8.3 列联表与独立性检验 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 以“基础巩固-能力拓展-素养提升”分层设计，通过真实情境问题链，实现从列联表与独立性检验概念理解到综合应用的进阶，培养数据分析与数学建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|列联表分析、独立性检验基本结论、卡方值计算|选择填空结合解答题，如等高条形图辨析（第2题）、基础卡方计算（第6题），夯实概念应用| |能力拓展|数据变换对检验的影响、样本量确定、频率分布直方图与独立性检验结合|变式训练深化思维，如数据缩放分析（第9题）、样本量最小值求解（第10题），提升逻辑推理能力| |素养提升|跨情境综合应用（产量对比）|融合频率分布直方图的概率估计、列联表构建及中位数计算（第12题），体现数学建模与数据解释的实际价值|

8.3 列联表与独立性检验 【基础巩固】 1．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据的独立性检验，结论为（ ） A．变量与独立 B．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与不独立 D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】A 【解析】因为，所以没有充分的证据推断变量与不相互独立，即认为变量与独立，故BCD错误，A正确. 故选：A. 2．年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【答案】C 【解析】设等高条形图对应列联表如下： 根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即； 岁以下男性比岁以下女性多，即． 根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即； 女性中岁及以上的比岁以下的多，即， 对于A，男性人数为，女性人数为， 因为，所以，所以A正确； 对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为，因为，所以B正确； 对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为， 无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不正确； 对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为， 因为，所以，所以D正确． 故选：C. 3．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（ ） A．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】D 【解析】列出列联表： ， 故在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关. 故选：D 4．目前中国的新能源汽车技术日新月异，老百姓购买时参考的参数有所不同，一部分人更看重汽车动力、扭矩、悬挂、底盘等技术参数，可以称为“技术流”；另一部分人更看重电池续航、内饰材料、智能化程度等，可以称为“体验流”．现随机抽取名车主，针对他们对汽车的偏好进行问卷调查，得到下表： 小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（ ） A．若在样本中的女性中按分层随机抽样的方法再抽取人，则应从“体验流”中抽取人 B．小组成员甲认为对汽车的偏好与性别无关 C．小组成员甲、乙计算出的值相同，他们得出的结论也相同 D．小组成员甲、乙计算出的值不同，他们得出的结论也不同 【答案】D 【解析】对于A，由题意，补充完整的列联表如下： 则在样本中的女性中，按分层随机抽样的方法再抽取人，应从“体验流”中抽取（人）．故A错误； 对于BCD，对于成员甲有， 故小组成员甲有的把握认为对汽车的偏好与性别有关； 对于成员乙有， 故小组成员乙认为对汽车的偏好与性别无关． 综上，小组成员甲、乙计算出的值不同，他们得出的结论也不同．故B错误，C错误，D正确. 故选：D 5．（多选）某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了名高血压患者开展试验，其中名患者饭前服药，另外名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是（ ） A．饭前服药的患者中，药效强的频率为 B．药效弱的患者中，饭后服药的频率为 C．在犯错误的概率不超过的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 D．在犯错误的概率不超过的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 【答案】A,C 【解析】对于A，饭前服药的名患者中，药效强的有人，所以频率为，故A正确； 对于B，饭前服药的有人药效弱，饭后服药的有人药效弱，所以药效弱的有名患者，饭后服药的频率为，故B错误； 对于C，D，因为， 故在犯错误的概率不超过的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异，故C正确，D错误． 故选：AC 6．小明为了了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表： 根据小概率值的独立性检验，其中________，（精确到小数点后3位）可以判断出性别因素与喜欢有关联． 【答案】 【解析】已知合计人数为，不喜欢的人数合计为，那么喜欢的人数合计. 因为男性喜欢的人数是，喜欢的人数合计是，所以女性喜欢的人数为. 又因为女性合计人数为，所以.此时完整的列联表为： 在中，（这里），（男性喜欢的人数），（男性不喜欢的人数），（女性喜欢的人数），（女性不喜欢的人数）. 将这些值代入公式可得： . 故答案为：. 7．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取名学生进行问卷调查，得到如下数据通过计算有以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则在这被调查的名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为_________ . 【答案】 【解析】因为有以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”， 所以，即， 因为函数在时单调递增， 且，，，所以的最小值为， 所以在这被调查的名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为. 故答案为：. 8．某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）. (1)求出，的值； (2)依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中是否存在差异. 【答案】见解析 【解析】(1)由题意，得，解得. (2)由(1)得， 零假设为：该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中不存在差异， 由题意计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以判断，该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中存在差异. 【能力拓展】 9．为考察药物对预防疾病的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的倍，则根据小概率值的独立性检验，（ ） A．当时，种群一中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 B．当时，种群一中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 C．当时，种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 D．当时，种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 【答案】C 【解析】对于A,B，因为， 所以当时，无法推断种群一中药物对预防疾病有效，故A,B错误； 对于C,由，将各项数据变为原来的倍， 则， 所以当时，则种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过.故C正确； 对于D,因为， 所以当时，无法推断种群二中药物对预防疾病有效，故D错误. 故选：C. 10．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，列联表如下： ；∵有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即，，，又，则的最小值为. 故选：B. 11．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为，则中老年游客评分等级良好的有________人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）________（填“有关”或“无关”）． 【答案】；有关 【解析】由频率分布直方图可知，，解得， 则青年游客评分等级良好的有（人），所以中老年游客评分等级良好的有（人）．由上可得如下列联表， 可得，则认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关．故答案为：；有关. 【素养提升】 12．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量单位：，其频率分布直方图如图. (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关： (3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值精确到． 【答案】见解析 【解析】(1)记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，由， 则旧养殖法的箱产量低于：， 故的估计值； 新养殖法的箱产量不低于：， 故的估计值为. 则事件的概率估计值为， 发生的概率为． (2)由(1)的计算可知： 旧养殖法中，小于的箱数为箱，大于或等于的箱数为箱. 记表示事件“新养殖法的箱产量低于”，则， 所以新养殖法中，小于的箱数为箱，大于或等于的箱数为箱. 列联表： 则，由， 有的把握认为箱产量与养殖方法有关． (3)新养殖法箱产量的中位数为. 由新养殖法的频率分布直方图可知前三组的频率之和为：， 前四组的频率之和为：， 故中位数满足，解得. 新养殖法箱产量的中位数的估计值． 第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3 列联表与独立性检验 【基础巩固】 1．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据的独立性检验，结论为（ ） A．变量与独立 B．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与不独立 D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 2．年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 3．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（ ） A．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 4．目前中国的新能源汽车技术日新月异，老百姓购买时参考的参数有所不同，一部分人更看重汽车动力、扭矩、悬挂、底盘等技术参数，可以称为“技术流”；另一部分人更看重电池续航、内饰材料、智能化程度等，可以称为“体验流”．现随机抽取名车主，针对他们对汽车的偏好进行问卷调查，得到下表： 小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（ ） A．若在样本中的女性中按分层随机抽样的方法再抽取人，则应从“体验流”中抽取人 B．小组成员甲认为对汽车的偏好与性别无关 C．小组成员甲、乙计算出的值相同，他们得出的结论也相同 D．小组成员甲、乙计算出的值不同，他们得出的结论也不同 5．（多选）某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了名高血压患者开展试验，其中名患者饭前服药，另外名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是（ ） A．饭前服药的患者中，药效强的频率为 B．药效弱的患者中，饭后服药的频率为 C．在犯错误的概率不超过的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 D．在犯错误的概率不超过的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 6．小明为了了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表： 根据小概率值的独立性检验，其中________，（精确到小数点后3位）可以判断出性别因素与喜欢有关联． 7．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取名学生进行问卷调查，得到如下数据通过计算有以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则在这被调查的名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为_________ . 8．某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）. (1)求出，的值； (2)依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中是否存在差异. 【能力拓展】 9．为考察药物对预防疾病的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验，根据种群一的试验结果得到如下列联表： 计算得到．假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为上表对应单元格数据的倍，则根据小概率值的独立性检验，（ ） A．当时，种群一中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 B．当时，种群一中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 C．当时，种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 D．当时，种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过 10．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 11．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为，则中老年游客评分等级良好的有________人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）________（填“有关”或“无关”）． 【素养提升】 12．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品的产量单位：，其频率分布直方图如图. (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关： (3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值精确到． 第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $