精品解析：黑龙江哈尔滨顺迈学校2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷

顺迈初中2025-2026（下）八年级期中数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的相反数为 2. 在中，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理；由题意，已知直角三角形的斜边与一条直角边，由勾股定理即可求解． 【详解】解：由勾股定理，得， 所以， 故选C． 3. 如下图所示，在直角三角形外边有三个正方形，其中有两个面积为S1＝169,S2＝144,则S3为（ ） A. 25 B. 30 C. 50 D. 100 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：S3= S1- S2=169-144 =25. 考点：勾股定理. 4. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴. 5. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 7，24，25 C. 3，7，8 D. 10，24，26 【答案】C 【解析】 【分析】计算各选项中较小两数的平方和，与最长边的平方比较，若不相等则该组数不能作为直角三角形的三边长. 【详解】解： 选项A：， ∴能作为直角三角形三边长，不符合题意； 选项B：， ∴能作为直角三角形三边长，不符合题意； 选项C：，，， ∴不能作为直角三角形三边长，符合题意； 选项D：， ∴能作为直角三角形三边长，不符合题意. 6. 如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 7. 在中，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质求出斜边的长度，再利用勾股定理计算的长即可. 【详解】解：∵在中，，，， ∴ ∴. 8. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )． A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米 【答案】C 【解析】 【详解】 画出示意图如图所示： 设旗杆的高AB为xm,则绳子AC的长为(x+1)m， 在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2， ∴x2+52=(x+1)2， 解得：x=12， ∴AB=12m， 即旗杆的高是12m． 故选C． 9. 如图，中，，点F为的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线交于点E，连接，则的长是（ ） A. 5 B. 3 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图可得平分，三线合一，得到为的中点，根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【详解】解：由作图可知：平分， ∵， ∴，即为的中点， ∵点F为的中点， ∴是的中位线， ∴. 10. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 同旁内角互补，两直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的判定与性质、实数的性质和全等三角形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，成立，不符合题意； B、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，也可能互为相反数，逆命题不成立，符合题意； C、逆命题为：对应边相等的两个三角形是全等三角形，成立，不符合题意； D、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出原命题的逆命题． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 计算的结果等于__________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用平方差公式和二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：原式=-12-6=6 故答案为6 【点睛】本题考查了平方差公式和二次根式的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与数轴的结合．根据直角三角形的勾股定理可知，两直角边已知，求出斜边，再结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为2、1， ∴直角形的斜边长为：， ∴点A所表示的数a的值为：． 故答案为：． 14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 15. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算，求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 16. 一架2.5m长的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯足将下滑____m． 【答案】0.8 【解析】 【分析】本题注意利用数形结合思想根据题意画出图形，将问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，米，米，米，求CF的长 在Rt△ABC中 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即梯足将下滑0.8米 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握数形结合的思想、勾股定理是解题的关键． 17. 观察下列二次根式的运算规律：①；②；③；请写出第④个式子为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察已知三个等式各部分数字的变化规律，推导出第④个式子各部分的数值，即可写出对应的等式. 【详解】解：先分析已知式子的规律： 第①个式子，带分数的整数部分为，分子等于整数部分，分母为， 第②个式子，带分数的整数部分为，分子等于整数部分，分母为， 第③个式子，带分数的整数部分为，分子等于整数部分，分母为， 由此可得，第个式子中，带分数的整数部分为，分子与整数部分相等，分母为整数部分的平方减. 当求第④个式子时，，整数部分为，分子为，分母为， 因此第④个式子为. 18. 如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处， ∴，，， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 19. 等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为_______． 【答案】8或或． 【解析】 【详解】由已知的是一边上的高，分底边上的高和腰上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况： （1）如图，当AD为底边上的高时， ∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD， 在Rt△ABD中，AD=3，AB=5， 根据勾股定理得：． ∴BC=2BD=8． （2）如图，当CD为腰上的高时， 若等腰三角形为锐角三角形， 在Rt△ACD中，AC=5，CD=3， 根据勾股定理得：． ∴BD=AB－AD=5－4=1． 在Rt△BDC中，CD=3，BD=1， 根据勾股定理得：． 若等腰三角形为钝角三角形， 在Rt△ACD中，AC=5，CD=3， 根据勾股定理得：． ∴BD=AB＋AD=5＋4=9． 在Rt△BDC中，CD=3，BD=9， 根据勾股定理得：． 综上所述，等腰三角形的底边长为8或或． 20. 如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④，⑤若点P在上，连接，则的最小值为，其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，则为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，即可得出，结合四边形内角和计算即可判断①正确；证明，得出，，结合直角三角形的性质即可判断②正确；由全等三角形的判定定理即可判断③错误；求出，再由三角形的面积公式即可判断④错误；由垂线段最短可得，当时，最小，即可判断⑤正确． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 在中，，，在中，，对应边不相等，故和不全等，③错误； ∵， ∴， ∴，故④错误； 如图：由垂线段最短可得，当时，最小， ∵， ∴， ∴，即的最小值为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②⑤． 三、解答题（其中21题6分，22-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先对分母进行完全平方公式因式分解，再对括号内进行通分后，将除法转化为乘法后，约分化简，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 22. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 23. 图1、图2分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都是1，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足下列要求： （1）在图1中画出一个周长为18的平行四边形（非矩形），所画的平行四边形的各顶点必须在小正方形的顶点上； （2）在图2中画出一个面积为24的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）画出边长分别为的平行四边形，即可求解； （2）画出对角线分别为，的菱形，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，平行四边形即为所求； ∵， ∴四边形是平行四边形，且周长为； 【小问2详解】 解：如图所示，四边形即为所求． 24. 矩形的对角线，相交于点O，且，． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，过点O作，交于点F，交于点G，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于四边形的面积的． 【答案】（1）见详解 （2），，，的面积都等于四边形的面积的． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用矩形的性质得出，即可得出四边形是菱形． （2）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步得出，设，，根据勾股定理求出，连接交于点K，利用菱形的性质得出，进而可得出，先求出，根据同高等底可知，再证明，，由全等三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设，， ∴， 连接交于点K， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， ∴，负值舍去， ∴， ∴， 根据同高等底可知， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 综上，，，，的面积都等于四边形的面积的． 25. 阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）由材料可知，； （2）比较和的大小； （3）式子的最大值是________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）模仿题干过程，进行整理，即可作答． （3）模仿题干过程，进行整理，即可作答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，， ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴由，可知， 则 当时，分母有最小值， ∴的最大值是． 26. 已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点与交于点，连接，若． （1）如图1，求的度数； （2）如图1，求证：； （3）如图2，延长、交于点，连接、，若点为的中点，，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用外角的性质可得，结合，，可得 ，则； （2）通过论证，即可得出结论； （3）过点作于，过点作于，过点作的延长线于点，利用论证三角形全等及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形中， ∴， ∵，， ∴， 即：， ∴； 【小问2详解】 证明： ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于，过点作于，过点作的延长线于点， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴即：， 解得：， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，四边形是矩形，点的坐标为，连接，． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，，过点作轴，点在第三象限内，连接，过点作，交于点，设，的面积为，请用含的式子表示（不必写出的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交轴于点，若，请求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用勾股定理计算出，从而得到点的坐标； （2）容易证明，则，因此； （3）连接，作于点，由勾股定理可得，从而得到，．容易证明，则，，由勾股定理可得，列出方程并求解出的值，最后写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴， 在中，， 又∵点在轴正半轴上， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：如图，连接，作于点， 由（2）可知，， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 在中， ∴， 整理，得， 两边平方，得， 整理，得， 两边平方，得， 整理，得， 因式分解，得， ∵， ∴，即， 解得（负值舍去） ∴， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺迈初中2025-2026（下）八年级期中数学试卷 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数为（    ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 3. 如下图所示，在直角三角形外边有三个正方形，其中有两个面积为S1＝169,S2＝144,则S3为（ ） A. 25 B. 30 C. 50 D. 100 4. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 7，24，25 C. 3，7，8 D. 10，24，26 6. 如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 7. 在中，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 8. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )． A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米 9. 如图，中，，点F为的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线交于点E，连接，则的长是（ ） A. 5 B. 3 C. 8 D. 4 10. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 同旁内角互补，两直线平行 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 12. 计算的结果等于__________． 13. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 14. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 15. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，，，于点E，则的长为_________． 16. 一架2.5m长的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯足将下滑____m． 17. 观察下列二次根式的运算规律：①；②；③；请写出第④个式子为________． 18. 如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 19. 等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为_______． 20. 如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④，⑤若点P在上，连接，则的最小值为，其中正确的结论有________．（填写序号） 三、解答题（其中21题6分，22-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 计算： （1）； （2）． 23. 图1、图2分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都是1，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足下列要求： （1）在图1中画出一个周长为18的平行四边形（非矩形），所画的平行四边形的各顶点必须在小正方形的顶点上； （2）在图2中画出一个面积为24的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上． 24. 矩形的对角线，相交于点O，且，． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，过点O作，交于点F，交于点G，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于四边形的面积的． 25. 阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）由材料可知，； （2）比较和的大小； （3）式子的最大值是________． 26. 已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点与交于点，连接，若． （1）如图1，求的度数； （2）如图1，求证：； （3）如图2，延长、交于点，连接、，若点为的中点，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，四边形是矩形，点的坐标为，连接，． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，，过点作轴，点在第三象限内，连接，过点作，交于点，设，的面积为，请用含的式子表示（不必写出的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交轴于点，若，请求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $