湖北利川市第五中学2025-2026学年高二下学期每日一练数学训练卷（第13周）

**基本信息** 周测卷覆盖函数、几何、概率等模块，以基础巩固（如数列运算）和能力提升（如立体几何轨迹）为梯度，通过志愿者分配、传球训练等真实情境，培养数学思维与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|统计（上四分位数）、排列组合（志愿者分配）|基础概念辨析，如充要条件判断| |多选题|3题|解三角形、导数应用|多选项分层考查，如导数零点与最值分析| |填空题|3题|几何概型（钝角三角形期望）|创新情境设计，如轨迹存在性问题| |解答题|5题|数列求和、双曲线证明、立体几何线面角|综合应用，如传球概率模型构建与逻辑推理|

利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷 第13周 一、单选题 1.2023+2024=() A.1+√2i B.1-2i C.1-i D.-1-i 2.样本数据：3,3,4,4,5,6,6,7,7,8的上四分位数为() A.6 B.6.5 C.7 D.7.5 3.已知x∈R,则-2≤x≤3”是0”的()条件 A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 4.新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个 展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有() A.54种 B.90种 C.150种 D.540种 5.己知函数f()=sin(@r)(o>0)在区间0，习上存在最大值和最小值，则o的取值范围是（) A.(1,2] B.(3,+∞) C.(1,2]U(3,+∞)D.(1,2)U(3,+o) 6.若随机变量X服从二项分布88写》 则P(X=k)取得最大值时，k=() A.2或3 B.2 C.3 D.4 7.己知F是C:x2=4y的焦点，P,2,R三点在C上，若FP,FQ,FR成等差数列，则P,2,R三点() A.横坐标成等差数列 B.横坐标成等比数列 C.纵坐标成等差数列 D.纵坐标成等比数列 8.已知a=e1-1,b=0.1,c=ln1.1,则() A.c<a<b B.b<c<a C.c<b<a D.a<b<c 二、多选题 9.在△1BC中，B=3,4C=4,∠BMC-子点D为边BC上一动点，则() A.BC=5 B.当AD为边BC上的高线时，4D= 5 C.当AD为边BC上的中线时，AD= 2 D.当AD为∠BAC的平分线时，AD= 1 高二数学试卷第1页，共4页 10.已知函数了()=写-+1，其导函数为f(),则下列结论正确的是（) A.直线3x+3y-1=0是曲线y=f(x)的切线 B.f(x)有三个零点 C."(2+x)=-f'(x) D.若f(x)在(a,a+4)上有最大值，则a的取值范围为(-4，-1 1.已知三个密度函数f=1。 e2a(x∈R,i=l,2,3)的图象如图所示，则() 0,V2 y=f(x) A.4<42=4 y=f(x) B.01=02>03 y=fj(x) C.若X~N(1,o),P(x<2)=0.8,则P0<x<1)=0.3 D.若X~N(4,o),Y~N(,o),则3x∈R,使得P(X<x)=P(Y<x) 三、填空题 12.把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从这些三角形中任 取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的期望为 13.已知(x-2)=ar+ax?+…+ax+a,则la+a2++bs=,4+2a2+3a++8as= 14.已知f)=xlnx,g()=x-e,若存在x∈(0，+o),x,∈R,使得f(x)=g()>0成立，则点的最大值 为 四、解答题 15.已知函数f()=mn(x+)-5x (1)若函数在x=1时取得极值，求m的值： (2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[0,4]上的最小值. 高二数学试卷第2页，共4页 16.己知等差数列{an}中，其前n项和为Sn,且a2-2a,+7,S4=16,，数列{bn}满足 3b+5b2+7b,+…(2n+1)bn=n…3m1. (1)求{an},{bn}的通项公式： (2)求数列{an·bn}的前n项和Bn. 17。已知双曲线C:若若=a>0>0)的焦面为8，点（4)在双线C的一条新近线上过双曲 线C的左焦点F作直线I交双曲线C的左支于A,B两点. (1)求双曲线C的方程： (2)已知点P(-4,2),直线AP交直线x=-2于点Q,设直线QA,QB的斜率分别为k,k2,求证：k-k2 为定值. 高二数学试卷第3页，共4页 18.从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次 传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列： (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概 率为Pm,n=1,2,3,…, ①直接写出P,P2:P的值： ②求pn与pn的关系式(n∈N),并求pn(neN). 19.如图，平行六面体ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形，∠CCB=∠CCD=∠BCD=0,AB=1, B 且AC⊥平面BCD. (1)求CC的长 B ②)当9e时，求直线BC与平面8CD所成的角的正弦值的取值范围. (3)当0=时，已知动点M到点A的距离是它到平面CDD,C的距离的2倍若动点M的轨迹、平面 ACCA和平面ABD三者相交于两点P,Q,求PQ. 高二数学试卷第4页，共4页 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷解析 第13周 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C B C C A C C ABC BD ACD 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 2．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】C 【详解】已知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，由， 该样本数据是从小到大排列的，故样本数据的上四分位数为第8个数据7. 3．已知，则“”是“”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】，即，解得. 因为真包含于，小范围推出大范围， 所以，推不出，所以“”是“”的必要不充分条件. 4．新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（   ） A．54种 B．90种 C．150种 D．540种 【答案】C 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，则有 种分法； 将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法，则不同的分配方案共有种. 5．已知函数在区间上存在最大值和最小值，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为,，所以，画出的图象， 由图象得或，解得，或. 6．若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 7．已知是抛物线的焦点，三点在抛物线上，若成等差数列，则三点（    ） A．横坐标成等差数列 B．横坐标成等比数列 C．纵坐标成等差数列 D．纵坐标成等比数列 【答案】C 【详解】已知抛物线，根据抛物线的标准方程，得，解得， 因此抛物线的焦点的坐标为，即，准线方程，即， 设抛物线上的三点的坐标分别为，由于这三点都在抛物线上， 由抛物线的定义，得，同理，，， 已知成等差数列，则，即， 化简得，而分别为的纵坐标， 因此的纵坐标成等差数列，故C正确. 8．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 可直接用切线放缩（切线不等式）解题 【详解】设，求导，所以当时，，单调递增， 故，即，所以； 设，求导，所以当时，，单调递增，，所以，故. 故选：C 二、多选题 9．在中，，，，点D为边BC上一动点，则（   ） A． B．当AD为边BC上的高线时， C．当AD为边BC上的中线时， D．当AD为的平分线时， 【答案】ABC 【详解】A：根据勾股定理，得，所以，A对； B：根据三角形面积公式，代入得，解得，B对； C：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，，所以，C对； D：因为AD为的平分线，所以， 由，可得， 即，解得，D错． 10．已知函数，其导函数为，则下列结论正确的是（   ） A．直线是曲线的切线 B．有三个零点 C． D．若在上有最大值，则的取值范围为 【答案】BD【详解】对于A，由，则， 由直线，则斜率为，令，即，解得，，可得切点为， 将代入，则，故A错误； 对于B，由当时，，当时，， 则函数在和单调递增，在单调递减， 由，，，，即， 则函数在，，分别存在唯一零点，即函数存在三个零点，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由B可知在取得极大值，由，则，解得，故D对. 11．已知三个密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C．若，，则 D．若，，则，使得 【答案】ACD【详解】根据正态曲线关于直线对称，且越大曲线越靠右，则，故A对； 又越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则，故B错误； ，则， 所以，故C正确； 因为，取，则，故D正确. 三、填空题 12．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的期望为_____________． 【答案】 【详解】以这些分点包括直径的两端点为顶点，一共能画出个三角形， 其中钝角三角形有7个，所以，1，2，3， ，，，， 所以． 故答案为：. 13．已知，则_____，______ 【答案】，【详解】展开后，系数的符号由的幂次决定，等于展开式中的系数， 令，得，即； 令原展开式，得，且； 因此： ； 对原式两边关于求导： 左边导数： 右边导数：， 令代入，右边即为所求式子，左边得： ， 因此. 14．已知若存在，使成立，则的最大值为____. 【答案】 【分析】根据两函数的同构特征，不难发现，考查利用函数的单调性推得，从而将转化为，最后通过的最大值求得的最大值. 【详解】因则， 由知时，，即函数在上单调递增. 由可得：且,故得：， 则，不妨设，则， 故当时，，↑，当时，，↓，即，故的最大值为. 四、解答题 15．已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【详解】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以，此时， 所以当时，时，所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得，且函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以函数最小值为. 16．已知等差数列中，其前项和为，且，数列满足 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）已知为等差数列，且， ，解得： ， 当时，有，两式相减得：， 当时，，满足，． （2）由（1）知， 两式相减得：， . 17．已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q,设直线，的斜率分别为，，求证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上，所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得，故双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左焦点为，由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以. 即为定值. 18．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为， ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求. 【答案】(1)分布列见解析 (2)①，，；②； 【详解】（1）可能取值为， ； ； 所以随机变量的分布列为 （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为， 则有 记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 所以 即， 所以，且 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以 所以 即次传球后球在甲手中的概率是. 19．如图，平行六面体的底面是菱形，，，且平面.   (1)求的长. (2)当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. (3)当时，已知动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍.若动点M的轨迹、平面和平面三者相交于两点P，Q，求. 【答案】(1)1； (2)； (3). 【分析】（1）取定空间的一个基底，利用空间向量数量积及向量垂直的坐标表示列式求解. （2）利用空间向量数量积的运算律及夹角公式，结合线面角的向量法列出函数式，再求出函数值域即可. （3）利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面和平面的方程及点M的轨迹方程，联立三个方程，结合空间两点间距离公式求解. 【详解】（1）在平行六面体中，令，令， 由四边形是菱形，得，由， 得，又， 平面，则， 整理得，而，解得， 所以的长为1. （2）当时，由（1）得， ，则，， ，而为平面的法向量， 则直线与平面所成角的正弦值 ， 而，即，则， ，因此， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. （3）当时，（1）得平行六面体为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，   则， 平面方程为，平面方程为， 设平面内任意一点，， 则，即，于是平面方程为， 设动点，由动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍， 得，整理得点M的轨迹方程为， 由，整理得， 设， 则，因此 ， 所以长为. 高二数学试卷解析 第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷解析 第13周 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 11 答案 C C B C ABC BD ACD 一、单选题 1.i2023+i2024=（) A.1+√2i B.1-√2i C.1-i D.-1-i 【答案】C【详解】2023+i2024=ix50s+3+ix506=i1+1=1-i 2.样本数据：3,3,4,4,5,6,6,7,7,8的上四分位数为() A.6 B.6.5 C.7 D.7.5 【答案】C【详解】己知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，由10×75%=7.5， 该样本数据是从小到大排列的，故样本数据的上四分位数为第8个数据7. 3.已知x∈R,则“-2≤x≤3”是-3s0的( )条件 x+2 A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【答案】B【详解】-3s0,即x-3(x+2)≤0 x+2 解得-2<x≤3 x+2≠0 因为{x-2<x≤3}真包含于{x-2≤x≤3}，小范围推出大范围， 所以-3s0→-2sx53,-2≤x≤3推不出-3≤0，所以-2≤x≤3是“-3≤0的必要不充分条件 x+2 x+2 x+2 4.新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅 至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有() A.54种 B.90种 C.150种 D.540种 【答案】C【详解】将5名志愿者分为1,2,2，则有CS=15种分法 A 将5名志愿者分为1,1,3，则有C=10种分法，则不同的分配方案共有 CC+CxA=150种， A 5.已知函数f()=sin(@ax)(a>0)在区间0，)上存在最大值和最小值， 则w的取值范围是() A.1,2] B.(3,+o0) C.(1,2]U(3,+0) D.(L,2)U(3,+o) 【答案】C【详解】因为o>0,x 所以r∈0，r 画出y=sinx的图象， 由图象得、受≤或贤 ,解得1<0≤2，或o>3. 2 2 2 试卷第1页，共9页 6、若随机变量X服从二项分布88》 则P(X=k)取得最大值时，k=() A.2或3 B.2 C.3 D.4 P(X=k)2P(X=k-1) 4GG 【答案】A【详解】由题可知： P(X=k)2P(X=k+1) 8! 1 8! 2 -X- k(8-k)13(k-19-ky3 所以化简得到 8: →2≤k≤3，又keN,所以k=2或3. 2 8! 1 以> k(8-k)13(k+1(门-k23 7.已知F是抛物线C:x2=4y的焦点，P,Q,R三点在抛物线C上，若FP,FQ,FR成等差数列，则P,O,R 三点() A.横坐标成等差数列 B.横坐标成等比数列 C.纵坐标成等差数列 D.纵坐标成等比数列 【答案】C【详解】己知抛物线C:x2=4y,根据抛物线的标准方程，得2p=4,解得p=2, 因此抛物线的焦点F的坐标为Q》 即F(Q,),准线方程y=-?,即y=-1, 设抛物线上的三点P,Q,R的坐标分别为P(x,y),Q(x2,2),R(x,3),由于这三点都在抛物线上， 由抛物线的定义，得FP=y-（-1)=y+1,同理，FQ=2+1,FR=⅓+1， 已知FP,FQ,FR成等差数列，则2FQ=FP+FR,即2(y2+1)=+1+y+1, 化简得2y2=+y3,而y,y2,y3分别为P,Q,R的纵坐标，因此P,Q,R的纵坐标成等差数列，故C正确 8.已知a=e1-1,b=0.1,c=lnl.1,则() A.c<a<b B.b<c<a C.c<b<a D.a<b<c 【答案】C可直接用切线放缩（切线不等式）解题 【详解】设f(x)=e-1-x,求导f'(x)=e-1,所以当x≥0时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 故f(0.1)>f(0),即e1-1-0.1>0,所以a>b: 设)=-h(+小，求导g)=1中名所以当r≥0时，g之0，单调避指 g(0.1)=0.1-ln1.1>g(0)=0,所以b>c,故a>b>c.故选：C 高二数学试卷解析第2页，共9页 二、多选题 9.在A4BC中，B=3,4C=4,∠B1C-分点D为边BC上一动点，则（) A.BC=5 B.当AD为边BC上的高线时，AD=12 5 C.当D为边BC上的中线，D- D.当D为∠BAC的平分线时，AD=另 【答案】ABC【详解】A:根据勾股定理BC2=AB2+AC2,得BC2=32+42=25,所以BC=5,A对： B:根据三角形面积公式3c号4B4C-方8C~4D,代入得x3x4-方×5x4D,解得4D-号。 1 ,B对 ，C对： C:因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BC=5,所以4D=, D:因为AD为∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD= 4 由5c=5o+Sae,可得x3x4=×3x4 Dxsin4x4Dx5m 2 42 即6=ADx(3+4x5,解得AD=122,D错 2 10.已知函数f(x)=x-x+1,其导函数为f(x),则下列结论正确的是() A.直线3x+3y-1=0是曲线y=f(x)的切线 B.f(x)有三个零点 C.f'(2+x)=-f'(x) D.若f(x)在(a,a+4)上有最大值，则a的取值范围为(-4，-1 【答案】BD【详解】对于A,由f()=子-+1，则f()=-2x, 由直线3x+3-1=0,则斜率为-1，令7)=-1，即-2x=-1,解得x=1,10）可得切点为》 将兮)代入3x+3y-1=0,则3+1-1=320，放A错误 对于B,由当x∈(-oo,0)U(2,+o)时，f'(x)>0,当x∈(0,2)时，f'(x)<0, 则函数f(x)在(-∞，0)和(2，+0)单调递增，在(0,2)单调递减， 由f-H=子fo)=1,f2)=子f6)=1,即f-ro)=fo)r)=fe/6k0, 则函数f(x)在(-1,0)，(0,2)，(2,3)分别存在唯一零点，即函数f(x)存在三个零点，故B正确： 对于C,(2+x)=(2+x)2-2(2+x)=4+4x+x2-42x22x≠f'卡)，故C错误： 对于D,由B可知f)在x=0取得极大值，由f0=1=f3),则a<0<a+4≤3，解得-4<a≤-1，故D对. 试卷第3页，共9页 1己知三个密度函数f=Tec∈Ri=2.3)的图象如图所示，则C oV2元 y=f(x) A.凸1<42=3 yf(x) B.01=02>03 (x) C.若X~N(1,o),P(x<2)=0.8,则P0<x<1)=0.3 D.若X~N(h,o),Y~N(,o),则xeR,使得P(X<x)=P(Y<x) 【答案】ACD【详解】根据正态曲线关于直线x=“对称，且！越大曲线越靠右，则4<h2=4,故A对； 又0越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则o,=o2<o,故B错误： X~N(1,o2),Px<2)=0.8,则P(x>2)=1-0.8=0.2,P1<x<2)=0.5-0.2=0.3, 所以P(0<x<1)=P1<x<2)=0.3,故C正确： 因为h=4,取x=4,则P(X<42)=P(Y<)=05,故D正确. 三、填空题 12.把半圆弧分成4等份，以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3 个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的期望为 1器 【详解】以这些分点（包括直径的两端点）为顶点，一共能画出C?=10个三角形， 其中钝角三角形有7个，所以X=0,1,2,3, x-0叭-8ox--e- C31201 P(X=2)=C5C=3 C3120 P(x=3)=S-35 C120 +2×63+3x35-21 所以Ex=0x20+1×202年 故答案为： 21 12010 10 13.已知(x-2)8=asx8+ax7+…+a,x+a,则a+a2+…+ag= ,41+2a2+3a3+…+8as= 【答案】6305，-8【详解】(x-2)展开后，系数a,的符号由(-2)的幂次决定，|a等于展开式中x的系数， 令x=1,得(1+2)8=|a+a,l+…+a,+al,即38=6561； 令原展开式x=0,得a。=(-2)8=256,且a,=a: 因此：|a,+a2l+…+a=38-a。=6561-256=6305: 对原式两边关于x求导：左边导数：8(x-2)7右边导数：8ax+7ax°+…+a1, 令x=1代入，右边即为所求式子，左边得：81-2)7=8×(-1)7=-8，因此a,+2a2++8a=-8. 高二数学试卷解析第4页，共9页 14.已知f)=xnx,g)=xe,若存在x∈(0，+o,∈R,使f)=g)>0成立，则点的最大值为 【答案】】【分析】根据两函数的同构特征，不难发现fx)=g血x),考查利用函数g()=xe的单 调性推得山=名，从面的空转化为，数道过()坚(：>的设大求符空的及大直 【详解】因f(x)=xnx,g(x)=x·e,则f(x)=xlnx,=lnx,en=g(lnx), 由g(x)=x·e知x>0时，g'(x)=(x+1)e>0,即函数g(x)=x·e在(0，+o)上单调递增. 由f(x)=g(x2)>0可得：x>1,x2>0且glnx)=g(x2),故得：lnx=x2, 则至-，不结设()-(e>,则=1>， 故当1<x<e时，()>0，x)↑，当x>e时，M<0,h,即h()=he)=,故点的最大值为} a X 四、解答题 15.已知函数f()=min(x+-r (1)若函数在x=1时取得极值，求m的值：(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[0,4]上的最小值. 【答案】2：②2h5-8【详解】(1)由题可得了()=m-x=--x+m x>-1, x+1 x+1 因为函数在x=1时取得极值，所以了0=分-1=0→m=2,此时了(=+2-公+2北-) ,x>-1, x+1 x+1 所以当x∈(-1,1)时f'(x)>0,x∈(1，+o)时f'(x)<0,所以函数f(x)在x=1时取得极值，所以m=2; (2)由(1)可得/()=2n(x+1)-?x,且函数f()在[0，)上单调递增，在L4上单调递减， 又f(0)=0f(4)=2n5-8=2(血5-4)<0，所以函数最小值为21n5-8. 16.已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn,且42=2a+7,S4=16,数列{bn}满足3+56+7%+…(21+1)b,=n-3. (1)求{an},{bn}的通项公式；(2)求数列{a.bn}的前n项和Bn 【答案】(1)an=2n-1,b,=3"(n≥1)(2)B,=3+(n-1)×3" 【详解】(1)已知{an}为等差数列，且a2=2a+7,S4=16, (a+2d=2(a+4d)+7,解得：a=1,d=2,a,=21-1, 4a+6d=16 当n≥2时，有 3b+5b2+7b,++(2n+1bn=n-3 36+50,+76++2n-1b4=-1)3,丙式相减得：么，=3(u≥2)， 当n=1时，3b=9,b=3,满足bn=3”，bn=3”. 试卷第5页，共9页 (2)由(1)知abn=(2n-1)×3", B,=1×3+3×32+5×33++(2n-1)×3", 3Bn=1×32+3×33+5×34++(2n-3)×3”+(2n-1)×3+, 两式相减得：-28=3+2++）-2-小g=32x93-(2-×=6(2a-×3到， ∴.Bn=3+(n-1)×3*1」 17.已如双曲线C:二多-1a0,6>0)的焦距为，点任到在双曲线C的条浙近袋上过风自线C 的左焦点F作直线I交双曲线C的左支于A,B两点. ()求双曲线C的方程： (2)已知点P(4,2),直线AP交直线x=-2于点Q,设直线QA,QB的斜率分别为k,k2,求证k-k3为定值. 答案】①。-12证明见解析【详解】①由题意知2c=8,则c=4,所以a+6 因为点(4,4)在双曲线C的一条渐近线上，所以点(4,4)在双曲线C的渐近线y=-x上，所以4=6， a 综上可得a=b2=8,故双曲线C的方程为。。=1. 88 (2)由(1)知双曲线C的左焦点为F(-4,0),由题意设直线1的方程为x=my-4(m≠0)， 由直线AP:y-2=k(x+4),得Q(-2,2+2k), 设A(必随k-2张=m3%,又=2片-2一 x2+2 x+4%, 所以k-k=当-2当-2-2% my my2-2 _（4-2(my,-2）-my(-2-2k)_-2my2-2y+4+2my+2mky my1（1y2-2) my1(my2-2) 由 国8得(my-8m+8=0,其中0<m<1, 8m 8 则△=32m2+32>0,乃+2 m4m'所以y+⅓=my. 因为k=当-2 所以mky=y-2, my 所以长-k,=2m-2y+4+2m+2m以-2m0-20-为》=21-y-=2 my(my2-2) my (my2-2)myy2-2y+y2-2%2 即k-k2为定值， 高二数学试卷解析第6页，共9页 18.从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球 时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. ()记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列： (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为 Pn,n=1,2,3,…, ①直接写出p,p2,p3的值：②求p与pn的关系式(n∈N),并求pn(n∈N) 【容】0分布列见析20A=0,-月字@=+分=23：引+g 1 2-1 【详解】(1)X可能取值为1,2,3， p(X=)=CS-3 C10 p(x-2)=CC=3 p(x=3)=CC-1 所以随机变量X的分布列为 3 3 3 1 10 5 10 (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且n次传球后球在甲手中的概率为Pm,n=1,2,3,…, 2121 则有=0，P,=2京=2B=24 记An表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”， A1=A,·An1+A,·An1所以P1=P(A·A+A·A=A,A司+A·A） =P国P4团)+P(A)P(4)=I-p.)+A.0=-A) 即P=-2P.+2n=l2,3, 所以数列口，骨}表示以-为首项，为公比的等比数列， 所a” 所号( 1(-1)” 即n次传球后球在甲手中的概率是。1+ 2n-1 试卷第7页，共9页 19.如图，平行六面体ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形，∠CCB=∠CCD=∠BCD=O,AB=I,且 B AC⊥平面BCD (1)求CC的长. B2- ②)当0=写1时，求直线BC与平面CD所成的角的正弦值的取值范围. (3)当0=严时，已知动点M到点A的距离是它到平面CDD,C的距离的√2倍若动点M的轨迹、平面ACC4 2 和平面ABD三者相交于两点P,Q,求PQ. 【答案】(1)1： e529,ea5 【分析】(1)取定空间的一个基底{CB,CD,CC},利用空间向量数量积及向量垂直的坐标表示列式求解. (2)利用空间向量数量积的运算律及夹角公式，结合线面角的向量法列出函数式，再求出函数值域即可. (3)利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面ACC,A,和平面AB,D,的方程及点M的轨迹方程，联立三 个方程，结合空间两点间距离公式求解， 【详解】(1)在平行六面体ABCD-ABGD中，令CB=a,CD=b,CC,=c,令1C=m>0, 由四边形ABCD是菱形，得|a日b=1,由∠CCB=∠CCD=∠BCD=0, a.b=cos0,a.c=b.c=mcos0,BC=c-a,BD=b-a,CA=a+b+c, AC⊥平面BCD,则 BD.CA=(b-a).(a+b+c)=1-1+m cos 0-m Cos =0 BC.CA=(c-a)(a+b+c)=m 2-1+m cos 0-cos 0=0 整理得(m-1)(m+1+cos0)=0,而m+1+cos0>0,解得m=1,所以CC的长为1. (2)当0e时，由1)得a-万=ad=万-c=cocs0e0l, 2 CB=a+c,CB(a+c)2=2+2cos0,CA(a+b+c)2=3+6cos0, CB.CA=(a+c)(a+b+C)=(a+c寸+(a+C)b=2+4co0,而CA为平面BC,D的法向量， 则直线B,C与平面BCD所成角的正弦值cos(CB,CA)= ICB,·CA CBII CA 2+4cos0 1+2cos0 /2 2+2cos0.3+6cos0 B V1+cos0 1+cos0 1 而+切 。≤1，即1≤2- 1 1 2 ,则1≤ 2 1+cos0 3 1+eos05 高二数学试卷解析第8页，共9页 1 1+cose 因waC的当 3 直线B,C与平面BCD所成角的正弦值的取值范围是S,夕 (3)当日=时，(1)得平行六面体ABCD-ABCD为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， B1 Z 则A1,1,0),D(1,0,1),B(0,1,1), 0 平面CDD,C,方程为y=0,平面ACC,A方程为x-y=0, 设平面AB,D内任意一点N(x,y,z),AD=(0,-1,1),AB,=(-1,0,1),AN=(x-1,y-1,z)C D x-1=-4 则AN=入AD+4AB=(-4-入，1+四，即y-1=-1,于是平面ABD方程为x+y+2=2, z=2+4 设动点M(x,y,z),由动点M到点A的距离是它到平面CDD,C的距离的√2倍， 得V(x-1)2+(y-1)2+z2=V21yl,整理得点M的轨迹方程为(x-1)2+z2=y2+2y-1, x-y=0 y=x 由x+y+z=2 ,整理得z=2-2x (x-102+z2=y2+2y-1 2x2-6x+3=0 设P(x,y1,z),Q(x2,y2,22), 3 则x+x=3,x=3,因此1P片√G-+-》+G-)尸 =Vx-x2)2+(x-x2)2+[(2-2x)-(2-2x2) =V6V+x2)}-4xx2=V6V32-6=32, 所以PQ长为3√2. 试卷第9页，共9页 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷 第13周 一、单选题 1．（     ） A． B． C． D． 2．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（     ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 3．已知，则“”是“”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（     ） A．54种 B．90种 C．150种 D．540种 5．已知函数在区间上存在最大值和最小值，则ω的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（     ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 7．已知是的焦点，三点在上，若成等差数列，则三点（     ） A．横坐标成等差数列 B．横坐标成等比数列 C．纵坐标成等差数列 D．纵坐标成等比数列 8．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，，，，点D为边BC上一动点，则（     ） A． B．当AD为边BC上的高线时， C．当AD为边BC上的中线时， D．当AD为的平分线时， 10．已知函数，其导函数为，则下列结论正确的是（     ） A．直线是曲线的切线 B．有三个零点 C． D．若在上有最大值，则的取值范围为 11．已知三个密度函数的图象如图所示，则（      ） A． B． C．若，，则 D．若，，则，使得 三、填空题 12．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的期望为_____________． 13．已知，则_____，________． 14．已知若存在，使得成立，则的最大值为_____________. 四、解答题 15．已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 16．已知等差数列中，其前项和为，且，数列满足 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 18．从甲､乙､丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为， ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求. 19．如图，平行六面体的底面是菱形，，，且平面. (1)求的长. (2)当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. (3)当时，已知动点M到点A的距离是它到平面的距离的倍.若动点M的轨迹、平面和平面三者相交于两点P，Q，求. 高二数学试卷 第1页，共2页 高二数学试卷 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $