2026年塔什干国际奥林匹克数学竞赛试题

2026年塔什干国际数学奥林匹克 第一天 1.在一个无限方格网格上，一辆汽车占据一个单位方格，朝向为 东、南、西或北.两名玩家轮流进行以下操作： 。玩家1将汽车沿当前朝向向前移动至少1格、至多10格. ·玩家2将汽车原地左转90°或右转90°. 玩家1先手.如果在前1000次玩家1的移动中，汽车访问了某 个方格两次，则玩家2获胜.否则玩家1获胜，确定哪位玩家有 必胜策略. 注：玩家2旋转汽车或驾车穿过方格都不算作新的访问.特 别地，玩家1的每次移动恰好使一个方格的访问次数增加1·. 2.给定锐角三角形ABC,满足AB<AC.设I为其内心，D 为I在BC上的投影.直线AI交BC于E.设S为弧BAC 的中点.设F≠D为线段CE上的点，满足A,D,S,F四点共 圆.设P为直线AF与SE的交点，证明：∠PIA=∠FDA. 3.设p,g为两个不同的奇素数.证明：存在无穷多个正整数几， 使得 a(）网)=1 1 第二天 4.一家银行发行面额为a和b的硬币，其中a>b>1且为互 素整数.银行关注这样一种情况：某人拥有一组硬币，总价值为 ,但无法恰好支付金额k.对于给定的自然数k<,如果存在 一组总价值为的硬币，使得它的任何子集的总价值都不等于k, 则称k是-坏的.特别地，如果不存在总价值为n的硬币组合， 测没有k<n是-坏的. 对于每个n,设f(n)为小于n的-坏自然数的个数.证明 在序列f(1),f(2),f(3),.·中，恰好存在一个正整数出现无穷多 次. 5.求所有非零实系数多项式P(x),满足存在自然数N，使得对 任意自然数n≥N,存在实系数多项式Qn(x),满足 1 1 P(x) +P(+D++P十n-1) Qn(x) 6.10个孩子每人都有自己最喜欢的糖果类型，且所有孩子的类 型互不相同.他们的祖母从商店订购了一定数量的糖果，每种类 型的糖果数量可以是任意非负整数，共10种类型.然后，店主将 所有订购的糖果放入10个透明袋子中，以任意方式将单个糖果分 配到各个袋子里.看到袋子里的内容后，祖母给每个孩子恰好一 个袋子. 之后，每个孩子会因为收到的袋子里每有一颗自己最喜欢类 型的糖果，就给祖母一个幸福点（其他类型的糖果不给幸福点). 对于自然数m,求最小的自然数g=g(m),满足以下性质： 祖母总共订购g颗糖果时，无论店主如何将它们分配到10个袋 子中，祖母总能以某种方式将袋子分配给孩子们，确保至少获得 m个幸福点， 2