2026年高考数学信心跃升卷04（全国二卷通用）

**基本信息** 2026年高考数学信心跃升卷04（全国二卷通用），120分钟150分，通过原创集合题、概率应用等设计，融合复数、立体几何等知识，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数虚部、向量投影、椭圆方程等|第2题原创集合题，强化数学抽象| |多项选择|3/18|频率分布直方图、正方体线面关系等|第9题结合统计图表，培养数据意识| |填空|3/15|二项式系数、直线与圆、导数切线|第14题切线与函数交点，考查逻辑推理| |解答题|5/77|向量三角综合、立体几何面面垂直、椭圆面积应用、概率分布列|第18题以短跑预赛为情境，体现数学语言表达现实世界|

2026年高考数学信心跃升卷04（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 2．（原创）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C．6 D．12 4．在等差数列中，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．11 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（    ） A．84 B．120 C．504 D．720 7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 10．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A． 直线与底面所成的角为 B． 平面与底面夹角的余弦值为 C． 直线与直线的距离为 D． 直线与平面的距离为 11．设为坐标原点，已知圆，双曲线的焦距为4，的一条渐近线与圆交于两点，另一条渐近线与圆交于两点，若，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为2 C．C的方程为 D．直线经过的右顶点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 13．若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 14．已知函数，若曲线在点处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量.设. (1)求函数的最小正周期； (2)记三角形ABC的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 16．（15分）已知三棱柱中，，，， (1)求证：平面平面 (2)若，且是的中点，求平面和平面的夹角的正弦值． 17．（15分）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的离心率为，面积为，F为其右焦点，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，过P作直线PB交椭圆C于另一点B，且的面积为1，求直线PB的方程． 18．（17分）为了即将到来的运动会短跑比赛，体育老师计划从高三（1）班的同学中通过短跑预赛选出适合参加短跑比赛的学生加以训练，短跑预赛的规则是：设置某一个时间，每位同学可以试跑三次，若三次均未成功，则不通过预赛；若有一次试跑成功，则无需再跑，视为通过预赛．已知甲同学每次能试跑成功的概率是，且每次试跑相互独立，互不影响． (1)记甲同学的试跑的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (2)在甲同学通过预赛的条件下，求甲是第三次试跑成功的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $表格_20260521 双重细目表 题型 题号 分值 核心知识点 难度系数 单项选择题 1 5 复数的化简与虚部概念 0.95 单项选择题 2 5 集合的交集运算 0.92 单项选择题 3 5 平面向量的投影与数量积 0.8 单项选择题 4 5 等差数列的通项公式 0.88 单项选择题 5 5 三角恒等变换（诱导公式） 0.75 单项选择题 6 5 排列组合（组合数应用） 0.7 单项选择题 7 5 椭圆的几何性质与方程求解 0.55 单项选择题 8 5 函数奇偶性、单调性与不等式恒成立 0.45 多项选择题 9 6 频率分布直方图（参数、中位数、平均数） 0.7 多项选择题 10 6 正方体中的线面角、二面角、距离 0.5 多项选择题 11 6 圆与双曲线的综合（渐近线、离心率、方程） 0.48 填空题 12 5 二项式定理（系数和、指定项系数） 0.75 填空题 13 5 直线与圆的位置关系、基本不等式 0.65 填空题 14 5 导数的几何意义、切线与函数图象交点 0.55 解答题 15 13 向量数量积、三角恒等变换、解三角形 0.72 解答题 16 15 空间面面垂直证明、二面角求解 0.6 解答题 17 15 椭圆标准方程、直线与椭圆综合、面积问题 0.52 解答题 18 17 离散型随机变量分布列、期望、条件概率 0.68 $2026年高考数学信心跃升卷04（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.2的能部为（） A.-1 B.1 C.-i D.i 【答案】B 【分析】根据复数的运算及定义可得 5 5(2+i)52+i)2+i,其虚部为1， 【详解】2-i(2-i)2+i)5 2.(原创)已知集合={1-1<≤3}，={-2，-1,0,1,2,3}则A∩B=() A.{-2,-1,0y B.{0,1,2} C.{0,1,2,3} D. 【答案】C 【详解】由题可得：n=0,1,2,3} 3.已知向量d=2,b在a方向上的投影向量为-3a,则ab=() A.-12 B.-6 C.6 D.12 【答案】A aP-3,而1a2, 1apas-3a,则a- 【详解】依题意，6在ā方向上的投影向量为a-ba 所以d.b=-31a=-12 4.在等差数列{an}中，a=6,a6=5,则a,=（) A.-11 B.0 C.1 D.11 【答案】B 【分析】运用等差数列通项性质求解， 【详解】设等差数列{an}公差为d,那么d=a。-4,=-1,4,=a+6d=6-6=0 5.已知m[5则n+a小() B.3 c.25 D.-25 3 3 【答案】A 【分析】直接根据诱导公式计算可得结果 【详解】因为后-a(径+a, 所以由诱导公式得sin （径*a小（仔jm昏-aj片 故选：A 6.从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位 数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是() A.84 B.120 C.504 D.720 【答案】A 【分析】从9个数字中选择3个不同的数，只需选出，无需排序 【详解】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故C。=84.故选：A, Z已知椭圆C:怎+Q>b>0的左、右焦点分别为，乃，C上的两点A,清灵 AF=2FB,|EE=2OA(O为原点)，且以C的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为 12,则C的方程为() A.+y=1 B.2 2 =1 C. +少=1 123 0 +上1 182 9 4 【答案】D 【分析】设BF=m(m>0),由已知条件和椭圆定义表示出AF=2m,AF,=2a-2m, BF=2a-m,由勾股定理求得a,b与m的关系，结合平行四边形的面积为12，求得答案。 【详解】如图，由F6=2104,得∠4= 由AE=2FB,得A,F,B三点共线，连接BF,设BF=m(m>O), AF =2m,AF,=2a-2m,BF =2a-m, 在△AFF中，由勾股定理得(2m)2+(2a-2m)=4c2,即b2=2am-2m2, 在△ABF中，由勾股定理得(3m)}2+(2a-2m)=(2a-m),化简得a=3m, 所以b2=2am-2m2=4m2,即b=2m, 因为以C的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以三·2a2b=12, ÷b=6,即2m3m=6,得m=1,所以a=3,b=2,即C的方程为二+ 41. x 8.已知函数f(x)=ln ,当0<0<时，f(msin0+1)+f-m)>0恒成立，则实数m的 2- 取值范围是() A.(-1,) B.(-1,0) C.(0,1) D.(-0,1) 【答案】B 【详解】：)=加2=@2)，则/2--h2二会 ∴.f(x)+f(2-x)=lnl=0,即f(1-m)+f1+m)=0, 由x∈(0,2)，∫=+，1>0，则f(x)在(0,2)上单调递增， Γx2-x f(msin0+1)+f(1-m)>0,f(msin0+1)>-f(1-m)=f(m+1), 根据函数单调性可得2>msin0+1>1+m>0, [m+1>0 0<8<T,.sin0e(0,,msin0+1>1+m在0 上恒成立， 2 msin0+1<2 m>-1 m>-1 即 m(sin0-1)>0,.m<0,解得m∈（-l,0). 1 m≤1 m<- sin 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘 制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）() ◆频率/组距 0.045 6 0.020 0.005 o 455567内8595分数 A.b的值为0.025 B.参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C.参加考核学生成绩在区间[65,85)的学生有104人 D.估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 【答案】ACD 【详解】对于A,由10(0.005+b+0.045+0.020+0.005)=1,得b=0.025,A正确： 对于B,成绩在[45,65)，[45,75)的频率分别为0.30,0.75，则成绩的中位数m∈(65,75)， 0.3+(m-65)×0.045=0.5,解得m≈69.4，B错误：对于C,成绩在[65,85)的频率为0.65， 由0.65×160=104，得成绩在区间65,85)的学生有104人，C正确： 对于D,成绩的平均数x=0.05×50+0.25×60+0.45×70+0.2×80+0.05×90=69.5,D正确， 10.如图，棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为DD,BB的中点，则() D A.直线FC,与底面ABCD所成的角为30 B.平面ABE与底面ABCD夹角的余弦值为号 C.直线FC,与直线AE的距离为V30 5 D.直线FC,与平面AB,E的距离为3 【答案】BCD 【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角， 平行线间距离及线面距离. 【详解】 如图所示，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴， 则40.o,4La,8,C@),E002F》 A选项：F--10 平面ABCD的法向量AA=(0,0,1), 设直线FC,与底面ABCD所成的角为0，则sin0=cos(FC,AA FC,AA FC M 5 ×1 4 ∴.直线FC与底面ABCD所成的角不为30°，故A错误： B选项：低=Q1,亚-（10》 iAB=y+z=0 设平面AB,E的法向量=(x,y,z),则 n.AE=-x+z=0 ,令z=2,则i=(1-2,2) 设平面AB,E与底面ABCD的夹角为a,则cosa=cos(AA,i)月 A4n2L2 A4n1×33 :平面8E与底面48CD夹角的余弦值为子，放B正确： C选项，FE=（-1,-1,0), 直线FC,与直线AE的距离为：d=F乃 FC·FE 30,故 5 2 C正确：D选项，FC∥AE,AEC平面AB,E,FC文平面ABE, 平面AB,E的法向量元=(1，-2,2)， AF.n -2+1 ∴.直线FC与平面AB,E的距离为：h= W+(-2}+22 3故D正确：故选：BCD, 山，设0为坐标原点，已知圆压：-2沙+少=4，双我C千岩争 =1(a>0,b>0)的焦距 为4，C的一条渐近线与圆E交于O,A两点，另一条渐近线与圆E交于O,B两点，若 OA+OB=4,则() A.C的渐近线方程为y=±5 B.C的离心率为2 C.C的方程为x_ =1 3 D.直线AB经过C的右顶点 【答案】BCD 【分析】A选项，根据对称性可得OA=OB=2,结合圆的半径，得到△OEA为等边三角 形，故C的渐近线y=bx的倾斜角a=60°，因此C的渐近线方程为y=士√5x,A错误：B a 选项，利用e= b2 求出离心率：C选项，根据焦距和离心率求出c=2,a=1,求出b2=3, 23 得到双曲线方程；D选项，求出A,B坐标，得到直线AB的方程为x=1,所以直线AB经过C 的右顶点 【详解】A选项，由双曲线的性质与圆的对称性得，OA=OB,又OA+OB=4,故 OA=OB=2,由圆E:(x-2)2+y2=4得圆心为E(2,0),半径为r=2, 故EO=EA=2,故△OEA为等边三角形， 故双曲线C的渐近线y=6x的倾斜角为a=60°，则2=tan60°=V5, b a a 因此C的渐近线方程为y=±√3x,A错误： B选项，C的离心率e= a2+b2 ,.b2 ,1+ a v av =√4=2，B正确； a C选项，由 。2得，c=2,a=1,所以=c2-4=3,所以C的方程为-于-1，C正 a 3 12c=4, 确；D选项，将y=√3x代入(x-2)2+y2=4,解得x=1或0（舍去）， 将x=1代入y=V3x得y=V3,将y=-√3x代入(x-2)2+y2=4,解得x=1或0（舍去）， 将x=1代入y=-√3x得y=-√5，结合图象，不妨取A,3),B,-5),则直线AB的方程 为x=1,又C的右顶点为(L,O),所以直线AB经过C的右顶点，D正确；故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若x-2》 的展开式的二项式系数和为64，则展开式中x2的系数为 【答案】60 【分析】根据二项式系数和求得n=6,再根据二项展开式的通项公式求出x的系数， 【详解】因为 的展开式的二项式系数和为64， 所以2"=64，解得n=6, 式(：-2)的展开式通项为7=C(-c-2y。 令6-2r=2,解得r=2,所以展开式中x2的系数为C(-2)=15×4=60 13.若直线+上=1(a>0,b>0)是圆x+y-2x-2y-7=0的一条对称轴，则4a+b的最小值 a b 是 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得二+=1，再使用1的代换，即可求得4+b的最小值 a b 【详解】易得圆心C(1,),半径r=3, 11 由题意得直线 x+y=1过圆心，则有二+方 =1, a b a b 11 故4a+b=(4a+b） =5+ 公冬9，当且仅当号-名即0-号6=3时取等号， b a b a 故4a+b的最小值是9，故答案为：9. 14.已知函数f(x)=xe,若曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线与函数g(x)=a+lnx的图 象无公共点，则实数a的取值范围为 【答案】（-o,2+ln2-e) 【分析】先求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线，把问题转化成a=2ex-lnx-e无解，再设 h(x)=2ex-nx-e,求函数h(x)的最小值即可. 【详解】因为f(x)=xe,所以f'(x)=e+xe, 且f(1)=e,f'()=2e, 所以y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程为：y-e=2e(x-1),即y=2er-e. 问题转化为方程a+lnr=2ex-e,即a=2ex-lnr-e无解 设h()=2er-lnr-e,x>0,则M(y)=2c-1-2er=l xx 1 由h()K0→0<x<28:由h()>0→r> 1 2e 所以4()在Q怎 1 上单调递减，在(2。+切上单调递增。 1 1 -In -e=1+ln2+1-e=2+ln2-e, 2e 所以h(x)≥2+ln2-e, 所以a<2+ln2-e, 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知向量a=(6 in,o6-cox,5n+别 设f(x)=a- (I)求函数y=f(x)的最小正周期： (2)记三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,己知f(A)=√3，b=V3,△4ABC的面积 为5，求a的长 【答案】()π (2)a=√7 【分析】(1)利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求得函数的最小正周期： (2)根据∫(A)=5,求得A=兀，再根据△ABC的面积为V5,求得c=4,再利用余弦定 理即可得出答案 【详解】(1)由题意，f(x)=a.万=sinxcosx+√3 cos xsin =sinxcosx+3cos n2x8+ecos2x月sim24 2+ 3 。3,所以函数y=了四)的最小正周期T元， 2由0=得24+引5.因为4e0a,所以24+号 3/ 2 3’3 ,解得A=工 6 因为S=)bcsind=}xV5cx)=V5,所以c=4, 1 2 由余弦定理得G-b+C2-2cos4=5+4-2x4x57,所以a=N万. 2 16.(15分)己知三棱柱ABC-ABC1中，AC=A4=4,BC=2,∠ACB=90°，AB⊥AC A (1)求证：平面AACC,⊥平面ABC (2)若∠AAC=60°，且P是AC的中点，求平面BAP和平面AACC,的夹角的正弦值 【答案】(1)证明见解析 (2② 【分析】(1)作出辅助线，由菱形得到AC⊥AC,结合AB⊥AC得到线面垂直，进而得到 AC,⊥BC,结合AC⊥BC得到线面垂直，从而证明出面面垂直： (2)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的 余弦值，结合同角三角函数关系得到正弦值 【详解】(1)在三棱柱ABC-AB,C中，四边形AACC,是平行四边形，而AC=AA, 则平行四边形AACC是菱形，连接AC,如图，则有AC⊥AC, 因为AB⊥AC,AB∩AC=A,AB,ACc平面ABC, 所以AC⊥平面ABC,而BCc平面ABC,则AC,⊥BC, 由∠ACB=90°，得AC⊥BC,又AC∩AC,=A,AC,ACC平面AACC1, 从而得BC⊥平面AACC,又BCc平面ABC,所以平面AACC,⊥平面ABC: C B (2)在平面AACC,内过C作CQ⊥AC, 由(1)知平面AACC⊥平面ABC,平面AACC∩平面ABC=AC,CQC平面AACC 则CQ⊥平面ABC, 以C为原点，以射线CA,CB,CQ分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系， 如图，因为∠AAC=60°，AC=AA=4,所以△AAC为等边三角形， 又P是AC的中点，则AP⊥AC,故AP=PC=2, 由勾股定理得4P=√44P-AP2-2V5,又BC=2, 则C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,2,0),A(2,0,23),P(2,0,0), 则有BA=（2,-2,25),BP=(2,-2,0). 设平面B4P的一个法向量=(x,,z),则有 ii.BA,=2x-2y+2v3z=0 i-BP=2x-2y=0 ，解得： y=x 2=0 令x=1得方=(1,1,0)，而平面AACC的一个法向量m=(0,1,0), 依题意，cos(亿元= 万m_1,1,0)(0,1,01.2 m√1+1+0×1+0+0迈2 设平面BA,P和平面AACC,的夹角的夹角是0， 则eo0-oa以-9如0--m0-是 所以平面BAP和平面AACC的正弦值为 7 17.(15分)阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭 圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 C千+1a>h>0的高心率为，面积为2五，F为其右焦点，0 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P,过P作直线PB交椭圆C于 另一点B,且△BEP的面积为1，求直线PB的方程. 【容案10片号1 (2)3x-2y=0或3x+2y-6=0 【分析】(1)利用新定义及椭圆的性质计算即可： (2)设直线方程利用韦达定理、弦长公式、点线距离公式计算解方程即可. c=1 【详解】(1)设F(C,O),由题意可知： πab=2W3π，解之得a=2,b=V3,c=1, a2=b2+c2 所以椭圆方程为： 4 3 (2)由上可知F(,0),则P2 易知直线PB斜率不存在时不符合题意： 不妨设直线PB方程为y=:+m,则k+m=2 3 3x2+4y2-12=0 联立直线与椭圆方程 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, y=kx+m △=16(12k2-3m2+9）>0 8km 则xp+xB=- 3+4k2 ，且|P8=P+1kp-xa=Ve+1.4i2k-3m+9 3+4k2 4m2-12 XpX8= 3+4k2 m-1 E到直线PB的距离为d= 十E,所以smP 2m-1V12k2-3m2+9 =1 3+4k2 -m代入上式可得： 3m-m-2-1, 2m2-3m+3 m=0m=3 解之得k=3或 3,即直线PB的方程为3x-2y=0或3x+2y-6=0. k=- 2 2 18.(17分)为了即将到来的运动会短跑比赛，体育老师计划从高三(1)班的同学中通过 短跑预赛选出适合参加短跑比赛的学生加以训练，短跑预赛的规则是：设置某一个时间，每 位同学可以试跑三次，若三次均未成功，则不通过预赛；若有一次试跑成功，则无需再跑， 视为通过预襄。已知甲同学每次能试跑成功的概率是子，且每次试跑相互独立，互不影响。 (1)记甲同学的试跑的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望； (2)在甲同学通过预赛的条件下，求甲是第三次试跑成功的概率. 【答案】(1) X 1 2 3 P 3-4 1 1 E(X)=2 1 16 021 【分析】(1)分析X的所有可能取值，求出相应概率，列出X的分布列并求出数学期望： (2)记“第i次试跑成功”分别为事件A4,“甲同学通过预赛”为事件B,计算相关概率，并利 用条件概率公式计算求解。 【详解】(1)由题意知X的所有可能取值为1,2,3， Px=-Px-2-。P心x-}1}6 X的分布列为： X 2 3 3 3 1 4 16 16 E(X)=1x3+2x3+3x=2 4 16 1616 (2)记“第i次试跑成功”分别为事件A,i=1,2,3,“甲同学通过预赛”为事件B, P=i-Pn不r=1-- P4n=Pann4)=P国P国P(4---高 P(41B)=P(AnB)3-1 P(B)=6321, 巴在甲同学通过预赛的条件下，甲是第三次试跑成功的概率为)1： 19.(17分)已知函数f(x)=(x-1)e-alnx,a∈R (I)当a<0时，求函数f(x)的单调区间： (2)当a=e时，求函数f(x)的最小值： 11 11 (3)求证：e+。e2+。e3+…+-e">ln(n+1)(neN), 2 3 n 【答案】(1)单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间. (2)0 (3)证明见解析 【分析】(1)利用导数求解给定参数范围下的单调区间即可 (2)结合题意并合理构造函数，最后结合导数求解最值即可. (3)结合已知得到(x-I)e≥elnx,再结合换元法证明不等式即可. 【详解】(1)由题意得函数f(x)的定义域为(0，+o),()=e-- 当a<0时，f'(x)>0,则f(x)在(0，+o)单调递增， 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间. (2)当a=e时，()=(-1)e-eln,()=e-, 令8()=f四，则g')-x+e+>0. 所以g(x)即f'(x)在(0，+o)单调递增， 又f'(1)=0,所以当x∈(0,1)时，f'(x)<0,当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0, 所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1，+∞)单调递增，故f(x)n=f(1)=0. (3)由(2)知当a=e时，(x-l)e≥elnr, 即(-小e≥，当且仅当=1时取等号，令女，则>a出 eis (n2-in1)+(n3-In2)..+(1In k 1111 即e+ -e2+ e3+…+e>n(n+1(neN) 23 n2026年高考数学信心跃升卷04（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1k二的应部为《) A.-1 B.1 C.-i D.i 2.(原创)己知集合={|-1<≤3}，={-2，-1,0,1,2,3，则A∩B=() A.{-2,-1,0} B.{0,1,2 C.{0,1,2,3} D.{ 3.已知向量a=2,6在a方向上的投影向量为-3ā，则ab=() A.-12 B.-6 C.6 D.12 4.在等差数列{an}中，a=6,a6=5,则a,=() A.-11 B.0 C.1 D.11 .已知na小片则m =() A B.1 3 C.23 3 D.-25 3 6.从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位 数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是() A.84 B.120 C.504 D.720 7.已知撰圆C:等+茶=a>6>0的左、右焦点分划为万，乃，C上的两点有，B满足 ,y2 A正=2FB,EF=2OA(O为原点)，且以C的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为 12,则C的方程为() C. D.号4 94 8.已知函数fy)=ln,x,当0<0<时，f0msin0+)+f0-m>0恒成立，则实数m的 2-x 取值范围是() A.(-1,) B.(-1,0) C.(0,1) D.(-0,1) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘 制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）() 频率/组距 0.045 0 0.020 0.005 0 45556内7方8595分数 A.b的值为0.025 B.参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C.参加考核学生成绩在区间65,85)的学生有104人 D.估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 10.如图，棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为DD,BB的中点，则() DI B E A.直线FC,与底面ABCD所成的角为30 B.平面ABE与底面4BCD夹角的余弦值为号 C.直线FC,与直线AE的距离为V30 5 D.直线FC与平面4BE的距离为写 1山.设0为坐标原点，已知圆E:(c-2}+y2=4,双曲线C:亡广 d b =1(a>0,b>0)的焦距 为4，C的一条渐近线与圆E交于O,A两点，另一条渐近线与圆E交于O,B两点，若 OA+OB=4,则() A.C的渐近线方程为y=± 3 B.C的离心率为2 C.C的方程为2-上=1 3 D.直线AB经过C的右顶点 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若x-2 的展开式的二项式系数和为64，则展开式中x2的系数为 13.若直线+兰=1(a>0,b>0)是圆x2+y-2x-2y-7=0的一条对称轴，则4a+b的最小值 a b 是一 14.已知函数f(x)=xe,若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与函数g(x)=a+lnx的图 象无公共点，则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15(13分)已知向放i=(mrow6-oa+别 设f(x)=ab. (I)求函数y=f(x)的最小正周期： (2)记三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知f(A)=V3,b=V3,△ABC的面积 为，求a的长， 16.(15分)已知三棱柱ABC-AB,C中，AC=AA=4,BC=2,∠ACB=90°，A,B⊥AC A B (I)求证：平面AACC,⊥平面ABC (2)若∠AAC=60°，且P是AC的中点，求平面BAP和平面AACC,的夹角的正弦值. 17.(15分)阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭 圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 =1(a>b>0)的离心率为)，面积为23m,F为其右焦点，E(0,. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P,过P作直线PB交椭圆C于 另一点B,且△BEP的面积为1，求直线PB的方程. 18.(17分)为了即将到来的运动会短跑比赛，体育老师计划从高三(1)班的同学中通过 短跑预赛选出适合参加短跑比赛的学生加以训练，短跑预赛的规则是：设置某一个时间，每 位同学可以试跑三次，若三次均未成功，则不通过预赛；若有一次试跑成功，则无需再跑， 省Y9‘工形五HWu10每日‘二音索触[红1骐众每点但由已建4卿% ()记甲同学的试跑的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望； (2)在甲同学通过预赛的条件下，求甲是第三次试跑成功的概率， 2026年高考数学信心跃升卷04（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算及定义可得. 【详解】，其虚部为1. 2．（原创）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得： 3．已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以 4．在等差数列中，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．11 【答案】B 【分析】运用等差数列通项性质求解. 【详解】设等差数列公差为d，那么. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据诱导公式计算可得结果. 【详解】因为， 所以由诱导公式得．故选：A 6．从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（    ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】A 【分析】从9个数字中选择3个不同的数，只需选出，无需排序. 【详解】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故.故选：A. 7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由已知条件和椭圆定义表示出，，，由勾股定理求得与的关系，结合平行四边形的面积为12，求得答案. 【详解】如图，由，得， 由，得三点共线，连接，设， 则，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以，即， 因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以， ，即，得，所以，即的方程为. 8．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则， ，即， 由，，则在上单调递增， 由，得， 根据函数单调性可得， ，，在上恒成立， 即，，解得. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，成绩在的频率分别为，则成绩的中位数， ，解得，B错误；对于C，成绩在的频率为， 由，得成绩在区间的学生有104人，C正确； 对于D，成绩的平均数，D正确. 10．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A． 直线与底面所成的角为 B． 平面与底面夹角的余弦值为 C． 直线与直线的距离为 D． 直线与平面的距离为 【答案】BCD 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，，，， A选项：，平面的法向量， 设直线与底面所成的角为，则， 直线与底面所成的角不为，故A错误； B选项：，， 设平面的法向量，则，令，则 设平面与底面的夹角为，则， 平面与底面夹角的余弦值为，故B正确； C选项，， 直线与直线的距离为：，故C正确；D选项，，平面，平面， 又，平面的法向量， 直线与平面的距离为：，故D正确；故选：BCD. 11．设为坐标原点，已知圆，双曲线的焦距为4，的一条渐近线与圆交于两点，另一条渐近线与圆交于两点，若，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为2 C．C的方程为 D．直线经过的右顶点 【答案】BCD 【分析】A选项，根据对称性可得，结合圆的半径，得到为等边三角形，故的渐近线的倾斜角，因此的渐近线方程为，A错误；B选项，利用求出离心率；C选项，根据焦距和离心率求出，求出，得到双曲线方程；D选项，求出坐标，得到直线的方程为，所以直线经过的右顶点. 【详解】A选项，由双曲线的性质与圆的对称性得，，又，故，由圆得圆心为，半径为， 故，故为等边三角形， 故双曲线的渐近线的倾斜角为，则， 因此的渐近线方程为，A错误； B选项，的离心率，B正确； C选项，由得，，所以，所以的方程为，C正确；D选项，将代入，解得或0（舍去）， 将代入得，将代入，解得或0（舍去）， 将代入得，结合图象，不妨取，则直线的方程为，又的右顶点为，所以直线经过的右顶点，D正确；故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 【答案】60 【分析】根据二项式系数和求得，再根据二项展开式的通项公式求出的系数. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为64， 所以，解得， 二项式的展开式通项为， 令，解得，所以展开式中的系数为. 13．若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9，故答案为：9. 14．已知函数，若曲线在点处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先求曲线在点处的切线，把问题转化成无解,再设，求函数的最小值即可. 【详解】因为，所以， 且，， 所以在点处的切线方程为：，即. 问题转化为方程，即无解. 设，，则， 由；由， 所以在上单调递减，在上单调递增. 且， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量.设. (1)求函数的最小正周期； (2)记三角形ABC的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求得函数的最小正周期； （2）根据，求得，再根据的面积为，求得，再利用余弦定理即可得出答案. 【详解】（1）由题意， ，所以函数的最小正周期； （2）由得，因为，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理得，所以. 16．（15分）已知三棱柱中，，，， (1)求证：平面平面 (2)若，且是的中点，求平面和平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，由菱形得到，结合得到线面垂直，进而得到，结合得到线面垂直，从而证明出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的余弦值，结合同角三角函数关系得到正弦值. 【详解】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，而， 则平行四边形是菱形，连接，如图，则有， 因为，，平面， 所以平面，而平面，则， 由，得，又，平面， 从而得平面，又平面，所以平面平面； （2）在平面内过作， 由（1）知平面平面，平面平面，平面 则平面， 以为原点，以射线分别为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系， 如图，因为，，所以为等边三角形， 又是的中点，则⊥，故， 由勾股定理得，又， 则，，，，， 则有，． 设平面的一个法向量，则有，解得：， 令得，而平面的一个法向量， 依题意，， 设平面和平面的夹角的夹角是， 则，， 所以平面和平面的正弦值为 17．（15分）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的离心率为，面积为，F为其右焦点，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，过P作直线PB交椭圆C于另一点B，且的面积为1，求直线PB的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用新定义及椭圆的性质计算即可； （2）设直线方程利用韦达定理、弦长公式、点线距离公式计算解方程即可. 【详解】（1）设，由题意可知：，解之得， 所以椭圆方程为：； （2）由上可知，则，易知直线斜率不存在时不符合题意； 不妨设直线方程为，则， 联立直线与椭圆方程得， 则，且， E到直线的距离为，所以， 将代入上式可得：， 解之得或，即直线PB的方程为或. 18．（17分）为了即将到来的运动会短跑比赛，体育老师计划从高三（1）班的同学中通过短跑预赛选出适合参加短跑比赛的学生加以训练，短跑预赛的规则是：设置某一个时间，每位同学可以试跑三次，若三次均未成功，则不通过预赛；若有一次试跑成功，则无需再跑，视为通过预赛．已知甲同学每次能试跑成功的概率是，且每次试跑相互独立，互不影响． (1)记甲同学的试跑的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (2)在甲同学通过预赛的条件下，求甲是第三次试跑成功的概率． 【答案】(1) X 1 2 3 P (2) 【分析】（1）分析X的所有可能取值，求出相应概率，列出X的分布列并求出数学期望； （2）记“第i次试跑成功”分别为事件，“甲同学通过预赛”为事件B，计算相关概率，并利用条件概率公式计算求解． 【详解】（1）由题意知X的所有可能取值为1，2，3， ，，， X的分布列为： X 1 2 3 P ． （2）记“第i次试跑成功”分别为事件，，“甲同学通过预赛”为事件B， ， ， ， 在甲同学通过预赛的条件下，甲是第三次试跑成功的概率为． 19．（17分）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最小值； (3)求证：. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间. (2)0 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求解给定参数范围下的单调区间即可. （2）结合题意并合理构造函数，最后结合导数求解最值即可. （3）结合已知得到，再结合换元法证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 当时，，则在单调递增， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）当时，， 令，则， 所以即在单调递增， 又，所以当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，故. （3）由（2）知当时，， 即，当且仅当时取等号，令，则， 所以, 即. 学科网（北京）股份有限公司 $