6.5.2平面与平面垂直课件（第1课时）-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦“平面与平面垂直”第一课时，核心内容为二面角、二面角的平面角的概念及求法。课堂导入从线线角、线面角复习入手，通过空间两平面位置关系的差异问题，自然过渡到二面角概念，构建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以数学眼光抽象半平面、二面角等概念，结合图形与符号强化几何直观；通过例1（棱上取点证平面角）、例4（山坡倾斜度实际问题）等，用数学语言表达空间关系与实际应用，步骤规范培养逻辑推理（数学思维）。学生能掌握转化思想，教师可提升教学效率与知识传递效果。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 立体几何初步 第5节 垂直关系 5.2 平面与平面垂直 第1课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解二面角的概念. 2、理解二面角的平面角的概念. 3、会求二面角的平面角. 1、会求二面角的平面角. 1、理解二面角的概念. 2、理解二面角的平面角的概念. 2 新 知 引 入 α a b 当a∥b时，规定：直线a与直线b所成的角为______。 0º 当直线a、b相交时，产生了4个角，其中______________的角 称为它们的夹角。 α a b 不大于90º α a b 当直线a、b异面时，过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b, 这时a',b'共面，我们把a'与b'所成的______________的角称为 异面直线a,b所成的角(或夹角)。 1、线线角 不大于90º 线线角的范围是：_______________ [0º,90º] 新 知 引 入 2、线面角 α a 当直线a⊂平面α、直线a∥平面α时，它们所成的角为_______. α a 当直线a⊥平面α时，它们所成的角为_______. P A O a α a 当直线a与平面α斜交时，斜线与它在平面上的投影所成的_________，叫做这条直线和这个平面所成的角. 锐角 0º 90º 线面角的范围是：_______________ [0º,90º] 新 知 引 入 α β α β m 3、空间两个平面的位置关系有：_________、_________. 相交 平行 α α β β 4、下面两个图形中，平面α与平面β都是相交关系，但是α与β这两个平面的开合程度是不同的，如何刻画开合程度的不同呢？ 学 习 新 知 一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面. 半平面 注意：1、 2、 图形： 半平面 半平面 半平面只是一种形象的说法，平面其实是无限延展的. 学 习 新 知 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,称为二面角,这条直线称为二面角的棱;两个半平面称为二面角的面. 符号表示：二面角α-AB-β 或 α-l-β 或 A-CD-F. 二面角 注意：1、 2、 图形： α β A B α β l 平卧式 平卧式 直立式 A B C D E F 学 习 新 知 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角。 注意：1、 2、 α β A B α β l α β m 图形： 二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平面图形转化的思想. 学 习 新 知 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角。 当二面角的两个面重合时，二面角的大小为0º； 当二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为180º. 平面角是直角的二面角称为直二面角. 二面角的平面角的大小与角的顶点在棱上的位置无关。 两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角相等,相邻的两个二面角互补. 注意：1、 2、 3、 4、 5、 6、 二面角的平面角的范围是：[0º,180º] 两个平面的夹角的范围是：[0º,90º] 学 习 新 知 求二面角的平面角的步骤： 1、在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的 两个面内分别作棱的垂线。 2、连接两个垂足，这两条垂线所成的角即为二面角的平面 角。 3、利用解三角形的知识求解该平面角的大小。 典 例 引 路 例1、如图，点P在二面角α-AB-β的棱AB上，分别在α,β内引射线PM,PN， 使得PM=PN,若∠BPM=∠BPN=45º，∠MPN=60º，则二面角α-AB- β的大小为（     ） A．45º B．60º C．90º D．120º 解：如图所示，过点M作MQ⊥AB于点Q，连接NQ,MN， ∵ PM=PN，∠MPQ=∠NPQ=45º，且PQ=PQ， ∴ △MPQ≌△NPQ， ∴∠MQP=∠NQP=90º， ∴NQ⊥AB， ∴ ∠MQN即为二面角α-AB-β的平面角， 设PQ=a，则QM=QN=a,PM=PN=a, 又∵∠MPN=60º，∴△MPN为等边三角形，∴MN= a, ∴ QM2+QN2=MN2，∴∠MQN=90º， ∴ 二面角α-AB-β的大小为90º. C 同 步 练 习 练1、如图，已知二面角α-l-β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面 角的两个半平面内，且都垂直于棱l，若AB=4，AC=5，BD=8，CD=5, 平面α与平面β夹角的余弦值为__________. 解:过点A作BD的平行线AE，且AE=BD，连接CE，DE ∴四边形ABDE为平行四边形 ∵BD⊥AB，∴AE⊥AB，又∵AC⊥AB，∴∠CAE是二面角α-l-β的平面角 ∵AE⊥AB，AC⊥AB，且AE∩AC=A，∴AB⊥平面ACE， ∵AB∥ED，∴ED⊥平面ACE，又∵CE⊂平面ACE，∴ED⊥CE， 在△CED中，∵ED⊥CE，AB=ED=4，CD=5, ∴CE== 在△ACE中，由余弦定理得cos∠CAE = - , ∴二面角α-l-β的余弦值是 - 设平面α与平面β夹角为θ，且θ∈[0,90º]， ∴cosθ=|cos∠CAE|=|- |= 典 例 引 路 例2、ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，则二面角B-PA-C的平面角的度数为____． 解:∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AC， 即∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角， 又在正方形中∠BAC=45º， 故所求二面角的平面角为45º． 同 步 练 习 练2、已知正六棱锥的高为6，底面正六边形的边长为4，则侧面与底面所成锐二面角 的大小为______。 解:如图，O为正六棱锥P-ABCDEF底面的中心，高PO=6， ∵ 底面为正六边形， ∴ AO=AF=4， ∴ PO⊥底面ABCDEF， 取AF的中点G，连接OG,PG， 则∠PGO为侧面与底面所成锐二面角， 由正三角形AOF的高为2, ∴ tan∠PGO = = 即∠PGO=60º. 典 例 引 路 例3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点， 二面角C1-BD-C的正切值为______. 解：在正方形ABCD中，连接AC交BD于O点，连接C1O，则AC⊥BD，即OC⊥BD， 又C1C⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故C1C⊥BD， 而OC∩C1C=C,OC,C1C⊂平面C1OC，故BD⊥平面C1OC， OC1⊂平面C1OC，则BD⊥OC1， 即得∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角， 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则OC = AC = 故tan∠C1OC = = = 即二面角C1-BD-C的正切值为 同 步 练 习 练3、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4,AD=3,AA1=2,E是线段 AB上的点，且EB=1,则二面角C-DE-C1的正切值为__________ 解：由已知AB=4,AD=3,AA1=2,E是线段AB上的点，且EB=1 利用勾股定理可得：DE=3,CE=. 在△DEC中，由余弦定理得cos∠DEC= ,∴sin∠DEC = 过点C作CF⊥DE，连接C1F， ∵CC1⊥底面ABCD，DE⊂底面ABCD，∴CC1⊥DE， ∵CF∩CC1=C，CF,CC1⊂平面CFC1，∴DE⊥平面CFC1， 又∵C1F⊂平面CFC1，∴DE⊥C1F， ∴∠CFC1是二面角C-DE-C1的平面角， CF=CE·sin∠DEC=×=2 ∴tan∠CFC1 = = ∴二面角C-DE-C1的正切值为 典 例 引 路 例4、如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60º，山坡上 有一条直道CD,它和坡脚的水平线AB的夹角是30º，沿这条路上山，行走 100m后升高多少米？（精确到0.1m） 解：如图，设DH垂直于过BC的水平面，点H为垂足， 线段DH的长度就是所求的高度。 在平面DBC内，过点D作BC的垂线，垂足为点G，连接GH ∵DH⊥平面BCH，BC⊂平面BCH,∴DH⊥BC 又∵DG∩DH=D,DG,DH⊂平面DGH,∴BC⊥DGH 又∵GH⊂平面DGH,∴GH⊥BC ∴∠DGH=60º就是坡面DGC与水平平面BCH所成的二面角的平面角。 ∴DH=DG·sin60º=CD·sin30º·sin60º=25≈43.3m 即沿直道前进100m,升高约43.3m. 同 步 练 习 例4、已知斜坡平面与水平面成30°的二面角，一条公路与坡脚成45°的角， 沿公路前进100米，则路基升高了________米． 解：如图所示：设AC为坡脚线，SA为公路线，SB垂直水平面， 作BC⊥AC，连接SC， ∵SB⊥平面ABC，∴SB⊥AC， 又∵BC∩AC=C，∴AC⊥平面SBC，∴AC⊥SC ， 所以∠SCB是平面SAC与平面ABC所成的角， 由题意得：∠SCB=30º,∠SAC=45º,SA=100, 则SC=SA·sin∠SAC= 50, SB=SC·sin∠SCB=25 典 例 引 路 例5、已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面积分别为，4，且棱 台侧面与下底面所成二面角的余弦值为 ，则棱台侧面的高为______． 解：依题意得:S△A1B1C1= A1B12 = ,S△ABC = AB2 = 4,解得A1B1=2，AB=4 分别取B1C1,BC的中点E1,E，连接A1E1,AE,EE1，取A1O1= A1E1,AO= AE, 则O1,O分别为上、下底面的中心，连接O1O， 过点A1作A1M⊥AE于点M，过点E1作E1N⊥AE于点N， ∴A1E1=,AE=2,A1O1= ,AO= 可得 ON = O1E1 = , NE = AE-AO-ON = 侧面B1C1CB与下底面ABC所成角为∠E1EN， 在直角△E1EN中，可得cos∠E1EN = = ,解得EE1=, ∴棱台侧面的高为. 同 步 练 习 练5、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，侧面 CBB1C1是正方形，B1B=B1A=2，点D是C1C的中点，二面 角A-B1B-C平面角的大小为 ,则AD的长为__________. 解:取BB1的中点M，连接AM,DM， ∵△ABB1为正三角形，∴AM⊥BB1， 又∵侧面CBB1C1是正方形，点D是C1C的中点，∴DM⊥BB1， 即∠AMD为二面角A-B1B-C的平面角，且大小为 ∴由余弦定理可得cos = = = ∴ AD=1 典 例 引 路 例6、正方形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，G为BF的中点，将正方形 沿EF折成120º的二面角，则异面直线EF与AG所成角的正切值为_____． 解：如图，过G作GH∥EF，∴H为BE的中点，连接AH， 异面直线EF与AG所成角为∠AGH，设∠AGH=θ， ∵AE⊥EF，BE⊥EF，∴∠AEB=120º， 又∵AE⊥EF，∴AE⊥GH，又GH⊥BE，且AE∩BE=E， ∴GH⊥平面AEH，∴AH⊥GH， 在正方形ABCD中，设边长AB=4，∴AE=2，HE=1，GH=2， ∴ AH = = ∴ tanθ= = 同 步 练 习 练6、把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为120º的二面角B-AC-D，则异面直线 AB与CD所成角的余弦值为______. 解：设AC的中点为O，连接OB,OD，在正方形ABCD中，AC⊥OB,AC⊥OD， 因此折叠后，∠BOD即为二面角B-AC-D的平面角，故∠BOD=120º， 设E,F分别为AD,BD的中点，连接EF,OF,OE， 则EF∥AB,OE∥CD，即∠OEF（或其补角）为异面直线AB与CD所成角， 设正方形ABCD的边长为2，则 EF = AB = 1,OE = CD = 1 又∠BOD=120º，OD=OB= ,则OF⊥BD,∠DBO=30º，则OF = OB = 在△OEF中，由余弦定理得cos∠OEF = = 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 同 步 练 习 全 课 总 结 一、二面角 二、二面角的平面角 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 24 $