8.3 列联表与独立性检验（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册高中同步学案（人教A版）

课时作业(二十) [基础达标练] 1．下面是一个抽样数据列联表： X Y 合计 y1 y2 x1 a 21 73 x2 2 25 27 总计 b 46 100 则表中a，b处的值分别为(　　) A．94，96　　　　　　　　 B．52，50 C．52，54 D．54，52 解析：选C　由得 2．对于χ2，下列说法正确的是(　　) A．χ2越大，“事件A与B有关系”的可信程度越小 B.χ2越小，“事件A与B有关系”的可信程度越小 C．χ2越接近于0，“事件A与B没有关系”的可信程度越小 D．χ2越大，“事件A与B没有关系”的可信程度越大 解析：选B　χ2越大，“事件A与B没有关系”的可信程度越小，则“事件A与B有关系”的可信程度越大，χ2越小，“事件A与B有关系”的可信程度越小． 3．如图是调查某地区男、女中学生喜欢某一学科的等高条形图，阴影部分表示喜欢该科的百分比，从图可以看出(　　) A．性别与喜欢科目无关 B．女生中喜欢该科的比为80% C．男生比女生喜欢该科的可能性大些 D．男生不喜欢该科的比为60% 解析：选C　由题图知女生中喜欢该科的比为20%，男生不喜欢该科的比为40%，故B、D不正确．由题图知，男生比女生喜欢该科的可能性大些． 4．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表： 年龄 饮食习惯 合计 偏爱蔬菜 偏爱肉食 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计 20 10 30 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为(　　) A．95% B．99% C．99.5% D．99.9% 解析：选C　因为χ2＝＝10＞7.879＝x0.005，所以有99.5%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关． 5．根据下表计算： 不看电视 看电视 男 37 85 女 35 143 χ2≈________(保留3位小数). 解析：χ2＝≈4.514. 答案：4.514 6．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的观众抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示． 岁数 节目 合计 文艺节目 新闻节目 20岁至40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 合计 55 45 100 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”). 解析：因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的． 答案：是 7．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：K2＝ P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为＝75%， 乙机床生产的产品中的一级品的频率为＝60%. (2)K2＝＝>10>6.635， 故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异． 8．某校对有心理障碍的学生进行测试得到下表： 性别 心理障碍 合计 焦虑 说谎 懒惰 女生 5 10 15 30 男生 20 10 50 80 总计 25 20 65 110 试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别的关联最大？ 解：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量χ，χ，χ. 由表中数据列出焦虑是否与性别有关的抽样数据列联表 性别 心理障碍 合计 焦虑 不焦虑 女生 5 25 30 男生 20 60 80 总计 25 85 110 可得χ＝≈0.863<2.706， 同理，χ＝≈6.366>3.841， χ＝≈1.410<2.706. 因此，可以推断说谎与性别有关联，该推断犯错误的概率不大于0.05，并且没有充分的证据显示焦虑、懒惰与性别有关． [能力提升练] 9．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表： 文化程度 收入 合计 月收入2 000 元以下 月收入2 000 元及以上 高中文化以上 10 45 55 高中文化及以下 20 30 50 合计 30 75 105 由上表中数据计算得χ2＝≈6.109，如果认为文化程度与月收入有关系，那么犯错误的概率不会超过(　　) A．0.01 B．0.001 C．0.03 D．0.05 解析：选D　因为χ2≈6.109>3.841＝x0.05，所以认为文化程度与月收入有关系，那么犯错误的概率不会超过0.05. 10．(多选)有两个分类变量X，Y，其2×2列联表如下所示： X Y 合计 Y1 Y2 X1 a 20－a 20 x2 15－a 30＋a 45 合计 15 50 65 其中a，15－a均为大于5的整数，若依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X，Y有关，则α的值可以为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选CD　由题意可知 χ2＝ ＝＞3.841， 根据a＞5且15－a＞5，a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意． 11．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表： 性别 专业 合计 非统计专业 统计专业 男 13 10 23 女 7 20 27 合计 20 30 50 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据， 得到χ2＝≈4.844，因为χ2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为________． 解析：因为χ2>3.841＝x0.05，所以出错的可能性为0.05. 答案：0.05 12．下表是某一医院关于出生男婴与女婴调查的列联表，那么A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________． 性别 时间 合计 晚上 白天 男婴 45 A B 女婴 E 35 C 总计 98 D 180 解析：根据题意，由于45＋E＝98，E＝53，98＋D＝180，D＝82，A＝47，E＋35＝C，B＋C＝180，可知B＝92，C＝88，故答案为A＝47，B＝92，C＝88，D＝82，E＝53. 答案：47　92　88　82　53 13．近年电子商务蓬勃发展，2021年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1 682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次． (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”． 对商品 对快递 合计 满意 不满意 满意 80 不满意 合计 200 (2)为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见．求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率． 附：χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量) P(χ2≥xα) 0.10 0.05 0.025 0.010 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 解：(1)2×2列联表： 对商品 对快递 合计 满意 不满意 满意 80 60 140 不满意 40 20 60 合计 120 80 200 零假设为H0：网购者对商品满意与对快递满意之间没有关系．由列联表得 χ2＝≈1.59， 由于1.59＜2.706＝x0.1， 根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为“网购者对商品满意与对快递满意之间没有关系”． (2)根据题意，抽取的10次交易中，对商品和快递都满意的交易有4次，记为A，B，C，D，其余6次不是都满意的交易记为1，2，3，4，5，6，那么抽取2次交易一共有45种可能；AB，AC，AD，A1，A2，A3，A4，A5，A6，BC，BD，B1，B2，……，56，其中2次交易商品和快递不是都满意的有15种：12，13，……，56. 所以在抽取的2次交易中，至少一次对商品和快递都满意的概率是P＝＝. [素养拓展练] 14．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图： (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率； (2)填写下面列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关联． 方法 产量 合计 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 合计 解： (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”，得 由P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，得 旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P(B)的估计值为0.62， 新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P(C)的估计值为0.66， 则事件A的概率估计值为P(A)＝P(B)P(C)＝0.62×0.66＝0.409 2， ∴A发生的概率为0.409 2. (2)零假设为H0：箱产量与养殖方法没有关联， 根据箱产量的频率分布直方图得到列联表： 方法 产量 合计 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 合计 96 104 200 则χ2＝≈15.705>6.635＝x0.01, 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为箱产量与养殖方法有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 学科网（北京）股份有限公司 $