专题03四边形及多边形期末专项突破讲义（14大核心题型精讲+专项训练突破）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题03四边形及多边形期末专项突破讲义 期末复习◆重点 1.核心公式：熟练掌握多边形内角和、外角和公式，会计算正多边形内外角度数；掌握对角线数量、分割三角形个数的计算方法，能根据角度反求多边形边数。 2.基础概念：理解四边形不稳定性；区分凸、凹多边形；牢记正多边形判定条件；会计算多边形周长，掌握网格图形面积的求法。 3.重点题型：重点练习多边形截角分类讨论、内外角综合计算、漏算内角问题、复杂图形角度求解、平面镶嵌、对角线计数等常考题型。 4.解题规范：角度计算优先用外角和简化运算；复杂图形采用分割法；网格面积使用割补法；分类讨论类题目需考虑全面，步骤书写规范完整。 核心题型◆归纳 题型1.四边形不稳定性辨析 题型2.多边形概念、凸/凹多边形分类 题型3.正多边形概念辨析 题型4.多边形、正多边形周长计算 题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数 题型6.对角线分割三角形个数问题 题型7.多边形截角后边数判断 题型8.多边形内角和基础计算 题型9.多边形多算或少算一个内角问题 题型10.正多边形外角计算，知外角求边数 题型11.网格中多边形面积 题型12.复杂图形内角和求解 题型13.内角和与外角和综合计算 题型14. 平面镶嵌 题型15.进阶练习9题 重点知识◆梳理 【知识点一、四边形及多边形的概念】 1.定义：四边形：由4条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形，叫四边形。内角和为360°； 2.特征：具有不稳定性，易发生形变，可用于伸缩门、晾衣架；区别于三角形的稳定性。 3.多边形：由n（n≥3，且n为整数）条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形。如下图的五边形 凸多边形：所有内角均小于180°，整体向外凸起； 凹多边形：至少存在一个内角大于180°。 4.正多边形：同时满足各边长度相等、各内角度数相等，二者缺一不可； 5. .对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 6.多边形外角：多边形的一边与另一边的延长线组成的角，外角与相邻内角互补。 【知识点二、四边形及多边形主要公式】 1.n边形内角和公式：(n-2)×180° 2.任意多边形外角和：恒为360°，与边数无关 3. 正n边形角度计算单个内角度数： 单个外角度数： 4. 对角线相关计算:n边形总对角线条数： 5.- 从多边形一个顶点可引出(n-3)条对角线，将n边形分割为(n-2)个三角形。 ∙ 【知识点三、图形周长与面积计算】 1.周长：多边形周长为各边长之和；正多边形周长=边长×边数。 2.网格中多边形面积 （1）割补法：将不规则图形分割为三角形、矩形等规则图形求和，或补成规则图形后减去多余部分； （2）皮克定理：面积=内部格点数+边界格点数÷2−1。 【知识点四、高频考点题型及对应知识点】 1. 多边形截角问题：一个n边形截去一个角后，边数存在三种变化：边数+1、边数不变、边数-1，内角和随边数变化。 2. 多算、少算一个内角问题：根据多边形内角和取值范围，确定多边形边数，进而求解缺失内角度数。 3. 复杂图形内角和求解：针对星形、组合图形等，采用分割法，拆分为三角形、四边形，利用基础图形内角和计算。 4. 平面镶嵌（密铺）：拼接于同一点的各角度之和为360^\circ；可单独密铺的正多边形为正三角形、正方形、正六边形，其余正多边形无法单独密铺。 5. 内外角综合计算：根据内角和与外角和的倍数关系、内外角度数比值，求解多边形边数。 6. 外角和实际应用：沿多边形行走转向问题，总转向角度为外角和360°。 【知识点五、重难点归纳总结】 1.外角和为定值360°，是角度计算的简便突破口，可优先选用； 2.正多边形判定条件为双向约束，边长与内角需同时相等； 3.内角和公式适用于所有多边形，不受凹凸多边形形态限制； 4.平面镶嵌需紧扣拼接点角度和为360°这一核心条件； 5.外角与相邻内角互为补角，是角度换算的常用依据 题型解析◆精准备考 题型1.四边形不稳定性辨析 1．下列生活实例中，运用到“四边形的不稳定性”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、B、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性，不符合题意； C选项伸缩门是用到了四边形的不稳定性，符合题意． 2．如图是学校门口的伸缩门，它利用的是________________． 【答案】四边形的不稳定性 【分析】根据四边形的不稳定性进行分析，即可得到答案． 【详解】解：学校门口的电子伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是利用了四边形的不稳定性． 3．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 题型2.多边形概念、凸、凹多边形分类 1．白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据图形可得： A是七边形；B是八边形；C是九边形；D是五边形． 2．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 【答案】见详解 【分析】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念． 根据图形的特征作答即可． 【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 题型3.正多边形概念辨析 1．下面图形中，是正多边形的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查四边形，解题的关键是理解正多边形的定义． 正多边形需所有边相等且所有角相等，矩形角相等但边不一定相等；菱形边相等但角不一定相等；梯形边和角都不一定相等；正方形所有边相等且所有角相等，符合正多边形定义． 【详解】解： 正多边形必须所有边相等且所有角相等， A、矩形所有角相等但边不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意； B、菱形所有边相等但角不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意； C、正方形所有边相等且所有角相等，故是正多边形，符合题意； D、梯形边和角都不一定相等，故不是正多边形，不符合题意； 故选：C． 2．如图，正六边形中包含__________个全等的等腰梯形． 【答案】 6 【分析】根据全等的性质来举例即可求解． 【详解】解：根据题意得图， 可知正六边形中每条边都相等，每个内角都相等 包含有6个等边三角形， 则三个相邻的等边三角形组成的四边形是等腰梯形， 则四边形,四边形,四边形,四边形,四边形,四边形都是等腰梯形， 则有6个全等的等腰梯形． 3．如图，六边形是正六边形，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，连接，画出一个以为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形上； (2)如图2，为边上一点，在边上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、即可； （2）连接、交于点J，连接，并延长交于点Q，即可求解. 【详解】（1）解：如图， 即为所求, ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图，点即为所求， 理由：∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∵， ∴ ， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴ ， ∴. 题型4.多边形、正多边形周长计算 1．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了周长的求解，原正方形边长为30厘米，剪去四个角的小正方形后，虽然原边长被截短，但新增了与原截短部分等长的边，故周长不变． 【详解】解：如图：    因为剪去一个小正方形后，剪掉了与的长度，但又多出了与的长度，并且， 同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变， 故选：B． 2．如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 【答案】28 【分析】根据长方形的周长公式列出算式，利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】由题意得，这块幕布的周长为． 3．如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长． 【答案】 【分析】如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P，易得都是等边三角形，，即为等边三角形，可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P， ∵六边形的6个内角均为， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个六边形的周长． 题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数 1．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 2．一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________． 【答案】21 【分析】先求出多边形的边数，再计算正多边形的周长即可． 【详解】解：从一个顶点可以引出条对角线， 这个多边形的边数为， 该正多边形的边长为， 这个正多边形的周长为． 3．如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数． 【答案】边数为18，内角和为，对角线条数为135 【分析】先根据已知内角度数求出每个外角度数，利用任意多边形外角和为求出边数，再根据多边形内角和公式计算内角和，最后根据n边形对角线条数公式计算对角线的条数． 【详解】解：多边形每个内角为， 每个外角为 任意多边形的外角和为， 多边形的边数为， 根据多边形内角和公式，可得内角和为， 十八边形对角线条数为， 答：这个多边形的边数为18，内角和为，对角线共135条． 题型6.对角线分割三角形个数问题 1．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题考查多边形对角线分多边形得到三角形的个数规律，从边形的一个顶点引出所有对角线，分得三角形的个数为，利用该规律列方程即可求解. 【详解】解：设这个多边形的边数为. 从边形的一个顶点引出所有对角线，将多边形分成三角形的个数为 ， 根据题意得 .解得 . 2．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条． 【答案】 3 【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木框稳定，需利用木条将其分割成三角形，从六边形的一个顶点出发引对角线即可确定所需木条数量. 【详解】 解：从六边形的一个顶点出发，连接该顶点与不相邻的顶点，可以引条对角线，这将把六边形分割成个三角形，从而使整个木框具有稳定性； 故至少要钉上根木条. 3．一个n边形的内角和为． (1)求n的值； (2)从该多边形一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成 个三角形． 【答案】(1)10 (2)8 【分析】（1）根据多边形内角和公式列出方程，解方程即可解答； （2）利用从一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成个三角形，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据多边形内角和公式得： 解方程得： 所以n的值为10． （2）解：从n边形一个顶点出发的所有对角线，能将多边形分成个三角形． 当时，分成的三角形个数为：． 题型7.多边形截角后边数判断 1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ， 解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 【答案】3 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3； 故答案为：3 3．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多边形．分情况，画出图形即可． 【详解】解：如答图①，剩下的新图形是三角形；如答图②，剩下的新图形是四边形；如答图③，剩下的新图形是五边形． ． 题型8.多边形内角和基础计算 1．若正多边形的内角和为，则它的每个外角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用多边形内角和公式求出正多边形的边数，再根据任意多边形外角和为，正多边形每个外角相等，计算得到每个外角度数． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 多边形内角和公式为，已知内角和为， ，解得 ， 任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角度数相等， 该正多边形每个外角度数为 ． 2．下列几组两种正多边形的组合中，能够铺满地面的是______．（填序号） ①正方形和正八边形；    ②正五边形和正十边形； ③正方形和正六边形；    ④正方形和正七边形． 【答案】①② 【分析】平面镶嵌要求拼接点处的多个多边形内角和恰好为周角，即，若对应方程存在正整数解，则可以铺满地面． 【详解】解：①正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为， 设需要个正方形，个正八边形，可得方程， 化简得，存在正整数解，因此能够铺满地面； ②正五边形每个内角为，正十边形每个内角为， 设需要个正五边形，个正十边形，可得方程， 化简得，存在正整数解，因此能够铺满地面； ③正方形每个内角为，正六边形每个内角为， 设需要个正方形，个正六边形，可得方程， 化简得，不存在正整数解，因此不能铺满地面； ④正方形每个内角为，正七边形每个内角为， 设需要个正方形，个正七边形，可得方程， 化简得，不存在正整数解，因此不能铺满地面； 故答案为：①②． 3．如图所示的是正五边形，连接，求的度数． 【答案】 【分析】先求得，根据，可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：正五边形的每个内角都相等，正五边形的内角和为， ． 由正五边形可得， ． ， ． 题型9.多边形多算或少算一个内角问题 1．一个多边形的内角和加上一个外角的和为，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】C 【分析】设该多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，则该多边形的这个外角的度数为，再根据这个外角大于0度且小于180度建立不等式组求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴这个多边形是九边形． 2．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 【答案】7或8 【分析】n边形的内角和为，多边形每个内角大于小于，因此少算的2个内角和的范围为，根据多边形内角和定理列出不等式，求解得到正整数n即可． 【详解】解：设少算的2个内角和为，该多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得：， 整理得， 多边形每个内角满足内角， ∴少算的2个内角和的范围， 即， 移项得， 不等式同除以得， 为正整数， ∴或． 3．先阅读明明和芳芳的对话，再解答下列问题： (1)通过计算，明明发现自己少加了一个锐角，那么这个“少加的锐角”的度数是________． (2)明明求的是几边形的内角和 【答案】(1) (2)八边形 【分析】（1）设这个多边形是n边形，这个“少加的锐角”的度数是，其中n为整数且，，根据题意，得，求解即可； （2）由（1）即可解答． 【详解】（1）解：设这个多边形是n边形，这个“少加的锐角”的度数是，其中n为整数且，， 根据题意，得， ∴， ∵x，n为正整数， ∴，， ∴这个多边形是八边形，这个“少加的锐角”的度数是． （2） 解：由（1）可得，明明求的是八边形的内角和． 题型10.正多边形外角计算，知外角求边数 1．在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．如图2所示，这个正八边形的每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正八边形的每个外角都相等， ∴多边形的外角和始终为可知：． 2．一个正多边形的内角是外角2倍，多边形的边数是_________． 【答案】 6 【分析】设正多边形的一个外角的度数为，则其内角的度数为，利用邻补角的性质求出外角度数，再根据多边形外角和为计算边数即可． 【详解】解：设正多边形的一个外角为，则它的一个内角为， 由邻补角的性质可得：， 解得：， 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 这个正多边形的边数为， 故答案为：． 3．如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形． (1)发现：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于______； (2)探究：用若干个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据周角为进行解答即可； （2）根据正六边形的一个内角为，可求出正六边形密铺时中间的正多边形的内角，继而可求出n的值． 【详解】（1）解：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于； （2）解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的角度为， 如果要密铺，则中间需要一个内角为的正多边形， ∴中间正多边形的每个外角为：， ∴． 题型11.网格中多边形面积 1．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 2．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 3．如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 【答案】作图见解析； 【分析】本题考查作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 根据轴对称的性质作图即可；再利用割补法计算即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 四边形的面积为． 题型12.复杂图形内角和求解 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 2．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 3．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 题型13.内角和与外角和综合计算 1．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】边形的内角和为，外角和为，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是n， 根据题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为8． 2．如图：、是五边形的2个外角，若，则________． 【答案】160 【分析】先根据多边形内角和定理求出五边形的内角和，然后由，求出的度数，最后根据多边形内角和外角的关系即可求的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和为：，， ∴， ∴． 3．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求的值． 【答案】(1)这个多边形的内角和为900° (2)的值为8 【分析】（1）由内角和公式直接计算即可； （2）根据任何多边形的外角和为360度，可以先求出所求多边形的内角和，再用内角和公式列方程即可求出该多边形的边数． 【详解】（1）解：当时，多边形内角和为： 则这个多边形的内角和为900° （2）解：由题意得， 解得， 则的值为8． 题型14. 平面镶嵌 1．如图所示的是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分，其中四边形的最小内角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面镶嵌，正五边形的性质，解题的关键是能够理解题意，将实际问题转化为平面镶嵌问题来求解． 先求出正五边形每个内角的度数，设对角相等的四边形的最小内角为，根据题意，列出关系式，求解即可． 【详解】解：正五边形的内角和为， 则每个内角为， 设对角相等的四边形的最小内角为，则 因为正五边形与四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分， 则，为正整数， 当时，，舍去， 当时，， 当时，， 当时，，舍去， 则对角相等的四边形的最小内角为，A选项符合． 2．用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫作平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”，正八边形______单独平面镶嵌（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】根据平面镶嵌的条件，只需判断正八边形的内角度数能否整除，若商为正整数则能单独镶嵌，否则不能，先计算正八边形每个内角的度数，再作判断即可． 【详解】解：正八边形每个内角的度数为， ∵，且不是正整数， ∴正八边形不能单独平面镶嵌． 3．项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是_____； (2)密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为___，并使相等的边重合． 【任务：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）；（多选） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 (4)公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，求的度数． 【答案】(1) (2)360 (3)ABD (4) 【分析】（1）根据正多边形的性质及内角和公式求解即可； （2）根据周角为可得答案； （3）根据各正多边形性质和内角，结合镶嵌知识逐个判断即可； （4）根据五边形的内角和求解即可． 【详解】（1）解：对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是； （2）解：密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合． （3）解：A、正三角形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； （4）解：五边形的内角和为，，， ． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 【答案】B 【详解】解：A、四边形是凸四边形，原说法正确，不符合题意； B、四边形有2条对角线，原说法不正确，符合题意； C、四边形有4个内角，原说法正确，不符合题意； D、是四边形的外角，原说法正确，不符合题意 2．若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】多边形截去一个角共有三种不同截法，对应截后边数分别比原多边形多1，不变，少1，根据截后得到七边形，反向推导原多边形的可能边数即可得到答案． 【详解】解：多边形截去一个角，存在三种情况： （1）截线不经过原多边形的另外两个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∵ 截后多边形为七边形，边数为7， ∴ 原多边形边数为； （2）截线经过原多边形的1个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数 ∴ 原多边形边数为； （3）截线经过原多边形的2个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∴ 原多边形边数为； 综上，原多边形的边数可能为6，7，8，不可能为5． 3．如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形对角线长为，利用正方形对角线与边长的关系，分别求出大正方形周长和所有小正方形周长之和，再进行比较． 【详解】解：设大正方形的对角线长为． 大正方形的边长为，周长． 把对角线分成等份，每一份长为，即每个小正方形的对角线长为． 每个小正方形的边长为，周长为． 共有个小正方形，所以所有小正方形的周长之和． A、，计算得，不符合题意； B、，计算得，不符合题意； C、，计算得，符合题意； D、，计算得，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质（对角线与边长的关系）、周长的计算。解题关键是通过设对角线长度，建立大、小正方形周长的表达式，从而比较大小． 二、填空题 4．一个正边形的每个内角为，这个正边形的所有对角线的条数为_____． 【答案】27 【分析】先根据正多边形的内角度数求出每个外角的度数，再根据多边形外角和为求出正多边形的边数，最后利用边形对角线条数公式计算即可. 【详解】解：∵一个正边形的每个内角为， ∴每个外角的度数为， ∵多边形的外角和为， ∴这个正多边形的边数， ∴这个正多边形所有对角线的条数为． 5．在四边形中，其中一组对角之和为，则另外一组对角之和为_____． 【答案】/度 【分析】根据四边形的内角和为，已知一组对角之和，用内角和减去该数值，即可得到另一组对角之和． 【详解】解：四边形内角和为， 已知其中一组对角之和为， 另外一组对角之和． 6．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是_____边形． 【答案】十三 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于，并且小于 设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数和未知的那个内角的范围求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为，则， ∴， 解得， 又∵， ， ，即 又∵为正整数， ， 故答案为：十三． 三、解答题 7．按要求完成作答： (1)若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多，那么这个多边形的边数是多少？ (2)如图，在△中，，，是△的角平分线．求证：． 【答案】(1)12 (2)见解析 【分析】（1）设这个多边形的边数是n，再列方程，解方程即可得到答案； （2）过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，在中，，可得，从而结论即可得证． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是12； （2）证明：如图，过点作于， 是的角平分线，，， ， 在中，，， ∴， ． 8．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确；理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】（1）根据多边形的内角和公式，可知任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解； （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列式用n表示出x，然后根据x的取值范围，得到n的取值范围，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除， ∵不能被整除， ∴张明的说法不正确． （2）解：设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∵n为整数， ∴这个正多边形为正八边形， 如图所示， 将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7， 即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 9．正多边形的每个内角比它相邻的外角的3倍还多，求这个多边形的边数． 【答案】10． 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系：多边形的外角和等于360度，多边形的每个外角和与它相邻的内角和等于180度，列出方程是解答本题的关键. 设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出x的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为. 【详解】解：设这个多边形的每个外角为， 则． 解得． ． 答：这个多边形的边数为10． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03四边形及多边形期末专项突破讲义 期末复习◆重点 1.核心公式：熟练掌握多边形内角和、外角和公式，会计算正多边形内外角度数；掌握对角线数量、分割三角形个数的计算方法，能根据角度反求多边形边数。 2.基础概念：理解四边形不稳定性；区分凸、凹多边形；牢记正多边形判定条件；会计算多边形周长，掌握网格图形面积的求法。 3.重点题型：重点练习多边形截角分类讨论、内外角综合计算、漏算内角问题、复杂图形角度求解、平面镶嵌、对角线计数等常考题型。 4.解题规范：角度计算优先用外角和简化运算；复杂图形采用分割法；网格面积使用割补法；分类讨论类题目需考虑全面，步骤书写规范完整。 核心题型◆归纳 题型1.四边形不稳定性辨析 题型2.多边形概念、凸/凹多边形分类 题型3.正多边形概念辨析 题型4.多边形、正多边形周长计算 题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数 题型6.对角线分割三角形个数问题 题型7.多边形截角后边数判断 题型8.多边形内角和基础计算 题型9.多边形多算或少算一个内角问题 题型10.正多边形外角计算，知外角求边数 题型11.网格中多边形面积 题型12.复杂图形内角和求解 题型13.内角和与外角和综合计算 题型14. 平面镶嵌 题型15进阶练习9题 重点知识◆梳理 【知识点一、四边形及多边形的概念】 1.定义：四边形：由4条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形，叫四边形。内角和为360°； 2.特征：具有不稳定性，易发生形变，可用于伸缩门、晾衣架；区别于三角形的稳定性。 3.多边形：由n（n≥3，且n为整数）条不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形。如下图的五边形 凸多边形：所有内角均小于180°，整体向外凸起； 凹多边形：至少存在一个内角大于180°。 4.正多边形：同时满足各边长度相等、各内角度数相等，二者缺一不可； 5..对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 6. 多边形外角：多边形的一边与另一边的延长线组成的角，外角与相邻内角互补。 【知识点二、四边形及多边形主要公式】 1.n边形内角和公式：(n-2)×180° 2.任意多边形外角和：恒为360°，与边数无关 3.正n边形角度计算单个内角度数： 单个外角度数： 4.对角线相关计算:n边形总对角线条数： 5.从多边形一个顶点可引出(n-3)条对角线，将n边形分割为(n-2)个三角形。 ∙ 【知识点三、图形周长与面积计算】 1.周长：多边形周长为各边长之和；正多边形周长=边长×边数。 2.网格中多边形面积 （1）割补法：将不规则图形分割为三角形、矩形等规则图形求和，或补成规则图形后减去多余部分； （2）皮克定理：面积=内部格点数+边界格点数÷2−1。 【知识点四、高频考点题型及对应知识点】 1.多边形截角问题：一个n边形截去一个角后，边数存在三种变化：边数+1、边数不变、边数-1，内角和随边数变化。 2.多算、少算一个内角问题：根据多边形内角和取值范围，确定多边形边数，进而求解缺失内角度数。 3.复杂图形内角和求解：针对星形、组合图形等，采用分割法，拆分为三角形、四边形，利用基础图形内角和计算。 4.平面镶嵌（密铺）：拼接于同一点的各角度之和为360^\circ；可单独密铺的正多边形为正三角形、正方形、正六边形，其余正多边形无法单独密铺。 5.内外角综合计算：根据内角和与外角和的倍数关系、内外角度数比值，求解多边形边数。 6.外角和实际应用：沿多边形行走转向问题，总转向角度为外角和360°。 【知识点五、重难点归纳总结】 1.外角和为定值360°，是角度计算的简便突破口，可优先选用； 2.正多边形判定条件为双向约束，边长与内角需同时相等； 3.内角和公式适用于所有多边形，不受凹凸多边形形态限制； 4.平面镶嵌需紧扣拼接点角度和为360°这一核心条件； 5.外角与相邻内角互为补角，是角度换算的常用依据 题型解析◆精准备考 题型1.四边形不稳定性辨析 1．下列生活实例中，运用到“四边形的不稳定性”的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是学校门口的伸缩门，它利用的是________________． 3．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    题型2.多边形概念、凸、凹多边形分类 1．白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 3．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 题型3.正多边形概念辨析 1．下面图形中，是正多边形的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 2．如图，正六边形中包含__________个全等的等腰梯形． 3．如图，六边形是正六边形，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，连接，画出一个以为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形上； (2)如图2，为边上一点，在边上找一点，使得． 题型4.多边形、正多边形周长计算 1．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 2．如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 3．如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长． 题型5.对角线条数计算，已知对角线求边数 1．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 2．一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________． 3．如果一个多边形每个内角都是，求这个多边形的边数和内角和，并直接写出该多边形对角线的条数． 题型6.对角线分割三角形个数问题 1．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 2．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条． 3．一个n边形的内角和为． (1)求n的值； (2)从该多边形一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成 个三角形． 题型7.多边形截角后边数判断 1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 3．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 题型8.多边形内角和基础计算 1．若正多边形的内角和为，则它的每个外角度数为（     ） A． B． C． D． 2．下列几组两种正多边形的组合中，能够铺满地面的是______．（填序号） ①正方形和正八边形；    ②正五边形和正十边形； ③正方形和正六边形；    ④正方形和正七边形． 3．如图所示的是正五边形，连接，求的度数． 题型9.多边形多算或少算一个内角问题 1．一个多边形的内角和加上一个外角的和为，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 2．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 3．先阅读明明和芳芳的对话，再解答下列问题： (1)通过计算，明明发现自己少加了一个锐角，那么这个“少加的锐角”的度数是________． (2)明明求的是几边形的内角和 题型10.正多边形外角计算，知外角求边数 1．在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．如图2所示，这个正八边形的每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．一个正多边形的内角是外角2倍，多边形的边数是_________． 3．如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形． (1)发现：图1中正方形每个顶点处所有角的和等于______； (2)探究：用若干个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正n边形，求n的值． 题型11.网格中多边形面积 1．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 2．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 3．如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 题型12.复杂图形内角和求解 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 3．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 题型13.内角和与外角和综合计算 1．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．如图：、是五边形的2个外角，若，则________． 3．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求的值． 题型14. 平面镶嵌 1．如图所示的是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分，其中四边形的最小内角为（   ） A． B． C． D． 2．用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫作平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”，正八边形______单独平面镶嵌（填“能”或“不能”）． 3．项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是_____； (2)密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为___，并使相等的边重合． 【任务：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）；（多选） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 (4)公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，求的度数． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 2．若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．一个正边形的每个内角为，这个正边形的所有对角线的条数为_____． 5．在四边形中，其中一组对角之和为，则另外一组对角之和为_____． 6．粗心的小华在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得出其余个内角的和为1900°．则这个多边形是_____边形． 三、解答题 7．按要求完成作答： (1)若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多，那么这个多边形的边数是多少？ (2)如图，在△中，，，是△的角平分线．求证：． 8．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 9．正多边形的每个内角比它相邻的外角的3倍还多，求这个多边形的边数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $