个中； 第三次：把天平秤较高端的两个零件，分别放在天平秤两端，天平秤较高端的即为轻一些的零件． 故答案为：√． 【点睛】天平秤的平衡原理，是解答本题的依据，第一次取饼称量的数目对解答本题来说非常关键． 19．× 【详解】试题分析：根据找次品或倒推规律，即可解答． 解：第一种方法：根据需要称量n次，待测物品的数量就在n-1个3相乘的积与n个3相乘的积之间． 3×3＜n＜3×3×3，而8﹤9 第二种方法：把8分成（2,2，1）三份，先称2瓶的那两份，如果平衡，另一瓶就是少装的；如果不平衡，较轻的那两瓶分别放到天平两边去称，较轻的那个就是少装的，所以8瓶至少称2次，不是3次． 所以本题是错误的． 所以答案是×． 20．√ 【分析】根据题意，把12袋糖果平均分成3份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，在质量不足的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4袋），分别在天平两侧放2袋，取较轻的一份继续；第三次，取含有较轻的2袋分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。据此解答。 【详解】第一次，把12袋糖果平均分成3份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，在质量不足的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有较轻的一份（4袋），分别在天平两侧放2袋，取较轻的一份继续； 第三次，取含有较轻的2袋分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋； 所以至少需要称3次才能找出质量不足的那一袋，原题说法正确； 故答案为：√。 【点睛】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取糖果的袋数。 21．用天平找次品：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。 【分析】根据题意，可以选两块手表进行称重，如果平衡，说明第三块是次品，如果不平衡，则接下去选择两块中的一块继续与另一块手表称重，依次进行即可。 【详解】答：在天平的两边各放一块手表，如果平衡，说明第三块手表是次品；如果不平衡，选择其中的一块与第三块手表称，如果平衡，次品是另一块，如果不平衡，次品是称过两次的那块手表。 22．见详解 【分析】根据题意，把26个零件分成3份（9个、9个、8个），取其中9个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，在质量较重的在未取的一份中，若天平不平衡，取较较重的一份继续；第二次，取含有较重的一份（9个或8个）分成3份（3个、3个、3个或2个），取3个的两份分别在天平两侧，若天平平衡，则较重的在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有较重的一份（3个或2个）分别放在天平两侧，即可找到较重的一个。据此解答。 【详解】如图： 【点睛】本题主要考查了找次品，将总数进行合理的拆分是解答的关键。 23．4次 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【详解】把35瓶水分成3份，即（12，12，11）。 第一次称，天平两边各放12瓶，如果天平不平衡，加盐的那瓶水就在较重的12瓶中；如果天平平衡，加盐的那瓶水在剩下的11瓶中。 考虑最不利原则，加盐的那瓶水在数量多的里面，把较重的12瓶水平均分成3份，即（4，4，4），第二次称，天平两边各放4瓶，如果天平不平衡，次品就在较重的4瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中。 再把较重的4瓶水分成（1，1，2），第三次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，加盐的那瓶水就是较重的那瓶；如果天平平衡，加盐的那瓶水就在剩下的2瓶中。 最后把较重的2瓶水分成2份，即（1，1），第四次称，天平两边各放1瓶，天平不平衡，加盐的那瓶水就是较重的那瓶。 答：至少称4次就能保证找出加盐的那瓶水。 【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。 24．3次 【分析】根据题意，第一次先拿五袋来称，得出哪五袋中有390克的；第二次从有390克的五袋中拿四袋放在两边称。平衡，390克的是最后一袋；不平衡，则第三次拿较轻的两袋称。 【详解】第一次，五袋、五袋分，找出有轻的一份； 第二次，把轻的一份选出四袋，两袋、两袋分，再称。如果一样重，则剩下的一袋为390克，若不是，则把轻的一份再称一次即可。 答：至少称3次，才能找出这袋重390克的冰糖。 【点睛】本题主要考查找次品，合理的分组是找到次品的关键。 25．3；见详解 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此设计方案即可。 【详解】答：方案设计如下：把10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的4瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4瓶钙片分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；最后把有次品的2瓶钙片分成（1，1），第三次称，天平两边各放1瓶，次品就是较轻的那一瓶。所以至少称3次能确保找出少了3片的那一瓶。 【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $