专题05 导数及其应用3考点10题型3易错（期末复习知识清单）高二数学下学期沪教版

专题05 导数及其应用 1．导数的概念及意义 （1）导数的概念：函数 在 处的导数 ，是函数在 附近的平均变化率 当 趋近于 0 时所趋近的稳定值，记作： 把自变量值 对应到 所给出的函数记作 ，称为 的导函数，简称导数。 （2）导数的物理意义：在满足函数关系 的运动中，该函数在 处的导数 就是 时刻的瞬时速度。 （3）导数的几何意义：对于曲线 ，函数 在 处的导数 就是曲线在点 处的切线斜率。 2．常用的求导公式与法则 （1） 为常数； （2） 为常数； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ，其中 ； （10） 为常数； （11） ，其中 。 3．用导数研究函数 （1）函数的单调性：在区间 上，若 ，则函数 严格增；若 ，则函数 严格减。 （2）函数的极值：在导数存在的前提下，若 是函数 的极值点，则 ，即 是函数 的驻点。反之，在 是函数 的驻点的前提下，若在 的左侧附近有 ，在 的右侧附近有 ，则 在 处取得极大值；若在 的左侧附近有 ，在 的右侧附近有 ，则 在 处取得极小值。 （3）连续函数在闭区间上必存在最值（最大值与最小值）。 题型一、导数（导函数）概念辨析 例1.（24-25高二下·上海·月考）某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（   ） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 【变式1-1】已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【变式1-2】（24-25高二下·上海·期末）设函数在处可导，且，则______. 题型二、导数定义中极限的简单计算 例2.（24-25高二下·上海·期末）已知在处可导，若，则__________． 【变式2-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设定义在R上的函数的导函数为，若，则__________________． 【变式2-2】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则______. 题型三、求曲线切线的斜率 （倾斜角） 例3.（24-25高二下·上海浦东新·期末）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【变式3-1】（22-23高二下·上海浦东新·期末）在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3-2】（24-25高二下·上海·期末）已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是______. 题型四、基本初等函数的导数公式 例4.（24-25高二下·上海·期末）函数的导函数________． 【变式4-1】（24-25高二下·上海·期末）已知，则曲线在点处切线的斜率为________. 【变式4-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的驻点为______． 题型五、导数的运算法则 例5.（24-25高二下·上海闵行·期末）函数（）的驻点为（   ） A．（1，0） B．（1，2） C．1 D．2 【变式5-1】（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则________；________. 【变式5-2】（23-24高二下·上海浦东新·期末）若，则______． 【变式5-3】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知函数，（），其导函数为． (1)若，求的值； (2)若的图像过点与，求原点到直线的距离． 题型六、导数的加减法 例6.（24-25高二下·上海虹口·期末）函数的导数_____． 【变式6-1】（23-24高二下·上海·期末）设表示在处的导数值， 已知，则___________ 【变式6-2】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，其中，则在处的切线方程为__________ 题型七、导数的乘除法 例7.（22-23高二下·上海黄浦·阶段检测）已知函数导函数为，且，则（    ） A．21 B．20 C．16 D．11 【变式7-1】（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）下列求导运算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】曲线在点处的切线的倾斜角为__________. 题型八、求某点处的导数值 例8.（23-24高二下·上海·期末）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．0 【变式8-1】（21-22高二下·上海长宁·期末）函数，则__________. 【变式8-2】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知函数满足：，且，则______. 题型九、简单复合函数的导数 例9.（23-24高二下·上海·期末）设的导函数是连续函数，则下面不正确的是（    ） A．如果是奇函数，则必是偶函数 B．如果是偶函数，则必是奇函数 C．如果是周期函数，则必是周期函数 D．如果是周期函数，则必是周期函数 【变式9-1】（22-23高二下·上海普陀·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的导数______． 题型十、用导数判断或证明已知函数的单调性 例10.（24-25高二下·上海静安·期末）函数在闭区间上的零点_______． 【变式10-1】（23-24高二下·上海·期末）已知满足方程：满足方程：，则_________． 【变式10-2】（24-25高二下·上海奉贤·期末）设函数，其中，，，定义域为.对于，定义，则________ 【变式10-3】（23-24高二下·上海·期末）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是________． 题型十一、利用导数求函数的单调区间（不含参） 例11.（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是_________. 【变式11-1】（24-25高二下·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 【变式11-2】（24-25高二下·上海虹口·期末）设 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； 【变式11-3】（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知函数，数列满足，且.对任意正整数，恒成立时，则称函数具有性质. (1)任意取一个，判断函数是否具有性质； (2)函数在定义域上严格减，任意取一个，说明函数不具有性质； (3)求函数的单调区间，并判断当时，函数是否具有性质，说明理由. 题型十二、由函数在区间上的单调性求参数 例12.（23-24高二下·上海·期末）“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式12-1】（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为________． 【变式12-2】（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 题型十三、函数与导函数图象之间的关系 例13.（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（    ）      A．     B．   C．   D．   【变式13-1】（24-25高二下·上海虹口·期末）对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高二下·上海崇明·期末）已知函数的图像是连绵不断的曲线，其导函数为．有如下两个命题：①若为奇函数，则为偶函数；②存在函数，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调．则（ ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题 题型十四、函数极值点的辨析 例14.（24-25高二下·上海·期末）＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式14-1】（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，则“是函数的极值点”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式14-2】（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的极值点的个数是______． 题型十五、根据极值求参数 例15.（23-24高二下·上海虹口·期末）已知，，若和是函数的两个不同的极值点，则的取值范围内的整数是（   ）. A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25高二下·上海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 【变式15-2】（21-22高二下·上海浦东新·期末）函数在x=1处取得极值-3-c，其中a､b､c为常数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若对任意，不等式恒成立，求c的取值范围. 题型十六、根据极值点求参数 例16.（24-25高二下·上海·期末）若函数在上无极值点，则实数a的取值范围是______． 【变式16-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若有两个极值点a，b，且恒成立，则实数t的取值范围为________． 【变式16-2】（24-25高二下·上海·期末）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是______. 题型十七、求已知函数的极值点 例17.（23-24高二下·上海·期末）函数 的驻点为___________． 【变式17-1】（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为__________． 【变式17-2】（22-23高二下·上海金山·期末）已知函数． (1)若在处的切线与轴平行，求的值； (2)若在区间上是严格增函数，求的取值范围； (3)是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由． 题型十八、由导数求函数的最值（含参） 例18.（24-25高二下·上海·期末）已知函数， (1)若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； (2)若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 【变式18-1】（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【变式18-2】（22-23高二下·上海静安·期末）设，函数. (1)请讨论该函数的单调性； (2)求该函数在闭区间上的最大值和最小值. 题型十九、函数单调性、极值 与最值的综合应用 例19.（23-24高二下·上海金山·期末）若存在锐角，满足不等式，则的值为__________． 【变式19-1】（23-24高二下·上海虹口·期末）已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是_____________. 【变式19-2】（24-25高二下·上海松江·期末）若定义域为的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常，使得成立，则称函数是函数的 “ 导控函数”，称为导控系数. (1)判断函数是否是的 “ 2 导控函数”，并说明理由； (2)若函数是函数的“导控函数”，求导控系数的取值范围; (3)若 ，函数是函数 的“ 1 导控函数”， 求证: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 题型二十、利用导数证明不等式 例20.（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【变式20-1】（24-25高二下·上海·期末）已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【变式20-2】（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 题型二十一、利用导数研究函数的零点 例21.（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是_______． 【变式21-1】（22-23高二下·上海嘉定·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)已知函数在区间上有零点，求的值； (3)记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围. 【变式21-2】（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，函数，其中． (1)若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； (2)若，，且满足，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求实数m的取值范围． 题型二十二、利用导数解决实际问题 例22.（24-25高二下·上海·期末）如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 【变式22-1】（22-23高二下·上海·期末）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【变式22-2】（22-23高二下·上海青浦·期末）已知，如图是一张边长为的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．    (1)试把无盖纸盒的容积表示成裁去边长的函数； (2)当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 题型一、求已知函数的极值 例1.（24-25高二下·上海崇明·期末）已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数最多为_______． 【变式1-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数．求函数的单调区间和极值． 【变式1-2】（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期末）已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． (1)构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 题型二、由导数求函数的最值（不含参） 例2.（24-25高二下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论:①; ②; 那么（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【变式2-1】（24-25高二下·上海·期末）函数在上的最小值为__________. 【变式2-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)讨论函数的单调性． 【变式2-3】（24-25高二下·上海·期末）在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. (1)类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； (2)若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； (3)若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 题型三、利用导数研究不等式恒成立问题 例3.（24-25高二下·上海·期末）已知：函数在处取得极值，其中为常数.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 1 0 + 极小值 【变式3-1】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为______． 【变式3-2】（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 2 / 64 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数及其应用 1．导数的概念及意义 （1）导数的概念：函数 在 处的导数 ，是函数在 附近的平均变化率 当 趋近于 0 时所趋近的稳定值，记作： 把自变量值 对应到 所给出的函数记作 ，称为 的导函数，简称导数。 （2）导数的物理意义：在满足函数关系 的运动中，该函数在 处的导数 就是 时刻的瞬时速度。 （3）导数的几何意义：对于曲线 ，函数 在 处的导数 就是曲线在点 处的切线斜率。 2．常用的求导公式与法则 （1） 为常数； （2） 为常数； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ，其中 ； （10） 为常数； （11） ，其中 。 3．用导数研究函数 （1）函数的单调性：在区间 上，若 ，则函数 严格增；若 ，则函数 严格减。 （2）函数的极值：在导数存在的前提下，若 是函数 的极值点，则 ，即 是函数 的驻点。反之，在 是函数 的驻点的前提下，若在 的左侧附近有 ，在 的右侧附近有 ，则 在 处取得极大值；若在 的左侧附近有 ，在 的右侧附近有 ，则 在 处取得极小值。 （3）连续函数在闭区间上必存在最值（最大值与最小值）。 一、导数（导函数）概念辨析 例1.（24-25高二下·上海·月考）某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（   ） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 【答案】D 【知识点】导数（导函数）概念辨析 【分析】根据导数的几何意义即可得解. 【详解】由导数的几何意义可知，的实际意义是3秒时水管流水量的瞬时变化率. 故选：D. 【变式1-1】已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【答案】C 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析、导数（导函数）概念辨析 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二下·上海·期末）设函数在处可导，且，则______. 【答案】 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据导数的定义可知：. 故答案为：3. 二、导数定义中极限的简单计算 例2.（24-25高二下·上海·期末）已知在处可导，若，则__________． 【答案】2 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数得定义计算即可. 【详解】因为，所以， 即. 故答案为：2. 【变式2-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设定义在R上的函数的导函数为，若，则__________________． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义直接求解即可. 【详解】由导数的定义得， 因为，所以. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，则______. 【答案】3 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】首先代入公式，根据极限的计算法则，即可求解. 【详解】， . 故答案为：3 三、求曲线切线的斜率 （倾斜角） 例3.（24-25高二下·上海浦东新·期末）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 【变式3-1】（22-23高二下·上海浦东新·期末）在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断. 【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD不合题意， 对A选项，函数在处的切线斜率等于1，且在上，切线斜率不断增大，则恒成立，故A正确. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二下·上海·期末）已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是______. 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先确定曲线的切线的变化规律，再根据曲线的切线关于的对称直线不能与轴垂直，可求的取值范围. 【详解】因为，所以，在上单调递增. 当时，函数在处的切线与轴垂直. 所以要使曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则需. 由，又，所以. 所以. 故答案为： 四、基本初等函数的导数公式 例4.（24-25高二下·上海·期末）函数的导函数________． 【答案】/ 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】求出函数的导数，代入数值计算即得答案. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高二下·上海·期末）已知，则曲线在点处切线的斜率为________. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】求函数的导函数及导函数在时的值，结合导数的几何意义求结论即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以曲线在点处切线的斜率为， 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的驻点为______． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知三角函数值求角 【分析】对求导得，再利用驻点的定义，即可求解. 【详解】因为，则，令，即， 解得， 故答案为：. 五、导数的运算法则 例5.（24-25高二下·上海闵行·期末）函数（）的驻点为（   ） A．（1，0） B．（1，2） C．1 D．2 【答案】C 【知识点】导数的运算法则 【分析】根据驻点的知识求得正确答案. 【详解】令，解得（负根舍去）， 所以驻点为. 故选：C 【变式5-1】（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则________；________. 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据给定条件，依次求导，探求出求导后的规律，再按周期性求值即可. 【详解】因为，， ， ， ， 所以， 所以， 所以， ； 所以， ， ， 所以. 【点睛】关键点睛：关键在于求导找到规律，利用规律计算即可 【变式5-2】（23-24高二下·上海浦东新·期末）若，则______． 【答案】 【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则 【分析】求导可得，代入计算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知函数，（），其导函数为． (1)若，求的值； (2)若的图像过点与，求原点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】导数的运算法则、求点到直线的距离 【分析】（1）由，可得，据此可得答案； （2）由题目条件得到，可将直线化简为：，然后由点到直线距离公式可得答案. 【详解】（1）， 则； （2）因的图像过点与， 由（1），. 由题可得直线存在，则，则， 则原点到直线的距离为. 六、导数的加减法 例6.（24-25高二下·上海虹口·期末）函数的导数_____． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】根据基本初等函数的导数公式及加法法则求导即可. 【详解】由. 故答案为： 【变式6-1】（23-24高二下·上海·期末）设表示在处的导数值， 已知，则___________ 【答案】/ 【知识点】导数的加减法、基本初等函数的导数公式 【分析】先对函数求导，然后将代入导函数可求出. 【详解】由，得 ， 令，则，解得， 故答案为： 【变式6-2】（24-25高二下·上海·月考）已知函数，其中，则在处的切线方程为__________ 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法 【分析】根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得，可得， 即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在处的切线方程为，即. 故答案为：. 七、导数的乘除法 例7.（22-23高二下·上海黄浦·阶段检测）已知函数导函数为，且，则（    ） A．21 B．20 C．16 D．11 【答案】B 【知识点】导数的乘除法 【分析】首先利用导数公式，求，再代入求的值. 【详解】由，得， 则，所以，则， 故选：B 【变式7-1】（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）下列求导运算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的乘除法 【分析】结合导数的基本运算直接判断即可. 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D正确. 【变式7-2】曲线在点处的切线的倾斜角为__________. 【答案】 【知识点】导数的乘除法、导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求导得该点切线斜率，由直线斜率和倾斜角的关系即可得解. 【详解】由，则， 即切线斜率为1，倾斜角为. 故答案为：. 八、求某点处的导数值 例8.（23-24高二下·上海·期末）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则 【分析】已知函数的导函数为，利用求导公式对进行求导，再把代入，即可求解． 【详解】函数的导函数为，且满足， ，把代入可得， 解得． 故选：C． 【变式8-1】（21-22高二下·上海长宁·期末）函数，则__________. 【答案】0 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值 【详解】，令得，解得， 则，故. 【变式8-2】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知函数满足：，且，则______. 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【详解】由于，两边求导，得， 令，分别得，， 由，可得，所以. 九、简单复合函数的导数 例9.（23-24高二下·上海·期末）设的导函数是连续函数，则下面不正确的是（    ） A．如果是奇函数，则必是偶函数 B．如果是偶函数，则必是奇函数 C．如果是周期函数，则必是周期函数 D．如果是周期函数，则必是周期函数 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、简单复合函数的导数 【分析】根据导函数与原函数的关系、函数的奇偶性的性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】对于A：当是奇函数时，则，则有，故必是偶函数，故A正确； 对于B：是偶函数，则，则，故必是奇函数，故B正确； 对于C：是周期函数，则，则，故必是周期函数，故C正确； 对于D：设不是周期函数，， ，是周期函数，但不是周期函数，故D错误. 故选：D． 【变式9-1】（22-23高二下·上海普陀·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的运算法则求导后判断． 【详解】，A错； ，B错； ，C正确； ，D错． 故选：C． 【变式9-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）函数的导数______． 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、求某点处的导数值 【分析】先求出导函数；再将代入即可求解. 【详解】由可得. 则. 故答案为：. 十、用导数判断或证明已知函数的单调性 例10.（24-25高二下·上海静安·期末）函数在闭区间上的零点_______． 【答案】 【知识点】求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据函数单调性结合特殊角三角函数值计算求解. 【详解】函数在闭区间，. 因为在单调递增，所以函数在闭区间上只有一个零点. 所以函数在闭区间上的零点只有一个且为0. 故答案为：0 【变式10-1】（23-24高二下·上海·期末）已知满足方程：满足方程：，则_________． 【答案】3 【知识点】根据函数的单调性求参数值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由题意得与，都是方程的实数根，结合函数单调性、零点存在定理即可求解. 【详解】由题意可得， 即， 所以与，都是方程的实数根， 令， ， 所以在R上单调递增， 因为， 即， 所以根据零点存在定理可知，存在唯一实数，使得， 所以方程有唯一的实数根， 所以，所以． 故答案为：3． 【变式10-2】（24-25高二下·上海奉贤·期末）设函数，其中，，，定义域为.对于，定义，则________ 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由导数可得单调递增，然后由定义可得答案. 【详解】注意到，则在R上单调递增. 则. 故答案为：. 【变式10-3】（23-24高二下·上海·期末）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是________． 【答案】 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，判断出函数的奇偶性，由导数得出的单调性，根据，求出的取值规律，可得答案. 【详解】、分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以、， 令，则， 因此函数在上是奇函数， 当时，， 在上单调递增，在上单调递增，且， ， 因为，， 所以时，，时，， 时，，时，， 不等式的解集是. 故答案为：. 十一、利用导数求函数的单调区间（不含参） 例11.（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是_________. 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，利用导数求原函数的单调区间. 【详解】因为，，则对恒成立， 所以该函数的严格增区间是. 故答案为：. 【变式11-1】（24-25高二下·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. ∵函数有三个单调区间， ∴方程有两个不等的实根，即有两个不等的实根， ∴，解得，∴实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式11-2】（24-25高二下·上海虹口·期末）设 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； 【答案】(1)递减区间为(0,2)，递增区间为； (2)； 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）对求导，根据导数在区间内的符号判断单调区间； （2）利用导数的几何意义求切线方程，再由切线重合得到相关方程求参数值. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以，令， 所以函数递减区间为(0,2)，递增区间为． （2）由，则曲线在点处的切线的方程为， 设直线与曲线相切于点，且，结合切点在上， 所以，且. 【变式11-3】（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知函数，数列满足，且.对任意正整数，恒成立时，则称函数具有性质. (1)任意取一个，判断函数是否具有性质； (2)函数在定义域上严格减，任意取一个，说明函数不具有性质； (3)求函数的单调区间，并判断当时，函数是否具有性质，说明理由. 【答案】(1)不具有性质，理由见详解. (2)证明见详解. (3)单调递减区间为，单调增区间为， 函数不具有性质，理由见详解 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数新定义 【分析】（1）由题可得即可判断不具有性质； （2）根据题意当时，可得，所以函数不具有性质； （3）对确定定义域并求导，根据导函数的正负确定单调区间，当时，可判断，再构造函数，求导可证得，即，从而得到，故函数不具有性质. 【详解】（1）由题知， 则， 所以函数不具有性质. （2）证明：不妨取时，因为函数在定义域上严格减， 所以，， ， 所以函数不具有性质. （3）函数定义域为， ， 当时，，当时， 所以函数单调递减区间为，单调增区间为， 性质的判断， ，则， 在单调递减，，即， 令， ， 所以在单调递减，，即， 所以， 综上，， 故，函数不具有性质. 十二、由函数在区间上的单调性求参数 例12.（23-24高二下·上海·期末）“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用导数，求出是增函数的的取值范围，再用充分性和必要性知识来进行判别即可． 【详解】是增函数，求导，即恒成立， 参变分离即恒成立，则．则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件． 故选：A. 【变式12-1】（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为________． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导函数，分在区间单调递增和单调递减两种情况讨论，参变分离，结合正切函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是严格单调函数， 若单调递增，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 若单调递减，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 综上可得. 故答案为： 【变式12-2】（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；减区间是，增区间是 (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求出函数的导数，由，求出a的值即可； （2）求出函数的导数，结合函数的单调性讨论a的范围即得. 【详解】（1）由得， 由曲线在处切线斜率为-1， 可得，. ,当单调递增；单调递减. 减区间是，增区间是. （2）由得： ①   时，，∴在递增，满足函数在区间上严格增， ②   时， 时，，在递增，若函数在区间上严格增， 综上可得 十三、函数与导函数图象之间的关系 例13.（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（    ）      A．     B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可求解． 【详解】从的图象可以看出，在区间,内，导函数大于0，且在区间,内， 导函数单调递增，在区间,内，导函数单调递减， 所以函数在区间,内单调递增，且的图象在区间内,越来越陡峭， 在区间,内越来越平缓，故选项符合题意． 故选：B． 【变式13-1】（24-25高二下·上海虹口·期末）对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据的奇偶性可得，的奇偶性，再根据时判断当时的正负，即可求解. 【详解】已知函数是奇函数，函数是偶函数， 则为偶函数，为奇函数， 又当时，，则当时，， 对于A选项，与的大小关系无法确定，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，与的大小关系无法确定，故D错误． 故选：B． 【变式13-2】（24-25高二下·上海崇明·期末）已知函数的图像是连绵不断的曲线，其导函数为．有如下两个命题：①若为奇函数，则为偶函数；②存在函数，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调．则（ ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，分别判断两个命题的真假，得出答案. 【详解】当为奇函数，则，则， 根据复合函数求导可得， 则有，即，可知为偶函数，①是真命题， 当时，，即函数，使得在定义域上单调，但在定义域不单调，所以②是真命题. 故选：A. 十四、函数极值点的辨析 例14.（24-25高二下·上海·期末）＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】函数极值点的辨析、既不充分也不必要条件 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】驻点不一定是极值点，如， 极值点也不一定是驻点，如. 则＂是函数的驻点＂是＂是函数的极值点＂的既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式14-1】（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，则“是函数的极值点”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】函数极值点的辨析、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据极值点与之间的关系，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为函数在上的导函数为， 若是函数的极值点，可知极值点为的变号零点， 即，即充分性成立； 若，不一定是函数的极值点， 例如，其在上单调递增，无极值点， 但，且，即必要性不成立； 综上所述：“是函数的极值点”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 【变式14-2】（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的极值点的个数是______． 【答案】0 【知识点】求已知函数的极值点、函数极值点的辨析 【分析】利用导数求函数单调区间，判断极值点的个数. 【详解】函数定义域为， 由，函数在和都单调递增，没有极值点， 函数的极值点的个数为0. 故答案为：0. 十五、根据极值求参数 例15.（23-24高二下·上海虹口·期末）已知，，若和是函数的两个不同的极值点，则的取值范围内的整数是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值求参数 【分析】先证明，再证明存在符合条件的使得. 【详解】由于，故是方程的两个不同的正数根. 所以，，且判别式，即，结合知. 那么 ， 而利用即可得到 ， 设，则当时，所以在上递增，故对有. 从而由有，故，即，所以. 这就得到. 而当时，； 当时，. 所以由零点存在定理知，一定存在，使得. 此时. 当或时，；当时，. 所以在和上递增，在上递减. 从而，的确分别是的极大值点和极小值点，满足条件. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数判断极值点. 【变式15-1】（24-25高二下·上海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数的单调性与极值，结合其极小值小于，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，令可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数既有极大值，也有极小值，且极小值为，解得. 因此，实数的取值范围是. 【变式15-2】（21-22高二下·上海浦东新·期末）函数在x=1处取得极值-3-c，其中a､b､c为常数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若对任意，不等式恒成立，求c的取值范围. 【答案】(1)减区间，增区间 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）由题意先确定的值，再由导数法直接求解即可 （2）首先求得函数的最小值，然后结合恒成立的结论得到关于c的二次不等式，求解二次不等式即可确定c的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 由题意知，因此，从而． 又由题意知，因此，解得； 所以．令，解得． 令，解得；令，解得； 因此的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值． 要使不等式恒成立，只需，即． 所以，从而． 解得或． 所以的取值范围为. 十六、根据极值点求参数 例16.（24-25高二下·上海·期末）若函数在上无极值点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据题意可得在上无变号零点，根据二次函数性质求解. 【详解】因为， 令， 由题意可知，或，解得. 故答案为：. 【变式16-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若有两个极值点a，b，且恒成立，则实数t的取值范围为________． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】先求导，由题意得是方程的两个解，即是方程的两个根，得，由得，即，利用对勾函数即可求解. 【详解】令， 则是方程的两个解，也即方程的两个根． 所以有且， 等价于，解得 易知， 而 ， 所以 故答案为： 【变式16-2】（24-25高二下·上海·期末）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是______. 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据极值点求参数 【分析】求导后，将问题转化为在上有两个不同零点的问题，根据二次函数零点分布可构造不等式组求得结果. 【详解】函数的定义域为，， 函数既有极大值又有极小值， 在上有两个不同零点， ，解得：，即的取值范围为. 故答案为：. 十七、求已知函数的极值点 例17.（23-24高二下·上海·期末）函数 的驻点为___________． 【答案】1 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求出函数的导数，再求出驻点即可. 【详解】函数，求导得， 由，得或（舍去），所以函数的驻点为1. 故答案为：1. 【变式17-1】（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为__________． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】根据已知条件，对函数求导，利用导函数研究函数的单调性，即可求解. 【详解】由，可得， 令，解得：，， 令，解得：或，所以在，上单调递增； 令，解得：，所以在上单调递减； 故函数的极大值点为； 故答案为： 【变式17-2】（22-23高二下·上海金山·期末）已知函数． (1)若在处的切线与轴平行，求的值； (2)若在区间上是严格增函数，求的取值范围； (3)是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值点、由函数在区间上的单调性求参数、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求出，由导数的几何意义可得出，即可求得实数的值； （2）由题意可得出，，利用参变量分离法可得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围； （3）分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的极值点的情况. 【详解】（1）解：因为，则， 因为在处的切线与轴平行，则，解得. （2）解：因为在区间上是严格增函数， 则，，可得， 当时，则，所以，， 因此，实数的取值范围是. （3）解：函数的定义域为，. 当时，对任意的，，此时函数无极值点； 当时，令可得， 由可得，由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 所以，函数在处取得极小值. 综上所述，当时，函数无极值点； 当时，函数的极小值点为. 十八、由导数求函数的最值（含参） 例18.（24-25高二下·上海·期末）已知函数， (1)若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； (2)若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 【答案】(1) (2)（i）和； （ii） 【知识点】根据函数的单调性解不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，求导可得函数的单调性，列不等式可得结果. （2）（i）通过导数可求的单调递增区间. （ii）分析函数的极小值，与作比较可得结果. 【详解】（1）由题意得，定义域为，关于原点对称. 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以，解得， 所以， 由得，或，由得，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. （2）（i）由题意得，， 由得或. 因为，所以由得，或，由得，， 所以的单调递增区间为和. （ii）由（i）得，在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的极小值为，且. 当，即时，，， 当，即时，，， 综上得，. 【变式18-1】（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导后，根据导函数在定义域内的正负可确定的单调区间和最值； （2）由（1）可知单调性，分别在、和三种情况下，根据单调性确定最小值点，由此求得最小值. 【详解】（1）由题意得：定义域为， 若，则， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，函数的最大值为，无最小值. （2）由题意得：定义域为，， 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； ①当，即时，在上单调递减，则； ②当，即时，在上单调递增，则； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则. 因为，， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述：当时，；当时，. 【点睛】思路点睛：求解在上的最小值的基本思路是通过分类讨论的方式，确定在上的单调性，由此确定最小值点. 【变式18-2】（22-23高二下·上海静安·期末）设，函数. (1)请讨论该函数的单调性； (2)求该函数在闭区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)在上递增，在上递减 (2)答案见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间； （2）根据（1）中的单调性，对进行分类讨论即可求出函数的最大值. 【详解】（1）函数的定义域为， 由，得， 因为， 由，得，得， 由，得，得， 所以在上递增，在上递减； （2）①当时，函数在区间上单调递增， 所以， ， ②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， ， 由，得时，， 由，得时，， ③当时，函数在区间上单调递减， 所以， ， 综上，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是正确在对分为，，和四种情况求函数的最值，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 十九、函数单调性、极值 与最值的综合应用 例19.（23-24高二下·上海金山·期末）若存在锐角，满足不等式，则的值为__________． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】分别构造函数，结合同角三角函数关系求导，分析单调性，根据存在成立问题令，求出即可； 【详解】设 则， 令，因为锐角，所以，即， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ， ， 令，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， 因为，所以． 故答案为：. 【变式19-1】（23-24高二下·上海虹口·期末）已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是_____________. 【答案】 【知识点】双曲线中的参数及范围、求平面轨迹方程、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】不妨设点在第一象限，依题意结合双曲线的定义可得点的轨迹是圆，用圆的参数方程设出点的坐标，表示出，再换元、用导数解答可得答案. 【详解】因为为双曲线的左、右焦点，所以， 因为为双曲线的一条渐近线，所以， 又，所以， 所以双曲线的方程为. 依题意，不妨设点在第一象限，如图， 延长交于点，连接， 因为，所以， 又是的平分线上的一点，即平分， 所以，即是的中点，又是的中点，所以， 由双曲线的定义，， 所以，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其方程为，设， 则， 同理得， ， 设，， 则 令，得， 令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解答本题的关键是先得到点的轨迹方程，在求的取值范围时，点的坐标设成是圆的参数方程的形式，把表示出来后，再令，转化为求函数的值域，用导数求出单调性进行解答. 【变式19-2】（24-25高二下·上海松江·期末）若定义域为的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常，使得成立，则称函数是函数的 “ 导控函数”，称为导控系数. (1)判断函数是否是的 “ 2 导控函数”，并说明理由； (2)若函数是函数的“导控函数”，求导控系数的取值范围; (3)若 ，函数是函数 的“ 1 导控函数”， 求证: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）求得，得到，即，即可得到答案； （2）求得，转化为成立，令，求得，得出的单调性，的得到，即可求解； （3）若存在常数，使得恒成立，得到，求得，证得充分性成立；若，则，由函数是函数的 “ 1 相关函数”，得到，再由，转化为，进而得到，证得必要性成立，即可得证. 【详解】（1）解：由函数是否是，可得， 因为对 ，所以 ， 即对任意实数 成立， 所以函数是函数的 “ 2 导控函数” . （2）解：由函数，且， 可得， 对任意实数，都存在常数，使得 成立， 设，则， 由， 当时，；当 时， . 即在上严格减，在上严格增， 所以， 即对任意实数，成立， 所以导控系数的取值范围是 . （3）证明：充分性：若存在常数，使得恒成立， 因为，所以， 即， 即对任意实数成立，所以. 必要性：若，则， 因为函数是函数的 “ 1 导控函数”， 所以对任意实数 ①， 由，得函数是函数的 “ 1 导控函数”， 所以对任意实数 ，即， 用代换，得对任意实数 ②， 由①②可知:对任意实数 ，即， 所以存在常数，使得恒成立， 综上可得: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 二十、利用导数证明不等式 例20.（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】C 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根 【分析】对于命题①：构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性分析其零点即可；对于命题②：利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论. 【详解】因为，即， 对于命题①：令，故， 可知函数在上单调递增，则至多有一个零点， 所以方程至多只有一个实数根，故命题①为真命题； 对于命题②：因为函数是周期为2，取一个周期， 由题意可知在内连续不断，则在内必有最大值和最小值， 设在内的最大值为，最小值为， 设，，且， 对任意， 显然时，恒成立，下面考虑的情况， 由导数定义可知，即， 若，则成立； 若，设，即， 则，且，可得， 所以成立； 综上所述：对任意实数，都成立，故命题②为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于命题②：设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用不等式的性质可证明. 【变式20-1】（24-25高二下·上海·期末）已知A，B，C是函数图象上不同的三点，若它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设． (1)当时，求函数在处的切线方程 (2)若是定义域上的“中值偏移”函数，求实数的取值范围； (3)当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、函数新定义 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求解即可； （2）设，，，故只需判断的符号即可； （3）由题意，证明得到，放缩即可得证. 【详解】（1），，则切线方程为； （2）设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以； （3），则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故 【变式20-2】（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）由对恒成立，可得结论； （2）由题意可得对恒成立，令，，求导求得的最大值与的最小值，可求的取值范围. （3）直线和函数相切于，则，进而构造函数再证明即可. 【详解】（1）因为对恒成立， 所以存在一条分界线. （2）对恒成立，则对恒成立. 令，则 解得，则在上严格增，在上严格减， 得，所以 令，则，则在上严格单调递增， 得，所以， 进而 （3）画两个函数的大致图像，利用计算器猜想： 两个函数与的一个交点是， 再猜想：直线和函数相切于，则 下面从两个角度去证明该直线是分界线： 一方面：， 所以 另一方面：令 则，解得，则在上严格增，在上严格减， 所以，即所以 所以对恒成立. 【点睛】方法点睛：把新定义转化为不等式恒成立，再通过构造函数求得函数的最值可求范围，求分界线，先通过作图，猜想分界线，再证明即可． 二一、利用导数研究函数的零点 例21.（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】首先求函数的导数，再求函数的极值，根据函数有3个零点，结合三次函数的单调性和极值，列式求解. 【详解】，得， ，得，，得或， 所以的增区间是，减区间是和， 函数的极小值是，极大值是， 由条件可知函数有3个零点，所以，得. 故答案为：. 【变式21-1】（22-23高二下·上海嘉定·期末）已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)已知函数在区间上有零点，求的值； (3)记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)0或3； (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由题意可得切点为，代入中可求出的值； （2）对函数求导，然后求出函数的单调区间和极值，再利用零点存在性定理可求出零点的范围，从而可求出的值； （3）对函数求导后，由题意可得方程有两个不相等的正实根，则，，再结合可得，则，构造函数，利用导数求出其最小值即可求出的取值范围，从而可求出的最大值. 【详解】（1）因为，所以，所以切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； （2），， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时． 综上，的值为0或3； （3）函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减； 所以当时，， 所以． 【变式21-2】（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，函数，其中． (1)若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； (2)若，，且满足，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）把，代入，利用导数值为0求出切点坐标即可作答. （2）利用反证法结合均值不等式证明即可. （3）当时，利用导数探讨函数的单调性，确定函数有唯一零点，再证明当时，函数有两个零点作答. 【详解】（1）当，时，，求导得， 由，即，得，此时， 所以所求水平切线的方程为. （2）证明：由题可得：， 即， 此时，若，则，从而有， 但是由平均不等式可得：， 且由知等号不成立，因此，与矛盾， 于是，所以. （3）依题意，， 当时，，函数在上严格递增， 从而当时，有唯一零点， 当时，，其中，而函数在上严格递增， 则当时，，而当时，， 于是函数在区间上严格递减，在区间上严格递增， 又，因此当且时，； 当且时，，而， 从而由零点存在定理知，连续函数在区间和上各有一个零点，即函数不可能有唯一零点， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 二二、利用导数解决实际问题 例22.（24-25高二下·上海·期末）如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 【答案】 【知识点】面积、体积最大问题 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用相似可得出，利用柱体的体积公式得出，其中，再利用导数法可求得的最大值. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得，可得， 令，结合，则， 圆柱的体积， 则，其中， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值，即. 故答案为：． 【变式22-1】（22-23高二下·上海·期末）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【答案】(1) (2)9 【知识点】成本最小问题、由导数求函数的最值（不含参）、分式型函数模型的应用 【分析】（1）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式； （2）把米代入到y的解析式中并求出令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可． 【详解】（1）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个， 则. （2）当米时，， ， 且时，，则单调递增， ，，则单调递减， ，需新建桥墩个． 【变式22-2】（22-23高二下·上海青浦·期末）已知，如图是一张边长为的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．    (1)试把无盖纸盒的容积表示成裁去边长的函数； (2)当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计） 【答案】(1) (2)当时，容积最大，最大值为 【知识点】面积、体积最大问题、由导数求函数的最值（不含参）、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据长方体的体积公式即可得解； （2）求导，再利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案. 【详解】（1）由题意，长方体的高为，底面是正方形，正方形的边长为， 则，所以， 则； （2）由（1）得， 则， 当时，，当时， ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，容积最大，最大值为. 一、求已知函数的极值 例1.（24-25高二下·上海崇明·期末）已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数最多为_______． 【答案】343 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】分析函数的性质，由对应取值的情况分类讨论求出的个数即可. 【详解】依题意，函数在上单调递增，在上单调递减，在处既得极大值，在处取得极小值， 因此对应取值可以是1个、2个或3个，且当或时，取值只有1个； 当或时，取值只有2个；当时，取值有3个， 当对应的个数均为1时，集合的个数为1； 当对应的个数为两个1，一个2时，集合的个数为； 当对应的个数为两个1，一个3时，集合的个数为； 当对应的个数为一个1，两个2时，集合的个数为； 当对应的个数为1，2，3时，集合的个数为； 当对应的个数为一个1，两个3时，集合的个数为； 当对应的个数为两个2，一个3时，集合的个数为； 当对应的个数为一个2，两个3时，集合的个数为； 当对应的个数均为3时，集合的个数为， 所以符合要求的集合的个数最多为343. 故答案为：343 【变式1-1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数．求函数的单调区间和极值． 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】利用导数与函数单调性的关系，求导，研究导数与零的大小关系，结合极值的定义，可得答案. 【详解】由函数，求导可得， 令得或，令得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为， 故函数的极大值为，极小值为. 【变式1-2】（24-25高二下·上海·期末）设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)答案见解析 (3)或 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）根据导数的正负即可求解极值； （2）分类讨论，及时的正负即可得出的单调性； （3）分类讨论，结合零点存在性定理，以及函数的单调性即可求解． 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值． （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数． （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点． 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期末）已知、为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意、，，均有．则称是集合到集合的一个“完美对应”． (1)构造区间到区间的一个完美对应，并说明理由； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】求已知函数的极值、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的值域及最值、函数新定义 【分析】（1）取，根据正切型函数的图象与性质即可证明其满足题意； （2）利用反证法，假设有是集合到的一个完美对应，最后得到，这与假设矛盾即可. （3）利用导数对分，和讨论，求出每个情况下的取值范围，再取并集即可. 【详解】（1）结合题意令，当时，， 则其值域为，满足条件①， 根据复合函数单调性知在单调递增，则其满足条件②， 故可取. （2）假设有是集合到的一个完美对应， 则有，其中，于是，， 由完美对应的定义，存在整数，使得且， 这与为整数矛盾，故假设不成立. 所以，整数集到有理数集之间不存在完美对应. （3）由题意得，而令，解得或， 若，则严格递增，且，此时；满足题意; 若，当时，； 当时，；时，； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增; 又，故只有极小值才满足题意， 即，解得， 若，当时，； 当时，；当时，； 则在单调递增，在单调递减，在单调递增； 又，故只有极大值才满足题意， 即，即解得. 综上, 的取值范围是 . 二、由导数求函数的最值（不含参） 例2.（24-25高二下·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知，两点连线的斜率为1，有下列两个结论:①; ②; 那么（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】对于①，由题意，进一步即可判断；对于②，将题目转换为只需证明，即可. 【详解】设，易知， 单调递增，故的图象上某点处的切线的斜率随着自变量的增大而增大， ，即， 所以，所以，故①正确； 设直线的方程为， 则和是函数的两个零点，， 又，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 下面证明，只需证， 由于，在上单调递减， 即证，即证. 设，， 因为，， 所以在上单调递增，所以， 故，即成立.故②正确. 故选：A 【变式2-1】（24-25高二下·上海·期末）函数在上的最小值为__________. 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【详解】因为，则， 又恒成立， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)0； (2)答案见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的最大值. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出函数单调区间. 【详解】（1）当时，的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减，， 所以函数的最大值为0. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，在上递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【变式2-3】（24-25高二下·上海·期末）在湖边，我们常看到成排的石柱子之间用铁链相连，这就是悬链线.选择适当的坐标系后，悬链线的解析式是一个双曲余弦函数，记为，其图象是曲线，与之对应的双曲正弦函数，其图象是曲线. (1)类比正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：，写出双曲正弦和双曲余弦的两种性质（不必证明）； (2)若当时，双曲余弦函数的图象曲线终在直线上方，求实数的取值范围； (3)若为坐标原点，直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线是，曲线在点处的切线是，且与相交于点，记与面积的乘积为，证明：存在两个不同的实数，使，且任意． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】导数的运算法则、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系；（2）构造函数，求导，得到函数单调性，进而得到答案；（3）通过导数求出，，联立求得，由面积公式求导和，则，分类讨论当，，时函数的单调性，再根据题意求解即可. 【详解】（1）因为正余弦的两种性质：①平方关系：，②导数：， 类比得到①，           ②； （2）即当时，恒成立，故， 令，， 由，即，解得（负值舍去）， 当严格减，当严格增， 故， 所以. （3）由题可知：，，， 则，，则， 同理，联立求得， 此时， ； 同理，求得， 则， 当时，记， ，， 当时，，即在严格减， 当时，，即在严格增， 易得，，， 故存在，使， 此时，在严格减，在严格增， 又，故，在严格增，在严格减， 故存在两个不同的，使， 因为即， 此时 ，当且仅当时取等， 因为，故对任意． 三、利用导数研究不等式恒成立问题 例3.（24-25高二下·上海·期末）已知：函数在处取得极值，其中为常数.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】. 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】利用求导，根据已知极值，可知导数值为，由此可解得参数，，再利用不等式恒成立，只需要满足最小值成立即可得，从而问题可得解. 【详解】由题意知，因此，从而. 又求导得， 又由题意可知，因此，解得； 故.令，解得. 1 0 + 极小值 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为； 所以在处取得极小值，此极小值也是最小值. 要使恒成立，只需.即， 从而.解得或. 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式3-1】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】令，根据题意可知在上单调递增，进而对函数求导，将问题转化为导函数恒成立，最后解出答案. 【详解】令，因为，所以，即， 易得不是常数函数，所以在上单调递增， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 令.则， 所以，所以 即的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-2】（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程； （2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可； （3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解． 【详解】（1）因为，所以，则切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； （2），， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时， 综上，的值为或； （3）函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， 则，所以， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减， 所以当时，， 因为恒成立， 所以，则的最大值为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2 / 64 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $