湖北利川市第五中学2025-2026学年高二下学期每日一练数学训练卷（第12周）

**基本信息** 高中数学同步练（周测），以三层梯度设计实现从单一知识点到综合应用的进阶，基础题巩固核心概念，中档题强化知识联结，拔高题培养数学思维与创新意识，适配日常教学与阶段测评需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|函数求值、二项式系数等单一知识点|单选题1直接考查概念，填空题12强化基础运算，落实数学眼光中的抽象能力| |中档|立体几何证明、数列应用等知识综合|多选题9结合空间观念，解答题16融合证明与求和，体现数学思维的推理能力| |拔高|导数零点证明、概率决策等复杂问题|解答题19需逻辑推理与创新意识，解答题18通过实际情境培养数学语言表达与应用意识|

利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷解析 第12周 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 B A D B ABD ABD AC 一、单选题 1.已知tana=3,则sin2a-sin a cosa-2cos2au的值为() A.-2 B. 5 c.-3 D. 3 5 【答案】B【详解】sin2a-sinacos-2cos2a=sin'a-sin-2cos2&_tan2a-tana-29-3-22 sin'a+cos a tan'a+1 9+151 2.若圆锥的表面积为3π，圆锥的高与母线长之比√5：2，则该圆锥的体积为() A.3 32 B.V3元 C.3 4 -π D.9 -π 4 【答案】A【详解】由题意可知母线与圆锥底面的夹角为 设底面半径为，圆维的高为，母线长为，则1=2办=510， 2 则圆锥的表面积为S=πr2+πl=3π，将①代入，解得r=1,h=5， 圆锥的体积为v={rh= 32 3.设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足Y=2X+2,则下列结果错误的是() 0 P 0.6 A.E(X)=0.4B.D(X)=0.24 C.E(Y)=2.8 D.D(Y)=0.48 【答案】D【详解】由分布列的性质得0.6+m=1,所以m=0.4. 则离散型随机变量X的数学期望为E(X)=0×0.6+1×0.4=0.4,故A正确： 而E(Y)=E(2X+2)=2E(X)+2=2.8,故C正确： 而D(X)=(0-0.4)×0.6+(1-0.4)×0.4=0.24,故B正确；可得D(Y)=D(2X+2)=2D(X)=0.96,故D错 4.等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=20,则S6=() A.30 B.62 C.126 D.254 【答案】C【详解】设等比数列{a,}的公比为9，由4+a,=10,,+a,=20可得q=5+0=2, a1+a3 则a+a=a+ag=5a=l0,所以a=2,因此S, 20-2-126.故选：C 1-2 高二数学试卷解析第1页，共9页 5.2026年4月上海交通大学、西安交通大学、西南交通大学、北京交通大学共同迎来建校130周年。 四校同辉，百卅荣光。学校计划校庆时安排5个节目进行开场表演，要求A节目不排在第一个且C、 D节目相邻，则节目安排的方法总数为( ) A.18 B.24 C.36 D.60 【答案】C【详解】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列， 又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A,再排余下3个，有AA种， 其中的每一种排法，C、D节目的排列有A?,所以节目安排的方法总数为A,AA?=3×6×2=36(种). 6.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数为"(x),满足f(x)>f(x),且f(0)=1,则不等式f(x)<e 的解集为() A.(-0,2) B.(2,+o0) C.(-0,0) D.(0,+∞) 【答案】D【详解】设=巴，则g-g-®回 e2r e 由f>f得g)<0,所以g)是减函数，又g0)=f0=1,f<e台f四<1=g0,所以x>0. ,y2 己知椭园a>h>0)的左，石德点分别为上B,点P在随服上，连接PF并延长交服C中 点N若PE⊥PF,且PF1=4FN,则椭圆C的离心率为() A.3 B.7 c.3 D.7 5 5 5 【答案】C【详解】设|FN=m,由PF1=4FN,得|PE=4m,|PW|=5m, 由椭圆定义得|PF,=2a-4m,NE=2a-m, 由PF⊥PF,得|PN2+|PF,2=WF22，,则25m2+(2a-4m)2=(2a-m)2, 解得m高，0P%上0，令椭圆C的半焦距为 由PFP+P5PF,得4c=(名a+(a,解得9=3 4 5 所以椭圆C的离心率为 5 8.已知a,beR,若a+2lna=e+2b,则ab的取值范围是() A.[-1,+o∞） D.[1,+o) 【答案】B【分析】法一：由f(x)=e*+2x单调性，得到lna=b,进而得到ab=alna,再构造函数 g(x)=xlhx,求导确定单调性即可求解；法二：由f(x)=x+2lnx单调性，得到a=e,进而得到ab=be, 再构造函数g(x)=xe,求导确定单调性即可求解. 试卷第2页，共9页 【详解】解法1：因为f(x)=e+2x是R上增函数， 则a+2na=e+2b即为f(na=f(b),所以lna=b,ab=alna. 令g(=xnx,则g(x)=lnx+1,当0<x<上时，g(x)<0;当x>L时，g()>0. 所以g()在(0日单调递减，在(+单调递增， 即ab的取值范围是 ,十00 故选：B。 解法2：因为f(x)=x+2nx是(0，+o)上增函数， 则a+2na=e+2b即为f(a)=f(e),所以a=e,ab=be.令g(x)=xe,则g(x)=(x+1)e, 当x<-1时，g'(x)<0;当x>-1时，g'(x)>0.故g(x)在（-o,-1)单调递减，在(-1，+o)单调递增， g()≥g(-1)=-，,因此bc≥-】，即b的取值范围是】，+切， 1 故选：B. e 二、多选题 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2,PA⊥平面ABCD,E为PB ZA 的中点，则() A正-60+}0 B.异面直线DE与PC所成角的余弦值为 E 3 C.DE=5 D D.点E到平面PCD的距离为5 B 【答案】ABD【详解】对于A,压=D丽+死=而而丽=而而亚丽面DP,A正确 2 对于B,以A为坐标原点建系，则D(0,2,0),E(1,0,1),P(0,0,2),C(2,2,0), DE-0-2.元-(2,2-2，os(E,y- DE.PC 4√2 EPC V6×233, 即异面直线DE与PC所成角的余弦值为 ,B正确： 3 对于C,由B知：DE=(1,-2,),DE=V+（←2)+P=6,即DE=√6，C错误： 对于D,由B知：DE=(1,-2,1),PC=(2,2,-2),，CD=（-2,0,0), 设平面PCD的法向量方=(x,y,z),则 PCn=2x+2-2z=0,令y=1,解得：x=0,z=1,i=(0,1), CD,i=-2x=0 设点E到平面PCD的距离为d,则dDE:_ 22 ,D正确.故选：ABD 高二数学试卷解析第3页，共9页 10.已知f(w)=(2x-1)7=a+a,x+a2x2+a,x3+ax+ax+a,x+a,x,则下列描述正确的是() A.a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a,=1 B.a3>a C.lap|+a|+laz|+la |+lagl+as|+lac|+laF37+1 D.a+2a2+3a+4a4+5a+6a6+7a,=14 【答案】ABD【详解】对于A,将x=1代入f(x),a+a+a2+a+a4+a+a。+a,=f0)=1,故A正确： 对于B,4=23C4(-1)=280,a4=24C(-1)3=-560,a>a4,故B正确： 对于C,将x=-1代入f(x),f-1)=-3,1a,+|a+1a2+1a+|a41+1a1+1a+a,=-f(-1)=3',故C错误； 对于D,对f(x)求导，f'(x)=14(2x-1)°=a1+2a2x+3ax2+4a4x3+5ax4+6ax3+7a,x6, 将x=1代入f'(x)得到f'(1)=a1+2a2+3a3+4a4+5a+6a。+7a2=14,故D正确.故选：ABD. 11.大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用.已知大衍数列{a,}满足 a1=0,an+l= an+n+l,n为奇数 an+n,n为偶数 ,则正确的有() A.a=24 B.a2m+1=a2m-1+n C.dzn=2n2 D.数列{(-1)”an}的前10项和为110 【答案】AC【详解】对于A,由题意可得a2=a,+1+1=2,a=a2+2=2+2=4, a4=4+3+1=8,a=a4+4=8+4=12,a6=4+5+1=12+6=18,a,=a+6=18+6=24,故A正确： 对于B,因为2n为偶数，所以a42m+1=a2n+2n,因为2n-1为奇数，所以a2n=a2m-1+(2n-1)+1=a2m-1+2n, 所以a2m+1=a2m-1+2n+2n=a21+4n,故B错误； 对于C,因为2n为偶数，所以a2mt1=a2n+2n, 又因为2n+1为奇数，a2m+2=a2m1+(2n+1)+1=a21+(2n+2), 所以a2m+2=a2n+4n+2,所以a2m+2-a2n=4n+2, 所以a2m=a2+(a4-a2)+(a。-a4)+…+(a2n-am-2)=2+(4+2)+(8+2)+…+[4(n-1)+2] =4x-1+n-少421=2n2,故C正确： 2 对于D,设数列{(-l)”an}的前10项的和为So,由a2m=a2+2n,则a2n-a2m=21, 故S0=-a+a,-4+a,--4+a。=(a,-a)+(a,-4,)++(ao-ag)=2x1+2x2+2x3++2x5-2+10X5 =30, 2 故D错误. 试卷第4页，共9页 三、填空题 12.（x+y)的展开式中二项式系数的最大值是·（用数字作答） 【答案】70【详解】由二项式系数的性质知，(x+)的展开式中二项式系数的最大值为C=8x7x6x5 70 4×3×2×1 13.某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一 种果树，则共有种不同的方法。 【答案】420【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可. 【详解】分两类情况：①第一类：2与4种同一种果树， 第一步种1区域，有5种方法；第二步种2与4区域，有4种方法： 第三步种3区域，有3种方法；最后一步种5区域，有3种方法， 由分步计数原理共有5×4×3×3=180种方法； ②第二类：2与4种不同果树， 第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有A=120种方法： 第二步种5号区域，有2种方法，由分步计数原理共有120×2=240种方法. 最后由分类计数原理，共有180+240=420种不同的方法.故答案为：420. 14.2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）.甲先发了 一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到.记 第n次发出红包的人是乙的概率为an· 则a= a= 【答案】 6 【分析】设第n次发出红包的人是乙为事件A,nEN,根据全概率公式可得a二44，+{，分析可知 1 数列a 是以首项为写公比为-号的等比数列，结合等比数列道项公式运算求解 【详解】设第n次发出红包的人是乙为事件An,neN,则P(An)=an,且a,=0, 因为P(44)=0,P(4)=子 由全概率公式可得P(A)=P(A,)P(AlA)+HAAA, 且写0，可列以项为公比为-号的等比数列 则；{所以-(（订a 高二数学试卷解析第5页，共9页 四、解答题 15.如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=2BC=2CG=2,点E是DC的中点. (I)求点B到直线AD,距离： B (2)求证：平面ADE⊥平面BB,E. 【答案】)32 (2)证明见解析 【详解】(1)如图，以点D为原点，分别以DA,DC,DD所在直线为xy,z轴，建立空间直角坐标系 ZA 则B1,2,1),A1,0,0),D,(0,0,1),于是，AD=(-1,0,1),B,A=(0,-2,-1), D 则与A瓜同方向的单位向量为1=(50, 2 2 于是点B到直线D,距离为d=VR-(BA:0=√52 132 2 (2)在矩形ABCD中，因E是DC的中点，AB=2BC=2CC=2,AE=√2=BE, 则由AE2+BE2=4=AB2可得AE⊥BE, 因BB,⊥平面ABCD,AEC平面ABCD,故BB,⊥AE, 因BB∩BE=B,故得AE⊥平面BEB, 又AEC平面AED,故平面ADE⊥平面BB,E, 16.已知正项数列{a,}满足a=1,且-1-0 an an+1+1 (①)证明：{a}为等差数列： (2)求数列 (-1)” 的前n项和Tn. an-an 【答案】(1)证明见解析(2)Tn=-1+(-1)Vn+1 【详解】1)由=。+得，aa-1=a,所以c-e= 故{a}是首项为1，公差为1的等差数列： 2)因为=1，所以由1)可知，G=1+a-x1=,则a,=所以少=ey-(1+同 an+i-an 当n为偶数时，T,=-（V2+1)+(5+5)+(h+1+hh+1-1 当n为奇数时，I,=-（2+1+(5+万）-（h+1+h-h+1-1 综上所述，T=-1+(-1)n+1. 试卷第6页，共9页 17.己知抛物线「：y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作垂直于x轴的直线与Γ交于A,B两点，AB=4, (I)求下的标准方程； (2)过F的直线与T交于C,D两点（点A,D在x轴上方)，直线AC交y轴于点E,求证：EF/1BD. 【答案】(1)y2=4x:(2)证明见解析 【详解】)由题意，P的坐标为0 设A在x轴的上方， 因为4=4，所以4号2小8号-2 B 代入方程得：4=2p×号=p,所以P=2,故r的标准方程为2=4x: (2)F的坐标为(1,0)，A(1,2),B(1,-2),设直线CD的方程为x=y+1, 联立 >=4r，消去x得：户-4wy-4=0.由韦达定理可知4=-4，y=4 x=y+1 由c-24 上-1片+2，则直线4C的方程为y-2=4 +2x-少，令x=0,则=2头 +2， 4 (0+2即得r=-2丛=4 所以E的坐标为0,2出】 y+2y2-2 又因为如=占+2、4 -1h-2,所以kF=kD:故EF1/BD 4 18.数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A,B,C,D四 个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分： 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分.现作以下规定：多 的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为)：若考生随机选择（盲选），则 被选中的可能性相同. 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答， (1)求该考生得6分的概率； (2)假设该考生可选择“盲选1个选项”或“盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？并 说明理由 答案】山：(2应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式，理由见解机 高二数学试卷解析第7页，共9页 【详解】(1)该考生得6分的概率P=x+x1=5 2x+2×24 (2)设该考生“盲选1个选项得分为X,X可取0,2,3， 12113 1、33 X=0=,x+亏×a8PX=2)号248P(X=3别x21 244 3 3 13 所以X的期望E(X)=0×。+2×。+3×二= 8 8 42 x的方差)-0--好 设该考生“盲选2个选项得分为Y,则Y可取0,4,6， 111 P(Y=6)=5 2C12 所以y的期跟E()=0子4×子6x日=B(x): 122 Y的方卷-0-导4-s-分吕 所以“盲选1个选项和“盲选2个选项虽然得分期望值相同，但是D(X)<D(Y), 所以应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式， 19.已知函数f(x)=e-ax2(a∈R). (0当a=时，求函数()的单调区间： (2)当x>0时，若函数f(x)有2个不同的零点x,x2· (i)求a的取值范围；(i)证明：x+x2>4. 【答案】(1)单调递增区间为(-o,+0),无单调递减区间(2)(1) e2 ,+0:(i)证明见解析 【分析】(1)利用导数判断函数的单调区间：(2)(i)转化为函数g()=(c>0)与y=有两个交点的问 1-X=2 题；(i)由函数的两个零点可得n玉 ，再利用构造函数的方法证明即可. 2)时，1w=e,则fw=e-x,令F)=eE 当x≥0时，F'(x)≥0；当x<0时，F'(x)<0,即F(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+oo)上单调递增， 则F(x)在x=0处取得极小值，F(O)=1,所以F(x)≥1，所以∫'(x)>0恒成立， 即f(x)在R上单调递增；故单调递增区间为(-o,+o),无单调递减区间. 试卷第8页，共9页 (2)(i)当x>0时，若函数f(x)有2个不同的零点x,x2, .e*=ax2恰有2个正实数根X,x2, 令8Wx>0,则y=a与g0有两个不同交点.小g份--2c x3 X=☑ ∴.当x∈(0,2)时，g'(x)<0:当x∈(2，+o)时，g'(x)>0, e2 =g(x) 六80)在0,2)上单调递减，在(2，+)上单调递增，又g(2)= 4 当x从0的右侧无限趋近于0时，g(x)趋近于+0： 当x无限趋近于+o时，e的增速远大于x2的增速，则g(x)趋近于+o0,则g(x)图象如图所示， e 当a>时，y=a与g)有两个不同交点，实数a的取值范围 (i)证明：由(i)知：e=ax,e=ax，(x>0,x2>0) .'.Ina+2Inx,=Ina+2Inx2, x1-2=2 x-x=2nx-2h=2h点，则n5 X2 不妨设x2>x>0, 2(x-x2) 要证x+x>4,则需证名+无> 2x-1 :6>%>0,∴0<点<1，h点<0，则只需证n当<2(-)气 X, X2 x+x2 +1 令1=点∈0,1，则只需证1e0,D时，n1<2-》恒成立， t+1 令h00=n1-20-D0<1<D. t+1 0=12+0-21-)_+02-4《-)2 t +0+y20+>0, ∴.h(t)在(0,1)上单调递增，.h(t)<h()=0, :.当1e0,时，n1<2-恒成立， t+1 .原不等式x+x2>4得证. 【点睛】与2025年新课标Ⅱ卷数学真题第18题同步考查函数的单调性、零点及不等式证明；真题卷第18 题考查含三次项的函数性质；本题考查指数函数与二次函数结合的函数，分析其单调区间、零点的取值范 围及证明零点之和的不等式，零点问题通常转化为函数图象交点的问题：构造函数是解决极值点偏移问题 的方法之一. 高二数学试卷解析第9页，共9页利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷 第12周 一、单选题 1.已知tana=3,则sin2a-sin a cosa-2cos2a的值为( B 2.若圆锥的表面积为3π，圆锥的高与母线长之比√3：2，则该圆锥的体积为() A.3 B.√3π C.3 D.92 4 π 4 3.设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足Y=2X+2,则下列结果错误的是 ) X 0 P 0.6 m A.E(X=0.4 B.D(X)=0.24 C.E(Y)=2.8 D.DY)=0.48 4.等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=20,则S6=( A.30 B.62 C.126 D.254 5.2026年4月上海交通大学、西安交通大学、西南交通大学、北京交通大学共同迎来建校130周年。 四校同辉，百卅荣光。学校计划校庆时安排5个节目进行开场表演，要求A节目不排在第一个且C、 D节目相邻，则节目安排的方法总数为( A.18 B.24 C.36 D.60 6.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数为∫'(x),满足f(x)>f(x),且f(0)=1,则不等式f(x)<e 的解集为( ) A.(-0,2) B.(2,+oo) C.(-0,0) D.(0,+o) 7已知%国号+是 +尔=1(>b>0)的左，右焦点分别为R,R,点P在椭圆上，连接PR并延长交椭圆C 于点N.若PF1PE,且PF1=4FN,则椭圆C的离心率为( ) A.3 5 B. 5 C.3 D.7 5 5 8.已知a,b∈R,若a+2lna=e+2b,则ab的取值范围是( A.[-1,o） D.[1,+o) 高二数学试卷第1页，共4页 二、多选题 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2,PA⊥平面ABCD,E为PB 的中点，则( A死=孤-0+号P B.异面直线DE与PC所成角的余弦值为 3 C.DE=5 B D.点E到平面PCD的距离为 2 10.已知f(x)=(2x-1)=a。+ax+a,x2+ax3+a+a,x+a,x+a,x,则下列描述正确的是（ A.a+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1 B.as>a C.|a|+|a|+|a2|+la3|+|a4+la,|+|a。+|a,=37+1 D.a1+2a2+3a3+4a4+5a+6a6+7a,=14 11.大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用.已知大衍数列{an} 满足a=0,an+1= an+n+l,n为奇数 an+n,n为偶数 ，则正确的有() A.a7=24 B.a2n+=a2n-1+n C.an=2n2 D.数列{(-1)”an}的前10项和为110 三、填空题 12.(x+y)的展开式中二项式系数的最大值是 ·(用数字作答) 13.某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种 同一种果树，则共有 种不同的方法. 14.2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）.甲先 发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能 地领到.记第n次发出红包的人是乙的概率为a.·则a4=，an=· 高二数学试卷第2页，共4页 四、解答题 15.如图，在长方体ABCD-4B,GD中，AB=2BC=2CC=2,点E是DC的中点. C (I)求点B,到直线AD,距离： B (2)求证：平面AD,E⊥平面BB,E. D 16.已知正项数列{a,}满足4=1，且-1-a an an1+1 (I)证明：{a}为等差数列； (2)求数列 (-1)” 的前n项和T. antl -an 17.已知抛物线：y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作垂直于x轴的直线与r交于A,B两点，AB=4. (1)求Γ的标准方程： (2)过F的直线与Γ交于C,D两点（点A,D在x轴上方），直线AC交y轴于点E,求证：EF/BD. 高二数学试卷第3页，共4页 18.数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A,B,C, D四个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分： 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分，现作以下规定： 多项选择题的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为)；若考生随机选择（盲选），则每 个选项被选中的可能性相同. 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答， (1)求该考生得6分的概率： (2)假设该考生可选择“盲选1个选项”或盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？ 并说明理由. 19.己知函数f(x)=e-ax2(a∈R). ()当a=)时，求函数f)的单调区间： (2)当x>0时，若函数f(x)有2个不同的零点x,x2· (i)求a的取值范围； (i)证明：x+x2>4. 高二数学试卷第4页，共4页 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷 第12周 一、单选题 1．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若圆锥的表面积为，圆锥的高与母线长之比，则该圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 3．设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（     ） X 0 1 P 0.6 m A． B． C． D． 4．等比数列满足，则（     ） A．30 B．62 C．126 D．254 5．2026年4月上海交通大学、西安交通大学、西南交通大学、北京交通大学共同迎来建校130周年。四校同辉，百卅荣光。学校计划校庆时安排5个节目进行开场表演，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（     ） A．18 B．24 C．36 D．60 6．定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（     ） A．(−∞,2) B．(2,+∞) C．(−∞,0) D．(0,+∞) 7．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 8．已知，，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（     ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 10．已知，则下列描述正确的是（     ） A． B． C． D． 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（     ） A． B． C． D．数列的前10项和为110 三、填空题 12．的展开式中二项式系数的最大值是______．（用数字作答） 13．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有______种不同的方法． 14．2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 四、解答题 15．如图，在长方体中，，点是的中点． (1)求点到直线距离； (2)求证：平面平面． 16．已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 17．已知抛物线的焦点为，过作垂直于轴的直线与交于两点，. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于两点（点在轴上方），直线交轴于点，求证：. 18．数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A，B，C，D四个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分； 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分．现作以下规定：多项选择题的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为；若考生随机选择（盲选），则每个选项被选中的可能性相同． 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答． (1)求该考生得6分的概率； (2)假设该考生可选择“盲选1个选项”或“盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？并说明理由． 19．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若函数有2个不同的零点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 答案第1页，共2页 高二数学试卷 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷解析 第12周 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A D C C D C B ABD ABD AC 一、单选题 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】. 2．若圆锥的表面积为，圆锥的高与母线长之比，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知母线与圆锥底面的夹角为 ， 设底面半径为r，圆锥的高为h，母线长为l，则① ， 则圆锥的表面积为 ，将①代入，解得 ，圆锥的体积为 3．设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（   ） X 0 1 P 0.6 m A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由分布列的性质得，所以. 则离散型随机变量X的数学期望为，故A正确； 而，故C正确； 而，故B正确；可得，故D错. 4．等比数列满足，则（    ） A．30 B．62 C．126 D．254 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，由可得， 则，所以，因此.故选：C 5．2026年4月上海交通大学、西安交通大学、西南交通大学、北京交通大学共同迎来建校130周年。四校同辉，百卅荣光。学校计划校庆时安排5个节目进行开场表演，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（     ） A．18 B．24 C．36 D．60 【答案】C 【详解】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列， 又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有种， 其中的每一种排法，C、D节目的排列有，所以节目安排的方法总数为（种）. 6．定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A．(−∞,2) B．(2,+∞) C．(−∞,0) D．(0,+∞) 【答案】D 【详解】设，则， 由得，所以是减函数，又，，所以． 7．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由，得，， 由椭圆定义得， 由，得，则， 解得，，令椭圆的半焦距为c， 由，得，解得，所以椭圆的离心率为. 8．已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：由单调性，得到，进而得到，再构造函数，求导确定单调性即可求解；法二：由单调性，得到，进而得到，再构造函数，求导确定单调性即可求解. 【详解】解法1：因为是上增函数， 则即为，所以，. 令，则，当时，； 当时，. 所以在单调递减，在单调递增， 故，因此， 即的取值范围是，故选：B. 解法2：因为是上增函数， 则即为，所以，. 令，则， 当时，；当时，. 故在单调递减，在单调递增， ，因此，即的取值范围是，故选：B. 二、多选题 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（   ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 【答案】ABD【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点建系，则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，，即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量，则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 10．已知，则下列描述正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，将代入，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，将代入，，，故C错误； 对于D，对求导，， 将代入得到，故D正确.故选：ABD. 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前10项和为110 【答案】AC 【详解】对于A，由题意可得，， ，，，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为，由，则， 故，故D错误. 三、填空题 12．的展开式中二项式系数的最大值是______．（用数字作答） 【答案】70 【详解】由二项式系数的性质知，的展开式中二项式系数的最大值为. 13．某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有______种不同的方法．  【答案】420 【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可. 【详解】分两类情况：①第一类：2与4种同一种果树， 第一步种1区域，有5种方法； 第二步种2与4区域，有4种方法； 第三步种3区域，有3种方法； 最后一步种5区域，有3种方法， 由分步计数原理共有种方法； ②第二类：2与4种不同果树， 第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有种方法； 第二步种5号区域，有2种方法，由分步计数原理共有种方法. 最后由分类计数原理，共有种不同的方法. 故答案为：420. 14．2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 【答案】 【分析】设第n次发出红包的人是乙为事件，，根据全概率公式可得，分析可知数列是以首项为，公比为的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】设第n次发出红包的人是乙为事件，，则，且， 因为，， 由全概率公式可得， 即，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以， 四、解答题 15．如图，在长方体中，，点是的中点． (1)求点到直线距离； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则,于是，,, 则与同方向的单位向量为， 于是点到直线距离为； （2）在矩形中，因是的中点，， , 则由可得， 因平面，平面,故， 因,故得平面， 又平面,故平面平面. 16．已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由得，，所以 ， 故是首项为1，公差为1的等差数列； （2）因为，所以由（1）可知，，则.所以 . 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述，. 17．已知抛物线的焦点为，过作垂直于轴的直线与交于两点，. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于两点（点在轴上方），直线交轴于点，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，的坐标为，设在轴的上方， 因为，所以， 代入方程得：，所以，故的标准方程为； （2）的坐标为， ，设直线的方程为， 联立，消去得：. 由韦达定理可知， 由，则直线的方程为，令，则， 所以的坐标为，即得， 又因为， 所以. 故. 18．数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A，B，C，D四个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分； 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分．现作以下规定：多项选择题的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为；若考生随机选择（盲选），则每个选项被选中的可能性相同． 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答． (1)求该考生得6分的概率； (2)假设该考生可选择“盲选1个选项”或“盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？并说明理由． 【答案】(1)； (2)应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式，理由见解析. 【详解】（1）该考生得6分的概率； （2）设该考生“盲选1个选项”得分为，可取0，2，3， ； ； ． 所以的期望； 的方差 设该考生“盲选2个选项”得分为，则可取0，4，6， ； ； . 所以的期望； 的方差 所以“盲选1个选项”和“盲选2个选项”虽然得分期望值相同，但是， 所以应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式． 19．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若函数有2个不同的零点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间；（2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题；（ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【详解】（1）当时，，则，  令，得， 当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，，所以，所以恒成立， 即在上单调递增；故单调递增区间为，无单调递减区间． （2）（ⅰ）当时，若函数有2个不同的零点，， ∴恰有2个正实数根，， 令，则与有两个不同交点，∴，           ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又，           当x从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当x无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于，则图象如图所示， ∴当时，与有两个不同交点，∴实数a的取值范围为．           （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证，           ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立，           令， ∴，           ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 【点睛】与2025年新课标Ⅱ卷数学真题第18题同步考查函数的单调性、零点及不等式证明；真题卷第18题考查含三次项的函数性质；本题考查指数函数与二次函数结合的函数，分析其单调区间、零点的取值范围及证明零点之和的不等式，零点问题通常转化为函数图象交点的问题；构造函数是解决极值点偏移问题的方法之一. 试卷第1页，共3页 高二数学试卷解析 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $