专题02 安培力及电磁感应（期末压轴题训练）高二物理下学期人教版

专题02 安培力及电磁感应 考点1：安培力计算 解题思路： 核心要点 公式中符号含义/条件 解题应用场景 B 为外加磁场的磁感应强度 B 是指其他磁场源（如永磁体、通电螺线管等）在导线所在处产生的磁感应强度，不包含通电导线自身电流产生的磁场。 计算载流导线在已知外加磁场中所受安培力；判断磁场对电流的作用时，忽略导线自场。 有效长度 L 的确定 公式中的 L是有效长度：对于弯曲导线，有效长度等于连接两端点的直线段长度；电流方向沿导线由始端流向末端。 求解弯曲导线在匀强磁场中所受安培力；将任意形状导线等效为直导线进行计算。 闭合线圈在匀强磁场中的合力 对于任意形状的闭合平面线圈，当线圈平面与磁场方向垂直时，有效长度 L=0 → 通电后线圈所受安培力的矢量和为零。 判断闭合线圈在匀强磁场中的平动趋势；计算安培力时，若求整体合力，可直接得零。 要点： 1. 公式 中 B 对放入的通电导线来说是外加磁场的磁感应强度，不必考虑导线自身产生的磁场对外加磁场的影响。 2. 公式 中 B 指的是导线在磁场中的“有效长度”，弯曲导线的有效长度L 等于连接两端点直线段的长度（如图甲，乙，丙虚线所示）；相应的电流沿导线由始端流向末端。 3. 推论：对任意形状的闭合平面线圈，当线圈平面与磁场方向垂直时，线圈的有效长度L = 0，故通电后线圈在匀强磁场中所受安培力的矢量和一定为零，如图丁 【例 1】如图所示，abcdef 是由六段长度均为 L 的相同电阻丝构成的正六边形线框，虚线 fb 上方、下方分别存在垂直纸面向里、向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为 2B、B。线框上 e、c 两点分别与电源正负极连接，导线 edc 受到的安培力为 F，则线框 abcdef 受到的安培力大小为（） A. 0 B. F C. 2F D. 4F 答案：A 【详解】： 1 确定通过线框上下两部分的电流关系 根据并联关系可知，通过EDCedc电流是通过efabc电流的两倍，设通过efabc部分的电流为I，则通过edc部分的电流大小为2I，且ef和cb部分通过的电流大小相等，方向相反，所以ef和cb部分受到的安培力相互抵消。 2 确定有效长度 edc部分和efabc部分有效长度相等，长度都是fb之间的长度，根据几何关系可知fb长度 。 3 分别计算上下两部分所受安培力大小和方向 fab部分受到的安培力方向向上，大小为 ；edc部分受到的安培力方向向下，大小为 。 4 计算线框所受安培力大小 因为 ，方向相反，所以线框abcdef受到的安培力大小为0。 【例2】在匀强磁场中有粗细均匀的同种导线制成的“花瓣”形线框，磁场方向垂直于线框平面，a、c两点接一直流电源，电流方向如图所示。已知abc边受到的安培力大小为 ，则整个线框所受安培力大小为（） A. B. F C. 6F D. 答案：A 【详解】 1 分析电路结构及电流分配 线框由a到c的两条并联支路abc和adc构成。导线同种材料且粗细均匀，电阻与长度成正比。根据并联电路特性，电压相等，电流与电阻成反比。设abc支路电阻为 ，adc支路电阻为 ，则 ，且 ，故 。 2 计算各支路安培力并分析矢量和 abc边的安培力为 。若adc支路由两段导线（如ad和dc）组成，且两段导线的有效长度方向相反，则它们的安培力大小相等、方向相反，合力为零。因此，总安培力仅由abc边贡献。 总结 整个线框的总安培力大小为 A选项 【例3】（多选）如图所示，一个半径为 R 的导电圆环与一个轴向对称的发散磁场处处正交，环上各点的磁感应强度B大小相等，方向均与环面轴线方向成角（环面轴线为竖直方向），若导电圆环上通有如图所示的恒定电流I，则下列说法不正确的是（） A. 导电圆环有收缩的趋势 B. 导电圆环所受安培力方向竖直向上 C. 导电圆环所受安培力的大小为 2BIR D. 导电圆环所受安培力的大小为 答案：ABD 【详解】 1 判断导电圆环的收缩或扩张趋势 根据通入电流方向，结合左手定则可知，安培力方向水平分量均指向圆心，所以环有收缩的趋势，故A选项正确。 2 判断导电圆环所受安培力方向 把磁感应强度分解为水平分量与竖直分量，竖直方向的磁场对环形电流的安培力为零，由左手定则可知，水平方向的磁场对电流的安培力竖直向上，即导电圆环所受安培力竖直向上，故B选项正确。 3 计算导电圆环所受安培力大小 把磁感应强度分解为水平分量与竖直分量，竖直方向的磁场对环形电流的安培力为零，导电圆环可以等效为两直线电流，导线的有效长度等于环的直径，水平磁场对电流的安培力 ，所以C选项错误，D选项正确 考点2：安培力下的动力学 解题思路： 核心要点 公式中符号含义/条件 注意事项 研究对象与受力分析 隔离导体棒，画出重力、支持力、摩擦力、安培力、外力等；安培力大小 方向用左手定则 ① 安培力方向随电流或磁场方向改变而改变；② 若有多根棒，需分别隔离分析；③ 注意判断棒与导轨间是否有摩擦 电路分析与安培力表达式 由法拉第定律（或 E=BLvsinθ）及闭合电路欧姆定律I=得；若回路有外加电源，则 I=（注意反电动势） ① 公式中 v 是棒相对于磁场的速度；② 只有匀强磁场且B⊥v 时才能直接写 E=BLv；③ 回路总电阻包括所有电阻，不要遗漏 稳态（最大速度）分析 当棒做匀速运动时，加速度 a=0，合力为零。由 ​（若有摩擦力则加上摩擦力）解出最大速度 ​ ① 稳态时速度最大，但并非所有问题都有稳态（如仅受安培力减速的棒最终速度为零）；② 注意外力是否恒定，若外力变化则需另找平衡点 能量与动量分析 ① 能量守恒：电源提供的电能 = 回路焦耳热 + 棒动能增加 + 其他功（如克服摩擦） ② 动量定理：安培力的冲量=BLq ，其中电量 q=。对棒应用动量定理可求速度变化或位移 ① 克服安培力做的功等于回路产生的总焦耳热（纯电阻电路）；②利用q=可回避变力做功的积分；③ 涉及位移时，常结合 q=求解 类型1：单杆不受外力 【例4】（多选） 如图所示，在竖直平面内固定有足够长的两竖直平行金属导轨 PQ、MN，导轨间距为 d，导轨顶端用阻值为 R 的电阻连接，质量为 m、电阻为 r 的水平金属杆 ab 置于导轨上，且与导轨接触良好，整个导轨区域内有垂直纸面向外、磁感应强度为 B 的匀强磁场。现由静止释放ab，经时间t刚好达到匀速状态。已知重力加速度为，不计一切摩擦、导轨电阻和空气阻力，关于金属杆ab从静止到最大速度的过程，下列说法中正确的是（） A. 金属杆 ab 的最大速度为 B. 流过金属杆 ab 的电荷量为 C. 金属杆 ab 下降的高度为 D. 电阻 R 上产生的焦耳热为 答案：BCD 【详解】A、ab匀速时，重力与安培力平衡，根据法拉第电磁感应定律有：E = Bdv 根据欧姆定律及安培力公式有： 由安培力为：F = BId 根据共点力平衡条件有：F = mg 联立代入数据解得： ，故A错误；BC、以向下为正方向，根据动量定理有： 根据电流定义式有： q =t 联立代入数据解得： 根据法拉第电磁感应定律、结合电流定义式有： 代入数据解得： ，故BC正确； D.根据能量守恒定律有： 联立代入数据解得： ，故D正确； 故选：BCD。 【例5】 （多选）如图，同一水平面上固定两根间距为 L、足够长的平行光滑导轨 PQ 和 MN，QN 端接阻值为 R 的定值电阻，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。一个质量为 m 的导体棒，以平行于导轨的初速度开始向左运动，经过位移 s 停下，棒始终与导轨垂直且接触良好，其他电阻忽略不计。则（） A. 该过程中导体棒加速度一直不变 B. 该过程中回路产生的焦耳热为 C. 磁感应强度大小为 D. 导体棒滑过位移时，受到的安培力为 答案：BCD 【详解】 A.根据右手定则判断导体棒电流方向自上而下，再由左手定则判断安培力垂直导体棒向右，因此该过程中导体棒做减速运动，根据E=BLv，速度减小，产生的感应电动势减小，回路中电流减小，安培力减小，加速度减小，故A错误； B.根据能量守恒定律可知，该过程中减小的动能转化为产生焦耳热，因此产生的焦耳热为 ，故B正确； C.取导体棒为研究对象，对导体棒从开始向左运动到停下的过程中，由动量定理得 ，回路中流过的电量 ，由法拉第电磁感应定律可得 ，由闭合电路欧姆定律可得 ，联立以上各式解得 ，故C正确； D.由法拉第电磁感应定律可求得导体棒滑过位移 时平均电流 =，由动量定理得 ，此时安培力大小 ，联立解得，则D正确 类型2：单杆受恒力 【例6】（多选）如图所示，电阻不计的光滑金属导轨 MN、PQ 水平放置，间距为 d，两侧接有电阻 、 ，阻值均为 R， 右侧有磁感应强度大小为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 m、长度也为 d 的金属杆置于左侧，在水平向右、大小为 F 的恒定拉力作用下由静止开始运动，经时间 t 到达时撤去恒力 F，金属杆在到达 NQ 之前减速为零，已知金属杆电阻也为 R，与导轨始终保持垂直且接触良好，下列说法正确的是（） A. 杆减速的最大加速度大小为 物理电阻 两端的最大电势差为 C. 杆在磁场中前进的距离为 D. 整个过程电阻上产生的焦耳热为 答案：BC 【详解】AB. 杆进入磁场前的加速度，由牛顿第二定律可得 则刚进入时速度大小为 杆刚进入磁场时产生的感应电动势最大： 此时的加速度最大为 则电阻 两端的电势差大小为 选项 A 错误，B 正确； C. 杆进入磁场后，由动量定理有 即，则，则，C 正确 D. 整个过程中，产生的焦耳热，由能量守恒定律可得则电阻上产生的焦耳热为则D错误，选择BC 【例7】（多选）如图所示，相距 L 的两平行光滑金属导轨 MN, PQ 间接有两定值电阻 和 ，它们的阻值均为 R。导轨（导轨电阻不计）间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。现有一根质量为 m、电阻也为 R 的金属棒在恒力 F 的作用下由静止开始运动，运动距离 x 时恰好达到稳定速度 v。运动过程中金属棒与导轨始终接触良好，则在金属棒由静止开始运动到速度达到稳定的过程中（） A. 电阻上产生的焦耳热为 B. 电阻上产生的焦耳热为 C. 通过电阻的电荷量为 D. 通过电阻的电荷量为 答案：AD 【详解】 1 计算金属棒运动过程中产生的总焦耳热。 根据能量守恒定律，金属棒运动过程中，恒力F做的功一部分转化为金属棒的动能，一部分转化为电路中的焦耳热。总焦耳热 ， 2 计算电阻 上产生的焦耳热。 由于 和 并联，且它们的阻值均为R，金属棒的电阻也为R，因此电路总电阻为 。根据焦耳热分配，电阻 上产生的焦耳热 ，，A正确 3 计算通过电阻 的电荷量。 根据电磁感应定律，通过电阻 的电荷量 ，其中B是磁感应强度，L是导轨间距，x是金属棒运动距离，R是电阻值。则，D选项正确，则选择AD 类型3：单杆受变力 【例8】如图甲，间距为 L 的光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为 B。轨道左侧连接一定值电阻 R。垂直导轨的导体棒 ab 在水平外力 F 作用下沿导轨运动，F 随 t 变化的规律如图乙。在时间内，棒从静止开始做匀加速直线运动。乙图中 、、 为已知，棒接入电路的电阻为 R，轨道的电阻不计。则下列说法正确的是（） A. 在以后，导体棒一直做匀速直线运动 B. 导体棒最后达到的最大速度大小为 C. 在时间内，导体棒的加速度大小为 D. 在时间内，通过导体棒横截面的电量为 答案：D 【详解】A.因在时间内棒做匀加速直线运动，故在时刻大于棒所受的安培力，在以后，外力保持不变，安培力逐渐变大，导体棒做加速度越来越小的加速运动，当加速度 a=0 ，即导体棒所受安培力与外力相等后，导体棒做匀速直线运动，故 A 错误。 B.根据平衡条件可得 ，而 ，解得 ，故 B 错误； C. 设在时间内导体棒的加速度为 a，导体棒的质量为 m，时刻导体棒的速度为 v，通过导体棒横截面的电量为 q，则有： ① 由①②③解得： ，故C错误； D.根据电荷量的经验公式可得 ...④ 而 ...⑤ 由②③④⑤解得： ，故 D 正确。 【例9】如图所示，水平面内两根光滑的平行金属导轨，左端与电阻 R 相连接，匀强磁场 B 竖直向下分布在导轨所在的空间内，质量一定的金属棒垂直于导轨并与导轨接触良好。若对金属棒施加一个水平向右的外力 F 使金属棒从 a 位置由静止开始向右做匀加速运动并依次通过位置 b 和 c。若导轨与金属棒的电阻不计，a 到 b 与 b 到 c 的距离相等，则下列关于金属棒在运动过程中的说法正确的是（） A. 金属棒通过 b、c 两位置时，电阻 R 的电功率之比为 1:2 B. 金属棒通过 b、c 两位置时，外力 F 的大小之比为 C. 在从 a 到 b 与从 b 到 c 的两个过程中，电阻 R 上产生的热量之比为 1:1 D. 在从 a 到 b 与从 b 到 c 的两个过程中，通过金属棒的横截面的电量之比为 1:2 答案：A 【详解】 A. 金属棒从a位置由静止开始向右做匀加速运动，根据 知，通过b、c两个位置的速度比为1: ，根据E=BLv知，产生的电动势之比为1: ，根据 知，电阻R的电功率之比为1:2，故A正确； B. 电动势之比为1: ，所以电流比为1: ，则安培力之比为1: ，根据牛顿第二定律，有 ， ，所以外力F的大小之比不等于1: ，故B错误； C. 根据能量守恒定律，热量 同理 ，加速度相等，ab、bc的位移相等，但F不等，所以产生的热量不等。故C错误； D. 由 ， ，则 ，故D错误。 故选：A。 类型4：含电容类单杆 【例10】 如图所示，固定在水平面上的半径为 r 的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场。长为 l 的金属棒，一端与圆环接触良好，匀质圆环总电阻为 R，另一端固定在竖直导电转轴 OO 上，随轴以角速度匀速转动，在圆环的 A 点和电刷间接有阻值为 R 的电阻和电容为 C、板间距为 d 的平行板电容器，当导体棒转到 A 点时，有一带电微粒在电容器极板间恰好加速度为 0。已知重力加速度为 g，不计金属棒电阻及其它电阻和摩擦，不考虑电容器充放电对电路的影响，下列说法不正确的是（） A. 棒产生的电动势为 B. 微粒的电荷量与质量之比为 C. 电阻消耗的最小电功率为 D. 电容器所带的最少电荷量为 答案：C 【详解】 1 计算棒产生的电动势 金属棒绕轴切割磁感线转动，根据公式 ，可以计算出棒产生的电动势。 2 计算微粒的电荷量与质量之比 电容器两极板间电压等于电源电动势E，当微粒在两极板间静止时，电场力等于重力，即 g，由此可以计算出电荷量与质量之比： 3 计算电阻消耗的最小电功率 导体棒转动到A点对面时，外电路电阻最大，此时电阻R上消耗的功率最小。根据电路知识和功率公式 ，可以计算出最小功率： 4 计算电容器所带的最少电荷量 电容器所带电荷量Q = CU，当电路中电流最小时，电容器所带电荷量最少。根据电路知识和电容器电荷量公式，可以计算出最小电荷量。 【例11】（多选）如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为 C 的电容器和阻值为 R 的电阻。质量为 m、阻值也为 R 的导体棒 MN 静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为 Q，合上开关 S 后，（） A. 通过导体棒 MN 电流的最大值为 B. 导体棒 MN 向右先加速、后匀速运动 C. 导体棒 MN 速度最大时所受的安培力也最大 D. 电阻 R 上产生的焦耳热大于导体棒 MN 上产生的焦耳热 答案：AD 【详解】 A.最初电容器板间电压最大，导体棒上电流也最大，电容器相当于电源，对电阻与导体棒供电，根据欧姆定律得 ， ，解得通过导体棒MN电流的最大值为 ，故A正确； BC、导体棒上电流从M到N，导体棒受安培力水平向右，导体棒加速，同时导体棒切割磁感线产生电动势，回路电流减小，当导体棒产生的电动势与电容器板间电压相等时，回路电流为零，导体棒速度达到最大，此时安培力为零，因中间有电阻R相连接，电容器与电阻R形成各自的回路，电容放电，导体棒中电流反向，所受安培力反向，所以之后导体棒MN一直减速，直到速度变为零，电容的电量为零，最终电能和动能全部转化为内能，故BC错误。 D.因为在MN加速阶段，由于MN存在反电动势，所以通过MN的电流要比通过R上的电流要小，所以电阻R消耗的电能大于MN上消耗的电能，故加速阶段电阻R上产生的焦耳热大于导体棒MN上产生的焦耳热；当安培力为零后，MN开始减速直到速度为0，此时电容器的电流和导体棒的电流都流经电阻R，此时电阻R上的电流仍然大于导体棒上的电流，故该阶段电阻R上产生的焦耳热也大于导体棒MN上产生的焦耳热，故D正确。 故选：AD。 类型5：双导轨问题 【例12】（多选）如图所示，宽为 L 的两固定足够长光滑金属导轨水平放置，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，质量均为 m、电阻值均为 r 的两导体棒 ab 和 cd 静止置于导轨上，其间距也为 L，现给 cd 一向右的初速度 ，对它们之后的整个运动过程说法正确的是（） A. ab 的加速度越来越大，cd 的加速度越来越小 B. cd 克服安培力所做的总功为 C. 通过 ab 的电荷量为 D. 两导体棒间的距离最终变为 答案：CD 【详解】： A.给cd一向右的初速度 ，cd棒产生的感应电流方向为 ，根据左手定则可知cd棒受到的安培力方向向左，因而cd棒向右做减速运动。ab棒受到的安培力向右，做加速运动，ab棒也切割磁感线产生感应电动势，使得回路总的电动势减小，感应电流减小，两棒受到的安培力减小，所以，两棒的加速度均越来越小，故A错误； B.cd棒受到向左的安培力而减速，ab棒受到向右的安培力而加速，当两者共速时回路的磁通量不变，不再产生感应电流，两棒不受安培力，而以相同的速度一起做匀速直线运动。取向右为正方向，根据动量守恒定律得： ，得 。对cd棒，根据动能定理得： ，解得：cd克服安培力所做的总功为 ，故B错误； C.对ab棒，根据动量定理可得： ，又通过ab的电荷量： 解得 ，故C正确； D.设两导体棒间的距离最终变为s，则两棒相对运动的距离为s-L，根据电荷量的经验公式可得： ，结合 ，解得： ，故D正确。 【例13】如图所示，两电阻可以忽略不计的平行金属长直导轨固定在水平面上，相距为 l，另外两根长度为 L、质量为 m、电阻为 R 的相同导体棒垂直静置于导轨上，导体棒在长导轨上可以无摩擦地左右滑动，导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。某时刻使左侧的导体棒获得大小为的向左初速度、右侧的导体棒获得大小为的向右初速度，则下列结论正确的是（） A. 该时刻回路中产生的感应电动势为 B. 当导体棒a的速度大小为时，导体棒 b 的速度大小一定是 C. 当导体棒a的速度为0时，两导体棒受到的安培力大小都是 D. 从开始运动到最终处于稳定状态的过程中，系统产生的热量为 答案：C 【详解】 A.根据右手定则可知两根导体棒切割磁感应线产生的感应电动势方向相同，故该时刻回路中产生的感应电动势为 ，故A错误； B.当导体棒a的速度大小为 ，有可能方向向左，也可能方向向右，由于整体在水平方向动量守恒，根据动量守恒定律可知导体棒b的速度大小可能是 ，也可能是 ，故B错误； C.当导体棒a的速度为0时，根据动量守恒定律可得b棒的速度为 ，方向向右，此时回路中的安培力大小为 ，故C正确； D.最后二者以相同的速度运动，设速度为v，取向右为正，根据动量守恒定律可得： ，解得 ; 根据能量守恒定律可得，系统产生的热量为 ，故D错误。 故选： 【例14】（多选）如图所示，两根质量均为 m 的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为 1:2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻，现用水平恒力 F 向右拉 CD 棒，在 CD 棒向右运动距离为 s 的过程中，AB 棒上产生的焦耳热为 Q，此时 AB 棒和 CD 棒的速度大小均为 v，此时立即撤去拉力 F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法正确的是（） A. v 的大小等于 B. 撤去拉力 F 后，AB 棒的最终速度大小为v，方向向右 C. 撤去拉力 F 后，CD 棒的最终速度大小为v，方向向右 D. 撤去拉力 F 后，整个回路产生的焦耳热为 答案：ABD 【详解】A、两棒的长度之比为1:2，所以电阻之比为1:2，由于电路在任何时刻电流均相等，根据焦耳定律： ，所以CD棒的焦耳热为2Q， 在CD棒向右运动距离为s的过程中，根据功能关系有 , 解得 ，故A正确； BC、令AB棒的长度为l，则CD棒长为2l，撤去拉力F后，AB棒继续向左加速运动，而CD棒向右开始减速运动，两棒最终匀速运动时，电路中电流为零，两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，此时两棒的速度满足 ， 即 ， 对两棒分别应用动量定理，有： 因为 所以 故B正确，C错误； D.撤去外力F到最终稳定运动过程根据能量守恒定律有 故D正确。 故选：ABD。 例15：在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，ab、cd为两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂1和2，质量均为m，电阻均为R。导轨左侧接有电容为C的电容器。初始时刻，机械臂1以初速度 向右运动，机械臂2静止，运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。 （1） 求初始时刻机械臂 1 的感应电动势大小和感应电流方向； （2）系统达到稳定状态前，若机械臂1和2中的电流分别为 和 ，写出两个机械臂各自所受安培力的大小；若电容器两端电压为U，写出电容器电荷量的表达式； （3）稳系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？ 答案（1） 向上 (2) CU (3) ，方向向右 [详解]（1）根据法拉第电磁感应定律可得，初始时刻机械臂1产生的感应电动势大小为 。 由右手定则可知机械臂 1 上的感应电流方向向上。 （2） 系统达到稳定状态前， 若机械臂 1 和 2 中的电流分别为 和 , 则两机械臂各自所受安培力的大小分别为 若电容器两端电压为 U，则电容器所带电荷量 Q = CU。 （3）系统达到稳定状态后回路中电流为零，机械臂1和2的速度相等，设为v，此时电容器所带电荷量为q = CBLv， 取向右为正方向，对机械臂1，根据动量定理有 即 对机械臂 2, 根据动量定理有 , 即 由于机械臂 1 相当于电源，根据电荷量之间的关系可得 联立解得 ，方向向右。 电容器两端的电压 可得 则有 可得 , 解得 , 即从开始运动到稳定，两机械臂之间的距离缩短了 要保证两机械臂不相碰， 可知两机械臂初始时刻的最小间距为 。 例16：如图所示，间距为L的平行、足够长的光滑金属导轨固定在水平面上，导轨左端通过单刀双掷开关连接电阻R和电容为C的电容器，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。质量为m、长为L、电阻为r的金属棒MN垂直于导轨放置。开关k接1，零时刻给金属棒水平向右的速度。已知导轨电阻忽略不计，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。 （1）求零时刻金属棒MN中的电流方向和金属棒的加速度大小； （2）一段时间后金属棒速度变为0.5，求该过程中金属棒发生的位移； （3）仅将开关接2，金属棒以初速度向右运动，求金属棒的最终速度。 答案：（1） （3） 【详解】 （1）零时刻，由右手定则可知金属棒中的电流方向为由N到M，此时由法拉第电磁感应定律有 由闭合电路欧姆定律有 对金属棒受力分析并结合牛顿第二定律有 B = ma 联立，解得 （2）对金属棒速度减为 的过程分析，由动量定理分析有 安培力的冲量为 又 联立，解得 （3）仅将开关接2，金属棒运动，切割磁感线，产生感应电动势，给电容器充电，最终的状态是金属棒切割磁感线产生的电动势和电容器两极板间电压相等，此后金属棒做匀速运动，设此时金属棒的速度为v，此时由法拉第电磁感应定律有E = BLv 电容器两极板所带电荷量q = CU = CBLv 此过程对金属棒分析由动量定理有 联立，解得 例17：如图，质量为 m、电阻为 的均匀金属棒 ab 垂直架在水平面甲内间距为 2L 的两光滑金属导轨的右边缘处。下方的导轨由光滑圆弧导轨与处于水平面乙的光滑水平导轨平滑连接而成（即图中半径 OM 和 OP 竖直），圆弧导轨半径为 R、对应圆心角为、间距为 2L，水平导轨间距分别为 2L 和 L。质量也为 m、电阻也为的均匀金属棒 cd 垂直架在间距为 L 的导轨左端。导轨 与 、 与 均足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为 E、内阻不计，所有导轨的水平部分均有竖直方向的、磁感应强度为 B 的匀强磁场，圆弧部分和其他部分无磁场。闭合开关 S，金属棒 ab 退却获得水平向右的速度（未知，记为）做平抛运动，并在高度降低 2R 时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑。已知重力加速度为 g，求： （1）空间匀强磁场的方向及棒 ab 做平抛运动的初速度; （2）通过电源 E 某截面的电荷量 q; （3）从金属棒 ab 刚落到圆弧轨道上端起至开始匀速运动止，这一过程中棒 ab 和棒 cd 组成的系统损失的机械能 。 答案：（1） （2） （3） 【详解】 (1) 安培力水平向右，根据左手定则，磁场方向竖直向下，金属棒ab做平抛运动，其竖直方向有 ， 由于导体棒在高度降低2R时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，有 解得 (2) 金属棒ab弹出瞬间，由动量定理有 又 整理有 解得 (3) 金属棒ab滑至水平轨道时，有mg 最终匀速运动，电路中无电流，所以棒ab和cd产生的感应电动势大小相等，即 此过程中，对棒ab，由动量定理有 对棒cd，由动量定理有 由能量守恒，该过程中机械能的损失量为 解得 例18：如图间距L=0.5m足够长平行导轨，与水平面间的夹角 ，N、Q间连接有一个阻值 的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为 。将一根质量为m=0.5kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好。现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数 ，金属棒从NQ运动到cd过程中，通过电阻R的电荷量为2.5C，金属棒沿导轨下滑过程中始终与NQ平行，不计金属棒和导轨的电阻 。求： （1）金属棒到达cd处的速度大小； （2）金属棒从NO运动到cd过程中电阻R产生的焦耳热Q。 （3） 若将金属棒滑行到 cd 处的时刻计作 t = 0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度 B 应该怎样随时间 t 变化（写出 B 与 t 的关系式）。 答案：（1）金属棒到达cd处的速度大小为4m/s。 （2）金属棒从NQ运动到cd过程中电阻R产生的焦耳热为1J。 （3）为使金属棒中不产生感应电流，磁感应强度B与时间t的关系式为 。 【详解】 （1）金属棒沿导轨下滑至速度稳定时，其所受合力为零，由平衡条件可得 ，解得：v=4m/s。 （2）金属棒从NQ位置运动至cd位置的过程中，通过电阻的电荷量为 ，解得位移：x=5m；在此过程中，依据能量守恒定律有 ，解得回路产生的焦耳热：Q=1J。 （3）若回路中不产生感应电流，则需保持穿过回路的磁通量恒定，此时金属棒不受安培力作用，将沿导轨向下做匀加速直线运动，其加速度为 ，解得： ; 由磁通量保持不变，可得 ，代入相关数据，解得磁感应强度随时间变化的表达式为 。 例19：如图所示，相距 的平行金属导轨，左侧部分水平，分布着竖直向上的匀强磁场，右侧部分倾斜，倾角为 ，倾斜导轨上的 c、d 两点处各有一小段绝缘导轨（长度可忽略不计），在 ab 连线到 NQ 连线之间分布着垂直导轨向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为 B = 1T，倾斜导轨上端 M、P 之间有阻值为的电阻，其余导轨电阻不计，水平与倾斜导轨连接处平滑过渡。金属棒 1 与 2 的质量都为 ，有效接入导轨间的长度都为 ，电阻都为 。金属棒 1 从 ab 连线上方 处由静止释放，ab 与 cd 之间距离 ，cd 与 NQ 之间距离 ，cd 与 NQ 之间棒与导轨间的动摩擦因数为 ，其余部分导轨均光滑，金属棒 2 初始静止，到 NQ 距离为 。金属棒 1 进入磁场后，在运动到 cd 前已达到稳定速度，在运动到 NQ 前已再次达到稳定速度。运动过程中，两棒与导轨接触良好，且始终与导轨垂直，不计金属棒经过 NQ 时的能量损失，若两棒相碰则发生弹性碰撞。（已知 ， ，重力加速度 g 取 ）求： （1）金属棒 1 运动到 cd 前达到的稳定速度的大小： （2）金属棒1运动到NQ时，金属棒2的速度大小： （3）最终稳定时金属棒1所在位置，以及全过程金属棒1产生的焦耳热。 答案：（1） （2）（3） 【详解】 (1）金属棒1匀速运动时有 联立解得 （2） 金属棒1再次匀速运动时，金属棒1沿倾斜导轨向下运动，金属棒2沿倾斜导轨向右运动，由动量定理有，以沿倾斜导轨向下为正方向，对金属棒1有 , 即 以水平向右为正方向，对金属棒2有 联立解得 ，即金属棒2的速度大小为 (3）由第（2）问分析可得 ，当金属棒1运动到NQ时， ，则 ， 此后两棒都以 的初速度在 EF 的右侧相向运动，两棒初始相距 ，并以大小相同的加速度（加速度不断减小）做减速运动，如果相碰，各自以原速率反弹后继续以大小相同的加速度做减速运动，直到两棒的速度都为零，设两棒在此过程中运动的路程分别为 ，对任意棒由动量定理有 解得 由两棒运动过程的对称性可知，金属棒1停在NQ左侧0.375m处 在运动的任意阶段，金属棒1均与电阻或金属棒2产生的焦耳热相等，由能量守恒定律得 解得 例20：如图所示，光滑金属导轨 MNOP 和 固定在绝缘水平面上，其中 MN 和 正对，导轨间距 ，OP 和 正对，导轨间距 ，整体处于竖直向下、磁感应强度大小为 B=1T 的匀强磁场中。两根完全相同的导体棒 ab、cd 垂直导轨放置在 左侧，质量均为 m=1kg、电阻均为 ，长度均为 。导体棒 ab 通过绝缘线拴接在墙壁上，导体棒 cd 在水平恒力 F=1N 作用下由静止开始运动。已知绝缘细线能承受的最大拉力为 ，且在导体棒 cd 运动过程中能被拉断，OP 和 段足够长，ab 和 cd 初始位置到 的距离有限，但不为 0。 （1） 求细线被拉断时导体棒 cd 的速度大小。 （2） 若细线被拉断后撤去棒 cd 受到的水平恒力。 ①求导体棒ab经过 时速度的取值范围。 ②在导体棒ab经过 时速度最大的情况下，求从撤去外力到系统稳定过程回路产生的焦耳热。 答案： （1）细线被拉断时导体棒cd的速度大小为4m/s或6m/s； （2）①导体棒ab经过 时速度的取值范围为 ； ②在导体棒ab经过 时速度最大的情况下，从撤去外力到系统稳定过程回路产生的焦耳热为5.04J。 【详解】 （1）设细线被拉断时导体棒cd的速度大小为v，细线被拉断时回路中的电流 若棒cd在 左侧，则由法拉第电磁感应定律有 可得v=4m/s 若棒cd在 右侧，则由法拉第电磁感应定律有 可得v=6m/s 细线被拉断时导体棒cd的速度大小为4m/s或6m/s。 （2）①结合题述可知，导体棒ab经过 时速度的最小值接近0，最大值对应棒cd在 右侧达到最大速度，且棒ab在 左侧能平衡的情况。在此情况下，设从撤去拉力到ab棒在 左侧达到最大速度过程经过的时间为t，回路中的平均电流为 ，ab棒经过 时棒ab的速度为 ，棒cd的速度为 ，以水平向右的方向为正方向，对棒ab由动量定理有 以水平向右的方向为正方向，对棒cd由动量定理有 （其中v=6m/s） 且有 联立得 ， 则导体棒ab经过 时速度的取值范围为 。 ②导体棒ab经过 后，棒ab、cd组成的系统动量守恒，设两棒共速时速度为 ，以水平向右的方向为正方向，由动量守恒定律有 整个过程棒损失的动能转换为焦耳热，则从撤去外力到系统稳定过程回路产生的焦耳热 联立得Q=5.04J 例21：如图所示，两段足够长但不等宽的光滑平行金属导轨水平放置，b、g两点各有绝缘材料（长度忽略不计）平滑连接导轨，ac、fh段间距为l，de、jk段间距为2l。整个空间处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨af端接有电容 的电容器（初始不带电），导体棒Ⅱ静止于de、jk段。导体棒I、Ⅱ的质量分别为m、2m，电阻分别为R、2R，长度分别为l、2l，导体棒I从靠近af位置以初速度 向右运动，到达bg左侧前已达到稳定速度 未知）。两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力忽略不计。求： （1） 导体棒 I 到达 bg 时速度的大小； （2） 导体棒 I 在 bc、gh 段水平导轨上运动的过程中，导体棒 I 达到稳定时的速度 的大小； （3） 导体棒 I 在 bc、gh 段运动过程中，导体棒 I 上产生的焦耳热。 答案： （1）导体棒I到达bg时速度 的大小为 ; （2）导体棒I在bc、gh段水平导轨上运动的过程中，导体棒I达到稳定时的速度 的大小为 ; （3）导体棒I在bc、gh段运动过程中，导体棒I上产生的焦耳热为 。 【详解】 （1）根据电容的定义式有 在bg左侧运动过程中，对I棒进行分析，切割磁感线的感应电动势 以水平向右的方为正方向，根据动量定理有 根据电流的定义式有 解得 （2） I棒在bc、gh段运动过程中，对I棒进行分析，以水平向右的方向为正方向，根据动量定理有 对Ⅱ棒进行分析，以水平向右的方为正方向，根据动量定理有 I.Ⅱ棒稳定时有 解得 （3）I棒在bc、gh段运动过程中，设I棒产生的焦耳热为 ，Ⅱ棒产生的焦耳热为 ，由于回路电流相等，则有 根据能量守恒定律有 解得 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 安培力及电磁感应 1【答案】A 2.【答案】A 3.【答案】ABD 4.【答案】BCD 5.【答案】BCD 6.【答案】BC 7.【答案】AD 8.【答案】D 9.【答案】A 10.【答案】C 11.【答案】AD 12.【答案】CD 13.【答案】C 14.【答案】ABD 15.答案（1） 向上 (2) CU (3) ，方向向右 [详解]（1）根据法拉第电磁感应定律可得，初始时刻机械臂1产生的感应电动势大小为 。 由右手定则可知机械臂 1 上的感应电流方向向上。 （2） 系统达到稳定状态前， 若机械臂 1 和 2 中的电流分别为 和 , 则两机械臂各自所受安培力的大小分别为 若电容器两端电压为 U，则电容器所带电荷量 Q = CU。 （3）系统达到稳定状态后回路中电流为零，机械臂1和2的速度相等，设为v，此时电容器所带电荷量为q = CBLv， 取向右为正方向，对机械臂1，根据动量定理有 即 对机械臂 2, 根据动量定理有 , 即 由于机械臂 1 相当于电源，根据电荷量之间的关系可得 联立解得 ，方向向右。 电容器两端的电压 可得 则有 可得 , 解得 , 即从开始运动到稳定，两机械臂之间的距离缩短了 要保证两机械臂不相碰， 可知两机械臂初始时刻的最小间距为 。 16.答案：（1） （3） 【详解】 （1）零时刻，由右手定则可知金属棒中的电流方向为由N到M，此时由法拉第电磁感应定律有 由闭合电路欧姆定律有 对金属棒受力分析并结合牛顿第二定律有 B = ma 联立，解得 （2）对金属棒速度减为 的过程分析，由动量定理分析有 安培力的冲量为 又 联立，解得 （3）仅将开关接2，金属棒运动，切割磁感线，产生感应电动势，给电容器充电，最终的状态是金属棒切割磁感线产生的电动势和电容器两极板间电压相等，此后金属棒做匀速运动，设此时金属棒的速度为v，此时由法拉第电磁感应定律有E = BLv 电容器两极板所带电荷量q = CU = CBLv 此过程对金属棒分析由动量定理有 联立，解得 17.答案：（1） （2） （3） 【详解】 (1) 安培力水平向右，根据左手定则，磁场方向竖直向下，金属棒ab做平抛运动，其竖直方向有 ， 由于导体棒在高度降低2R时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，有 解得 (2) 金属棒ab弹出瞬间，由动量定理有 又 整理有 解得 (3) 金属棒ab滑至水平轨道时，有mg 最终匀速运动，电路中无电流，所以棒ab和cd产生的感应电动势大小相等，即 此过程中，对棒ab，由动量定理有 对棒cd，由动量定理有 由能量守恒，该过程中机械能的损失量为 解得 18.答案：（1）金属棒到达cd处的速度大小为4m/s。 （2）金属棒从NQ运动到cd过程中电阻R产生的焦耳热为1J。 （3）为使金属棒中不产生感应电流，磁感应强度B与时间t的关系式为 。 【详解】 （1）金属棒沿导轨下滑至速度稳定时，其所受合力为零，由平衡条件可得 ，解得：v=4m/s。 （2）金属棒从NQ位置运动至cd位置的过程中，通过电阻的电荷量为 ，解得位移：x=5m；在此过程中，依据能量守恒定律有 ，解得回路产生的焦耳热：Q=1J。 （3）若回路中不产生感应电流，则需保持穿过回路的磁通量恒定，此时金属棒不受安培力作用，将沿导轨向下做匀加速直线运动，其加速度为 ，解得： ; 由磁通量保持不变，可得 ，代入相关数据，解得磁感应强度随时间变化的表达式为 19.答案：（1） （2）（3） 【详解】 (1）金属棒1匀速运动时有 联立解得 （2） 金属棒1再次匀速运动时，金属棒1沿倾斜导轨向下运动，金属棒2沿倾斜导轨向右运动，由动量定理有，以沿倾斜导轨向下为正方向，对金属棒1有 , 即 以水平向右为正方向，对金属棒2有 联立解得 ，即金属棒2的速度大小为 (3）由第（2）问分析可得 ，当金属棒1运动到NQ时， ，则 ， 此后两棒都以 的初速度在 EF 的右侧相向运动，两棒初始相距 ，并以大小相同的加速度（加速度不断减小）做减速运动，如果相碰，各自以原速率反弹后继续以大小相同的加速度做减速运动，直到两棒的速度都为零，设两棒在此过程中运动的路程分别为 ，对任意棒由动量定理有 解得 由两棒运动过程的对称性可知，金属棒1停在NQ左侧0.375m处 在运动的任意阶段，金属棒1均与电阻或金属棒2产生的焦耳热相等，由能量守恒定律得 解得 20.答案： （1）细线被拉断时导体棒cd的速度大小为4m/s或6m/s； （2）①导体棒ab经过 时速度的取值范围为 ； ②在导体棒ab经过 时速度最大的情况下，从撤去外力到系统稳定过程回路产生的焦耳热为5.04J。 【详解】 （1）设细线被拉断时导体棒cd的速度大小为v，细线被拉断时回路中的电流 若棒cd在 左侧，则由法拉第电磁感应定律有 可得v=4m/s 若棒cd在 右侧，则由法拉第电磁感应定律有 可得v=6m/s 细线被拉断时导体棒cd的速度大小为4m/s或6m/s。 （2）①结合题述可知，导体棒ab经过 时速度的最小值接近0，最大值对应棒cd在 右侧达到最大速度，且棒ab在 左侧能平衡的情况。在此情况下，设从撤去拉力到ab棒在 左侧达到最大速度过程经过的时间为t，回路中的平均电流为 ，ab棒经过 时棒ab的速度为 ，棒cd的速度为 ，以水平向右的方向为正方向，对棒ab由动量定理有 以水平向右的方向为正方向，对棒cd由动量定理有 （其中v=6m/s） 且有 联立得 ， 则导体棒ab经过 时速度的取值范围为 。 ②导体棒ab经过 后，棒ab、cd组成的系统动量守恒，设两棒共速时速度为 ，以水平向右的方向为正方向，由动量守恒定律有 整个过程棒损失的动能转换为焦耳热，则从撤去外力到系统稳定过程回路产生的焦耳热 联立得Q=5.04J 21.答案： （1）导体棒I到达bg时速度 的大小为 ; （2）导体棒I在bc、gh段水平导轨上运动的过程中，导体棒I达到稳定时的速度 的大小为 ; （3）导体棒I在bc、gh段运动过程中，导体棒I上产生的焦耳热为 。 【详解】 （1）根据电容的定义式有 在bg左侧运动过程中，对I棒进行分析，切割磁感线的感应电动势 以水平向右的方为正方向，根据动量定理有 根据电流的定义式有 解得 （2） I棒在bc、gh段运动过程中，对I棒进行分析，以水平向右的方向为正方向，根据动量定理有 对Ⅱ棒进行分析，以水平向右的方为正方向，根据动量定理有 I.Ⅱ棒稳定时有 解得 （3）I棒在bc、gh段运动过程中，设I棒产生的焦耳热为 ，Ⅱ棒产生的焦耳热为 ，由于回路电流相等，则有 根据能量守恒定律有 解得 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 安培力及电磁感应 考点1：安培力计算 解题思路： 核心要点 公式中符号含义/条件 解题应用场景 B 为外加磁场的磁感应强度 B 是指其他磁场源（如永磁体、通电螺线管等）在导线所在处产生的磁感应强度，不包含通电导线自身电流产生的磁场。 计算载流导线在已知外加磁场中所受安培力；判断磁场对电流的作用时，忽略导线自场。 有效长度 L 的确定 公式中的 L是有效长度：对于弯曲导线，有效长度等于连接两端点的直线段长度；电流方向沿导线由始端流向末端。 求解弯曲导线在匀强磁场中所受安培力；将任意形状导线等效为直导线进行计算。 闭合线圈在匀强磁场中的合力 对于任意形状的闭合平面线圈，当线圈平面与磁场方向垂直时，有效长度 L=0 → 通电后线圈所受安培力的矢量和为零。 判断闭合线圈在匀强磁场中的平动趋势；计算安培力时，若求整体合力，可直接得零。 要点： 1. 公式 中 B 对放入的通电导线来说是外加磁场的磁感应强度，不必考虑导线自身产生的磁场对外加磁场的影响。 2. 公式 中 B 指的是导线在磁场中的“有效长度”，弯曲导线的有效长度L 等于连接两端点直线段的长度（如图甲，乙，丙虚线所示）；相应的电流沿导线由始端流向末端。 3. 推论：对任意形状的闭合平面线圈，当线圈平面与磁场方向垂直时，线圈的有效长度L = 0，故通电后线圈在匀强磁场中所受安培力的矢量和一定为零，如图丁 【例 1】如图所示，abcdef 是由六段长度均为 L 的相同电阻丝构成的正六边形线框，虚线 fb 上方、下方分别存在垂直纸面向里、向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为 2B、B。线框上 e、c 两点分别与电源正负极连接，导线 edc 受到的安培力为 F，则线框 abcdef 受到的安培力大小为（） A. 0 B. F C. 2F D. 4F 【例2】在匀强磁场中有粗细均匀的同种导线制成的“花瓣”形线框，磁场方向垂直于线框平面，a、c两点接一直流电源，电流方向如图所示。已知abc边受到的安培力大小为 ，则整个线框所受安培力大小为（） A. B. F C. 6F D. 【例3】（多选） 如图所示，一个半径为 R 的导电圆环与一个轴向对称的发散磁场处处正交，环上各点的磁感应强度B大小相等，方向均与环面轴线方向成角（环面轴线为竖直方向），若导电圆环上通有如图所示的恒定电流I，则下列说法不正确的是（） A. 导电圆环有收缩的趋势 B. 导电圆环所受安培力方向竖直向上 C. 导电圆环所受安培力的大小为 2BIR D. 导电圆环所受安培力的大小为 考点2：安培力下的动力学 解题思路： 核心要点 公式中符号含义/条件 注意事项 研究对象与受力分析 隔离导体棒，画出重力、支持力、摩擦力、安培力、外力等；安培力大小 方向用左手定则 ① 安培力方向随电流或磁场方向改变而改变；② 若有多根棒，需分别隔离分析；③ 注意判断棒与导轨间是否有摩擦 电路分析与安培力表达式 由法拉第定律（或 E=BLvsinθ）及闭合电路欧姆定律I=得；若回路有外加电源，则 I=（注意反电动势） ① 公式中 v 是棒相对于磁场的速度；② 只有匀强磁场且B⊥v 时才能直接写 E=BLv；③ 回路总电阻包括所有电阻，不要遗漏 稳态（最大速度）分析 当棒做匀速运动时，加速度 a=0，合力为零。由 ​（若有摩擦力则加上摩擦力）解出最大速度 ​ ① 稳态时速度最大，但并非所有问题都有稳态（如仅受安培力减速的棒最终速度为零）；② 注意外力是否恒定，若外力变化则需另找平衡点 能量与动量分析 ① 能量守恒：电源提供的电能 = 回路焦耳热 + 棒动能增加 + 其他功（如克服摩擦） ② 动量定理：安培力的冲量=BLq ，其中电量 q=。对棒应用动量定理可求速度变化或位移 ① 克服安培力做的功等于回路产生的总焦耳热（纯电阻电路）；②利用q=可回避变力做功的积分；③ 涉及位移时，常结合 q=求解 类型1：单杆不受外力 【例4】（多选）如图所示，在竖直平面内固定有足够长的两竖直平行金属导轨 PQ、MN，导轨间距为 d，导轨顶端用阻值为 R 的电阻连接，质量为 m、电阻为 r 的水平金属杆 ab 置于导轨上，且与导轨接触良好，整个导轨区域内有垂直纸面向外、磁感应强度为 B 的匀强磁场。现由静止释放ab，经时间t刚好达到匀速状态。已知重力加速度为，不计一切摩擦、导轨电阻和空气阻力，关于金属杆ab从静止到最大速度的过程，下列说法中正确的是（） A. 金属杆 ab 的最大速度为 B. 流过金属杆 ab 的电荷量为 C. 金属杆 ab 下降的高度为 D. 电阻 R 上产生的焦耳热为 【例5】 （多选）如图，同一水平面上固定两根间距为 L、足够长的平行光滑导轨 PQ 和 MN，QN 端接阻值为 R 的定值电阻，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。一个质量为 m 的导体棒，以平行于导轨的初速度开始向左运动，经过位移 s 停下，棒始终与导轨垂直且接触良好，其他电阻忽略不计。则（） A. 该过程中导体棒加速度一直不变 B. 该过程中回路产生的焦耳热为 C. 磁感应强度大小为 D. 导体棒滑过位移时，受到的安培力为 类型2：单杆受恒力 【例6】（多选）如图所示，电阻不计的光滑金属导轨 MN、PQ 水平放置，间距为 d，两侧接有电阻 、 ，阻值均为 R， 右侧有磁感应强度大小为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 m、长度也为 d 的金属杆置于左侧，在水平向右、大小为 F 的恒定拉力作用下由静止开始运动，经时间 t 到达时撤去恒力 F，金属杆在到达 NQ 之前减速为零，已知金属杆电阻也为 R，与导轨始终保持垂直且接触良好，下列说法正确的是（） A. 杆减速的最大加速度大小为 物理电阻 两端的最大电势差为 C. 杆在磁场中前进的距离为 D. 整个过程电阻上产生的焦耳热为 【例7】（多选）如图所示，相距 L 的两平行光滑金属导轨 MN, PQ 间接有两定值电阻 和 ，它们的阻值均为 R。导轨（导轨电阻不计）间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。现有一根质量为 m、电阻也为 R 的金属棒在恒力 F 的作用下由静止开始运动，运动距离 x 时恰好达到稳定速度 v。运动过程中金属棒与导轨始终接触良好，则在金属棒由静止开始运动到速度达到稳定的过程中（） A. 电阻上产生的焦耳热为 B. 电阻上产生的焦耳热为 C. 通过电阻的电荷量为 D. 通过电阻的电荷量为 类型3：单杆受变力 【例8】如图甲，间距为 L 的光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为 B。轨道左侧连接一定值电阻 R。垂直导轨的导体棒 ab 在水平外力 F 作用下沿导轨运动，F 随 t 变化的规律如图乙。在时间内，棒从静止开始做匀加速直线运动。乙图中 、、 为已知，棒接入电路的电阻为 R，轨道的电阻不计。则下列说法正确的是（） A. 在以后，导体棒一直做匀速直线运动 B. 导体棒最后达到的最大速度大小为 C. 在时间内，导体棒的加速度大小为 D. 在时间内，通过导体棒横截面的电量为 【例9】如图所示，水平面内两根光滑的平行金属导轨，左端与电阻 R 相连接，匀强磁场 B 竖直向下分布在导轨所在的空间内，质量一定的金属棒垂直于导轨并与导轨接触良好。若对金属棒施加一个水平向右的外力 F 使金属棒从 a 位置由静止开始向右做匀加速运动并依次通过位置 b 和 c。若导轨与金属棒的电阻不计，a 到 b 与 b 到 c 的距离相等，则下列关于金属棒在运动过程中的说法正确的是（） A. 金属棒通过 b、c 两位置时，电阻 R 的电功率之比为 1:2 B. 金属棒通过 b、c 两位置时，外力 F 的大小之比为 C. 在从 a 到 b 与从 b 到 c 的两个过程中，电阻 R 上产生的热量之比为 1:1 D. 在从 a 到 b 与从 b 到 c 的两个过程中，通过金属棒的横截面的电量之比为 1:2 类型4：含电容类单杆 【例10】 如图所示，固定在水平面上的半径为 r 的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场。长为 l 的金属棒，一端与圆环接触良好，匀质圆环总电阻为 R，另一端固定在竖直导电转轴 OO 上，随轴以角速度匀速转动，在圆环的 A 点和电刷间接有阻值为 R 的电阻和电容为 C、板间距为 d 的平行板电容器，当导体棒转到 A 点时，有一带电微粒在电容器极板间恰好加速度为 0。已知重力加速度为 g，不计金属棒电阻及其它电阻和摩擦，不考虑电容器充放电对电路的影响，下列说法不正确的是（） A. 棒产生的电动势为 B. 微粒的电荷量与质量之比为 C. 电阻消耗的最小电功率为 D. 电容器所带的最少电荷量为 【例11】（多选）如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为 C 的电容器和阻值为 R 的电阻。质量为 m、阻值也为 R 的导体棒 MN 静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为 Q，合上开关 S 后，（） A. 通过导体棒 MN 电流的最大值为 B. 导体棒 MN 向右先加速、后匀速运动 C. 导体棒 MN 速度最大时所受的安培力也最大 D. 电阻 R 上产生的焦耳热大于导体棒 MN 上产生的焦耳热 类型5：双导轨问题 【例12】（多选）如图所示，宽为 L 的两固定足够长光滑金属导轨水平放置，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，质量均为 m、电阻值均为 r 的两导体棒 ab 和 cd 静止置于导轨上，其间距也为 L，现给 cd 一向右的初速度 ，对它们之后的整个运动过程说法正确的是（） A. ab 的加速度越来越大，cd 的加速度越来越小 B. cd 克服安培力所做的总功为 C. 通过 ab 的电荷量为 D. 两导体棒间的距离最终变为 【例13】如图所示，两电阻可以忽略不计的平行金属长直导轨固定在水平面上，相距为 l，另外两根长度为 L、质量为 m、电阻为 R 的相同导体棒垂直静置于导轨上，导体棒在长导轨上可以无摩擦地左右滑动，导轨间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。某时刻使左侧的导体棒获得大小为的向左初速度、右侧的导体棒获得大小为的向右初速度，则下列结论正确的是（） A. 该时刻回路中产生的感应电动势为 B. 当导体棒a的速度大小为时，导体棒 b 的速度大小一定是 C. 当导体棒a的速度为0时，两导体棒受到的安培力大小都是 D. 从开始运动到最终处于稳定状态的过程中，系统产生的热量为 【例14】（多选） 如图所示，两根质量均为 m 的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为 1:2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻，现用水平恒力 F 向右拉 CD 棒，在 CD 棒向右运动距离为 s 的过程中，AB 棒上产生的焦耳热为 Q，此时 AB 棒和 CD 棒的速度大小均为 v，此时立即撤去拉力 F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法正确的是（） A. v 的大小等于 B. 撤去拉力 F 后，AB 棒的最终速度大小为v，方向向右 C. 撤去拉力 F 后，CD 棒的最终速度大小为v，方向向右 D. 撤去拉力 F 后，整个回路产生的焦耳热为 例15：在自动化装配车间，常采用电磁驱动的机械臂系统，如图，ab、cd为两条足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，电阻忽略不计。导轨置于磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨上有与之垂直并接触良好的金属机械臂1和2，质量均为m，电阻均为R。导轨左侧接有电容为C的电容器。初始时刻，机械臂1以初速度 向右运动，机械臂2静止，运动过程中两机械臂不发生碰撞。系统达到稳定状态后，电流为零，两机械臂速度相同。 （1） 求初始时刻机械臂 1 的感应电动势大小和感应电流方向； （2）系统达到稳定状态前，若机械臂1和2中的电流分别为 和 ，写出两个机械臂各自所受安培力的大小；若电容器两端电压为U，写出电容器电荷量的表达式； （3）稳系统达到稳定状态后两机械臂的速度。若要两机械臂不相撞，二者在初始时刻的间距至少为多少？ 例16：如图所示，间距为L的平行、足够长的光滑金属导轨固定在水平面上，导轨左端通过单刀双掷开关连接电阻R和电容为C的电容器，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。质量为m、长为L、电阻为r的金属棒MN垂直于导轨放置。开关k接1，零时刻给金属棒水平向右的速度。已知导轨电阻忽略不计，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。 （1）求零时刻金属棒MN中的电流方向和金属棒的加速度大小； （2）一段时间后金属棒速度变为0.5，求该过程中金属棒发生的位移； （3）仅将开关接2，金属棒以初速度向右运动，求金属棒的最终速度。 例17：如图，质量为 m、电阻为 的均匀金属棒 ab 垂直架在水平面甲内间距为 2L 的两光滑金属导轨的右边缘处。下方的导轨由光滑圆弧导轨与处于水平面乙的光滑水平导轨平滑连接而成（即图中半径 OM 和 OP 竖直），圆弧导轨半径为 R、对应圆心角为、间距为 2L，水平导轨间距分别为 2L 和 L。质量也为 m、电阻也为的均匀金属棒 cd 垂直架在间距为 L 的导轨左端。导轨 与 、 与 均足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为 E、内阻不计，所有导轨的水平部分均有竖直方向的、磁感应强度为 B 的匀强磁场，圆弧部分和其他部分无磁场。闭合开关 S，金属棒 ab 退却获得水平向右的速度（未知，记为）做平抛运动，并在高度降低 2R 时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑。已知重力加速度为 g，求： （1）空间匀强磁场的方向及棒 ab 做平抛运动的初速度; （2）通过电源 E 某截面的电荷量 q; （3）从金属棒 ab 刚落到圆弧轨道上端起至开始匀速运动止，这一过程中棒 ab 和棒 cd 组成的系统损失的机械能 。 例18：如图间距L=0.5m足够长平行导轨，与水平面间的夹角 ，N、Q间连接有一个阻值 的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为 。将一根质量为m=0.5kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好。现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数 ，金属棒从NQ运动到cd过程中，通过电阻R的电荷量为2.5C，金属棒沿导轨下滑过程中始终与NQ平行，不计金属棒和导轨的电阻 。求： （1）金属棒到达cd处的速度大小； （2）金属棒从NO运动到cd过程中电阻R产生的焦耳热Q。 （3） 若将金属棒滑行到 cd 处的时刻计作 t = 0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度 B 应该怎样随时间 t 变化（写出 B 与 t 的关系式）。 例19：如图所示，相距 的平行金属导轨，左侧部分水平，分布着竖直向上的匀强磁场，右侧部分倾斜，倾角为 ，倾斜导轨上的 c、d 两点处各有一小段绝缘导轨（长度可忽略不计），在 ab 连线到 NQ 连线之间分布着垂直导轨向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为 B = 1T，倾斜导轨上端 M、P 之间有阻值为的电阻，其余导轨电阻不计，水平与倾斜导轨连接处平滑过渡。金属棒 1 与 2 的质量都为 ，有效接入导轨间的长度都为 ，电阻都为 。金属棒 1 从 ab 连线上方 处由静止释放，ab 与 cd 之间距离 ，cd 与 NQ 之间距离 ，cd 与 NQ 之间棒与导轨间的动摩擦因数为 ，其余部分导轨均光滑，金属棒 2 初始静止，到 NQ 距离为 。金属棒 1 进入磁场后，在运动到 cd 前已达到稳定速度，在运动到 NQ 前已再次达到稳定速度。运动过程中，两棒与导轨接触良好，且始终与导轨垂直，不计金属棒经过 NQ 时的能量损失，若两棒相碰则发生弹性碰撞。（已知 ， ，重力加速度 g 取 ）求： （1）金属棒 1 运动到 cd 前达到的稳定速度的大小： （2）金属棒1运动到NQ时，金属棒2的速度大小： （3）最终稳定时金属棒1所在位置，以及全过程金属棒1产生的焦耳热。 例20：如图所示，光滑金属导轨 MNOP 和 固定在绝缘水平面上，其中 MN 和 正对，导轨间距 ，OP 和 正对，导轨间距 ，整体处于竖直向下、磁感应强度大小为 B=1T 的匀强磁场中。两根完全相同的导体棒 ab、cd 垂直导轨放置在 左侧，质量均为 m=1kg、电阻均为 ，长度均为 。导体棒 ab 通过绝缘线拴接在墙壁上，导体棒 cd 在水平恒力 F=1N 作用下由静止开始运动。已知绝缘细线能承受的最大拉力为 ，且在导体棒 cd 运动过程中能被拉断，OP 和 段足够长，ab 和 cd 初始位置到 的距离有限，但不为 0。 （1） 求细线被拉断时导体棒 cd 的速度大小。 （2） 若细线被拉断后撤去棒 cd 受到的水平恒力。 ①求导体棒ab经过 时速度的取值范围。 ②在导体棒ab经过 时速度最大的情况下，求从撤去外力到系统稳定过程回路产生的焦耳热。 例21：如图所示，两段足够长但不等宽的光滑平行金属导轨水平放置，b、g两点各有绝缘材料（长度忽略不计）平滑连接导轨，ac、fh段间距为l，de、jk段间距为2l。整个空间处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨af端接有电容 的电容器（初始不带电），导体棒Ⅱ静止于de、jk段。导体棒I、Ⅱ的质量分别为m、2m，电阻分别为R、2R，长度分别为l、2l，导体棒I从靠近af位置以初速度 向右运动，到达bg左侧前已达到稳定速度 未知）。两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力忽略不计。求： （1） 导体棒 I 到达 bg 时速度的大小； （2） 导体棒 I 在 bc、gh 段水平导轨上运动的过程中，导体棒 I 达到稳定时的速度 的大小； （3） 导体棒 I 在 bc、gh 段运动过程中，导体棒 I 上产生的焦耳热。 学科网（北京）股份有限公司 $