第二十二章 函数（必备知识+6大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版八年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二十二章函数 思维导图 函数判断错误 白变量范围遗漏 一、常量与变量一 定义一广常局 六、高频易错点 变量 图象绘制不规范 自变量 实际应用忽略约束 定义 因变量 分析问题 唯一对应 确定变量 函数值一表示方法 解题步深 列出关系式 分试 结合范围与图象求解 二、函数的概念 使解析式有意义 二次根式 五、函数的应用 行程问题 函数 白变量取值范围 整式 工程问题 符合实际意义 一常见类型 销售问题 核心原则 几何问题 函数判断 关系式判断 列表 图像判断 描点 画法步雾 定义 解析法 连线 优点 图象上的点 图象与函数关系 四、函数的图象 定义 列表法 满足解折式的点 三、 函数的表示方法 优点 看趋势 定义 找特殊点 从图象获取信息 列表 读对应值 图象法 绘制步螺 描点 连线 优点 知识清单 一、常量与变量 定义：①常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。②变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 二、函数的概念 1.定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定 的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。 2.函数值：当自变量x=a时，函数y的对应值b,称为x=a时的函数值，记作y=b。 3.自变量取值范围 使解析式有意义：①分式：分母≠0；②二次根式：被开方数≥0；③整式：全体实数-符合实际意义（如 时间、数量不能为负) 4.函数判断（核心：唯一对应） 1/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①关系式：y±V区(x>0)一不是函数（一个x对应两个y) ②图像：作垂直x轴的直线，与图像只有一个交点→是函数 三、函数的表示方法 1.解析法（关系式法) 定义：用数学式子表示函数关系。优点：准确、完整，便于分析计算 2.列表法 定义：用表格列出自变量与函数的对应值。优点：直观、具体，可直接查值 3.图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数y为纵坐标，描出对应点x,y),所有点组成的图 形就是函数图象。 步骤：列表→描点一→连线（平滑曲线） 优点：形象、直观，能看到变化趋势 四、函数的图象 1.画法步骤 ①列表：选自变量值，算对应函数值；②描点：在坐标系中标出(x,y);③连线：按顺序用平滑曲线连接 2.图象与函数关系：①图象上的点满足函数解析式；②满足解析式的点在图象上 3.从图象获取信息；①看趋势（上升/下降）；②找特殊点（与坐标轴交点、最高点、最低点）；③读对应值 (x→y,y→x) 一、函数的应用 1.步骤：①分析问题，找变量；②确定自变量与函数；③列函数关系式；④结合取值范围与图象求解 2.常见类型：①行程问题：s=vt;②工程问题：工作量=效率×时间；③销售问题：总价=单价×数量；④几何问 题：周长、面积、体积公式 二、易错点警示 1.函数判断忽略唯一对应，误判“一对多”为函数 2.自变量取值范围漏双重限制（如分式+根式） 3.画图象时不按顺序连线、出现折线 4.实际应用忽略非负整数等实际约束 2/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 易错总结 易错点1求函数的自变量问题 方法总结 1.解析式限制：分母不为零、二次根式被开方数非负、零指数幂底数不为零等。 2.实际问题背景：根据实际意义确定自变量范围（如时间、长度非负，人数为整数）。 解题技巧 1.列不等式组：将解析式中所有限制条件联立，解不等式组得自变量取值范围。 2.数轴表示：在数轴上标出取值范围，直观判断公共部分。 例1.(25-26八年级上·安微池州期末)函数y=√2026-x中，自变量x的取值范围是 例2.(2526八年级上新江台州期末)在函数)=二中，自变量的取能范图是 易错点2函数图象与三角形的综合 方法总结 1.坐标转化：设三角形顶点坐标（常在函数图象上），利用函数解析式表示点的坐标。 2.几何条件：根据三角形性质（如面积、边长、角度），用坐标表示并建立方程求解。 解题技巧 1.设参数：设动点坐标为含参数的函数表达式，代入几何条件列方程。 2.分类讨论：根据图形位置变化（如点在线上、形内）分情况讨论，避免漏解。 例3.(25-26九年级上·湖北武汉·期末)数学家梅文鼎在《几何通解》中写道：“形可用数度，数亦可以形显”， 如图(1)，在ABC中，AB=AC,点D从点C出发，依次沿CA、AB两边匀速运动，运动到点B停止.设 点D运动的路程为x,BD的长为y,y关于x的函数图象如图(2)，由曲线和线段组成.己知曲线的最低 点P的坐标为1,3)，线段与x轴的公共点Q(10,0),当x=7时，则CD= 3/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P 10主 (1) (2) 例4.(25-26八年级上广东深圳期末)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，动点P从点A出发，沿着 A→B→C的路径运动到点C停止，过点P作PQ⊥AC,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQ-AQ的 值为y,y随x变化的函数图象如图2所示，则AB的长为 图1 图2 易错点3函数图象与平行四边形的综合 方法总结 1.坐标表示：设平行四边形顶点坐标（部分点在函数图象上），利用对边平行且相等（斜率相等、距离相等） 列方程。 2.中点公式：利用对角线互相平分的性质，建立关于顶点坐标的方程组求解。 解题技巧 1.分类讨论：根据顶点顺序（如ABCD)确定对边关系，分情况讨论。 2.参数法：设动点坐标为x或t,用函数表达式表示，代入几何条件求解。 例5.(24-25八年级下.河南洛阳期末)如图1，在平行四边形ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移 动到点C,设点P移动路程为x,线段AP的长为y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长 为 4/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18 图1 图2 例6.(24-25八年级下·河北唐山期末)如图1，平行四边形ABCD中，∠D=150°，两动点M,N同时从 点A出发，点M在边AB上以2cm/s的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A-D-C-B的路 径匀速运动，到达点B时停止运动.△AMN的面积S(cm)与点N的运动时间(s的关系图象如图2所示， 己知AB=4cm. 个S/cm2 D b M B 0 23 图1 图2 (1)N点的运动速度是 cm/s; (2)c处的数值等于 易错点4函数图象与矩形的综合 方法总结 1,坐标表示：设矩形顶点坐标（部分点在函数图象上），利用对边平行且相等、邻边垂直（斜率积为-1） 建立方程。 2.中点与距离：对角线互相平分且相等，用中点公式和距离公式列方程组求解。 解题技巧 1.设参数简化：设矩形顶点为(xy)或含参数表达式，根据矩形条件列式。 2.分类讨论：根据矩形顶点顺序或位置（如边与坐标轴平行）分情况讨论。 例7.(24-25七年级下·广东揭阳期末)如图(1)，在矩形ABCD中，BC=5,动点P从点B出发，沿 BC一CD一DA运动至点A停止.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如 图(2)所示，则DC=,y的最大值是 5/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11 图(1) 图(2) 例8.(25-26八年级上·江苏盐城期末)如图(1)，在长方形ABCD中，E为边DC上一点.现有点P以 1cm/s的速度沿A→B→C→E运动，到达点E停止.△AEP的面积y(单位：cm)与点P运动的时间t(单 位：s)的关系图象如图(2)所示，当点P运动的时间t为 s时，△AEP为直角三角形 y/cm 18 E 8 图(1) 图(2) 易错点5函数图象与菱形的综合 方法总结 1.坐标表示：设菱形顶点坐标（部分点在函数图象上），利用四边相等、对角线垂直平分（斜率积为1且 中点重合)建立方程。 2.对称性：菱形对角线所在直线为函数图象，利用对称点坐标关系求解。 解题技巧 1.设对角线方程：若对角线在直线上，设其方程，用顶点在直线上且到中心等距列式。 2.参数法：设菱形边长为参数，用勾股定理和垂直条件求顶点坐标。 例9.(25-26九年级上湖北孝感期末)如图1，口ABCD中，连接BD,动点P从点A出发沿折线 AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止.设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图2是y与x的 函数关系的大致图象，则”= ,ABCD的面积为 y B 10--. 6 D 6 12 n 图1 图2 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例10.(24-25八年级下.河南新乡.期末)如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运 动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示，请你结合 图象分析，菱形的边长为 PA 图1 图2 易错点6函数图象与正方形的综合 方法总结 1.坐标表示：设正方形顶点坐标（部分点在函数图象上），利用四边相等、邻边垂直（斜率积为-1）及对 角线垂直相等建立方程。 2.中点与距离：对角线互相垂直平分且相等，用中点公式和距离公式列方程组求解。 解题技巧 1.设旋转角：若边不与轴平行，可设一边所在直线斜率为k),利用垂直求另一边斜率。 2.分类讨论：根据正方形顶点顺序或位置分情况求解。 例11.(24-25八年级下·湖南衡阳期末)如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线 AC上一动点，设PC=x,PE+PB=y,图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为m,V⑤)， 则正方形ABCD的边长为 图① 图② 例12.（24-25八年级下·河北衡水期末)如图1，在正方形ABCD的边BC上有一点E,连接AE.点P从 正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C.图2是点P运动时，APE的面积 y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象 (1)正方形ABCD的边长为 (2)当x=7时，y的值为 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 易错训练 一、单选题 1.(2526九年级上山东聊城期未)函数y=-三1中自变量x的取值范围是（) x-1 A.x21 B.x≥1且x≠0 C.x≤1且x≠0 D.x>1 2.(25-26九年级上·河南开封期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，动点P从点A出 发沿AC→CB运动到点B.设点P的运动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函数图象如图2所示，则 AB的长为() S 12 D 14右 图1 图2 A.10 B.12 C.14 D.16 3.(25-26八年级上山东东营期末)如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动， 运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到 BC的中点时，PO的长为() B 6 3 图1 图2 A.3 B.35 C.35 D.3V5 2 4.(25-26八年级上山东济南期末)如图1，长方形ABCD各顶点坐标分别为A(2,5),B(5,8),C(7,6), 8/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D(4,3).点G(4,3),H(2,1,以GH为一边作长方形EFGH.现将长方形EFGH沿DC方向平移，至EH 与BC重合时运动停止.在平移过程中，设平移的距离为d,长方形ABCD与长方形EFGH重叠的面积为S, S关于d的函数图象如图2.当EH与BC重合时，点F的坐标为() 9 8 A 4 3 3 D(G 2 E< ol 123456789x 2J2 Sa 图1 图2 A.（8.25,8.75 B.8.5,8.5 C.(6V2,82 D.8,9) 二、填空题 5.(25.26九年级上四川巴中期末)函数y=1+V2x+1中自变量x的取值范围是 6.(24-25九年级上山西晋中期末)如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动， 运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示，请你结合图象分析， 函数图象位于低点时，对应的x值为 B 图1 图2 7.(24-25八年级上·浙江杭州期末)如图(1)，在ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发沿 A→B→C以1cm/s的速度匀速运动至点C,图(2)是点P运动时，△ACP的面积ycm)随时间x(s变 化的函数图象，则ABC的面积为cm2,周长为cm. 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y/cm2 11x/S 图(1) 图(2) 8.(24-25八年级下·湖北咸宁期末)如图①，在矩形ABCD中，E为边DC上一点.现有点P以1cm/s的 速度沿A→B→C→E运动，到达点E停止.△AEP的面积y(单位：cm)与点P运动的时间t(单位： s)的关系图像如图②所示，则AB的值为 cm,当点P运动的时间t为 s时△AEP为直角 三角形. v/cm 24 18 8 图① 图② 三、解答题 9.(23-24八年级上·辽宁沈阳·期末)如图1，已知△ABD≌△CBD,AB=AD,CB=CD,点E从点A出发，沿 A→D→B的方向以1cm/s的速度匀速运动到点B.图2是点E运动时△EBC的面积y(cm)随时间xs变 化的关系图象， A Ay/cm2 D a at/5 x/s C 图1 图2 (1)BD= (2)求a的值， 10.(25-26九年级上·吉林期末)如图，在菱形ABCD中，AB=4Cm,∠A=60°.动点P从点A出发以 2cm/s的速度沿射线AB运动，以AP为一边在射线AB的上方作等边△APQ.设点P的运动时间为 10/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 xsx>0),aAPQ与菱形ABCD重叠部分图形的面积为ycm2. B (I)△APQ的边PQ的长为 ·(用含x的代数式表示) (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. 11.(24-25七年级下·重庆·期末)如图1，在ABC中，AD⊥BC于点D,AD=4cm,BC=6cm,动点E 从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度匀速运动，到达点D时停留1s后以原速度继续运动.如图2为 △ACE的面积S(cm2)随时间t(s)的变化图像， As/cm2 0 b 3d 图1 图2 (1)填写图2中数据：a= b= ，C三 d= (2)Sa4CE=2SA4cD时，求t的值； (3)当动点E从点B出发时，动点F同时从点C沿CB边以0.5cm/s的速度向终点B运动，当点F到达终点 B后，点E也随之停止运动，当S。:6cm时，求t的值 12.(24-25七年级下·山东青岛期末)如图1，长方形ABCD的一边BC向右匀速平行移动，运动一段时间 之后停留了2s,又向左匀速平行移动，直至与AD边重合，图2反映了它的边AB的长度(cm)随时间t(s 变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形ABCD的面积S(cm)随时间t(s的变化情况.请根据图 象回答下列问题： ◆lcm 个Sycm 12 B 0 46 9 t/s 图1 图2 图3 (I)初始时，边AB的长度是 cm;边AD的长度是 cm: 11/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)边BC向左匀速平行移动时的速度是 cm/s (3)在变化过程中，长方形ABCD面积的最大值a=cm2; (4)求边BC向左平移时，长方形ABCD的面积Scm)与时间1(s之间的关系式. 12/12 第二十二章 函数 一、常量与变量 定义：①常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。②变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 二、函数的概念 1.定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是x的函数。 2.函数值：当自变量x=a时，函数y的对应值b，称为x=a时的函数值，记作y=b。 3.自变量取值范围 使解析式有意义:① 分式：分母≠0 ;②二次根式：被开方数≥0；③整式：全体实数 - 符合实际意义（如时间、数量不能为负） 4. 函数判断（核心：唯一对应） ①关系式：y=±（x>0）→ 不是函数（一个x对应两个y） ②图像：作垂直x轴的直线，与图像只有一个交点→是函数 三、函数的表示方法 1.解析法（关系式法） 定义：用数学式子表示函数关系。优点：准确、完整，便于分析计算 2.列表法 定义：用表格列出自变量与函数的对应值。优点：直观、具体，可直接查值 3.图象法 定义：在平面直角坐标系中，以自变量x为横坐标，函数y为纵坐标，描出对应点(x,y)，所有点组成的图形就是函数图象。 步骤：列表→描点→连线（平滑曲线） 优点：形象、直观，能看到变化趋势 四、函数的图象 1.画法步骤 ①列表：选自变量值，算对应函数值; ②描点：在坐标系中标出(x,y); ③连线：按顺序用平滑曲线连接 2.图象与函数关系:①图象上的点满足函数解析式;②满足解析式的点在图象上 3.从图象获取信息;①看趋势（上升/下降）;②找特殊点（与坐标轴交点、最高点、最低点）; ③读对应值（x→y，y→x） 1、 函数的应用 1.步骤 :①分析问题，找变量; ②确定自变量与函数; ③列函数关系式; ④结合取值范围与图象求解 2.常见类型:①行程问题：s=vt;②工程问题：工作量=效率×时间;③销售问题：总价=单价×数量;④几何问题：周长、面积、体积公式 2、 易错点警示 1.函数判断忽略唯一对应，误判“一对多”为函数 2.自变量取值范围漏双重限制（如分式+根式） 3.画图象时不按顺序连线、出现折线 4.实际应用忽略非负整数等实际约束 易错点1 求函数的自变量问题 方法总结 1. 解析式限制：分母不为零、二次根式被开方数非负、零指数幂底数不为零等。 2. 实际问题背景：根据实际意义确定自变量范围（如时间、长度非负，人数为整数）。 解题技巧 1. 列不等式组：将解析式中所有限制条件联立，解不等式组得自变量取值范围。 2. 数轴表示：在数轴上标出取值范围，直观判断公共部分。 例1．（25-26八年级上·安徽池州·期末）函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，求不等式的解集．根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于零，从而得到不等式，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 例2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了确定函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定自变量的取值范围． 【详解】解：由函数表达式可知，分母，解得． 故答案为：． 易错点2 函数图象与三角形的综合 方法总结 1. 坐标转化：设三角形顶点坐标（常在函数图象上），利用函数解析式表示点的坐标。 2. 几何条件：根据三角形性质（如面积、边长、角度），用坐标表示并建立方程求解。 解题技巧 1. 设参数：设动点坐标为含参数的函数表达式，代入几何条件列方程。 2. 分类讨论：根据图形位置变化（如点在线上、形内）分情况讨论，避免漏解。 例3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）数学家梅文鼎在《几何通解》中写道：“形可用数度，数亦可以形显”．如图（1），在中，，点从点出发，依次沿、两边匀速运动，运动到点停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图（2），由曲线和线段组成．已知曲线的最低点的坐标为，线段与轴的公共点，当时，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质．由函数图象，得到，由最低点的坐标为，得到边上的高为，作于点，则，由勾股定理求得，当时，求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由函数图象，， 当时（在上），，即边上的高为， ∵，则边上的高也为， 作于点，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 例4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：如图， 由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， 故答案为：． 易错点3 函数图象与平行四边形的综合 方法总结 1. 坐标表示：设平行四边形顶点坐标（部分点在函数图象上），利用对边平行且相等（斜率相等、距离相等）列方程。 2. 中点公式：利用对角线互相平分的性质，建立关于顶点坐标的方程组求解。 解题技巧 1. 分类讨论：根据顶点顺序（如ABCD）确定对边关系，分情况讨论。 2. 参数法：设动点坐标为x或t，用函数表达式表示，代入几何条件求解。 例5．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图1，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，如图1，过A点作于E，连接，由图2可得，当点P与点B重合时，，当P与E重合时，，当点P到达点C时，，据此先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图1，过A点作于E，连接， 根据图2知：当点P与点B重合时，， 当P与E重合时，， ∴， ∴， 当点P到达点C时，， ∴， ∴． 故答案为：． 例6．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是__________ ； （2）c处的数值等于__________． 【答案】 1 10 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，由点M的速度和路程可知，时，点M和点B重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点D重合，进而可求出的长；即可求解． 【详解】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点A到点B，用时， 当时，过点N作于点E，    ∴， ∴， 在中，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴N点的运动速度是； ∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s， ∴， ∴， 故答案为∶1；10． 易错点4 函数图象与矩形的综合 方法总结 1. 坐标表示：设矩形顶点坐标（部分点在函数图象上），利用对边平行且相等、邻边垂直（斜率积为 -1）建立方程。 2. 中点与距离：对角线互相平分且相等，用中点公式和距离公式列方程组求解。 解题技巧 1. 设参数简化：设矩形顶点为(x,y)或含参数表达式，根据矩形条件列式。 2. 分类讨论：根据矩形顶点顺序或位置（如边与坐标轴平行）分情况讨论。 例7．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图（1），在矩形中，，动点P从点B出发，沿运动至点A停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图（2）所示，则_____ ，y的最大值是_______ ． 【答案】 6 15 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．注意解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，找到面积不变的开始与结束，得到的具体值． 首先结合题意可得当点P运动到点C，D之间时，的面积不变，则可得当，继而求得答案． 【详解】解：动点P从点B出发，沿运动至点A停止， ∵当点P运动到点C，D之间时，的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程， ∴时，y开始不变，说明时，又开始变化，说明． ∴的面积为：． 故答案为：6，15． 例8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图（1），在长方形中，为边上一点．现有点以的速度沿运动，到达点停止．的面积（单位：）与点运动的时间（单位：）的关系图象如图（2）所示，当点运动的时间为___________时，为直角三角形． 【答案】2或12/12或2 【分析】由图①②的关联信息可知，当点P从点A运动到点B的运动时间为，可求出；当点P运动到点B处，由求得，当点P运动到点C处，由求得，分两种情况：当时，当时，根据勾股定理分别列方程求解，即得t的值． 【详解】解：由图（1）（2）可知，当点P从点A运动到点B的运动距离为； 当点P运动到点B处，， ， 解得， 当点P运动到点C处，， ， 解得， ∴ 当时，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ； 当时， 如图，连接， 此时， ∴， ∴，即点此时点P不在边上， 若点P在上，则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得； 当点P运动的时间t为或时为直角三角形． 故答案为：2或12． 易错点5 函数图象与菱形的综合 方法总结 1. 坐标表示：设菱形顶点坐标（部分点在函数图象上），利用四边相等、对角线垂直平分（斜率积为 -1 且中点重合）建立方程。 2. 对称性：菱形对角线所在直线为函数图象，利用对称点坐标关系求解。 解题技巧 1. 设对角线方程：若对角线在直线上，设其方程，用顶点在直线上且到中心等距列式。 2. 参数法：设菱形边长为参数，用勾股定理和垂直条件求顶点坐标。 例9．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________． 【答案】 22 【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，结合运动轨迹及运动图象得出，然后利用等腰三角形的性质得出，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积． 【详解】解：如图所示，作，垂足为E， 在下图中标注点M、N，且， 当点P从点A运动到点B时，对应于线段， ∴， 当点P从点B运动到点D时，对应于曲线， ∴， ∴， 当点P到点D时，对应于图中的点N， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：，． 例10．（24-25八年级下·河南新乡·期末）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，菱形的边长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图像、菱形的性质、勾股定理等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．首先根据函数图像可知，当时，，当点运动到点时，，再由菱形的性质可得，然后由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， 当点运动到点时，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故答案为：． 易错点6 函数图象与正方形的综合 方法总结 1. 坐标表示：设正方形顶点坐标（部分点在函数图象上），利用四边相等、邻边垂直（斜率积为 -1）及对角线垂直相等建立方程。 2. 中点与距离：对角线互相垂直平分且相等，用中点公式和距离公式列方程组求解。 解题技巧 1. 设旋转角：若边不与轴平行，可设一边所在直线斜率为 \(k\)，利用垂直求另一边斜率。 2. 分类讨论：根据正方形顶点顺序或位置分情况求解。 例11．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，全等三角形的性质与判定，连接，由正方形的性质可得，证明，得到，则可推出当D、E、P三点共线时，有最小值，即此时y有最小值，最小值为的长，在图②中，图象上最低点的坐标为，则；由勾股定理可得，则，即，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当D、E、P三点共线时，有最小值，即此时y有最小值，最小值为的长， ∵图②中，图象上最低点的坐标为， ∴； ∵点是的中点， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴正方形的边长为2， 故答案为：2． 例12．（24-25八年级下·河北衡水·期末）如图1，在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C．图2是点P运动时，的面积y（）随时间x（s）变化的函数图象． （1）正方形的边长为 ________． （2）当时，y的值为 ___________________． 【答案】 /4厘米 【分析】本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解． （1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得的最大面积为8，此时P、D重合，，即可求解； （2）先抓住关键点，知道点P到终点时，的面积是6，此时P、C重合，，得，根据图象分析当时，点P在上，且，再求的面积． 【详解】解：（1）设正方形的边长为a， 由图象可知，当P、D重合时，的面积为8， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴正方形的边长为4， 故答案为：4； （2）当点P在点C时，， 解得：，即， 当时，点P在边上，如图， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东聊城·期末）函数中自变量x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件，是解题的关键．二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，即可进行解答． 函数包含平方根和分母，需满足被开方数非负且分母不为零． 【详解】解：， ∵被开方数， ∴． ∵分母， ∴． 综上，． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，中，，点D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】从函数图象终点得到直角三角形两直角边之和，从图象峰值得到点到达时的最大面积为12．利用直角三角形斜边中点性质，得到 面积与两直角边的关系，联立两直角边之和的方程，解出两直角边的乘积．结合勾股定理，通过两直角边的和与积，计算出斜边的长度． 【详解】解：动点从沿到，总路程（由图2终点得）． 当到时，面积最大为12； 是中点，故到的高为． 设，， 则 化简得： 根据勾股定理： 代入数值： 开方得：． 【点睛】从函数图象中提取直角边之和与最大面积的信息，再构建方程求解边长． 3．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得点从时，逐渐增大，当时，，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，，由勾股定理得到，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是的直角边，是斜边， ∴点从时，逐渐增大， 根据图2可得，当时，， 当时，在中，是直角边，是斜边， ∴，即，逐渐减小，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，， 同理，点从时，逐渐减小，到时有最小值，之后逐渐增大，当点运动到点时，，此时停止运动， ∴， ∴点运动到中点时，的长为， 故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，动点与函数图形的综合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图1，长方形各顶点坐标分别为，，，．点，，以为一边作长方形．现将长方形沿方向平移，至与重合时运动停止．在平移过程中，设平移的距离为d，长方形与长方形重叠的面积为S，S关于d的函数图象如图2．当与重合时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换--平移、函数的图象、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，能从函数图象中获取有用信息是解答的关键． 先根据函数图象和平移性质，当与重合时，平移距离，此时重叠面积，则，过F作x轴的垂线，交过D平行于x轴的直线于P，利用等腰三角形的判定与性质，结合坐标与图形得到平移前的点F坐标，再根据平移方向得到将长方形先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度得到与重合，进而可求得平移后的点F坐标． 【详解】解：由图1可知，，， 由函数图象和平移性质，当与重合时，平移距离，此时重叠面积， ∴， 如图1，过F作x轴的垂线，交过D平行于x轴的直线于P，则， 由图知， ∴是等腰直角三角形， ∴，则，即， 当与重合时，平移距离，此时等价于将长方形先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度， ∴平移后的点F的坐标为，即． 故选：A． 二、填空题 5．（25-26九年级上·四川巴中·期末）函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了自变量的取值范围，分式和二次根式有意义的条件； 根据分式的分母不能为零，二次根式的被开方数非负，求解自变量x的取值范围． 【详解】解：对于函数，要使函数有意义， 需满足以下条件：分式的分母，二次根式的被开方数， 解得， 因此，自变量x的取值范围是且， 故答案为：且． 6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为与的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，函数图象位于低点时，对应的值为_____． 【答案】或 【分析】结合图象，得到当时，，当点运动到点时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点运动到或时，函数图象位于低点，利用面积法求出的长，从而可求出点的运动路程． 【详解】解：由图象可得：当时，， 当点运动到点时，， 菱形， ， ， ， 当点运动到时，函数图象位于低点，如图， ∵ ∴ 解得：， ∴； 当点运动到时，函数图象位于低点，如图， 同理可得， ∴， ∴． 综上，函数图象位于低点时，对应的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，动点函数的图象，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，从函数的图象获取信息是解题的关键． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为______，周长为______． 【答案】 / 【分析】本题考查了函数图象，勾股定理．根据题意，当P点运动到B点时，的面积最大，当P点运动到C点时，共线，且重合，的面积为0，结合函数图象可得的值，再利用勾股定理求出的值，即可求出的面积和周长． 【详解】解：根据题意，当P点运动到B点时，的面积最大，当P点运动到C点时，共线，且重合，的面积为0， 由函数图象可得当时，的面积最大， ， 当时，的面积为0，此时，P点运动到C点，重合， ， ∴在中，， ∴， ∴的面积为，周长为． 故答案为：，． 8．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图①，在矩形中，E为边上一点．现有点P以的速度沿运动，到达点E停止．的面积y（单位：）与点P运动的时间t（单位：s）的关系图像如图②所示，则的值为________，当点P运动的时间t为________s时为直角三角形． 【答案】 8 2或12 【分析】由图①②的关联信息可知，当点P从点A运动到点B的运动时间为，即可求得第一空答案； 当点P运动到点B处，由求得，当点P运动到点C处，由求得， （1）当时，根据矩形的判定与性质，即可求得t的值； （2）当时，分点P在和上两种情况讨论，根据勾股定理分别列方程求解，即得t的值． 【详解】解：由图①②可知，当点P从点A运动到点B的运动距离为； 故答案为：8； 当点P运动到点B处，， ， 解得， 当点P运动到点C处，， ， 解得， （1）当时， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ； （2）当时，分两种情况： ①若点P在上，则，， 过点P作于点M， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， 在中，， ， 解得， ， 舍去； ②若点P在上，则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得； 当点P运动的时间t为或时为直角三角形． 故答案为：2或12． 【点睛】本题考查了利用函数图象解题，矩形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理列方程解题是关键． 三、解答题 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，已知，点从点出发，沿的方向以的速度匀速运动到点． 图2是点运动时的面积随时间变化的关系图象． (1)__________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据图象分析得出点E的位置于x的关系． （1）根据全等三角形的性质推出四边形为菱形，则，进而得出当点E在上时，点E到的距离不变，由图2可知，当时，y的值不变，即可得出，当时，点E与点B重合，即可得出； （2）过点D作于点H，根据，求出，根据勾股定理得出，则，再根据勾股定理得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴当点E在上时，点E到的距离不变， 由图2可知，当时，y的值不变， ∵点E的速度为， ∴， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，点E与点B重合， ∴， 故答案为：； （2）解：过点D作于点H， ∵，， ∴，即， 解得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：． 10．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在菱形中，．动点P从点A出发以的速度沿射线运动，以为一边在射线的上方作等边．设点P的运动时间为与菱形重叠部分图形的面积为． (1)的边的长为________．（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查动点问题，等边三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再根据是等边三角形，则，即可解答． （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ∵是等边三角形， ∴． 故答案为：． （2）解：①当时，如图①，过点Q作于点M， 有，， ∴， ∴， ∴ ， ②当时，如图②，过点Q，E分别作于点M，N， 有 ∵四边形是菱形，， ∴ ∴， 同理，可得， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得，是等边三角形， 由①，同理可求出，， ∴， ． ③当时，如图③，过点D作于点F， 由①同理可得，， ∴． 综上所述，． 11．（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，在中，于点D，，，动点E从点B出发，沿射线BC以的速度匀速运动，到达点D时停留后以原速度继续运动．如图2为的面积S（）随时间t（s）的变化图像． (1)填写图2中数据：______，______，______，______； (2)时，求t的值； (3)当动点E从点B出发时，动点F同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点F到达终点B后，点E也随之停止运动，当时，求t的值． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积的计算公式，一元一次方程的应用以及分类讨论，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． （1）由三角形的面积公式可求出，由图2可求出，由三角形的面积公式可求出，由的长度与点运动的速度以及到达时停留以原速度继续运动即可求出； （2）先求出，，计算出，，求出，分情况：①当在上时；②当在延长线上时，分别讨论即可求出的值； （3）由三角形的面积公式可求出，分别当在的左侧时，以及在右侧时，求出的值． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得：，， ， ，， ， ， 当在上时， ， ； 当在延长线时， ， 是到达点时停留1s后以原速度继续运动， 综上所述，当或时，． （3）解：， 时，， ， 当在的左侧时，， ， 当在的右侧时，， ， 综上所述，当或时，． 12．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合，图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)初始时，边的长度是_____；边的长度是_____； (2)边向左匀速平行移动时的速度是_____； (3)在变化过程中，长方形面积的最大值_____； (4)求边向左平移时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2，3 (2)4 (3)36 (4) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）由图2可得初始时，边的长度，由图3可得初始时，长方形的面积，据此结合长方形面积计算公式可得边的长度； （2）由图2可知第6秒到第9秒为向左平移的过程，此时的长度由变为，据此求解即可； （3）当最大时，长方形的面积最大，据此求解即可； （4）用含t的式子表示出的长，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解；由图2可知，移动前，由图3可知，移动前， ∴； （2）解：， ∴边向左匀速平行移动时的速度是； （3）解：由题意得，； （4）解：由题意得，． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $