第二十六章 一次函数（单元复习+4个知识点+14类题型突破）（复习讲义）数学人教版五四制八年级下册

该初中数学单元复习讲义通过思维导图系统构建了一次函数的知识体系，知识速记部分以表格形式梳理变量与函数、一次函数定义及图象性质，清晰呈现一次函数与方程、不等式的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于题型归纳覆盖14类核心题型，如函数概念辨析题、一次函数与方程不等式关系题等，结合例题与巩固训练培养抽象能力和模型意识，基础学生可掌握方法，优秀学生能深入探究，助力教师实施精准分层教学。

第二十六章 一次函数 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 变量与函数 1.常量、变量： 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 2、函数的概念： 函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 3.函数有三种表示形式： （1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法 知识点02 一次函数的定义 1.正比例函数与一次函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 知识点03 一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 一次函数表达式的确定 求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 知识点04 一次函数的图象与方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程： x为何值时函数y= ax+b的值为0． 从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解， 从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标 2.一次函数与二元一次方程： 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 3.一次函数与一元一次不等式： 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 03 题型归纳 题型一　函数的概念 例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 2.（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C．D． 3.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各曲线中，不表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 题型二　函数的三种表示方法 例题：（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 巩固训练 1.（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 3.（22-23六年级下·山东烟台·期末）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得的弹簧长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：    (1)上表反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据以上图象补全表格： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 (3)由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？ (4)在弹簧承受范围内，请直接用含有x的代数式表示y． 题型三　一次函数的识别 例题：（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，是一次函数有（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 2.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四　正比例函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 巩固训练 1.（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数，下列说法正确的是(　　) A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．随增大而增大 D．点在函数的图象上 2.（23-24八年级下·云南昭通·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图象是一条射线 D．图象经过第二、三、四象限 3.（23-24八年级上·宁夏银川·期末）对于函数（k是常数，）的图象，下列说法不正确的是（    ） A．是一条直线 B．过点 C．y随x的增大而增大 D．经过一、三象限或二、四象限 题型五　一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数的图象与y轴的交点坐标是 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图象 D．点、在函数图象上，若，则 巩固训练 1.（23-24八年级下·云南大理·期末）关于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．当时，时， D．图象必经过点 2.（23-24八年级下·全国·期末）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．y的值随x值的增大而增大 B．它的图象经过点 C．它的图象与x轴的交点坐标是 D．它的图象不经过第一象限 3.（23-24八年级下·辽宁营口·期末）一次函数（k、b为常数，且）的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A．y随x的增大而增大 B．当时，y的值为6 C．图象不经过第三象限 D．图象与x轴的交点在x轴负半轴上 题型六　根据一次函数解析式判断其经过的象限 例题：（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第 象限． 1．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）在平面直角坐标系中，直线不经过第 象限． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 题型七　已知一次函数经过的象限求参数的范围 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知：一次函数中，该函数的图象不过第四象限，则的范围是 ． 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）函数的图像不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）直线不经过第一象限，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数（k为常数，）的图象经过点，但不经过第三象限，则k的值为 ． 题型八　一次函数图象与坐标轴的交点问题 例题：（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知关于的一次函数与． （1）当时，这两个函数图象的交点坐标是 ； （2）若这两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则 ． 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）直线在y轴上的截距是 2．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如果直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，则的周长为 ． 4．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，设一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B．若在x轴上找一点P，使得为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 题型九　利用一次函数的增减性比较函数值的大小 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知点，都在直线上，则、大小关系是 ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·山东日照·期末）已知点，都在直线上，则 （填“”、“”或“”）． 2.（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线 经过三点， 则的大小关系是 ． 3.（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 题型十　根据一次函数的增减性求参数 例题：（24-25九年级上·福建南平·期中）已知一次函数，随着的增大而增大，则的值可以是 ．（请写出一个符合题意的的值） 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 4．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为 题型十一　画一次函数的图象 例题：（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格： … 1 2 … … 4 3 3 0 … (1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行． 巩固训练 1.（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数的图象不经过第四象限． (1)求的取值范围； (2)当时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的情况下，当时，根据图象求出的取值范围． 2.（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 3.（23-24八年级下·河北承德·期末）一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． (1)确定一次函数解析式，在坐标系中画出一次函数的图象； (2)结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； (3)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (4)这个函数的图象上有两个点：，，请比较和的大小，并说明理由． 题型十二　一次函数的平移问题 例题：（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为 ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，直线的图象不动，将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为 ． 2.（23-24八年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 3.（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知一次函数的图象向上平移个单位后，与轴、轴分别相交于两点，则的面积等于 ． 题型十三　求一次函数的表达式 例题：（23-24八年级下·陕西西安·期末）已知一次函数图象过点，两点． (1)求这个一次函数的解析式． (2)判断点是否在该函数图象上． 巩固训练 1.（23-24八年级下·河南许昌·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数表达式； (2)求该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 2.（23-24七年级上·山东淄博·期末）已知正比例函数的图象与一次函数的图象交与点． (1)求，的值； (2)如果一次函数与轴交于点A，求点A的坐标． 3.（23-24八年级下·全国·期末）某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为 （单位：元）， 与销售数量 x（单位：件）的函数关系如图，请根据图象解决下列问题： (1)分别求出 与x之间的函数关系式； (2)现厂家分配该商品1 500 件给甲商场，800 件给乙商场，当甲、乙商场售完这批商品，厂家可获得总利润是多少元？ 题型十四　一次函数与方程、不等式的关系 例题：（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，已知一次函数与的图象交于点． (1)求a，k的值； (2)根据图象，关于x的不等式的解集为______； (3)结合两个一次函数图象与x轴的交点坐标，求不等式组的解集． 巩固训练 1.（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知与x成正比，且当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围为_______． (3)当时，求y的取值范围． 2.（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 3.（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 一次函数 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 变量与函数 1.常量、变量： 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。 2、函数的概念： 函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 3.函数有三种表示形式： （1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法 知识点02 一次函数的定义 1.正比例函数与一次函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 知识点03 一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 一次函数表达式的确定 求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 知识点04 一次函数的图象与方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程： x为何值时函数y= ax+b的值为0． 从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解， 从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标 2.一次函数与二元一次方程： 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 3.一次函数与一元一次不等式： 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0． 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 03 题型归纳 题型一　函数的概念 例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：A、不符合函数的定义，不是的函数，故此选项符合题意； B、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； C、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； D、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1.（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数的定义解答即可． 本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量． 【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误； B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确； C．与不是唯一的值对应，故选项错误； D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误． 故选B． 2.（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中，不是函数的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， ∴不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， ∴是函数，该选项不合题意； 故选：． 3.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各曲线中，不表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握“设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量”是解题的关键． 根据函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； B．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； C．对于任意的x,y都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意； D．当时，y有两个值与之对应，故本选项符合题意． 故选：D． 题型二　函数的三种表示方法 例题：（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 巩固训练 1.（23-24七年级下·全国·期末）春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，随的增大先增大后减小 【知识点】函数解析式、函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下： (1)上图反映哪两个变量之间的关系？ (2)根据上图，补全表格： 0 1 2 5 7 12 16 (3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？ 【答案】(1)弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系 (2)见解析 (3)当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加；当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法、从函数的图象获取信息、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的基本概念，函数的表示方法： （1）直接观察图象，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：反映了弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系； （2）解：根据上图，补全表格： 0 1 2 4 5 7 8 10 12 16 18 18 （3）解：由图象得： 当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加； 当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化． 3.（22-23六年级下·山东烟台·期末）在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得的弹簧长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：    (1)上表反映的变化过程中的两个变量，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)根据以上图象补全表格： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 (3)由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是多少千克？ (4)在弹簧承受范围内，请直接用含有x的代数式表示y． 【答案】(1)图中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)16，18 (3)5千克 (4) 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】（1）根据变量常量的定义结合题意进行判断即可； （2）根据图象填写表格即可； （3）根据图象得出结论； （4）根据图象可知所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长2厘米，据此解答即可． 【详解】（1）图中反映的是弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）由图象得： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 8 10 12 14 16 18 故答案为：16，18； （3）由图象可知，弹簧能承受的所挂物体的最大质量是5千克． （4）∵所挂物体质量每增加1千克，弹簧伸长2厘米， ∴． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解表格中弹簧的长度随所挂物体质量之间的变化关系是正确判断的关键． 题型三　一次函数的识别 例题：（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，是一次函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义．形如的函数叫做一次函数，根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：A.是二次函数，此项不符合题意； B.是常数函数，此项不符合题意； C.是一次函数，此项符合题意； D.是反比例函数，此项不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1.（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是一次函数的定义，即一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：①是一次函数，故本选项正确； ②不是一次函数，故本选项错误； ③是一次函数，故本选项正确； ④不是一次函数，故本选项错误； 故选：D． 2.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．直接利用一次函数的定义：一般地：形如（，、是常数）的函数，进而判断得出答案. 【详解】解：①；②；③；④；⑤．其中，是一次函数的有：①；②；④共3个． 故选：C． 3.（23-24七年级上·山东淄博·期末）下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的识别，根据形如，这样的函数叫做一次函数，进行判断即可． 【详解】解：①；②；③；④，其中是一次函数的有①③，共2个； 故选B． 题型四　正比例函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数的解析式为，下列结论正确的是（    ） A．图象是一条线段 B．图象必经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象是一条直线，不符合题意； B、当时，，图象不经过点，不符合题意； C、，图象经过第一、三象限，符合题意； D、，y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1.（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数，下列说法正确的是(　　) A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．随增大而增大 D．点在函数的图象上 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，分别利用正比例函数的性质分析得出即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象经过第二，四象限，不正确，不合题意； B、正比例函数，图象经过原点，正确，符合题意 C、正比例函数，随增大而减小，故此选项错误，不合题意； D、当时，，故点在函数的图象上不正确，不合题意； 故选：B． 2.（23-24八年级下·云南昭通·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图象是一条射线 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】A、当时，，∴图象必经过点，故该选项正确； B、∵，∴y随x的增大而减小，故该选项不正确； C、正比例函数图象是一条直线，故该选项不正确； D、∵，图象经过第二、四象限，故该选项不正确； 故选：A． 3.（23-24八年级上·宁夏银川·期末）对于函数（k是常数，）的图象，下列说法不正确的是（    ） A．是一条直线 B．过点 C．y随x的增大而增大 D．经过一、三象限或二、四象限 【答案】D 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数（）的图象是直线，当，经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，经过第二、四象限，y随x的增大而减小．根据正比例函数的性质求解． 【详解】解：对于函数（k是常数，）的图象， A、是一条直线，说法正确，故本选项不合题意； B、∵当时，， ∴直线经过点，故本选项不合题意； C、∵， ∴y随x的增大而增大，故本选项不合题意； D、∵， ∴直线经过第一、三象限，不经过二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 题型五　一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数的图象与y轴的交点坐标是 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图象 D．点、在函数图象上，若，则 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质。根据一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的几何变换进行判断． 【详解】解：当时，， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故B选项正确，不符合题意； 函数的图象向上平移3个单位长度得的图象，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点、在函数图象上，， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 巩固训练 1.（23-24八年级下·云南大理·期末）关于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象经过第一、二、三象限 C．当时，时， D．图象必经过点 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．利用，可判定一次函数的增减性和所在象限，即可判定选项A和B；利用增减性可判定选项C；将代入即可判定选项D． 【详解】解：A中、由于，则随增大而增大，所以A选项正确； B中、由于，则函数的图象必过第一、三象限，由于，图象与轴的交点在轴的下方，则图象还过第四象限，所以B选项错误； C中、由于，则随增大而增大，且当时，，则当时，时，所以C选项错误； D中、当时，，则图象必经过点，所以D选项错误； 故选：A． 2.（23-24八年级下·全国·期末）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．y的值随x值的增大而增大 B．它的图象经过点 C．它的图象与x轴的交点坐标是 D．它的图象不经过第一象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式系数的几何意义是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式系数的几何意义，逐一判断选项即可． 【详解】A．， y值随x值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； B．∵，令，解得， 它的图象不经过点，故该选项不正确，不符合题意； C．∵，令，解得：， 它的图象与x轴交点坐标为，故该选项正确，符合题意； D．，， 它的图象经过第一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意． 故选C． 3.（23-24八年级下·辽宁营口·期末）一次函数（k、b为常数，且）的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A．y随x的增大而增大 B．当时，y的值为6 C．图象不经过第三象限 D．图象与x轴的交点在x轴负半轴上 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，先利用待定系数法求出函数解析式为，据此可得y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，再求出当时，y的值，当，x的值即可得到答案． 【详解】解：把，代入中得： ， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，C说法正确； 当时，，故B说法错误； 当，， ∴图象与x轴的交点坐标为， ∴图象与x轴的交点在x轴负正轴上，故D说法错误， 故选：C． 题型六　根据一次函数解析式判断其经过的象限 例题：（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据，直线经过一，三，四象限，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴直线经过一，三，四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 1．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）在平面直角坐标系中，直线不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定不经过的象限即可． 【详解】解：， 直线经过第一、三、四象限， 直线不经过第二象限， 故答案为：二． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的性质，先一次函数的图象过第一，三，四象限得到，然后根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一，三，四象限， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键，据此求解即可． 【详解】解；∵直线经过第二、三、四象限， ∴， ∴， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 题型七　已知一次函数经过的象限求参数的范围 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知：一次函数中，该函数的图象不过第四象限，则的范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）函数的图像不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记的图象不经过第一象限是解题的关键．由函数的图像不经过第一象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围． 【详解】解：函数的图像不经过第一象限， 解得：， 的取值范围是． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）直线不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的性质得，解此不等式组，即可求解；掌握“当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限．”是解题的关键． 【详解】解： ， 不经过第一象限， ， 解得：， 故答案：． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在二、四象限；的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 分两种情况考虑，当一次函数的图象经过第二、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k值；当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：分两种情况考虑： 当一次函数的图象经过第二、四象限时，得 解得：； 当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，得 ， 解得：． ∴k的取值范围是． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数（k为常数，）的图象经过点，但不经过第三象限，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据图象经过点得到，再根据不经过第三象限即可得到． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，）的图象经过点， ∴， 解得， ∵不经过第三象限， ∴ ∴， 故答案为： 题型八　一次函数图象与坐标轴的交点问题 例题：（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知关于的一次函数与． （1）当时，这两个函数图象的交点坐标是 ； （2）若这两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则 ． 【答案】 或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，，则，求出两直线的交点坐标，即可； （2）根据题意分别求出一次函数与轴交点为：，与轴交点为：，再根据两个函数，求出交点坐标，最后根据两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则，解出，即可． 【详解】解：（1）当时，， ∴， 解得：， ∴， 这两个函数图象的交点坐标为：； （2）一次函数与轴交点为：，与轴交点为：， ∵一次函数与相交， ∴， ， ∴， ∴， ∴一次函数与的交点坐标为， ∵两个函数图象与轴围成的三角形的面积是， ∴， 解得：或， 故答案为：（1）；（2）或． 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）直线在y轴上的截距是 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，代入求出与之对应的值，即可得解，熟练掌握截距的定义是解决此题的关键． 【详解】解：当时，， 直线的截距为， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如果直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图形与与坐标轴围城的三角形的面积，求出直线与坐标轴的交点，把求线段的长的问题转化为求函数的交点的问题．求出求出直线与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即为可求． 【详解】解：当时，， 当时， 两坐标轴围成的三角形的面积为：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，则的周长为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，掌握求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 先令求出x的值，令求出y的值，得出A、B两点的坐标，再分别求出、、的长，将它们相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，，则A的坐标， 当时，，则B的坐标， ∴，，， ∴的周长． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，设一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B．若在x轴上找一点P，使得为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或或或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形，正确分类讨论是解答的关键．先求出点A、B坐标，再根据等腰三角形的性质分情况求解即可． 【详解】解：当时，，当时，由得， ∴，， ∴，，则， ∵为等腰三角形，点P在x轴上， ∴当时，点P坐标为或，即或； 当时，∵，∴，则点P的坐标为； 当时，如图，点P在线段上，设，则， 在中，由得， 解得，即， ∴点P坐标为， 综上，满足条件的点P坐标为或或或． 题型九　利用一次函数的增减性比较函数值的大小 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知点，都在直线上，则、大小关系是 ． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据已知函数的解析式得出y随x的增大而减小，再比较即可． 【详解】解：∵， ∴随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24八年级下·山东日照·期末）已知点，都在直线上，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键． 先根据一次函数解析式判断一次函数的增减性，据此即可解答． 【详解】解：∵直线中，， ∴对于，y随x增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴． 故答案为：． 2.（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线 经过三点， 则的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性求参数，根据得出随的增大而增大，结合，即可作答． 【详解】解：∵ ∴随的增大而增大 ∵经过三点，且 ∴ 故答案为： 3.（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据的图象经第二、四象限，判断出，可知的图象中，y随x值的增大而减小，由此可解．解题的关键是根据经过的象限判断出k值的正负． 【详解】解：∵（）的图象经第二、四象限， ∴， ∴的图象中，y随x值的增大而减小， 若，则， ∴，， ∴． 反之，也成立，即， 故答案为：． 题型十　根据一次函数的增减性求参数 例题：（24-25九年级上·福建南平·期中）已知一次函数，随着的增大而增大，则的值可以是 ．（请写出一个符合题意的的值） 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】此题考查了一次函数的性质：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小． 根据一次函数的性质解答． 【详解】解：∵一次函数（为常数，），随的增大而增大， ， ∴（答案不唯一）， 故答案为：1． 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一，） 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据，得到随着的增大而减小，进而得到，得到，进而作答即可． 【详解】解：∵点、点在一次函数的图象上，且， ∴， ∴， ∴的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一） 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据当时，有，可得，即可求解． 【详解】解：当时，有， 随的增大而减小， ， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 【答案】1或2 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得：， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1或2． 故答案为：1或2． 4．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为 【答案】6或/或6 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键．结合一次函数的性质，对m分类讨论，当时，一次函数y随x增大而增大，此时，；当时，一次函数y随x增大而减小，此时，；据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：当时，一次函数y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得， 当时，一次函数y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得，符合题意． 综上可知，m的值为6或． 故答案为：6或． 题型十一　画一次函数的图象 例题：（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格： … 1 2 … … 4 3 3 0 … (1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】画一次函数图象、求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】（1）根据当时，或1，得到和有一个点不在该函数图象上，再根据待定系数法求出一次函数的解析式，求出当时x的值，即可得到答案； （2）根据描点法进行画图即可； （3）根据斜率相同，两直线平行，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，或1， ∴和有一个点不在该函数图象上，和在该函数图象上， 设一次函数的解析式为， 则， 解得：，， ∴一次函数的解析式为， 当时，，解得， ∴点不在该图象上， 故答案为：； （2）解：一次函数的图象如下所示， （3）解：∵当一次函数斜率相同时，两直线平行，一次函数的解析式为 ∴正比例函数的解析式为：． 【点睛】本题考查求一次函数的解析、描点法画一次函数的图象和一次函数图象的性质，解题的关键是求出一次函数的解析式． 巩固训练 1.（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数的图象不经过第四象限． (1)求的取值范围； (2)当时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的情况下，当时，根据图象求出的取值范围． 【答案】(1)的取值范围是 (2)图见详解 (3)的取值范围是 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知函数经过的象限求参数范围、画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意不等式组即可求解； （2）根据，求出一次函数解析式，然后画函数图像即可． （3）将和分别代入中，分别求出的值，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得， ∴的取值范围是． （2）解：当时，一次函数解析式为 即， 在图上画上该函数的图象如下： （3）解：将和分别代入中， 可分别得出和， ∴当时，的取值范围． 2.（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象如图： 令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． 3.（23-24八年级下·河北承德·期末）一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． (1)确定一次函数解析式，在坐标系中画出一次函数的图象； (2)结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； (3)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (4)这个函数的图象上有两个点：，，请比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)，图象见解析 (2)①；②． (3)， (4)，理由见解析 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，比较函数值大小，无理数的估算等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，根据两点法作直线即可得到一次函数的图象； （2）根据函数图象中的信息即可得到结论； （3）把点Q的坐标代入函数解析式，解方程即可得到a的值，即可得到点Q的坐标； （4）先由无理数估算得到，再根据一次函数的增减性得到答案即可 【详解】（1）∵一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． ∴一次函数经过点， ∴ 解得， ∴一次函数解析式为 根据题意可得直线与x轴和y轴的交点分别为和， 函数图像如图所示： （2）①当时，y的取值范围是； ②当时，x的取值范围是； 故答案为：①；②； （3）把点代入得到， ， 解得， ∴ ∴点Q的坐标是； （4），理由如下： ∵， ∴， ∵中， ， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴． 题型十二　一次函数的平移问题 例题：（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为； 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，直线的图象不动，将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握解析式的“左加右减，上加下减”平移规律是解题的关键． 将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，相当于是把直线向下平移2个单位，据此求解即可． 【详解】解：由题意，可知本题是求把直线向下平移2个单位后的解析式， 则所求解析式为，即． 故答案为：． 2.（23-24八年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 【答案】2 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向下平移1个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：2． 3.（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知一次函数的图象向上平移个单位后，与轴、轴分别相交于两点，则的面积等于 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据“上加下减”得平移规律即可求出点坐标，从而求得的长，最后根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象向上平移个单位， ∴平移后得解析式为， 当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴的面积等于， 故答案为：． 题型十三　求一次函数的表达式 例题：（23-24八年级下·陕西西安·期末）已知一次函数图象过点，两点． (1)求这个一次函数的解析式． (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该函数图象上 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论． 【详解】（1）解：设这个一次函数解析式为， 把，代入中得：， 解得， ∴这个一次函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴点不在该函数图象上． 巩固训练 1.（23-24八年级下·河南许昌·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数表达式； (2)求该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）设这个函数的解析式是，把点的坐标代入，即可求出答案； （2）求出函数图象与坐标轴的交点，再根据三角形面积公式求出即可． 本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，先根据题意得出一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点和点， ， 解得， 一次函数的解析式为：； （2）由（1）知，一次函数的解析式为， 令，则；令，则， 此函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， 该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 2.（23-24七年级上·山东淄博·期末）已知正比例函数的图象与一次函数的图象交与点． (1)求，的值； (2)如果一次函数与轴交于点A，求点A的坐标． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的知识，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求一次函数解析式的相关知识． （1）只要把P点坐标代入两关系式即可； （2）设即可求出A点坐标． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴ ∴， ∵点在上， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵一次函数与x轴交于点A， 又∵当时，， ∴． 3.（23-24八年级下·全国·期末）某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为 （单位：元）， 与销售数量 x（单位：件）的函数关系如图，请根据图象解决下列问题： (1)分别求出 与x之间的函数关系式； (2)现厂家分配该商品1 500 件给甲商场，800 件给乙商场，当甲、乙商场售完这批商品，厂家可获得总利润是多少元？ 【答案】(1)；； (2)2 080 元 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了求函数解析式、有理数混合运算的应用等知识点，掌握待定系数法成为解题的关键． （1）根据图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数关系式即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解:设,把代入得,解得 ； 当时，设，把代入,得，解得； ； 当时,设 把代入, 得 ，解得 ． ∴． 综上，． （2）解：当时,; 当时, ; ∴． ∴厂家可获得总利润是元． 题型十四　一次函数与方程、不等式的关系 例题：（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，已知一次函数与的图象交于点． (1)求a，k的值； (2)根据图象，关于x的不等式的解集为______； (3)结合两个一次函数图象与x轴的交点坐标，求不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查两条直线的交点问题、一次函数与坐标轴的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式， （1）把代入求得，再把代入求解即可； （2）观察图象求解即可； （3）分别把代入、求得与x轴的交点坐标，再观察图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， 把代入得，， ∴， ∵一次函数的图象过点， 把代入得，， 解得； （2）解：由图可得，x的不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入得，， 解得， ∴一次函数与x轴交于点， 由（1）可得，，即一次函数， 把代入得，， 解得， ∴一次函数与x轴的交点为， 由图象可得，不等式组的解集为． 巩固训练 1.（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知与x成正比，且当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围为_______． (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：正比例的定义，一元一次不等式的解法，不等式的性质，理解题意是关键． （1）由题意设，把，代入得，从而可得答案； （2）当时，可得，再解不等式即可； （3）由，再结合不等式的性质可得答案； 【详解】（1）解：由题意设， 把，代入得， 解得， ∴， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得：； （3）解：当， ∴， ∴， ∴． 2.（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点的坐标为 (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）两解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （3）根据图象即可求解； 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：联立，解得， ∴点的坐标为； （3）解：把代入得，，解得， 观察图象，关于的不等式的解集为． 3.（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据一次函数的图象与轴交于点，利用函数图象分析即可解题； （2）①利用待定系数法求得一次函数的解析式，再根据不等式的解集是，将代入中求解，即可得到点B的坐标； ②根据、以及点B的坐标，结合函数图象分析，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①一次函数的图象与轴交于点， ， 一次函数的图象与x轴交于点， ， 解得， ， 不等式的解集是， 当时，， 点B的坐标为； ②由图知，不等式组的解集是， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $