第二十五章 平行四边形（必备知识+4大易错+易错训练）（知识清单）数学人教版五四制八年级下册

该初中数学第二十五章知识清单系统梳理了平行四边形单元内容，涵盖多边形概念与性质、平行四边形及特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与判定、三角形中位线定理，构建从基础概念到性质应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单通过“知识点+易错点+例题变式”三级架构呈现知识体系，如将“平行四边形多结论问题”归类为易错点并配例题解析，培养学生几何直观与推理意识。特别设计“性质对比表”和“模型应用提示”，如折叠问题标注“标全等量关系”技巧，不同层次学生可高效突破难点，教师可直接用于专题复习，提升教学针对性。

第二十五章 平行四边形 知识点01 多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点02 多边形的内角和、外角和 1.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 2.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 知识点03 平行四边形的概念及性质与判定 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 知识点05 矩形的概念及性质与判定 1.矩形的概念和性质 （1）有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 知识点06 菱形的概念及性质与判定 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 知识点07 正方形的概念及性质与判定 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 易错点1 平行四边形、矩形、菱形、正方形中多结论问题 **易错总结** 1. **判定条件混淆**：用矩形性质证菱形，或用菱形性质证矩形，条件交叉乱用。 2. **性质迁移过度**：将正方形性质(如对角线相等且垂直)错误迁移到一般平行四边形。 3. **中点条件遗漏**：涉及中点时，忘记连对角线用中位线性质。 4. **结论推理跳跃**：由一组邻边相等直接推出正方形，缺直角条件。 **注意事项**： - **性质表格化**：熟记四种图形性质与判定的异同点。 - **逆向推导**：从结论反推需要哪些条件，再看已知是否满足。 - **特殊优先**：正方形具有所有性质，但证正方形需同时满足矩形和菱形条件。 - **中点四边形**：连接各边中点所得图形形状与原对角线有关。 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点，，垂足为，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在锐角三角形中，是边上的高，向外作正方形和，连接、和，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 易错点2 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠问题 **易错总结** 1. **对称轴误判**：折叠时误将非对称轴当对称轴，导致对应点找错。 2. **等量关系遗漏**：折叠后相等的边、角在复杂图形中漏标，后续推理缺条件。 3. **勾股定理用错三角形**：在非直角三角形中用勾股，或直角边找错。 4. **重叠面积计算错**：重叠部分形状判断错误，面积公式用错。 **注意事项**： - **标全等量**：折叠后重合的边、角全部标记相同符号。 - **找直角三角形**：在图中找出含未知数的直角三角形列方程。 - **巧用对称性质**：对称轴垂直平分对应点连线。 - **分类讨论**：折痕位置不同时，重叠形状可能变化。 【例2】（2025·山东泰安·二模）如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为 ． 【变式2-1】如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【变式2-2】如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是 ． 【变式2-3】如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．    （1） ； （2）如图2，若E为的中点，则 ． 易错点3 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值问题 **易错总结** 1. **模型识别错误**：将军饮马、垂线段最短等模型用错，如将定点关于直线对称点找错。 2. **动点范围忽略**：动点在线段上运动时，忽略端点能否取到，导致最值误判。 3. **函数关系列错**：建立函数求最值时，自变量取值范围未考虑，表达式化简出错。 4. **几何直观误导**：仅凭图形感觉认为某位置取最值，未严格证明。 **注意事项**： - **先定模型**：分析是“两点之间线段最短”还是“垂线段最短”。 - **对称转化**：多条线段和最小常作对称点转化为两点间距离。 - **确定范围**：明确动点运动区域，端点是否可取要检验。 - **代数几何结合**：复杂最值设未知数列函数，用配方法或不等式求最值。 【例3】（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【变式3-1】如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    【变式3-2】如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【变式3-3】如图，在边长为1的正方形中，分别是边上的点，且与相交于点，求的最小值． 易错点4 平行四边形、矩形、菱形、正方形中新定义型问题 **易错总结** 1. **定义理解偏差**：未准确理解“等邻角四边形”“中点四边形”等新概念内涵。 2. **图形构造错误**：按新定义画示意图时，边角关系画错导致推理偏差。 3. **性质迁移不当**：将常规平行四边形性质强行套用在新定义图形上。 4. **分类讨论遗漏**：新定义可能包含多种情况(如对角线互相垂直且相等)，只考虑一种。 **注意事项**： - **逐词翻译**：将新定义转化为数学语言(边相等、角相等、垂直等)。 - **画图验证**：每个条件在图上标出，检验图形是否合理。 - **类比迁移**：联想已学图形性质，但注意新定义的特殊限制。 - **全面讨论**：涉及“或”“且”时，分情况逐一证明。 【例4】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【变式4-1】【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”．      【定义理解】 （1）如图1，点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ①与的数量关系是_____； ②若，且点与点关于互为“和谐点”，则_____； 【性质操作】 （2）如图2，矩形中，点为边上一点，且，平分，射线交于点．点与点是否关于互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 （3）在矩形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，在点运动过程中，当点与点关于互为“和谐点”，且，，三点共线时，请直接写出的长． 【变式4-2】定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 【变式4-3】综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 2．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 3．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，，E是上一点．将沿折叠后得到，若，则折痕的长为________． 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有________个． 6．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）如图，边长为2的正方形内有一动点E，满足，F为边上的动点，连接，． （1）当F为边的中点时，长的最小值为____________ ； （2）的最小值为___________ ． 三、解答题 7．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 8．（2023·吉林长春·一模）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离． 【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________． 【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________． 9．（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 10．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）操作发现 （1）如图1，在正方形中，点是边上的一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形内部，延长交于点，连接，求证：； 类比迁移 （2）如图2，在矩形中，，分别是边，的中点，连接，点在线段上，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在上．若，求的长； 拓展应用 （3）如图3，在菱形中，，，点，分别是边，上的点，连接EF，将沿EF折叠得到，点的对应点恰好落在上，且，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 平行四边形 知识点01 多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点02 多边形的内角和、外角和 1.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 2.多边形的外角和：多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 知识点03 平行四边形的概念及性质与判定 1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点04 三角形的中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线） （2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，. 知识点05 矩形的概念及性质与判定 1.矩形的概念和性质 （1）有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 知识点06 菱形的概念及性质与判定 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 知识点07 正方形的概念及性质与判定 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 易错点1 平行四边形、矩形、菱形、正方形中多结论问题 **易错总结** 1. **判定条件混淆**：用矩形性质证菱形，或用菱形性质证矩形，条件交叉乱用。 2. **性质迁移过度**：将正方形性质(如对角线相等且垂直)错误迁移到一般平行四边形。 3. **中点条件遗漏**：涉及中点时，忘记连对角线用中位线性质。 4. **结论推理跳跃**：由一组邻边相等直接推出正方形，缺直角条件。 **注意事项**： - **性质表格化**：熟记四种图形性质与判定的异同点。 - **逆向推导**：从结论反推需要哪些条件，再看已知是否满足。 - **特殊优先**：正方形具有所有性质，但证正方形需同时满足矩形和菱形条件。 - **中点四边形**：连接各边中点所得图形形状与原对角线有关。 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键． 逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，． 在中： ∴， ∴，．故①②正确． ∵，， ∴， 即，故④正确． 无法确定，故③不正确． 综上所述，正确结论的个数为． 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，等边三角形的判定，外角的性质，先由矩形的性质得，，结合图形，等底同高，所以，当，则是等边三角形，据此即可作答． 【详解】解：∵矩形中对角线相交于点O， ∴，， 故③是正确的； ∴， 故①是正确的； ∵若， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形 故②是正确的； 依题意，无法证明， 故④是错误的； 依题意，无法得出平分． 故⑤是错误的； 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点，，垂足为，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的运用，掌握菱形的性质是关键． 根据菱形的性质得到，结合题意得到，由菱形的面积的计算，勾股定理即可判定各结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为40， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故④正确； 在中，， ∴，故②正确； 在中，，故③正确； 综上所述正确的有①②③④，共4个， 故选：A ． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）如图，在锐角三角形中，是边上的高，向外作正方形和，连接、和，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】①根据正方形的性质可得，，，然后求出，可得，可得，判断①正确；②设、相交于点N，与相交于点O，根据可得，然后求出，判断②正确；④过点E作的延长线于P，过点G作于Q，求出，证明，可得，判断④正确；③证明出，得到，，判断③正确． 【详解】解：①在正方形和中， ，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ②设与相交于点N，与相交于点O， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ④过点E作的延长线于P，过点G作于Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确； ③∵， ∴， 同理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选：A． 易错点2 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠问题 **易错总结** 1. **对称轴误判**：折叠时误将非对称轴当对称轴，导致对应点找错。 2. **等量关系遗漏**：折叠后相等的边、角在复杂图形中漏标，后续推理缺条件。 3. **勾股定理用错三角形**：在非直角三角形中用勾股，或直角边找错。 4. **重叠面积计算错**：重叠部分形状判断错误，面积公式用错。 **注意事项**： - **标全等量**：折叠后重合的边、角全部标记相同符号。 - **找直角三角形**：在图中找出含未知数的直角三角形列方程。 - **巧用对称性质**：对称轴垂直平分对应点连线。 - **分类讨论**：折痕位置不同时，重叠形状可能变化。 【例2】（2025·山东泰安·二模）如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理等，由平行四边形的性质可得，由折叠可得，由勾股定理求出，得出，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴， ∵将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：12． 【变式2-1】如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 【变式2-2】如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，注意分类讨论；分两种情况考虑：①时；②PF⊥AB时；利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， 则由勾股定理得， ①当时，如图1所示， 则四边形是矩形， ， ， 设，则， 由折叠知：， 在中， ， 解得， ； ②当 PF⊥AB时，如图2所示，过F作交延长线于点G， 则四边形是矩形， ，， ； 设，则； 在中， ， 解得． ． 综上所述，满足条件的BE的值为或5． 【变式2-3】如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．    （1） ； （2）如图2，若E为的中点，则 ． 【答案】 /度 2 【分析】（1）根据折叠性质得到，得到，，证明，即可证明． （2）根据，得到，设，则，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵正方形，沿对折至， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）根据（1）得，， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2． 易错点3 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值问题 **易错总结** 1. **模型识别错误**：将军饮马、垂线段最短等模型用错，如将定点关于直线对称点找错。 2. **动点范围忽略**：动点在线段上运动时，忽略端点能否取到，导致最值误判。 3. **函数关系列错**：建立函数求最值时，自变量取值范围未考虑，表达式化简出错。 4. **几何直观误导**：仅凭图形感觉认为某位置取最值，未严格证明。 **注意事项**： - **先定模型**：分析是“两点之间线段最短”还是“垂线段最短”。 - **对称转化**：多条线段和最小常作对称点转化为两点间距离。 - **确定范围**：明确动点运动区域，端点是否可取要检验。 - **代数几何结合**：复杂最值设未知数列函数，用配方法或不等式求最值。 【例3】（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键． 取的中点G，连接．首先证明，作点B关于的对称点F，连接，证，则的长即为的最小值，求出的长即可． 【详解】解：取的中点G，连接．在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 作点B关于的对称点F，连接，交于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，，， ∵， ∴， ∴， 当点Q与点G重合时，，的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 【变式3-1】如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的求解等知识，连接，过点B作，根据已知可证明四边形为矩形，得到，当时最短，最短，此时最短，利用三角形等面积法求出即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点B作，   ，， ， 为矩形，， ，， 四边形为矩形， ， 当时最短，最短，此时最短， 时最短， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质 连接，，根据菱形的性质可得，是等边三角形，再证明，可得，从而得到的最小值为的长，再由E是的中点，可得，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是菱形，周长为8，， ∴，，， ∴是等边三角形， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【变式3-3】如图，在边长为1的正方形中，分别是边上的点，且与相交于点，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、动点最值问题、对称性、勾股定理等知识，根据题意，将求的最小值转化为的最小值，然后利用动点最值问题-将军饮马模型得到的最小值为线段，在中，由勾股定理即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型是解决问题的关键． 【详解】解：连接如，如图①所示： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴的最小值等于的最小值； 作点关于的对称点，连接与的交点即为所求的点，如图②所示： 根据对称性可知， ∴， 在中，，则由勾股定理得， ∴的最小值为． 易错点4 平行四边形、矩形、菱形、正方形中新定义型问题 **易错总结** 1. **定义理解偏差**：未准确理解“等邻角四边形”“中点四边形”等新概念内涵。 2. **图形构造错误**：按新定义画示意图时，边角关系画错导致推理偏差。 3. **性质迁移不当**：将常规平行四边形性质强行套用在新定义图形上。 4. **分类讨论遗漏**：新定义可能包含多种情况(如对角线互相垂直且相等)，只考虑一种。 **注意事项**： - **逐词翻译**：将新定义转化为数学语言(边相等、角相等、垂直等)。 - **画图验证**：每个条件在图上标出，检验图形是否合理。 - **类比迁移**：联想已学图形性质，但注意新定义的特殊限制。 - **全面讨论**：涉及“或”“且”时，分情况逐一证明。 【例4】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． (2)在图1中，试判断与的关系，并说明理由． (3)如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】(1)平行四边形 (2)，理由见解析 (3)四边形是菱形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，据此可得，即可得证； （2）作于点，交于点，设交分别于点，推出四边形为平行四边形，取的中点，连接，证明重合，得到，根据三角形和平行四边形的面积公式得到，同理得到，即可得出结论； （3）连接，证得，由知，结合四边形是平行四边形即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵点E、H分别为边的中点， ∴， ∵点F、G、分别为的中点， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形； （2），理由如下： 如图，作于点，交于点，设交分别于点， 由（1）可知：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 取的中点，连接，则， ∴， ∴重合， ∴， ∴， 同理：， ∴，即：； （3）解：四边形是菱形，理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G分别为边的中点， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【变式4-1】【定义阅读】 若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是180°，则称这两个顶角的顶点关于这条底边互为“和谐点”．      【定义理解】 （1）如图1，点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ①与的数量关系是_____； ②若，且点与点关于互为“和谐点”，则_____； 【性质操作】 （2）如图2，矩形中，点为边上一点，且，平分，射线交于点．点与点是否关于互为“和谐点”？说明理由； 【思维拓展】 （3）在矩形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，在点运动过程中，当点与点关于互为“和谐点”，且，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②；（2）点与点是关于互为“和谐点”，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）①利用线段垂直平分线的性质可得答案； ②根据题中定义可得，再根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质求得，，进而可求解； （2）证明得到，进而可得，根据题中定义可得结论； （3）分当点F在的延长线上时，当点F在的延长线上时，当点F在线段上时三种情况，根据题中定义，结合勾股定理和矩形性质分别求解即可． 【详解】解：（1）①∵点与点都在线段的垂直平分线上，且均在直线上侧， ∴； ②点与点关于互为“和谐点”，且， ， 又点与点都在线段的垂直平分线上， ，， ∴，， ∴； （2）点与点是关于互为“和谐点”，理由如下： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中， 点与点关于互为“和谐点”； （3）∵四边形是矩形，，， ∴，，， 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在的延长线上时，如图， ∵点与点关于互为“和谐点”， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； 当点F在线段上时，不存在，故不存在点与点关于互为“和谐点”，综上，满足条件的的长为或． 【变式4-2】定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)168 (3) 【分析】（1）根据题意证明出，得到，证明出四边形是菱形，得到，即可证明出四边形为筝形； （2）根据筝形的性质得到，，设，则，根据勾股定理求出，得到，然后利用筝形的面积代数求解即可； （3）首先由（2）得，，然后得到，证明出四边形是菱形，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用等面积法求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵在中， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴四边形为筝形； （2）∵四边形是筝形 ∴， ∴垂直平分 ∴， ∵，，， ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴筝形的面积； （3）如图所示，连接 ∵四边形为筝形 ∴由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴解得（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式4-3】综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． （1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 性质探究 （2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； （3）如图3，在中，，D为外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 【答案】（1）②④； （2）四边形为正方形，理由见解析；（3）或． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质． （1）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及“等角线四边形”逐一判断即可； （2）由中位线定理及等角线四边形的定义可得，，，，，，，证明四边形是菱形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是正方形； （3）分两种情况讨论，由（2）可得中点四边形为正方形，即可求解． 【详解】解：（1）①平行四边形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ②矩形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； ③菱形的对角线不相等，故不是等角线四边形； ④正方形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； 综上，一定是等角线四边形的有②④． 故答案为：②④； （2）四边形为正方形，理由如下： ∵E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，，的中点， ∴，，，，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）分以下两种情况： 当点在的上方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 当点在的下方时，如图，E，F，G，H分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由（2）可知，四边形为正方形，且， ∴四边形的面积为； 综上，以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O，得到当点E，P和点G共线，时，有最小值，即为的长，然后求出，，勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴与关于直线对称， 如图，设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O． ∴． 当点E，P和点G共线，且时，有最小值，即为的长． ∵，，四边形是菱形， ∴，． ∴，． ∴，即， 解得，即的最小值为4.8． 故选：C． 2．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． ①连接构造全等三角形，得到，，进而可得，是等边三角形，①、②正确；用反证法可知③错误；根据题意可知，四边形的面积等于，则当时，可取得最小值，取得最大值，根据等边三角形性质分别求出此时的，，进而求出． 【详解】解：如图，连接． 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即，①正确， ，为等边三角形，②正确； ∴，则，③不正确； ， ， 可知当取得最小值，取得最大值， 设等边三角形边长为，可知其高为，面积为， 为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， 当，取得最小值，则取得最小值， ， 此时，，， ，④正确． 综上，正确的个数有个． 故选：． 二、填空题 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，，E是上一点．将沿折叠后得到，若，则折痕的长为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．过点C作交AB的延长线于点G，由，且根据折叠的性质可知，可得．再在菱形ABCD中，，可得出，可得，再求解即可． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G， ∵，且根据折叠的性质可知， ∴． ∵在菱形中，， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有________个． 【答案】3 【分析】连接，交于点O，由题意得，即可得四边形为矩形，得，用即可得，即可判断①；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得，即可判断③，延长，交于M，交于点H，由①得，，根据题意和角之间的关系得，即可判断②，根据垂线段最短得当时，最小，根据勾股定理得，即可得的最小值，即可判断④． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即①正确； 延长，交于M，交于点H， 由①得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即③正确， ∵E为对角线上的一个动点， ∴当时，最小， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴的最小值为， 即④错误， 综上，①②③正确， ∴结论正确的个数是3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握这些知识点． 6．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）如图，边长为2的正方形内有一动点E，满足，F为边上的动点，连接，． （1）当F为边的中点时，长的最小值为____________ ； （2）的最小值为___________ ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意推出点在以中点为圆心，为半径的半圆上运动，当且仅当、、三点共线时，有最小值，结合勾股定理解题即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，以及，用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴点在以中点为圆心，为半径的半圆上运动， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当且仅当、、三点共线时，有最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴ 的最小值为． 三、解答题 7．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 【答案】(1)四边形是“直等补”四边形，理由见解析． (2)28． 【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形是否是“直等补”四边形，关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证，由此可得到，，，即证明四边形是“直等补”四边形． （2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．根据“直等补”四边形定义，可得到，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，， ， 在与中， （）， ，， ， ， ， 四边形满足三个条件：①一组对角和互补，②一组邻边，③相等邻边夹角． 故四边形是“直等补”四边形； （2）连接，如下图所示 四边形是“直等补”四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故的长为28． 8．（2023·吉林长春·一模）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离． 【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________． 【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】[问题原型]；[问题延伸]；[问题拓展] 【分析】[问题原型]过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再结合等面积法即可求解； [问题延伸]连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再结合等面积法即可求解； [问题拓展]过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解． 【详解】解：[问题原型]∶如图，过点作于，过点作于． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∴点到的距离为． [问题延伸]∶如图，连接，过点作于，过点作于． ∵， ∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合， ∴的最小值等于的长， ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． 即的最小值为； 故答案为：； [问题拓展]∶如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合， ∴的最小值等于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即的最小值等于． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 9．（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②证明如下：， ； （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查几何综合，涉及新定义几何图形问题、菱形性质、正方形性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质等知识．理解题中“对垂”四边形定义，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 10．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）操作发现 （1）如图1，在正方形中，点是边上的一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形内部，延长交于点，连接，求证：； 类比迁移 （2）如图2，在矩形中，，分别是边，的中点，连接，点在线段上，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在上．若，求的长； 拓展应用 （3）如图3，在菱形中，，，点，分别是边，上的点，连接EF，将沿EF折叠得到，点的对应点恰好落在上，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查翻折的性质，正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理； （1）由正方形的性质和翻折的性质可得，从而利用斜边直角边来证明； （2）由矩形的性质和翻折的性质可求出，设，再在Rt中利用，列出方程求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，由菱形的性质、翻折的性质、平行四边形的判定和性质可求出，设，在中，利用列出方程求解即可. 【详解】解：（1）证明：四边形是正方形， ． 由折叠的性质得：， ． 又， ∴. （2）由折叠的性质得：． 分别是矩形边的中点， ， ， ． 设，则． 在Rt中，， ，解得， . （3）如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由折叠性质得，设， 则， 在中，，即， 解得， 的长为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $