期末综合测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高一数学必修二期末测试卷，涵盖复数、向量、统计、立体几何、解三角形等核心知识，通过基础题、综合题及创新情境题（如“完美坐标系”），考查数学抽象、空间观念、数据意识与推理能力，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算（题1）、向量垂直（题2）、斜二测画法（题4）|基础概念辨析，强调数学眼光的直观理解| |多选题|3/18|统计图表分析（题9）、解三角形多解判断（题10）、正方体动态问题（题11）|分层考查推理能力，体现思维严谨性| |填空题|3/15|分层抽样方差（题12）、线面垂直求长度（题13）|数据处理与空间想象结合，强化数学语言表达| |解答题|5/77|向量运算（题15）、解三角形条件选择（题16）、四棱锥证明与计算（题18）、新定义“完美坐标系”（题19）|综合应用与创新探究，如题19通过新坐标系构建模型，培养创新意识与逻辑推理|

高一数学下学期必修二期末测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1.（5分）已知复数z满足z（1﹣i）＝1+i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部是（　　） A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i 解：，则其共轭复数为﹣i，其虚部为﹣1．故选：C． 2.（5分）已知||＝2，若（）⊥，则•（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 解：∵||＝2，且（）⊥，∴，∴，∴ ．故选：D． 3.（5分）某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示： 不喜欢 喜欢 男性青年观众 女性青年观众 现要在所有参与调查的人中用分层随机抽样的方法抽取人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了人，则（ ） A.12 B.16 C.24 D.32 解：由题得，解得.故选C. 4.（5分）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴，已知四边形的面积为6cm2，则原四边形的面积为（　　）cm2． A．12 B． C． D．3 解：根据题意得∠BAD＝45°，原四边形为一个直角梯形，且上下底的边长分别和BC、AD相等，高为AB的2倍，即四边形ABCD的高的2倍，面积是四边形ABCD的2倍，∴原平面图形的面积为612cm2．故选：B． 5.（5分）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（　　） A． B． C． D． 解：两向量能作为平面向量的基底的充要条件是两向量不共线， 对于选项A，，所以两向量共线，A错误； 对于选项B，，所以两向量共线，B错误； 对于选项C，，所以两向量共线，C错误； 对于选项D，因为是平面内的一个基底，即不共线， 不存在实数λ，使得， 故这两个向量不共线，可以作为平面的一基底，D正确．故选：D． 6.（5分）关于用统计方法获取、分析数据，下列结论错误的是（ ） A.质检机构检测一大型超市某商品的质量情况，合理的调查方式为抽样调查 B.若甲、乙两组数据的标准差满足，则可以估计甲比乙更稳定 C.若数据的平均数为，则数据的平均数为 D.为了解高一学生的视力情况，现有高一男生200人，女生400人，按性别进行分层随 机抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为80，则男生样本容量为60 解：对于A：大型超市商品数量较大，全面检测成本高且可能具有破坏性，因此抽样调查合理，A正确. 对于B：标准差反映数据的离散程度，标准差越小，数据越稳定，因此甲比乙更稳定，B正确. 对于C：根据平均数的线性性质，，C正确. 对于D：分层抽样中，样本量与总体数量成正比.男女生人数比为，因此样本量比也为.女生样本量为80，男生样本量应为，而非60，D错误. 故选D. 7.（5分）已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 解：如图，取的中点，连接、.由，得. 因为平面底面，交线为，且平面，所以平面. 设底面的外接圆圆心为，则在上. 正三角形外接圆半径.，. 设外接球球心为，半径为，过作于，平面，则四边形为矩形，，.由勾股定理得： ，即，解得. 因此，外接球表面积. 故选：B. 8.（5分）在锐角中，内角所对的边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解：化简已知条件：由，得. 三角形面积，代入得：，因为，所以. 结合余弦定理，代入得： . 由正弦定理，.又， 代入化简：， . 因此或（舍去），得. 由锐角三角形条件：，故. 化简目标表达式：， 由基本不等式： 当且仅当（即）时取等号，满足.故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9.（6分）某校1200名学生参加英语竞赛，随机抽取30名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有（ ） A.频率分布直方图中的值为 B.估计这30名学生英语考试成绩的众数为75 C.估计这30名学生英语考试成绩的第60百分位数为80 D.估计总体中成绩落在内的学生人数为360 解：选项A：频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，组距为10，因此： ，解得，故A错误. 选项B：频率分布直方图中，众数为最高矩形的中点，即，故B正确. 选项C：计算前几组的累计频率：：， ：，累计频率， ：，累计频率， 因此第60百分位数为80，故C正确. 选项D：成绩落在内的频率为，总体人数为1200，故人数为，故D正确.故选：BCD. （多选）10.（6分）下列命题中正确的有（ ） A.在中，若，则 B.在中，，，，此三角形有两解 C.在中，若，则为等腰三角形 D.在中，若，则必是等腰直角三角形 解：选项A：由正弦定理，若，则，根据大边对大角，得，故A正确. 选项B：由正弦定理，得：，又，故或，三角形有两解，故B正确. 选项C：由，移项得：，取中点，则，故，即，因此，为等腰三角形，故C正确. 选项D：由，结合正弦定理得：，因此或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，故D错误.故选：ABC. （多选）11.（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不包含端点），则（　　） A．存在点P，使得平面PD1A1⊥平面PAA1 B．不存在点P，使得平面APD1∥平面BDC1 C．存在点P，使得直线PD1与AC所成角为 D．平面APD1截正方体所得的截面可能是等腰三角形 解：对于选项A，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1⊥平面AA1B1B， 又平面PAA1与平面AA1B1B是同一个平面，A1D1⊂平面PD1A1， ∴无论点P在线段A1B（不含端点）上任何位置都有平面PD1A1⊥平面PAA1，故A选项正确； 对于选项B，当点P为A1B的中点时，有AP∥DC1，DC1⊂平面BDC1，AP⊄平面BDC1，∴AP∥平面BDC1， 同理，AD1∥平面BDC1，且AD1∩AP＝A，AD1⊂平面APD1，AP⊂平面APD1， ∴平面APD1∥平面BDC1，故B选项错误； 对于选项C，当点P为线段A1B上靠近A1的四等分点时，如图，连接BC1，A1C1， 过点P作PQ∥A1C1，交BC1于Q，则， 又正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∥A1C1，∴PQ∥AC，则直线PD1与AC所成角为∠D1PQ，又，，∴△D1PQ为等边三角形，∴，故C选项正确； 对于选项D，如图， 当点P为线段A1B的中点时，此时平面APD1截正方体所得的截面为正三角形AB1D1，故选项正确．故选：ACD． 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.（5分）某学院有A、B、C三个专业，为了调查该学院学生的身高情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取该学院的A专业40名学生，其平均数和方差分别为和；B专业30名学生，其平均数和方差分别为和；C专业30名学生，其平均数和方差分别为和.则推测出该学院全体学生身高的方差是　 　． 解：先计算全体学生身高的平均数：， 代入数据：. 再计算全体学生身高的方差，使用分层方差公式： . 代入数据：.计算得：.故答案为：. 13.（5分）如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝　 　． 解：∵PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6， ∴AC6，PA⊥AC，则PC12． 故答案为：12． 14.（5分）如图，D是等边内的动点，四边形OADC是平行四边形，.当取得最大值时，　 　． 解：如图，建立平面直角坐标系：以O为原点，OB所在直线为x轴，垂直于OB的直线为 y轴.设等边的边长为，则：，，设，其中 由四边形OADC是平行四边形，得，因此：， 由，得：，化简得. ，代入， 化简得：，当，即时，取得最大值.此时，，，，因此.故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（13分）已知向量，． （1）若，求x； （2）若x＝﹣2，且），求λμ． 解：（1），，， 则（﹣2）×（﹣2）＝2x，所以x＝2． （2）由x＝﹣2得，， 所以，， 由得（﹣2﹣2λ）（﹣2﹣2μ）+（2﹣2λ）（2﹣2μ）＝0， 即（1+λ）（1+μ）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，即1+λ+μ+λμ+1﹣λ﹣μ+λμ＝0， 所以λμ＝﹣1． 16.（15分）在①，②，③这三个条件中选择能使三角形存在的一个条件，补充在下面的问题中，并求解. 问题：在中，内角所对的边分别为，已知，，且. (1)求； (2)在(1)的结论下，已知点在线段上，且，求的长. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：条件①分析：若选①，则，不符合余弦函数值域，三角形不存在. 条件②分析：若选②，由余弦定理：. 化简得，此时，不满足三角形两边之和大于第三边，三角形不存在. 条件③分析（正确条件）. （1）由，结合余弦定理：.化简得. 代入，，得： （2）由余弦定理求：， 故. 在中，由正弦定理：， 代入，，，所以. 17.（15分）为了了解某校高一年级的物理成绩，随机抽取了名同学进行调查，将所得分数（百分制）进行整理，得到频率分布直方图（如图）.已知成绩在内的学生有200人. （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取的等级为D的同学中，按调查评分分组分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行培优，经培优后，调查评分在内的同学等级转为B的概率为，调查评分在内的同学等级转为B的概率为，假设经培优后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经培优后至少有一人等级转为B的概率； （3）估计这名同学的物理成绩的平均数与中位数. 解：（1）成绩在内的频率为，故. 所有组频率和为1，即：， 解得. （2）求至少一人等级转为B的概率： 与的频率比为，分层抽样抽取的3人中，[40,50)人，[50,60)2人. 设“至少一人转为B”为事件，其对立事件为“无人转为B”： .故. （3）求平均数与中位数： 平均数：. 中位数：前四组累计频率为，故中位数在内： . 18.（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD． （1）求证：AB∥平面PCE； （2）求证：平面PAB⊥平面PBD； （3）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值． （1）证明：连接CE， 因为AD∥BC，，且E是AD的中点， 所以AE∥BC，AE＝BC， 所以四边形ABCE是平行四边形， 所以AB∥CE， 又AB⊄平面PCE，CE⊂平面PCE， 所以AB∥平面PCE． （2）证明：在直角梯形ABCD中，， 所以AB，BD， 所以AB2+BD2＝AD2，即AB⊥BD， 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD， 又AB∩PA＝A，AB、PA⊂平面PAB， 所以BD⊥平面PAB， 又BD⊂平面PBD， 所以平面PAB⊥平面PBD． （3）解：因为PA⊥平面ABCD，AD⊥DC， 所以由三垂线定理知，PD⊥CD， 所以∠ADP就是二面角P﹣CD﹣A的平面角，即∠ADP＝45°， 所以PA＝AD＝2， 所以PB， 由（2）知，平面PAB⊥平面PBD， 所以直线PA与平面PBD所成角即为∠APB， 在Rt△PAB中，sin∠APB， 故直线PA与平面PBD所成角的正弦值为． 19.（17分）如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”．设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对[x，y]叫做向量的“完美坐标”，记作． （1）若，，求的“完美坐标”； （2）已知，，证明：； （3）若，，设函数，x∈R，求不等式的解集． 解：（1）由题意易知， 求得； 证明：（2）由题意易知， 则，整理可得； （3）由（2）知， 由于， 则， 对上边两式左右两边加平方可得， ， 则， 令，， 故， 可以得到， 化简得到t2+3t+2＞0， 解得t≤﹣2（舍去）或t≥﹣1， 所以， 即， 所以，k∈Z 所以，k∈Z 即不等式的解集为，k∈Z． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期必修二期末测试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题：共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1.（5分）已知复数z满足z（1﹣i）＝1+i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部是（　　） A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i 2.（5分）已知||＝2，若（）⊥，则•（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 3.（5分）某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示： 不喜欢 喜欢 男性青年观众 女性青年观众 现要在所有参与调查的人中用分层随机抽样的方法抽取人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了人，则（ ） A.12 B.16 C.24 D.32 4.（5分）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴，已知四边形的面积为6cm2，则原四边形的面积为（　　）cm2． A．12 B． C． D．3 5.（5分）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（　　） A． B． C． D． 6.（5分）关于用统计方法获取、分析数据，下列结论错误的是（ ） A.质检机构检测一大型超市某商品的质量情况，合理的调查方式为抽样调查 B.若甲、乙两组数据的标准差满足，则可以估计甲比乙更稳定 C.若数据的平均数为，则数据的平均数为 D.为了解高一学生的视力情况，现有高一男生200人，女生400人，按性别进行分层随 机抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为80，则男生样本容量为60 7.（5分）已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8.（5分）在锐角中，内角所对的边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （多选）9.（6分）某校1200名学生参加英语竞赛，随机抽取30名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有（ ） A.频率分布直方图中的值为 B.估计这30名学生英语考试成绩的众数为75 C.估计这30名学生英语考试成绩的第60百分位数为80 D.估计总体中成绩落在内的学生人数为360 （多选）10.（6分）下列命题中正确的有（ ） A.在中，若，则 B.在中，，，，此三角形有两解 C.在中，若，则为等腰三角形 D.在中，若，则必是等腰直角三角形 （多选）11.（6分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不包含端点），则（　　） A．存在点P，使得平面PD1A1⊥平面PAA1 B．不存在点P，使得平面APD1∥平面BDC1 C．存在点P，使得直线PD1与AC所成角为 D．平面APD1截正方体所得的截面可能是等腰三角形 第II卷（非选择题：共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.（5分）某学院有A、B、C三个专业，为了调查该学院学生的身高情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取该学院的A专业40名学生，其平均数和方差分别为和；B专业30名学生，其平均数和方差分别为和；C专业30名学生，其平均数和方差分别为和.则推测出该学院全体学生身高的方差是　 　． 13.（5分）如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝　 　． 14.（5分）如图，D是等边内的动点，四边形OADC是平行四边形，.当取得最大值时，　 　． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（13分）已知向量，． （1）若，求x； （2）若x＝﹣2，且），求λμ． 16.（15分）在①，②，③这三个条件中选择能使三角形存在的一个条件，补充在下面的问题中，并求解. 问题：在中，内角所对的边分别为，已知，，且. (1)求； (2)在(1)的结论下，已知点在线段上，且，求的长. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 17.（15分）为了了解某校高一年级的物理成绩，随机抽取了名同学进行调查，将所得分数（百分制）进行整理，得到频率分布直方图（如图）.已知成绩在内的学生有200人. （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取的等级为D的同学中，按调查评分分组分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行培优，经培优后，调查评分在内的同学等级转为B的概率为，调查评分在内的同学等级转为B的概率为，假设经培优后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经培优后至少有一人等级转为B的概率； （3）估计这名同学的物理成绩的平均数与中位数. 18.（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，，E为 棱AD的中点，PA⊥平面ABCD． （1）求证：AB∥平面PCE； （2）求证：平面PAB⊥平面PBD； （3）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值． 19.（17分）如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完 美坐标系”．设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实 数对[x，y]叫做向量的“完美坐标”，记作． （1）若，，求的“完美坐标”； （2）已知，，证明：； （3）若，，设函数，x∈R，求不等式的解集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $