第八章 三角形（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材华东师大版七年级下册

**基本信息** 新教材华东师大版八年级三角形拔尖卷，120分钟120分，24题覆盖三角形分类、多边形内角和等核心知识，选题有深度，可精准衡量学生掌握情况。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形类型、多边形内角和、等腰三角形周长|结合图形翻折（几何直观）、多结论判断（推理能力）| |填空题|6/18|中线与面积、正五边形内角、折叠角度计算|三角板与圆规情境（数学眼光）、面积转化（模型意识）| |解答题|8/72|平面镶嵌探究、折叠性质证明、内角和定理推导|动手操作与证明结合（创新意识）、跨情境应用（应用意识）|

第八章 三角形·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个． 故选D． 2．（3分）（24-25八年级上·河北石家庄·月考）下图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得是等边三角形，可得，延长交于点E，则，求出，即正n边形的一个外角是，进而得出这个多边形是十二边形，从而得到答案. 【详解】解：如图，由题意可得是等边三角形， ∴， 延长交于点E，则， ∴，即正n边形的一个外角是， ∴这个多边形是边形， ∴正n边形的内角和为； 故选：A.    【点睛】本题考查了正多边形的内角和外角、等边三角形的性质等知识，掌握求解的方法是关键. 3．（3分）（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 4．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，一元一次方程，设，由翻折得，根据三角形内角和得到，求出的值，再利用三角形内角和求出的度数． 【详解】解：设, 由翻折的性质可得,, , ∴, ∵, ， 在中,, 在中，， ， ∴, ∴, 故选: A． 5．（3分）（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，平分，点P为线段AD上一点，过点P作交的延长线于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形外角的性质即可求出度数，进一步求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线等知识点，能灵活运用三角形的中线以及等分线求面积成为解题的关键． 由、、可以求出的面积和的面积，再结合图形可得即可解答． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ∵， ∴，， ， ． 故选：D． 7．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（      ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】据三角形ABC的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果． 【详解】解：C点所有的情况如图所示： 由图可得共有6个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中． 8．（3分）（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解： 段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 9．（3分）（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ∵E为边的中点， ， ∵沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， ∵中，， ∴， 又∵， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（3分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，，平分，，下列结论： ①；②；③；④；⑤若，则， 其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， 故④正确； ∵ ， ∴为定值，故⑤正确． 综上所述，正确的选项①②④⑤共4个， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又 ，， ， 即， 在中，， ∴， 故答案为：43． 12．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵是的边上的中线，即有是的边上的中线， ∴，， ∴， ∵是的边上的中线，即有是的边上的中线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 13．（3分）（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在正五边形中，连接，相交于点，则的度数为 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查正多边形有关的角，多边形内角求法，等腰三角形的性质，三角形内角和，利用数形结合求解是解答此题的关键． 首先根据正五边形的性质得到，然后利用三角形内角和定理得，最后利用三角形的内角和得到，即可得出答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）在中，点D，E分别在上，，的平分线交于点F，的平分线交于点G，若，则的长是 ． 【答案】4或6 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，等角对等边．分情况求解是解题的关键． 由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解作答即可． 【详解】解：由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解； 当在左侧时，如图1， ∵，是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在右侧时，如图2， 同理，， ∴； 综上所述，的长为4或6， 故答案为：4或6 15．（3分）（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质．连接，根据三角形内角和定理可得的度数，再由折叠的性质可得，从而得到，，然后根据三角形外角的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴ 由折叠的性质得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为： ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【答案】(1) (2)17 【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可． （1）根据三角形的三边关系即可得到答案； （2）由（1）中求得的范围并根据为偶数即可得到的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 18．（6分）（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为 ， 正五边形每个内角的度数为 ， 正六边形每个内角的度数为 ， 正七边形每个内角的度数为 ， 正八边形每个内角的度数为 ， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 19．（8分）（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 20．（8分）（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解： 为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 21．（10分）如图，四边形中，，平分，，交于点．    (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分． 【答案】(1)①见解析    ②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据多边形内角和可证得，结合，即可得到结论．②根据角平分线的定义可求得，结合，可证得，即可得到结论． （2）延长，交于点，可先证得，结合，，可求得． 【详解】（1）①∵，， ∴． ∵， ∴． ②∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）延长，交于点，如图所示：    ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴平分． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角的性质、多边形内角和、平行线的判定，能根据题意构建辅助线是解题的关键． 22．（10分）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合． （1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果； （2）根据，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕， ∴， ∵将对折，得到折痕， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：不变．理由如下： ∵，，， ∴， 即． ∴的大小不随点的运动而变化． 23．（12分）（24-25八年级下·山东聊城·期末）问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图①，直线 ，直线分别交于点的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由． (1)数学思考：请你解答上边的问题； (2)深入探究：有点是射线上不与、重合的一点，过点作交于点，连接． ①当点在点右侧时（如图②），为探究与之间的数量关系，小飞过点作，请根据他的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键； 对于（1），根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，然后根据等量代换得出答案； 对于（2），分两种情况：当点在点右侧时，先根据平行线的性质得，进而得出，及，然后根据三角形外角的性质得，可得答案；当点在点和A之间时，仿照上述解答过程，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：． 理由：因为， 所以. 因为平分， 所以， 所以； （2）①解：． 理由：因为， 所以， 所以， 所以． ②解：当点在点右侧时因为， 所以，， 所以. 因为平分， 所以. 因为， 所以； 当点在点和A之间时， 因为， 所以， 所以. 因为平分， 所以， 因为， 所以． 24．（12分）（24-25八年级下·河北承德·期末）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． (1)已知：如图1，在中，求证： 证明：延长线段至点，并过点作． ∵（已作）， ∴ （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 同时发现，外角 ． 于是得到性质：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和． 【实践运用】 (2)如图2，线段、相交于点，连接、，试证明：． 【拓展提升】 (3)如图3，、分别平分、，若，则的度数为 ． (4)如图4，是一个不规则的五角星，则图中五个角的度数和为 ． 【答案】(1) 它不相邻 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的应用，角平分线性质，借助三角形的内角和由第二问得到是解决本题的关键． （1）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同位角相等”即可证明． （2）根据三角形的内角和为将角度进行等量代换证明即可． （3）由（2）中的结论可得，与，再结合角分线的性质等量代换求解即可． （4）由（2）中结论可得，再由三角形内角和为即可求解． 【详解】（1）证明：延长线段至点，并过点作． ∵（已作）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等） ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 同时发现，外角． 于是得到性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 故答案为：；；；它不相邻． （2）证明：在中，， 在中，， 又∵， ∴． （3）解：设与交点为点E，如图， ∵， 由（2）中的结论可知， 在和中，， 在和中，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ， 两式相减可得，， ∴解得． 故答案为：． （4）解：设与相交于点O，连接，如图， 由（2）中结论可知，在和中，， 在中，， 即， ∴图中五个角的度数和为． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 三角形·拔尖卷 【新教材华东师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（3分）（24-25八年级上·河北石家庄·月考）下图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正n边形的内角和为（    ）    A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 4．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，平分，点P为线段AD上一点，过点P作交的延长线于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．4 7．（3分）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（      ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（3分）（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 9．（3分）（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（3分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，，平分，，下列结论： ①；②；③；④；⑤若，则， 其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 12．（3分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ． 13．（3分）（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在正五边形中，连接，相交于点，则的度数为 ． 14．（3分）（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）在中，点D，E分别在上，，的平分线交于点F，的平分线交于点G，若，则的长是 ． 15．（3分）（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为 ． 16．（3分）（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 18．（6分）（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 19．（8分）（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 20．（8分）（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 21．（10分）如图，四边形中，，平分，，交于点．    (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分． 22．（10分）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 23．（12分）（24-25八年级下·山东聊城·期末）问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图①，直线 ，直线分别交于点的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由． (1)数学思考：请你解答上边的问题； (2)深入探究：有点是射线上不与、重合的一点，过点作交于点，连接． ①当点在点右侧时（如图②），为探究与之间的数量关系，小飞过点作，请根据他的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，试求的度数． 24．（12分）（24-25八年级下·河北承德·期末）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． (1)已知：如图1，在中，求证： 证明：延长线段至点，并过点作． ∵（已作）， ∴ （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 同时发现，外角 ． 于是得到性质：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和． 【实践运用】 (2)如图2，线段、相交于点，连接、，试证明：． 【拓展提升】 (3)如图3，、分别平分、，若，则的度数为 ． (4)如图4，是一个不规则的五角星，则图中五个角的度数和为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $