第6章 5.2 第1课时 平面与平面垂直的性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第六章　立体几何初步 §5　垂直关系 5.2　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的性质 知识对点练 目录 40分钟综合练 知识对点练 知识点一　二面角 1．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－AC－P的平面角是(　　) A．∠CPB B．∠BPA C．∠PAB D．∠BCP 解析　∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，由二面角的平面角定义可知，二面角B－AC－P的平面角是∠PAB. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为________． 解析　∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，大小为45°. 45° 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 60° 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 知识点二　面面垂直的性质 5．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　　) A．m∥n B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α 解析　根据平面与平面垂直的性质定理判断．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，应增加条件n⊥m，才能使n⊥β. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 6．[易错题]已知两个平面垂直，有下列命题： ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD，对于①，AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，夹角为60°，①错误；易知②正确；对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD，③错误；对于④，过平面AA1D1D内点D1作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，④错误．故选C. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 [易错分析]　对于④，很容易认为是正确的，其实④与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内． 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 7．如图所示，平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈平面α，AB⊥l，垂足为B，C∈平面β，若AB＝3，BC＝4，则AC＝(　　) A．3 B．5 C．7 D．4 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 9．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为BC的中点，且平面PAE⊥平面PAD，求∠ABC的大小． 解　因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD. 因为平面PAE⊥平面PAD， 且平面PAE∩平面PAD＝PA，AD⊂平面PAD， 所以AD⊥平面PAE. 又AE⊂平面PAE，所以AD⊥AE. 因为底面ABCD为菱形，且E为BC的中点，所以CE∥AD. 所以∠AEB＝∠EAD＝90°，则△ABC是等边三角形． 所以∠ABC＝60°. 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 40分钟综合练 一、选择题 1．在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　　) A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β 解析　由二面角的平面角的定义可知选D. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　) A．平行 B．共面 C．垂直 D．不垂直 解析　如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 二、填空题 6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________． 解析　由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n. 平行 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 7．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，则此时二面角B－AD－C的大小为________． 解析　由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，AD⊥CD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°. 60° 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 8．在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，点E为CD的中点(如图1)，沿AE将△ADE折起到△APE处，使得平面PAE⊥平面ABCE(如图2)，则直线PC与平面ABCE夹角的正切值为________． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 三、解答题 9．如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 证明　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 所以AB∥EF. 又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC， BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 10．四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.求二面角B－PC－D的平面角的度数． 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 　　　　　　　　　　　　　 R 2．在二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝2eq \r(2)，则这个二面角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析　如图，作BE∥AC，且BE＝AC.∵AC⊥AB，BE∥AC，∴BE⊥AB，又BD⊥AB，∴∠EBD即为所求二面角的平面角．又BD∩BE＝B，∴AB⊥平面BDE，∴AB⊥DE.∵AB∥CE，∴DE⊥CE，在Rt△DCE中，DE＝eq \r(CD2－CE2)＝eq \r(8－1)＝eq \r(7)，在△BDE中，cos∠EBD＝eq \f(BD2＋BE2－DE2,2BD·BE)＝eq \f(9＋4－7,2×3×2)＝eq \f(1,2)，∴这个二面角的大小为60°.故选C. 4．三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2eq \r(3)，VC＝1，则二面角V－AB－C的大小为________． 解析　取AB的中点O，连接VO，CO.∵在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2eq \r(3)，VC＝1，∴VO⊥AB，CO⊥AB，∴∠VOC是二面角V－AB－C的平面角．∵VO＝eq \r(VA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))\s\up12(2))＝eq \r(4－3)＝1，CO＝eq \r(BC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2)＝eq \r(4－3)＝1，∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形．∴∠VOC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°. 解析　因为平面α⊥平面β，α∩β＝l，AB⊥l，AB⊂平面α，所以AB⊥平面β，所以AB⊥BC，又AB＝3，BC＝4，所以AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝5. 8．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝2eq \r(3)，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.求证：AB⊥DE. 证明　在△ABD中， ∵AB＝2，AD＝4，BD＝2eq \r(3)， ∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD. ∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD， ∴AB⊥平面EBD. ∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE. 2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面说法正确的是(　　) A.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β，,m⊂α，,n⊂β))⇒m⊥n B.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,m⊂α，,n⊂β))⇒m∥n C.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β，,m⊂α))⇒m⊥β D.eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,m⊂α))⇒m∥β 解析　如图1所示，eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β，,m⊂α，,n⊂β))不能推出m⊥n，故A错误；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β，,m⊂α,))不能推出m⊥β，故C错误；如图2所示，eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,m⊂α，,n⊂β))不能推出m∥n，故B错误；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,m⊂α))⇒m∥β，故D正确．故选D. 4．已知二面角α－AB－β的平面角是锐角θ，平面α上有一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ＝(　　) A．eq \f(\r(7),7) B．eq \f(3\r(7),7) C．eq \f(3,4) D．eq \f(4,3) 解析　如图，作CE⊥AB于点E，CD⊥平面β于点D，连接ED.因为AB⊂平面β，所以CD⊥AB，又CE∩CD＝C，且CE⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE.因为ED⊂平面CDE，所以AB⊥ED，因此∠CED＝θ.在Rt△CED中，CD＝3，CE＝4，所以ED＝eq \r(CE2－CD2)＝eq \r(7)，所以tanθ＝eq \f(3,\r(7))＝eq \f(3\r(7),7). 5．[多选]如图所示，ABCD－A1B1C1D1为正方体，以下四个结论中正确的是(　　) A．AC1⊥平面CB1D1 B．直线B1C与BD的夹角为60° C．二面角C－B1D1－C1的正切值是eq \r(3) D．AC1与底面ABCD夹角的正切值是eq \r(2) 解析　如图，连接A1C1，因为正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1，又A1C1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1，所以B1D1⊥AC1，同理可得B1C⊥AC1，又B1C∩B1D1＝B1，可得AC1⊥平面CB1D1，故A正确；因为BD∥B1D1，所以直线B1C与BD的夹角即为直线B1C与B1D1的夹角，∠CB1D1即为所求，又在正方体中，△CB1D1为正三角形，所以∠CB1D1＝60°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接CO.易知C1O⊥B1D1，CO⊥B1D1，所以∠C1OC即为二面角C－B1D1－C1的平面角．设正方体的边长为2，则CC1＝2，C1O＝eq \r(2)，所以tan∠C1OC＝eq \f(CC1,C1O)＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，故C错误；连接AC，因为C1C⊥平面ABCD，所以AC1与底面ABCD的夹角为∠C1AC，所以tan∠C1AC＝eq \f(C1C,AC)＝eq \f(\r(2),2)，故D错误． eq \f(\r(5),5) 解析　取AE的中点F，连接CF，PF，∵PA＝PE，∴PF⊥AE，又平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，PF⊂平面PAE，∴PF⊥平面ABCE，则直线PC与平面ABCE的夹角为∠PCF，AE＝eq \r(AD2＋DE2)＝2eq \r(2)，PF＝EF＝eq \r(2)，CF2＝EF2＋CE2－2EF·CE·cos∠CEF＝10，即CF＝eq \r(10)，所以tan∠PCF＝eq \f(\r(2),\r(10))＝eq \f(\r(5),5). 解　作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图． 由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE. ∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE. ∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角． ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB， ∴BC⊥PB. 设AB＝a， 则BE＝eq \f(PB·BC,PC)＝eq \f(\r(6),3)a，BD＝eq \r(2)a. ∴sin∠BEO＝eq \f(BO,BE)＝eq \f(\r(3),2). ∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°. ∴二面角B－PC－D的平面角的度数为120°. $$