第十章《二元一次方程组》小测 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 这份二元一次方程组小测通过三级梯度设计，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固，培养抽象能力、模型意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二元一次方程组定义、解的代入、基本解法|单选题1-3考查概念辨析，填空题6-7强化运算能力，解答题14直接解方程| |提升层|解法选择、简单情境建模|单选题4-5结合几何图形与幻方，填空题8-10关联成本与古代数学问题，培养几何直观| |综合层|复杂情境应用、方案设计|填空题11-13涉及行程与图形规律，解答题16-17含多解方案与项目式调研，发展应用意识|

第十章二元一次方程组小测2 姓名：______ 班级：_______ 一、单选题 1．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A．5 B． C． D．7 3．以下两个方程组：①，②，在解的过程中，用简便的方法，下列叙述正确的是（    ） A．①②均用代入法 B．①②均用加减法 C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法 4．如图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 6．已知方程，用含的式子表示，则___． 7．若方程是关于，的二元一次方程，则的值为___． 8．某国产机车工厂生产仿赛车与复古街车两种车型．已知生产1台仿赛车比生产1台复古街车的成本高0.5万元，且生产5台仿赛车与生产6台复古街车的成本相等．设生产1台仿赛车的成本为x万元，生产1台复古街车的成本为y万元，则可列方程组为 9．若关于，的方程组的解满足，则______． 10．《九章算术》中有一道“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人？物品的价格是多少？若设人数为，物价为，则可列二元一次方程组为：_____． 11．甲从某一地点出发，前往某地，途中经过下坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走3千米，下坡每小时走5千米，平路每小时走4千米．去时走了80分钟，回程走了90分钟．设去时下坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 12．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 13．如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 14．解下列方程组： (1) (2) 15． 某县计划对一河道进行改造，现有甲、乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程队单独施工1天，则可以完成220米施工任务；若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工2天，则可以完成360米施工任务．求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ 16．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元． (1)每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 17．项目式学习： “元旦促销活动”的调研分析 背景 商场为迎接元旦，搞优惠促销活动，将购进的甲，乙两种商品打折销售，折扣由顾客抽奖确定． 素材1 商场购进甲，乙两种商品后，均加价作为销售价． 素材2 某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款455元． 素材3 两种商品原销售价之和是520元． 问题解决 任务1 求这两种商品的原销售价分别是多少元？ 任务2 求这两种商品的进价分别是多少元？ 根据背景素材，请完成“问题解决”中任务1和任务2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章二元一次方程组小测2 一、单选题 1．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A．5 B． C． D．7 3．以下两个方程组：①，②，在解的过程中，用简便的方法，下列叙述正确的是（    ） A．①②均用代入法 B．①②均用加减法 C．①用代入法，②用加减法 D．①用加减法，②用代入法 4．如图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”列方程组求出，然后求出第一行三个数之和和中间的数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴，， ∴的值是． 6．已知方程，用含的式子表示，则_____． 【答案】 【分析】将x单独放在等号一侧，其余项移到等号另一侧，再通过系数化为1得到结果 【详解】解：对 移项，得 ， 系数化为，得 7．若方程是关于，的二元一次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】根据二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， 根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为0． 8．某国产机车工厂生产仿赛车与复古街车两种车型．已知生产1台仿赛车比生产1台复古街车的成本高0.5万元，且生产5台仿赛车与生产6台复古街车的成本相等．设生产1台仿赛车的成本为x万元，生产1台复古街车的成本为y万元，则可列方程组为 【答案】 【分析】根据生产1台仿赛车比生产1台复古街车的成本高0.5万元，生产5台仿赛车与生产6台复古街车的成本相等，列出方程组即可． 【详解】解：设生产1台仿赛车的成本为x万元，生产1台复古街车的成本为y万元，由题意， 9．若关于，的方程组的解满足，则______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解的关系求参数，运用整体思想求解即可，将方程组中两个方程相减整理得到关于的表达式，再结合已知条件列方程求解即可． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 10．《九章算术》中有一道“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人？物品的价格是多少？若设人数为，物价为，则可列二元一次方程组为：_____． 【答案】 【详解】解：由题意可得方程组为． 11．甲从某一地点出发，前往某地，途中经过下坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走3千米，下坡每小时走5千米，平路每小时走4千米．去时走了80分钟，回程走了90分钟．设去时下坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 【答案】 【分析】先统一时间单位，将分钟换算为小时，根据总时间等于各段路程所用时间之和，结合原路返回时去时的下坡路变为回程的上坡路，平路长度和速度不变，分别根据去程和回程的总时间列方程即可． 【详解】解：速度单位为千米/小时，需统一单位，80分钟小时，90分钟小时， 去时：下坡路程为，速度为，用时，平路用时为，总时间为， 回程：上坡路程为，速度为，用时，平路路程为，速度为，用时，总时间为， ∴可列方程组． 12．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将与看作整体，对应已知方程组中的a与b，得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：对比两个方程组的结构可得， 由，得， 由，得， 因此方程组的解为． 13．如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 【答案】6 【分析】设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳，先根据图形中的数据建立二元一次方程组，解方程组可得的值，再根据收纳柜的高度建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳， 由题意得：， 解得， 则， 解得， 所以高的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳． 14．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由②得， 把③代入①：， 解得：， 把代入③得：． ∴． （2）解：设，， 则原方程组化为：， 即， 得：， 即， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即， 又由得：， 解得， 把代入得：， ∴． 15．某县计划对一河道进行改造，现有甲、乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程队单独施工1天，则可以完成220米施工任务；若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工2天，则可以完成360米施工任务．求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ 【答案】甲工程队平均每天能完成80米施工任务，乙工程队平均每天能完成60米施工任务 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，再求出解即可． 【详解】解：设甲工程队平均每天能完成x米施工任务，乙工程队平均每天能完成y米施工任务，由题意可知：     解得： 经检验符合题意． 答：甲工程队平均每天能完成80米施工任务，乙工程队平均每天能完成60米施工任务． 16．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元． (1)每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 【答案】(1)每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元； (2)共两种购买方案，方案如下．方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆；方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为400万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元． 依题意，得 解得 答：每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元； （2）设购进型汽车辆，型汽车辆． 依题意，得，所以． 因为，均为正整数， 所以或 所以共两种购买方案，方案如下． 方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆． 方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆． 17．项目式学习： “元旦促销活动”的调研分析 背景 商场为迎接元旦，搞优惠促销活动，将购进的甲，乙两种商品打折销售，折扣由顾客抽奖确定． 素材1 商场购进甲，乙两种商品后，均加价作为销售价． 素材2 某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款455元． 素材3 两种商品原销售价之和是520元． 问题解决 任务1 求这两种商品的原销售价分别是多少元？ 任务2 求这两种商品的进价分别是多少元？ 根据背景素材，请完成“问题解决”中任务1和任务2． 【答案】任务1：甲商品原销售价为130元，乙商品原销售价为390元；任务2：甲商品进价为100元，乙商品进价为300元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设甲种商品的原销售价是x元，则乙种商品的原销售价是元，根据“某顾客购买甲，乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款455元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即甲种商品的原销售价），再将其代入中，即可求出乙种商品的原销售价； 任务2：设甲种商品的进价是m元，乙种商品的进价是n元，利用原销售价进价，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：任务1：设甲种商品的原销售价是x元，则乙种商品的原销售价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：甲种商品的原销售价是130元，乙种商品的原销售价是390元； 任务2：设甲种商品的进价是m元，乙种商品的进价是n元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种商品的进价是100元，乙种商品的进价是300元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $