专题01 数列（12大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高二数学下学期人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 本专项以12大题型整合知识清单与思维导图，构建“概念-性质-方法-应用”逻辑体系，提炼通项求解、求和等核心方法，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列概念与性质|10题|累加法/累乘法/构造法|从定义到分类，递推关系与前n项和互化| |等差数列|15题|定义法/中项法/二次函数求最值|定义→通项→前n项和，性质与函数关系推导| |等比数列|15题|定义法/中项法/错位相减法|类比等差，突出公比分类与指数函数关联| |数列求和|10题|裂项相消/分组求和/倒序相加|基于等差等比，针对通项特征选择方法| |数学归纳法|5题|归纳奠基与递推证明|从特殊到一般，证明与正整数相关命题| |综合应用|5题|不等式放缩/新定义转化|融合数列性质与数学抽象，解决复杂问题|

专题01 数列（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 数列的概念】 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以 用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. . 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【知识清单2 数列的性质】 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【知识清单3 等差数列的概念与通项公式】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*,m≠n)，则 an-am =(n-m)d 4．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【知识清单4 等差数列的性质】 1．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，当d=0时，an=a1为常数列，当d≠0时，an= a1+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上一群均匀分布的孤立的点. 2．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 3．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为 λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【知识清单5 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 (公式一)，(公式二) (公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{an}的前n项和，令，=B，则. (1)当A=0，B=0(即d=0，a1=0)时，是常数函数，{an}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，a1≠0)时, 是关于n的一次函数，{an}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，a1≠0)时，是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【知识清单6 等比数列的概念与通项公式】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【知识清单7 等比数列的性质】 1．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是 指数型函数y=的图象上一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 3．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【知识清单8 等比数列的前n项和公式】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记，则是一个指数式与一 个常数的和.当q>0且q≠1时，y=qn是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【知识清单9 数列的求和】 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： . 2．分组（并项）求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 【常用结论】 1．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【知识清单10 数学归纳法】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法的概念与步骤 (1)数学归纳法的概念 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立. (2)数学归纳法的步骤 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题（例如数列、恒等式、整除等问题） 题型1 求数列的通项或项 1．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知数列，，，3，…，，…，则该数列的第40项是（   ） A．8 B．10 C．9 D． 2．（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知数列中，，则______. 5．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型2 数列的单调性问题 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高二下·北京西城·期末）若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（24-25高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 10．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的最小的项． 题型3 等差数列的判定与证明 11．（24-25高二下·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（24-25高二下·江西南昌·期末）设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 15．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前2n项和. 题型4 等差数列的通项公式 16．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知数列是等差数列，，，则（    ） A．22 B．24 C．16 D．18 17．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知等差数列，，，则（   ） A．4038 B．4040 C．4050 D．4052 18．（24-25高二下·辽宁丹东·期末）已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 19．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列满足，且，则首项___________． 20．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 题型5 等差数列的前n项和及其最值 21．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．66 B．16.5 C．33 D．24 22．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 23．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，，则（    ） A．36 B．48 C．72 D．108 24．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知为等差数列， 为前项和. 若10为与的等差中项， 则 __________. 25．（24-25高二下·河南开封·期末）在等差数列中，． (1)求； (2)记等差数列的前项和为，求时的值． 题型6 等比数列的判定与证明 26．（24-25高二下·北京西城·期末）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 30．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且. (1)若为等比数列，求公比的值； (2)若， （i）证明：数列为等比数列； （ii）求数列的前项和. 题型7 等比数列的通项公式 31．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）已知在等比数列中，，公比，则数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二下·湖北武汉·期末）若等比数列满足，，则（   ） A． B． C．16 D．32 33．（24-25高二下·贵州黔西·期末）记为各项均为正数的数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C．是递增数列 D． 34．（24-25高二下·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式___________. 35．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知数列为等差数列，为正项等比数列，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，证明：. 题型8 等比数列的前n项和 36．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 37．（24-25高二下·四川乐山·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 38．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 39．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知各项均为正数的等比数列和数列，若且，，则数列的前7项和为__________. 40．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 题型9 数列求和 41．（24-25高二下·云南·期末）数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 43．（24-25高二下·广东肇庆·期末）记等差数列的前项和为，且，，记为的前项和，则（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高二下·河南焦作·期末）在数列中，，且，则_________. 45．（24-25高二下·河南周口·期末）已知数列满足点在直线上，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型10 数列与不等式综合 46．（24-25高二下·江西九江·期末）已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．5 47．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 48．（24-25高二上·广西百色·期末）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高二下·河北·期末）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为___________. 50．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 题型11 数学归纳法 51．（24-25高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 52．（24-25高二上·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 54．（24-25高二下·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是___________. 55．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 题型12 数列新定义问题 56．（24-25高二下·江苏南京·期末）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，，，则（   ） A．31 B．63 C．127 D．255 57．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 58．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）定义 为数列的“匀称值”．若数列的“匀称值”为1，设数列的前n项和为，且对任意恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二下·北京房山·期末）对于数列，若存在，使得对任意，都有，即，则称为“差有界数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列的公差，则该数列为“差有界数列”； ②若等差数列为“差有界数列”，则其公差； ③若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”； ④若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”. 其中正确结论的序号为___________. 60．（24-25高二下·北京大兴·期末）若有穷数列，，，满足如下三个性质，则称Q为数列：①项数；②，；③令集合，对，，或． (1)判断数列0，2，4，6是否是数列，并说明理由； (2)若，，，为数列，求证：对，满足； (3)已知，，，为数列，求证：当时，Q是等差数列． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列（12大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【人教A版】 题型归纳 【知识清单1 数列的概念】 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以 用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. . 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【知识清单2 数列的性质】 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【知识清单3 等差数列的概念与通项公式】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*,m≠n)，则 an-am =(n-m)d 4．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【知识清单4 等差数列的性质】 1．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，当d=0时，an=a1为常数列，当d≠0时，an= a1+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上一群均匀分布的孤立的点. 2．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 3．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为 λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【知识清单5 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 (公式一)，(公式二) (公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{an}的前n项和，令，=B，则. (1)当A=0，B=0(即d=0，a1=0)时，是常数函数，{an}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，a1≠0)时, 是关于n的一次函数，{an}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，a1≠0)时，是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【知识清单6 等比数列的概念与通项公式】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【知识清单7 等比数列的性质】 1．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是 指数型函数y=的图象上一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 3．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【知识清单8 等比数列的前n项和公式】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记，则是一个指数式与一 个常数的和.当q>0且q≠1时，y=qn是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【知识清单9 数列的求和】 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： . 2．分组（并项）求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 【常用结论】 1．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【知识清单10 数学归纳法】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法的概念与步骤 (1)数学归纳法的概念 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立. (2)数学归纳法的步骤 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题（例如数列、恒等式、整除等问题） 题型1 求数列的通项或项 1．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知数列，，，3，…，，…，则该数列的第40项是（   ） A．8 B．10 C．9 D． 【答案】C 【解题思路】根据题设，将代入即可. 【解答过程】由题可知，该数列的第40项为， 故选：C. 2．（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将变形整理为，再分别用，，，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式. 【解答过程】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以 故选：A. 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据数列的规律性进行判断即可. 【解答过程】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第项的数字是，结合正负性， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知数列中，，则______. 【答案】 【解题思路】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【解答过程】，， ，即， . 故答案为：. 5．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数列第项与前项和之间的关系，分情况并检验，可得答案； （2）利用裂项相消的求和方法，可得答案. 【解答过程】（1）当时，； 当时，. 验证，当时，，符合， 综上，数列的通项公式为. （2）令. . 题型2 数列的单调性问题 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可. 【解答过程】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B. 7．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案. 【解答过程】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 8．（24-25高二下·北京西城·期末）若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，按公比的取值情况，结合单调性探讨等价条件，再利用充要条件的定义判断. 【解答过程】设等比数列的公比为，则， 由数列存在负数项，得或， 数列有最小项，当时，， 若，则单调递增，随着的增大，无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 若，，数列是常数列，有最小项； 若，则单调递减，随着的增大，正数无限减小，有最小项， 因此； 当时，数列的项正负相间，若，则单调递增，随着的增大， 无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 当时，，数列有最小项； 当时，，单调递减，随着的增大，正数无限减小， 有最小项或，因此， 于是数列有最小项等价于； 数列有最大项：，数列是等比数列， 当时，无最大项，数列无最大项； 当时，，数列有最大项； 当时，单调递减，随着的增大，正数无限减小，数列有最大项， 因此数列有最大项等价于， 所以“数列有最小项”是“数列有最大项”的充分必要条件. 故选：C. 9．（24-25高二下·上海·期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 【答案】 【解题思路】设数列第项最大，将通项公式代入不等式组，求出，即可得到数列的最大项. 【解答过程】， ，， 取最大值，有， ，解得：， 当时，；当时，； 所以最大项为，且. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的最小的项． 【答案】(1)； (2)－6 【解题思路】（1）应用计算求解通项公式； （2）先计算作差得，计算单调性即可得最小值. 【解答过程】（1）当时，； 当时，； 经检验符合通项公式， 所以通项公式为． （2）令，则， 令得； 所以， 所以最小项为. 题型3 等差数列的判定与证明 11．（24-25高二下·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项. 【解答过程】若等差数列通项公式为，此时，，，， 不为常数，所以不是等差数列； 不为常数，所以不是等差数列， 为常数，所以是等差数列， 不为常数，所以不是等差数列. 故选：B. 12．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【解答过程】依题意，对消去，得，等价于，所以， 所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误． 故选：D． 13．（24-25高二下·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的定义，判断出是等差数列则也是等差数列，而也是等差数列不一定是等差数列，可得答案. 【解答过程】若是等差数列，设公差为, 则， 则， 所以是等差数列； 若是等差数列，设公差为, 则， 即的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列， 则不一定是等差数列， 所以“是等差数列”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 14．（24-25高二下·江西南昌·期末）设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用已知的递推关系两边取倒数，即可构造数列的递推关系，从而问题得证； （2）利用等差数列可求数列的通项公式，再由裂项法求和，利用单调性可证明不等式. 【解答过程】（1）由可得：， 所以数列为等差数列，且首项为3，公差为3； （2）由数列为等差数列，，可得, 所以，又因为， 所以， 因为，所以，故． 15．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前2n项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据题意得到，由，化简得到，求得，结合等差数列的定义推理得证. （2）由（1）可得，得到，结合裂项法，即可求解. 【解答过程】（1）依题意，，当时，得，则， 由，得，则，即， 当时，，于是，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）得， 则， 所以 . 题型4 等差数列的通项公式 16．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知数列是等差数列，，，则（    ） A．22 B．24 C．16 D．18 【答案】A 【解题思路】设出首项和公差，结合等差数列性质建立方程求解首项和公差，最后得到即可. 【解答过程】设首项为，公差为，因为，所以， 因为，所以，解得，， 则，故A正确. 故选：A. 17．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知等差数列，，，则（   ） A．4038 B．4040 C．4050 D．4052 【答案】C 【解题思路】法1，设的公差为，首项为，利用等差数列基本量运算求得得解；法2，用减去，求得，代回求得，得解. 【解答过程】解法一：设的公差为，首项为，根据题意得： ，，. 解法二：减去，得，即， 将代入得，. 故选：C. 18．（24-25高二下·辽宁丹东·期末）已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【解题思路】根据等差数列的定义和通项公式求解即可. 【解答过程】因为数列各项均为正数，且，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，， 故选：C. 19．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列满足，且，则首项___________． 【答案】 【解题思路】根据等差数列通项公式计算基本量即可. 【解答过程】由已知数列为等差数列， 所以， 解得， 故答案为：. 20．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知条件求出首项和公差，进而得到数列的通项公式； （2）先对进行裂项，然后利用裂项相消法求出，最后证明. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，首项为， 根据等差数列通项公式，已知，， 可得方程组，解得，， 所以的通项公式为； （2）由（1）可知，则 所以 则 可得： 因为，所以，则，即. 题型5 等差数列的前n项和及其最值 21．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．66 B．16.5 C．33 D．24 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解. 【解答过程】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C. 22．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【答案】A 【解题思路】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【解答过程】， ∴ ， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 23．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，，则（    ） A．36 B．48 C．72 D．108 【答案】C 【解题思路】由已知条件列出方程，求出首项和公差代入公式即可求解. 【解答过程】在等差数列中，， 依题意，，即，， 两式相减解得，代入得， 因此. 故选：C. 24．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知为等差数列， 为前项和. 若10为与的等差中项， 则 __________. 【答案】 【解题思路】由等差数列的性质有，最后利用等差数列前项和公式即可求解. 【解答过程】由题意有，所以， 所以， 故答案为：. 25．（24-25高二下·河南开封·期末）在等差数列中，． (1)求； (2)记等差数列的前项和为，求时的值． 【答案】(1) (2)1或 【解题思路】（1）由题意求出数列的通项公式，即可求解； （2）利用等差数列前项求和公式得，从而可求解. 【解答过程】（1）由，所以公差， 所以，所以. （2）由（1）可得， 当时，即， 即，解得或. 故当时，为或. 题型6 等比数列的判定与证明 26．（24-25高二下·北京西城·期末）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据等比数列的性质直接求解即可. 【解答过程】设的公比为，的公比为， 对于A，令，则， 显然不是等比数列； 对于B，，故是等比数列； 对于C，，故是等比数列； 对于D，，故是等比数列. 故选：A. 27．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据等比数列、充要条件的定义判断可得答案. 【解答过程】若， 当时，，所以， 当时，， 所以， 可得，即， 可得是公比为2首项的等比数列； 若为等比数列， 可得当时，，所以，即， 则“”是“为等比数列”的充要条件. 故选：C. 28．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D 【解答过程】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D. 29．（24-25高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用与的关系式，消去，即可证明为等比数列，求得通项； （2）将数列的通项进行裂项，再运用裂项相消法即可求出并证得. 【解答过程】（1）因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； （2）由（1）知， 故， 因，，故得. 30．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且. (1)若为等比数列，求公比的值； (2)若， （i）证明：数列为等比数列； （ii）求数列的前项和. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【解题思路】（1）根据给定条件，列式求出，再结合通项公式及前n项和公式验证判断. （2）（ⅰ）利用前n项和与第n项的关系及已知可得，再利用等比数列定义推理即得；（ⅱ）由（ⅰ）的结论求得，再分奇偶求出，最后利用裂项相消法求和即可. 【解答过程】（1）数列中，，由，得， 则，解得或， 当时，，，， 而，显然不恒成立，因此， 当时，，，，符合题意， 所以. （2）（ⅰ）由，得，两式相减得， 则，当时，， 而，，则，即，， 所以数列为等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则， ，两式相减得， 当时，， 于是，，则； 当时，， 于是，，则， 则， 所以. 题型7 等比数列的通项公式 31．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）已知在等比数列中，，公比，则数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由等比数列的通项公式求得. 【解答过程】由等比数列的通项公式易得. 故选：B. 32．（24-25高二下·湖北武汉·期末）若等比数列满足，，则（   ） A． B． C．16 D．32 【答案】B 【解题思路】根据已知条件可建立关于首项和公比的方程组，计算出首项和公比后即可计算出即可. 【解答过程】设等比数列的公比为， 则由，， 得，，解得，， 则. 故选：B. 33．（24-25高二下·贵州黔西·期末）记为各项均为正数的数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C．是递增数列 D． 【答案】B 【解题思路】令即可判断A；将代入中得到，利用时，即可求出可判断B；根据可判断C；将代入即可判断D. 【解答过程】令，由得，解得或，又，所以，故A错误； 可化为， 当时，，即，且，不等于0， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故B正确； 因为，所以是常数列，故C错误； ，故D错误. 故选：B. 34．（24-25高二下·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式___________. 【答案】 【解题思路】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【解答过程】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 35．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知数列为等差数列，为正项等比数列，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，证明：. 【答案】(1)，. (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本量法可求公差与公比，故可求两个数列的通项； （2）利用裂项相消法可求的前项和，从而可证题设中的不等式. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题设有，因，故解得， 故，. （2）, 故 . 题型8 等比数列的前n项和 36．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【解答过程】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 37．（24-25高二下·四川乐山·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 【答案】D 【解题思路】法1，设等比数列的公比为，首项为，利用等比数列基本量运算求解判断；法2，利用等比数列前项和性质运算判断. 【解答过程】解法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，①，②， 由①②可得，，所以. 解法二：因为，，成等比数列，即，解得：. 故选：D. 38．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【解题思路】根据已知条件列出方程组，然后求出的值，然后根据等比数列的前项和公式化简求解即可. 【解答过程】因为等比数列，， 若，则，，矛盾，故， 所以. 将代入第二个方程得：. 所以. 因为，所以. 故选：C. 39．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知各项均为正数的等比数列和数列，若且，，则数列的前7项和为__________. 【答案】 【解题思路】设数列的公比为，，计算等比数列的基本量，最后利用等比数列的前项和公式即可求解. 【解答过程】设数列的公比为，，数列的前项和为， 由题意有，， 所以， 故答案为：. 40．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等差数列前和公式求解即可得公差，从而可求得等差数列的通项公式； （2）利用等比数列前和公式，即可求解. 【解答过程】（1）设公差为，，， 即. （2）由（1）得，， ， 是首项为8，公比为4的等比数列， . 题型9 数列求和 41．（24-25高二下·云南·期末）数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用数列的递推关系式，求得，再由时，得到，结合裂项法求和，即可求解. 【解答过程】由数列满足， 当时，， 两式相减，可得，所以， 当时，可得， 所以数列的通项公式为， 当时，， 所以数列的前9项和为 . 故选：A. 42．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 【答案】B 【解题思路】根据给定的通项公式，利用分组求和法列式计算即可． 【解答过程】因为， 则． 故选：B． 43．（24-25高二下·广东肇庆·期末）记等差数列的前项和为，且，，记为的前项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，则，解出，最后利用裂项相消法即可求解. 【解答过程】设，则解得，所以， 所以. . 故选：B. 44．（24-25高二下·河南焦作·期末）在数列中，，且，则_________. 【答案】 【解题思路】根据可得，从而得数列为常数列，于是可得数列的通项，结合裂项相消法求和即可. 【解答过程】由题意得，则， 所以数列为常数列， 因此，即， 则， 所以 . 故答案为：. 45．（24-25高二下·河南周口·期末）已知数列满足点在直线上，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【解答过程】（1）由题意得， 因为，所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 则，， 两式相减，得， 所以. 题型10 数列与不等式综合 46．（24-25高二下·江西九江·期末）已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【解题思路】利用错位相减法求出，然后得出，即可得出答案. 【解答过程】因为， 所以， 两式相减可得 ， 所以， 因为，所以，即恒成立，故. 故选：B. 47．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用数列的递推关系求得，进而得，再利用裂项相消法求得，通过函数的单调性和有界性得到，即可求得的最小值. 【解答过程】因为 ，① 当时，，∵，∴； 当时，，② ①②两式相减得，整理，得 ∴ ，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，∴． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 故选：D. 48．（24-25高二上·广西百色·期末）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用求出，再对给定不等式分离参数，构造数列并由单调性求出最大项即可. 【解答过程】数列中，，当时，，即， 当时，，解得，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，，依题意，对任意正整数n恒成立， 令，由，得，即数列单调递减， 则，于是，所以实数的取值范围是. 故选：D. 49．（24-25高二下·河北·期末）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】通过通项与前n项和的关系，求得通项公式，将恒成立转化为最值，构造新的数列求解. 【解答过程】因为为数列的前项和，且，，解得 ，当时，，化简得： ，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，可得， 若，即，所以， 因为若对任意正整数恒成立，所以， 令，因为，所以数列为递减数列，数列的最大值为，所以. 故答案为：. 50．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【解题思路】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 【解答过程】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 题型11 数学归纳法 51．（24-25高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【解答过程】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B. 52．（24-25高二上·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】观察为项连续正整数之和的规律，可得. 【解答过程】由题意，， 即从起连续项正整数之和. 则为从起连续3个正整数之和， 故第一步应证明. 故选：B. 53．（24-25高二上·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解题思路】分别计算出和的项数，进而作差即得结论． 【解答过程】因为， 所以，共项， 则共项， 所以比共增加了项， 故选：D. 54．（24-25高二下·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是___________. 【答案】（1）（2） 【解题思路】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案. 【解答过程】（1）错误：本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）错误：本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 故答案为：（1）（2）. 55．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【解答过程】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 题型12 数列新定义问题 56．（24-25高二下·江苏南京·期末）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，，，则（   ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解题思路】先利用已知条件列出等式，然后利用等比数列的通项公式求出，最后利用等比数列的前项和公式求出结果. 【解答过程】根据题意可得：， 因为数列是等比数列， 则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 57．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 【答案】C 【解题思路】对A：由题意直接运算判断；对B：根据题意分析可得：可判断；对C：根据第次“美好成长”与第次“美好成长”的关系分析运算；对D：由，利用构造法结合等比数列可求解. 【解答过程】对A选项，根据题意可得：，A选项正确； 对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则， 数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 数列的前项和即为，，B选项正确； 对C选项， ，C选项错误； 对D选项，由B选项分析可得，又， ，又， 是以首项为，公比为3的等比数列， ，D选项正确． 故选：C． 58．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）定义 为数列的“匀称值”．若数列的“匀称值”为1，设数列的前n项和为，且对任意恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用给定定义建立等式，再利用数列前n项和与第n项的关系求出，并利用裂项相消法求和求出，进而建立不等式求解. 【解答过程】依题意，，即， 当时，，两式相减得，即， 满足上式，，则 ，于是， 由对任意恒成立，得，而， 整理得，因此，所以实数m的取值范围为. 故选：B. 59．（24-25高二下·北京房山·期末）对于数列，若存在，使得对任意，都有，即，则称为“差有界数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列的公差，则该数列为“差有界数列”； ②若等差数列为“差有界数列”，则其公差； ③若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”； ④若数列为“差有界数列”，则为“差有界数列”. 其中正确结论的序号为___________. 【答案】①②③ 【解题思路】结合等差数列的性质判断①②，结合不等式判断③，举反例判断④即可求解. 【解答过程】对于①，若等差数列的公差，则显然存在，使得对任意，都有， 即该数列为“差有界数列”，故①正确； 对于②，若等差数列为“差有界数列”， 则存在，使得对任意，都有，其中是等差数列的公差， 若，则对于任意给定的，当充分大时，总有，矛盾， 所有，故②正确； 对于③，若数列为“差有界数列”， 则存在，使得对任意，都有， 因为， 所以，则为“差有界数列”，故③正确； 对于④，取，则存在，使得对任意，都有， 即此时数列为“差有界数列”， 而，这意味着对于任意给定的，当充分大时，总有， 所以此时不是“差有界数列”，故④错误. 故答案为：①②③. 60．（24-25高二下·北京大兴·期末）若有穷数列，，，满足如下三个性质，则称Q为数列：①项数；②，；③令集合，对，，或． (1)判断数列0，2，4，6是否是数列，并说明理由； (2)若，，，为数列，求证：对，满足； (3)已知，，，为数列，求证：当时，Q是等差数列． 【答案】(1)数列0，2，4，6是数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据定义进行判断； （2）依据定义，①可知 满足；②，，然后进行判断； （3）依据定义可知，可得，；又，可得，，两式作差可得结果. 【解答过程】（1）由题意知，集合． 因为数列0，2，4，6共有4项，， 且，，，，，，，，， 都是集合的元素， 所以数列0，2，4，6是数列． （2）由题意知，集合． 已知，，，为数列． ①因为，所以，所以，． 故．因此． 所以满足． ②当时，因为， 所以，． 所以对于，满足，即． 所以对，满足 （3）因为，，，为数列， 所以， 且． 所以，，，，，． 即，．① 当时，， 所以，． 由， 且． 所以，，，，， 所以，． 因为时，，， 所以，且， 有，．② 将①②两式相减得，． 因此，当时，，，，是等差数列． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $