第13讲 一元一次不等式的概念及其解法（知识详解+8典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

本讲义聚焦一元一次不等式，系统梳理从不等式概念、列不等式、基本性质，到一元一次不等式概念、解集及数轴表示、解法的完整知识脉络，搭建从基础概念到实际应用的学习支架。 资料通过对比辨析（如不等式与等式性质异同）、8类典例（含邮资计算等生活实例）及分层习题，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、弥补薄弱环节。

第13讲 一元一次不等式的概念及其解法（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】不等式的概念 1.不等式：用不等号(>,<,≥,≤) 表示数量之间关系的式子叫作不等式. 2.常用不等号： 符号 读法 意义 例子 <  小于 小于、不足 𝑥<5  >  大于 大于、高于 𝑥>2  ≤  ①小于等于；②不大于 不大于、不超过、至多 𝑥≤3  ≥  ①大于等于；②不小于 不小于、不低于、至少 𝑥≥−1  ≠  不等于 不相等 𝑥≠−3  3.不等式的传递性： 如果a>b，b>c，那么a>c.如果a<b，b<c，那么a<c. 拓展： 不等式的对称性（互逆性）：如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a. 【知识点02】列不等式 1.列不等式：列不等式就是用不等式表示不等关系. 2.列不等式的基本步骤： （1）认真审题,厘清题目中包含的数量间的大小关系; （2）将题目中的不同数量分别用代数式表示出来; （3）用不等号连接所列的代数式,列出不等式. 敲黑板 常见的不等式基本语言及其符号表示 不等式基本语言 𝑎 是正数 𝑎 是负数 𝑎 是非正数 𝑎 是非负数 𝑎,𝑏 同号 𝑎,𝑏 异号 符号表示 𝑎>0  𝑎<0  𝑎≤0  𝑎≥0  𝑎𝑏>0  𝑎𝑏<0  【知识点03】不等式的基本性质 文字语言 符号语言 不等式的基本 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变. 如果𝑎>𝑏 ，那么𝑎+𝑐>𝑏+𝑐 或𝑎−𝑐>𝑏−𝑐 . 不等式的基本 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果𝑎>𝑏，𝑐>0 ，那么𝑎𝑐>𝑏𝑐 ；如果𝑎>𝑏，𝑐<0 ，那么𝑎𝑐<𝑏𝑐 . 注意：两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0 ；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义. 辨析：不等式的基本性质与等式的基本性质的不同点和相同点 类别 不同点 相同点 不等式 两边都乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变. （1）两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等式和等式仍成立; （2）两边都乘（或除以）同一个正数,不等式和等式仍成立. 等式 两边都乘（或除以）同一个负数,等式仍然成立. 【知识点04】一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式. 2.一元一次不等式必须同时满足三个条件:（1）不等式的两边都是整式;（2）只含有一个未知数; （3）未知数的次数为1. 辨析：一元一次不等式与一元一次方程的相同点与不同点 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 未知数的个数 1 1 未知数的次数 1 1 式子特点 左、右两边均为整式 左、右两边均为整式 不同点 表示关系 不等 相等 【知识点05】不等式的解集及其在数轴上的表示重点 1.不等式的解集：把满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解，所有的解组成的全体叫作这个不等式的解集. 注意：不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. 辨析：不等式的解与解集的区别与联系 不等式的解 不等式的解集 示例：不等式𝑥+1>2  𝑥=2 ，3等 𝑥>1  区别 不等式的解是使不等式成立的未知数的值 不等式的解集是能使不等式成立的所有未知数的值 联系 解集包含所有的解，所有的解组成解集. 2.解不等式：求不等式解集的过程叫作解不等式. 3.在数轴上表示不等式的解集 不等式的解集表示未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来.一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况（设a>0 ）： 不等式的解集 𝑥>𝑎  𝑥≥𝑎  𝑥<𝑎  𝑥≤𝑎  数轴表示 ____________________ __________________ _____________________________ _____________________________ 【知识点06】一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的步骤如下表： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 不等式的基本性质2. （1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）. 乘法分配律、去括号法则. 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号. 移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边. 不等式的基本性质1. （1）所移的项要改变符号，不移的项不变号； （2）移项时，不等号的方向不改变. 合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变. 合并同类项法则. 将未知数的系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数（或乘未知数的系数的倒数），将不等式化为𝑥>𝑐 或𝑥<𝑐(𝑐为常数) 的形式. 不等式的基本性质2. 当不等式两边都除以（或乘）同一个负数时，不等号的方向要改变. 注意：解一元一次不等式时，以上五个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解. 辨析：解一元一次不等式与解一元一次方程的相同点与不同点 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 解法步骤 ①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤将未知数的系数化为1.（对于解一元一次不等式,在去分母、将未知数的系数化为1时,若不等式两边都乘（或除以）同一个负数,则不等号的方向要改变） 不同点 依据 不等式的基本性质. 等式的基本性质. 解的个数 一般有无数个解. 等式的基本性质. 解（集）的形式 𝑥>𝑐或𝑥<𝑐(𝑐为常数) . 𝑥=𝑎 . 【题型一】不等式的定义 例1．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 例2．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）某市某天的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温的变化范围用不等式表示为____________． 变式1．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）为了保障交通安全、畅通，隧道入口处常有汽车限高标识（如图）．下列高度的汽车不可以通过这条隧道的是（       ） A． B． C． D． 变式2．（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【题型二】不等式的解集 例3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 例4．（23-24七年级下·江苏徐州·月考）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是______． 变式1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23七年级下·江苏南通·期末）求证：当时，一定比小． 【题型三】不等式的性质 例5．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 例6．（25-26七年级·江苏·月考）若，则______0．（选填“”、“”或“”）． 例7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 变式1．（25-26七年级·江苏苏州·期末）已知，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知正数m、n、p满足，，．则m、n、p的大小关系为________________．（用“＜”连接） 变式3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）（1）无论m为何值，是否一定有？试说明理由． （2）已知，试比较与的大小，并说明理由． 【题型四】一元一次不等式的定义 例8．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 例9．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为________． 例10．在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明． 变式1．（2023七年级下·江苏·专题练习）下列式子属于不等式的个数有（　　） ①,②3x,③④,⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）已知是关于的一元一次不等式，则_____． 变式3．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【题型五】求一元一次不等式的解集 例11．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列解不等式的过程错误的是第（　　）步． 解不等式， 解：移项，得…第一步， 合并同类项，得…第二步， 即…第三步． A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第二、三步 例12．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）关于x的不等式的解集是_______ ． 例13．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）按要求完成下列计算： (1)解二元一次方程组： (2)解一元一次不等式： 变式1．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）下列数中，能使不等式成立的x的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式2．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：，如果，则x的取值范围为________． 变式3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）下面是小年同学解不等式的过程，请认真阅读并帮助小年完成相应任务． 解不等式． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 第五步 任务一： 以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； 该题第______步出现错误，错误的原因是______； 任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式给其他同学提一条建议． 【题型六】求一元一次不等式的整数解 例14．（2026七年级下·江苏·专题练习）不等式的非负整数解有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 例15．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为________． 例16．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）解方程（或不等式） (1)解方程组： (2)解不等式：，并写出它的负整数解． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）不等式的正整数解的个数是（   ） A．无数个 B．5 C．4 D．3 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）不等式的正整数解是______． 变式3．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）整式的值为．    (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【题型七】在数轴上表示不等式的解集 例17．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（    ） A．或 B． C．或 D． 例18．（24-25七年级下·江苏常州·期末）根据图示，写出关于的不等式的解集为_________． 例19．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 变式1．（24-25七年级下·江苏常州·月考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   变式2．（23-24七年级下·江苏连云港·月考）如图，是关于的不等式的解集示意图，则该不等式的解集为________． 变式3．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）解不等式，将解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【题型八】求一元一次不等式解的最值 例20．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 例21．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 变式1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 变式2．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第69页的部分内容． 8．已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围． 写出这道题完整的解题过程． 【拓展】若关于x、y的方程组的解满足，求m的最小整数值． 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．一元一次不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 4．如果、都是实数，且，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．关于x的一元一次方程的解是负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 8．我们知道表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上数a，b对应的两个点之间的距离．比如表示数5与8对应点之间的距离为3．结合以上知识，以下说法正确的是（　　） ①当时，；②若，则或；③若，则；④若，则；⑤若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围为． A． B． C． D． 二、填空题 9．用不等式表示“、两数的和的平方是非负数”为___________． 10．若且，则______（填“，或”）． 11．写出不等式的一个解：________． 12．有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有________（填序号）． 13．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 14．若关于x的方程的解是，则不等式的解集为__________． 15．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是______． 三、解答题 16．解不等式：． 17．解方程组和不等式 (1) (2) 18．李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 19．解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 20．感知：解方程组，下列给出的两种方法中，方法简单的是__． （A）由①，得x＝，代入②，先消去x，求出y，再代入求解． （B）将①代入②，得4×7﹣y＝27，解得y＝1，再代入求解． 探究：解方程组． 应用：若关于x，y的二元一次方程组的解中的x是正数，则a的取值范围为__． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一元一次不等式的概念及其解法（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】不等式的概念 1.不等式：用不等号(>,<,≥,≤) 表示数量之间关系的式子叫作不等式. 2.常用不等号： 符号 读法 意义 例子 <  小于 小于、不足 𝑥<5  >  大于 大于、高于 𝑥>2  ≤  ①小于等于；②不大于 不大于、不超过、至多 𝑥≤3  ≥  ①大于等于；②不小于 不小于、不低于、至少 𝑥≥−1  ≠  不等于 不相等 𝑥≠−3  3.不等式的传递性： 如果a>b，b>c，那么a>c.如果a<b，b<c，那么a<c. 拓展： 不等式的对称性（互逆性）：如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a. 【知识点02】列不等式 1.列不等式：列不等式就是用不等式表示不等关系. 2.列不等式的基本步骤： （1）认真审题,厘清题目中包含的数量间的大小关系; （2）将题目中的不同数量分别用代数式表示出来; （3）用不等号连接所列的代数式,列出不等式. 敲黑板 常见的不等式基本语言及其符号表示 不等式基本语言 𝑎 是正数 𝑎 是负数 𝑎 是非正数 𝑎 是非负数 𝑎,𝑏 同号 𝑎,𝑏 异号 符号表示 𝑎>0  𝑎<0  𝑎≤0  𝑎≥0  𝑎𝑏>0  𝑎𝑏<0  【知识点03】不等式的基本性质 文字语言 符号语言 不等式的基本 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变. 如果𝑎>𝑏 ，那么𝑎+𝑐>𝑏+𝑐 或𝑎−𝑐>𝑏−𝑐 . 不等式的基本 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果𝑎>𝑏，𝑐>0 ，那么𝑎𝑐>𝑏𝑐 ；如果𝑎>𝑏，𝑐<0 ，那么𝑎𝑐<𝑏𝑐 . 注意：两边同乘的数不能是0，若两边同乘0，则不等式变为等式0=0 ；两边同时除以的数也不能是0，因为0作为除数无意义. 辨析：不等式的基本性质与等式的基本性质的不同点和相同点 类别 不同点 相同点 不等式 两边都乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变. （1）两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等式和等式仍成立; （2）两边都乘（或除以）同一个正数,不等式和等式仍成立. 等式 两边都乘（或除以）同一个负数,等式仍然成立. 【知识点04】一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式. 2.一元一次不等式必须同时满足三个条件:（1）不等式的两边都是整式;（2）只含有一个未知数; （3）未知数的次数为1. 辨析：一元一次不等式与一元一次方程的相同点与不同点 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 未知数的个数 1 1 未知数的次数 1 1 式子特点 左、右两边均为整式 左、右两边均为整式 不同点 表示关系 不等 相等 【知识点05】不等式的解集及其在数轴上的表示重点 1.不等式的解集：把满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解，所有的解组成的全体叫作这个不等式的解集. 注意：不等式的解集必须符合两个条件：（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；（2）能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. 辨析：不等式的解与解集的区别与联系 不等式的解 不等式的解集 示例：不等式𝑥+1>2  𝑥=2 ，3等 𝑥>1  区别 不等式的解是使不等式成立的未知数的值 不等式的解集是能使不等式成立的所有未知数的值 联系 解集包含所有的解，所有的解组成解集. 2.解不等式：求不等式解集的过程叫作解不等式. 3.在数轴上表示不等式的解集 不等式的解集表示未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来.一般地，利用数轴表示不等式的解集通常有以下四种情况（设a>0 ）： 不等式的解集 𝑥>𝑎  𝑥≥𝑎  𝑥<𝑎  𝑥≤𝑎  数轴表示 ____________________ __________________ _____________________________ _____________________________ 【知识点06】一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的步骤如下表： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 不等式的基本性质2. （1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）. 乘法分配律、去括号法则. 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号. 移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边. 不等式的基本性质1. （1）所移的项要改变符号，不移的项不变号； （2）移项时，不等号的方向不改变. 合并同类项 系数相加，字母及字母的指数不变. 合并同类项法则. 将未知数的系数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数（或乘未知数的系数的倒数），将不等式化为𝑥>𝑐 或𝑥<𝑐(𝑐为常数) 的形式. 不等式的基本性质2. 当不等式两边都除以（或乘）同一个负数时，不等号的方向要改变. 注意：解一元一次不等式时，以上五个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解. 辨析：解一元一次不等式与解一元一次方程的相同点与不同点 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 解法步骤 ①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤将未知数的系数化为1.（对于解一元一次不等式,在去分母、将未知数的系数化为1时,若不等式两边都乘（或除以）同一个负数,则不等号的方向要改变） 不同点 依据 不等式的基本性质. 等式的基本性质. 解的个数 一般有无数个解. 等式的基本性质. 解（集）的形式 𝑥>𝑐或𝑥<𝑐(𝑐为常数) . 𝑥=𝑎 . 【题型一】不等式的定义 例1．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有B符合题意． 故选：B． 例2．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）某市某天的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温的变化范围用不等式表示为____________． 【答案】/ 【知识点】不等式的定义 【分析】根据题意列出不等式组即可得到答案． 【详解】解：某市某天的最高气温是，最低气温是， 当天该市气温的变化范围用不等式表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的意义，熟练掌握相关知识点是解题关键． 变式1．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）为了保障交通安全、畅通，隧道入口处常有汽车限高标识（如图）．下列高度的汽车不可以通过这条隧道的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查不等式，将现实生活中的事件转化为数学问题来解决，读懂题意是关键．通过分析题意图中限制高度表示汽车的高度不能超过,从而可以求出结论． 【详解】解：∵图中限制高度表示汽车的高度不能超过， ∴限制的意思就是不超过． ∴高度为的汽车不可以通过这条隧道, 故选：D． 变式2．（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 (4)用P表示明天下雨的可能性，则有 (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 【知识点】不等式的定义 【分析】（1）非正数用“”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有； （5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 【题型二】不等式的解集 例3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格中的数据，根据时邮资为元即可求解，看懂表格是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当信件质量满足时，邮资为元， ∴此平信的质量可能为克， 故选：． 例4．（23-24七年级下·江苏徐州·月考）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】不等式的解集 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 变式1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 变式2．（22-23七年级下·江苏南通·期末）求证：当时，一定比小． 【答案】见解析 【知识点】列代数式、不等式的解集 【分析】对和进行作差与0进行比较，从而得出结论． 【详解】证明：由题意得， ， ， 当时，， ∴当时，一定比小． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意得出式子，在给定的取值范围内，用作差法比较大小是解题的关键． 【题型三】不等式的性质 例5．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：A、，不等式两边同时减，则，故A正确； B、，不等式两边同时乘以，则，故B正确； C、，不等式两边同时乘以，则，故C正确； D、，不等式两边同时乘以，则，然后不等式两边同时加，则，故D错误，不成立． 例6．（25-26七年级·江苏·月考）若，则______0．（选填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变． 本题考查了不等式的基本性质，同时乘以一个正数转化为所求不等式是解题关键． 【详解】, 两边同乘3, 得, ． 故答案为：． 例7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 【知识点】不等式的性质、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，不等式的性质． （1）根据题意列代数式即可； （2）利用不等式的性质即可求得答案． 【详解】（1）由题意得元，元， 故答案为：，； （2），理由如下： ， ， ， ． 变式1．（25-26七年级·江苏苏州·期末）已知，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，关键是熟练应用性质进行判断；根据不等式的基本性质对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴根据不等式两边加同一个数，不等号方向不变，得， 故A选项错误； ∵， ∴根据不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，得， 故B选项正确； ∵， ∴根据不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，得， 故C选项错误； ∵， ∴移项得， 故D选项错误； 故答案选：B. 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知正数m、n、p满足，，．则m、n、p的大小关系为________________．（用“＜”连接） 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】此题考查的是解不等式，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质将三个不等式都变为的取值范围，从而得出的大小关系和的大小关系，从而得出结论． 【详解】解： 得 ， 得 ， 得 ， 由④，⑤得 ∴ 同理，由④，⑥得， ∴． 故答案为： 变式3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）（1）无论m为何值，是否一定有？试说明理由． （2）已知，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）一定，理由见解析；（2），理由见解析 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质1求解即可； （2）根据不等式的性质2求解即可． 【详解】解：（1）无论m为何值，一定有． 理由：∵， ∴，即． （2）． 理由：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵． 【题型四】一元一次不等式的定义 例8．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义即可得出答案． 【详解】解：A．原式是一元一次不等式，故本选项符合题意； B．原式不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； C．原式是二元一次不等式，故本选项不符合题意； D．原式是一元二次不等式，故本选项不符合题意． 故选：A． 例9．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为________． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式不等式是一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故答案为：． 例10．在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明． 【答案】见解析 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义举例说明即可． 【详解】解：∵当系数等于0时，不等式中x无论取何值，不等式的解集均为全体实数或无解， 此时不等式中不含有未知数，  例如：若不等式为：，当x的系数时，此时，不等式变为，无论x取何值，此不等式均不成立．； 【点睛】本题考查的是一元一次不等式应具备系数不为条件，因为系数为时，不等式的解集均为全体实数或无解，此时不等式中不含有未知数． 变式1．（2023七年级下·江苏·专题练习）下列式子属于不等式的个数有（　　） ①,②3x,③④,⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据不等式的定义依次判断即可解答． 【详解】解：①是不等式；②是代数式；③是不等式；④是代数式；⑤是不等式；则上不等式的有①、③、⑤共3个． 故选C． 【点睛】本题主要考查不等式的定义的定义掌握“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”是解答本题的关键． 变式2．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）已知是关于的一元一次不等式，则_____． 【答案】3 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤． 先根据一元一次不等式的概念得出k的值，代入不等式，解之可得答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴，解得， 故答案为：． 变式3．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式． 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】根据不等式的定义即可依次判断． 【详解】解：（1）是不等式； （2）是不等式； （3）是不等式； （4）是等式； （5）是代数式； （6）是不等式． 故（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式． 【点睛】此题主要考查不等式的识别，解题的关键是熟知不等式的特点． 【题型五】求一元一次不等式的解集 例11．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列解不等式的过程错误的是第（　　）步． 解不等式， 解：移项，得…第一步， 合并同类项，得…第二步， 即…第三步． A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第二、三步 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】根据题意，逐步骤验证，注意不等号的方向，按照正确解一元一次不等式的方法计算即可找出错误步骤． 【详解】解：对不等式， 正确求解如下，移项得，与题目第一步一致，第一步正确， 合并同类项得，与题目第二步一致，第二步正确， 由可得，题目第三步写成，第三步错误， 因此错误出现在第三步． 例12．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）关于x的不等式的解集是_______ ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解法是解决问题的关键． 根据解一元一次不等式的方法解题即可． 【详解】解：不等式两边同除以得． 故答案为： ． 例13．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）按要求完成下列计算： (1)解二元一次方程组： (2)解一元一次不等式： 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、加减消元法 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 移项合并同类项得：， 解得：． 变式1．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）下列数中，能使不等式成立的x的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴4个数中，能使不等式成立的x的值为2， 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：，如果，则x的取值范围为________． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了列一元一次不等式的解法，理解二阶行列式的定义是解题关键．根据二阶行列式的定义可得，解一元一次不等式即可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）下面是小年同学解不等式的过程，请认真阅读并帮助小年完成相应任务． 解不等式． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 第五步 任务一： 以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； 该题第______步出现错误，错误的原因是______； 任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：①不等式的基本性质；② 五 ，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没改变；任务二：不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号（答案不唯一） 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 任务一：根据不等式的基本性质求解即可； 任务二：答案不唯一，合理即可． 【详解】解：任务一：以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质进行变形的； 该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没改变， 故答案为：不等式的基本性质；五，不等式两边同时除以一个负数，不等号没变号； 任务二：解一元一次不等式时严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【题型六】求一元一次不等式的整数解 例14．（2026七年级下·江苏·专题练习）不等式的非负整数解有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集中找出符合要求的非负整数，统计个数即可． 【详解】解：不等式两边同时除以，得， 移项得， ∴不等式的解集为 ， 则不等式的非负整数解有，共个． 例15．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为________． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的负整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解不等式得到解集，再找出负整数解，代入方程求解a． 【详解】解：解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴负整数解为， 将代入方程， 得，即， 解得． 故答案为：． 例16．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）解方程（或不等式） (1)解方程组： (2)解不等式：，并写出它的负整数解． 【答案】(1) (2)，它的负整数解有，，， 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后写出负整数解即可． 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∴它的负整数解有，，，． 变式1．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）不等式的正整数解的个数是（   ） A．无数个 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了写出不等式的整数解；求不等式的正整数解的个数，需明确正整数范围及不等式条件． 【详解】解： 解：正整数解为1、2、3、4，共4个． 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）不等式的正整数解是______． 【答案】1，2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤； 先按照解一元一次不等式的一般步骤，求出x的取值范围，从而求出它的正整数解即可． 【详解】解：解不等式得 ， 不等式的正整数解是：1，2， 故答案为：1，． 变式3．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）整式的值为．    (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【答案】(1)5 (2)或 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求一元一次不等式的整数解 【分析】（1）把代入即可求解； （2）根据数轴知，列出不等式求解，再找出符合条件的整数即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：由数轴知，，          即， 解得， 为非正整数， 或． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，求不等式的整数解，解题的关键是正确理解题意，根据题列出不等式求解． 【题型七】在数轴上表示不等式的解集 例17．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，， 故选：B． 例18．（24-25七年级下·江苏常州·期末）根据图示，写出关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了图示不等式的解集．熟练掌握数轴表示不等式解集，是解题的关键． 根据图示表示小于2，不包括2，写出解集即可． 【详解】解：图示的不等式的解集为． 故答案为： 例19．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，涉及去分母、去括号、移项、合并同类项和化系数为1等步骤，再把解集在数轴上表示，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得 合并得 移项得 合并得 数轴表示： （2）解： 去分母，两边乘15得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： （3）解： 去分母，两边乘12得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： 变式1．（24-25七年级下·江苏常州·月考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示解集；解不等式得，在数轴上表示出解集，即可求解；能熟练解一元一次不等式，会在数轴上表示解集是解题的关键． 【详解】解：， 解集在数轴上表示为：    故选：D． 变式2．（23-24七年级下·江苏连云港·月考）如图，是关于的不等式的解集示意图，则该不等式的解集为________． 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据题意，得出2为实心点，表示包括2，向左表示比2小，据此即可得出结果． 【详解】解：∵根据题意，可得：2为实心点，表示包括2，向左表示比2小， ∴不等式的解集为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意实心圆点表示包括该点，空心圆圈表示不包括该点． 变式3．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）解不等式，将解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先求出不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： 将解集在数轴上表示如下： （2）解： 将解集在数轴上表示如下： 【题型八】求一元一次不等式解的最值 例20．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式解的最值、求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 例21．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)4 【知识点】求一元一次不等式解的最值、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【详解】（1）解：按键1次后，，两区显示的结果的和； （2）解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 变式1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第69页的部分内容． 8．已知关于x方程的解是非负数，求k的取值范围． 写出这道题完整的解题过程． 【拓展】若关于x、y的方程组的解满足，求m的最小整数值． 【答案】；5 【知识点】求一元一次不等式解的最值、求一元一次不等式的解集、加减消元法 【分析】教材呈现：先解一元一次方程，然后根据关于x方程的解是非负数列出不等式，解不等式即可求得答案； 拓展：先把m看作常数，利用加减消元法解关于x、y的方程组，然后把x、y的值代入，解不等式即可确定m的最小整数值． 【详解】教材呈现：解：， 移项得：， 化系数为1得：， ∵关于x方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∴k的取值范围． 拓展：解：， ①×3得：④， ②×2得：⑤， ⑤-④得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； ∵， ∴， 解得：， ∴m的最小整数值是5． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解一元一次不等式、求一元一次不等式的最小整数，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式的方法是解题的关键. 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式得到不等式的解集，然后再在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 移项得： 解得： 所以原不等式得解集：． 把解集在数轴上表示如下： 故选B． 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“画图时，小于向左拐，大于向右拐”是解本题的关键． 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解： ①，② ，⑤，⑥都含有不等号，是用不等号连接表示不等关系的式子，属于不等式；③是等式，④是代数式，都不是不等式，所以不等式共有4个． 3．一元一次不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确求出一元一次不等式的解集是解题关键．先求出一元一次不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可得． 【详解】解：， ， ， ， 则在数轴上表示这个不等式的解集如下： 故选：C． 4．如果、都是实数，且，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意和不等式的性质，赋予特殊值，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：、都是实数，且， 当为负数时，，故选项A错误； ，则，故选项B正确； 当，时，，故选项C错误； ，时，，故选项D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查不等式，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答． 5．关于x的一元一次方程的解是负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，一元一次方程解的定义，解一元一次不等式，是解题的关键． 首先解这个关于x的方程，求出方程的解，根据解是负数，得到一个关于m的不等式，即可以求出m的取值范围． 【详解】解关于x的一元一次方程， 得：， ∵方程的解是负数， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 故选：B． 6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，由不等式的性质得出，从而得出关于的不等式变为，解不等式即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴关于的不等式变为， 解得：， 故选：D． 7．国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 8．我们知道表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上数a，b对应的两个点之间的距离．比如表示数5与8对应点之间的距离为3．结合以上知识，以下说法正确的是（　　） ①当时，；②若，则或；③若，则；④若，则；⑤若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围为． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值性质及数轴上两点距离,正确理解绝对值的几何性质是解题的关键．①根据绝对值的性质，直接求解即可；②由题意可得方程或, 求解方程即可；③根据不等式的基本性质可得, 分两种情况讨论：当时，; 当时，，④分两种情况讨论：当时，, 则; 当时，,, 又由 ，可得， ⑤根据绝对值的意义可得, 再由恒成立，可得． 【详解】解：①当时，， ， 故①符合题意； ②， 或， 解得或， 故②符合题意； ③， ， 当时，， 当时，， 故③不符合题意； ④， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 故④符合题意； ⑤表示数轴上表示的点到表示1的点的距离、表示的点的距离、表示的点的距离和， ， 恒成立，即恒成立， ， 故⑤符合题意； 故选：. 二、填空题 9．用不等式表示“、两数的和的平方是非负数”为___________． 【答案】 【详解】解：用不等式表示“、两数的和的平方是非负数”为． 10．若且，则______（填“，或”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．写出不等式的一个解：________． 【答案】（答案不唯一，符合即可） 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后写出符合条件的一个解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的一个解为：， 故答案为：（答案不唯一）． 12．有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有________（填序号）． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】解：①没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ②，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ③有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有④⑤共个． 故答案为：④⑤． 13．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 14．若关于x的方程的解是，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解和解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式； 将方程的解代入方程中求出a，然后再求出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得 解得 将代入中，得 解得 ． 故答案为：． 15．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】解关于x、y的二元一次方程组，再代入不等式x－y＞0，解不等式即可． 【详解】解： ， ①－②有， 即， ∵x－y＞0， ∴2k－1＞0， 解得． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，掌握相关知识点是解题的关键． 三、解答题 16．解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则及不等式的性质是解决问题的关键．利用多项式乘多项式的法则及不等式的性质进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ． 17．解方程组和不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 18．李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】(1)这个算式的值为 (2)被遮挡的数的最小值为 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． （2）解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡的数的最小值为． 19．解下列一元一次不等式． (1)； (2)，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， ， ， ， 则， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 20．感知：解方程组，下列给出的两种方法中，方法简单的是__． （A）由①，得x＝，代入②，先消去x，求出y，再代入求解． （B）将①代入②，得4×7﹣y＝27，解得y＝1，再代入求解． 探究：解方程组． 应用：若关于x，y的二元一次方程组的解中的x是正数，则a的取值范围为__． 【答案】感知：（B）；探究：；应用：a＞4 【分析】感知：根据解答过程的复杂程度可知（B）种方法简答； 探究：根据感知中的解答方法可以解答此方程组； 应用：根据感知中的方法，可以用含a的代数式表示出x，再根据方程组的解中x是正数，从而可以求得a的取值范围． 【详解】感知：由题目中的解答过程可知，最佳的方法是（B）， 故答案为：（B）； 探究： 将①代入②，得：1009-5y＝1094， ∴y＝-17， 将y＝-17代入①，得：x＝2035， 故原方程组的解是：； 应用：， 将①代入②，得， ∴ ∵关于x，y的二元一次方程组的解中的x是正数， ∴ ∴a＞4， 故答案为：a＞4． 【知识点】本题考查了二元一次方程组、一元一次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次方程的性质，从而完成求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $