精品解析：2026年河南省洛阳市中考二模考试数学试题

2026年中招模拟试卷（二）数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 榫卯（sǔnmǎo）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 根据洛阳市人民政府、洛阳市文化广电和旅游局发布，2026年春节（9天）假期，洛阳市共接待游客1351.74万人次，实现旅游总收入105.39亿元．请用科学记数法表示105.39亿（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点O在直线上，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 在如图所示三个半径分别为、和的同心圆组成的图形中随机撒一把豆子，计算豆子落在A，B，C（B，C为环形区域）三个区域中的概率．把“在图形中随机撒豆子”作为实验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，和均为直角三角形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（ ）（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，．） A. 当石块下降时，此时石块在水里 B. 当时，拉力与之间的函数表达式为 C. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的整数部分是________________ ． 12. 《九章算术》中有一道“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人？物品的价格是多少？若设人数为，物价为，则可列二元一次方程组为：_____． 13. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是______________元． 14. 如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的周长为______． 15. 如图，正方形边长为4，是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，线段的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，75分） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表： 频数频率分布表 成绩/分 频数/人 频率 10 0.05 30 0.15 40 0.35 50 0.25 频数分布直方图 规定：90分及以上为优秀，80~90分为良好． 根据所给信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）补全频数分布直方图；并指出这200名学生成绩的中位数落在哪个分数段； （3）根据优秀、良好的等级标准，评价该校本次汉字听写大赛学生的成绩情况，并给出一条合理建议． 18. 如图，矩形中，，为对角线． （1）求作的垂直平分线，使得点，分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）根据（1）中作图条件，连接，，求证：四边形是菱形． 19. 一把直尺如图所示放置在平面直角坐标系中，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与轴正半轴夹角为，对边经过轴上点和双曲线上的点，双曲线上的点正好对着直尺上的刻度2．（平面直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．） （1）求该反比例函数的解析式； （2）如图，若将该直尺绕原点逆时针旋转，点、、的对应点分别为、、，求直线与轴的交点坐标． 20. 洛阳文峰塔始建于宋代，清初时期得以重建，坐落于洛阳老城区，是极具代表性的河洛文化地标．某校数学兴趣小组为了测量文峰塔的实际高度，借助无人机开展实地测量活动．无人机平稳飞至距离地面高度为50米的处，此时无人机保持水平静止状态，测得文峰塔顶部处的俯角为，测得文峰塔底部处的俯角为．若忽略塔的厚度与无人机自身大小等因素，试根据以上测量数据，计算文峰塔的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：，，，，，） 21. 为落实“打通断头路、畅通微循环”民生工程，某市计划在一条2000米的断头路段铺设便民步道，通过招标安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天的铺设效率是乙队的2倍，甲队单独完成全部铺设比乙队少用5天． （1）求甲、乙两个工程队每天能铺设的步道长度各是多少米； （2）若甲队铺设一天需支付费用0.8万元，乙队铺设一天需支付费用0.3万元，要求乙队铺设天数不超过甲队的2倍，要使总费用最低，甲、乙两队应分别铺设多少天？（天数取正整数） 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，） （1）若抛物线经过点时，求抛物线的顶点坐标； （2）在（1）的条件下将抛物线向下平移1个单位长度后与轴交于，两点，求的长． （3）当时，的最大值与最小值之差为5直接写出的取值范围． 23. 定义：若连接三角形的一个顶点和对边上一点的线段，能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）基础理解：如图1，在“智慧三角形”中，，为该三角形的“智慧线”，，，则长为______，的度数为______． （2）性质探究：如图2，为等腰直角三角形，，是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点，，按顺时针排列），，交于点，连结，．当时，求证：是的“智慧线”． （3）结论应用：如图3，中，，．若是“智慧三角形”，且为“智慧线”，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中招模拟试卷（二）数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵和都是正数，满足，和都是负数，都小于0和正数，只需比较两个负数的大小，计算两个负数的绝对值，可得，，∵， ∴， 综上可得， 因此最小的数是． 2. 榫卯（sǔnmǎo）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知：该几何体的左视图为． 3. 根据洛阳市人民政府、洛阳市文化广电和旅游局发布，2026年春节（9天）假期，洛阳市共接待游客1351.74万人次，实现旅游总收入105.39亿元．请用科学记数法表示105.39亿（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：105.39亿． 4. 如图，点O在直线上，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平角的意义求出的度数，再根据垂直的意义求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，以及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、单项式乘多项式、同底数幂的乘除法法则分别计算各选项，判断正误． 【详解】解：A、，原计算正确； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误． 6. 关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解： ∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根． 7. 在如图所示三个半径分别为、和的同心圆组成的图形中随机撒一把豆子，计算豆子落在A，B，C（B，C为环形区域）三个区域中的概率．把“在图形中随机撒豆子”作为实验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算各个区域的面积，然后根据概率公式可进行求解． 【详解】解：由题意可知：A区域的面积为，B区域的面积为，C区域的面积为，图形总面积为， ∴． 8. 如图，在四边形中，和均为直角三角形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得，然后可得点四点共圆，进而根据圆周角的性质可进行求解． 【详解】解：∵和均为直角三角形， ∴， ∴，， ∴点四点共圆， ∴． 9. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由势力的线与y轴正半轴相交可知c>0， 对称轴x=-＜0，得b<0． ∴ 所以一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 10. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（ ）（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，．） A. 当石块下降时，此时石块在水里 B. 当时，拉力与之间的函数表达式为 C. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A错误； B、当时，设所在直线的函数表达式为：，则由图象可把点代入得： ，解得：， ∴，故选项B错误； C、当石块下降的高度为时，即时，， ∵， ∴，故选项C正确； D、当，即， 解得， ∴石块距离水底的距离为，故选项D错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 的整数部分是________________ ． 【答案】4 【解析】 【分析】看在哪两个整数之间即可得到它的整数部分． 【详解】解：∵＜＜， ∴4＜＜5， ∴的整数部分为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查估算无理数的大小的知识；用“夹逼法”得到无理数的范围是解决本题的关键． 12. 《九章算术》中有一道“盈不足”问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人？物品的价格是多少？若设人数为，物价为，则可列二元一次方程组为：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可得方程组为． 13. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是______________元． 【答案】2.25 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得结果． 【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是： （元）． 故答案为：2.25． 【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 14. 如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由网格可得出，，，，根据弧长公式求出和，最后根据阴影部分的周长为求解即可． 【详解】解：由网格可知，， ∴的长：， 由网格可知，， ∴的长：，， 由网格可知， ∴阴影部分的周长为． 15. 如图，正方形边长为4，是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，线段的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分当点E在上时和当点E在的延长线上时两种情况求解，过点F作于点G，则，证明，由全等三角形的性质求出，，过点F作于点H，则四边形为矩形，最后由矩形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：当点E在上时， 过点F作于点G，则， ∵是正方形， ∴， 由旋转的性质得出，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 过点F作于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 当点E在的延长线上时， 过点F作于点G，则， 同理可证得， ∴，， 过点F作与点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 综上：的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，75分） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表： 频数频率分布表 成绩/分 频数/人 频率 10 0.05 30 0.15 40 0.35 50 0.25 频数分布直方图 规定：90分及以上为优秀，80~90分为良好． 根据所给信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）补全频数分布直方图；并指出这200名学生成绩的中位数落在哪个分数段； （3）根据优秀、良好的等级标准，评价该校本次汉字听写大赛学生的成绩情况，并给出一条合理建议． 【答案】（1）70；0.2 （2）图见详解，中位数落在 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据频率=频数÷总数求解可得； （2）根据所求m的值即可补全频数分布直方图；然后根据中位数的定义，先把数值按小到大排序或者大到小排序，取中间位置的数值即为中位数； （3）根据题意合理说明即可． 【小问1详解】 解：由图表可得：， ； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： ∵，总人数为200； ∴排在中间位置的人为第100名和101名之间， ∵， ∴这200名学生成绩的中位数会落在分数段； 【小问3详解】 解：由图表可知：成绩达到优秀、良好的总共有人，占比，所以该校本次汉字听写大赛学生的成绩情况一般，因此我认为该校应加强学生对汉字的学习，多听多写．（答案不唯一） 18. 如图，矩形中，，为对角线． （1）求作的垂直平分线，使得点，分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）根据（1）中作图条件，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线可得线段的垂直平分线，由此即可得； （2）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据菱形的判定即可得证； 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所求； 【小问2详解】 证明：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 19. 一把直尺如图所示放置在平面直角坐标系中，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与轴正半轴夹角为，对边经过轴上点和双曲线上的点，双曲线上的点正好对着直尺上的刻度2．（平面直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．） （1）求该反比例函数的解析式； （2）如图，若将该直尺绕原点逆时针旋转，点、、的对应点分别为、、，求直线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先结合，，得出，然后得，再把代入进行计算，即可作答． （2）根据旋转得到的坐标，再求出直线的解析式，然后结合得到直线的解析式，进而求出与轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作轴于， 在中，，，， ，， ． 设反比例函数解析式为， 把代入，得， 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：，， ， 绕原点逆时针旋转后，在点处，则， ，过作轴交轴于， 则， ，则直线的解析式为， 又，可设直线的解析式为， 又， ，解得， 直线的解析式为， 令，则，解得， 直线与轴的交点坐标为． 20. 洛阳文峰塔始建于宋代，清初时期得以重建，坐落于洛阳老城区，是极具代表性的河洛文化地标．某校数学兴趣小组为了测量文峰塔的实际高度，借助无人机开展实地测量活动．无人机平稳飞至距离地面高度为50米的处，此时无人机保持水平静止状态，测得文峰塔顶部处的俯角为，测得文峰塔底部处的俯角为．若忽略塔的厚度与无人机自身大小等因素，试根据以上测量数据，计算文峰塔的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于E交的延长线于点E，则 米，在中，可求出，在中可求出，再利用即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点，， 由题意知，，， 在中， ， ． 在中， ， ， ． 答：文峰塔的高度约为． 21. 为落实“打通断头路、畅通微循环”民生工程，某市计划在一条2000米的断头路段铺设便民步道，通过招标安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天的铺设效率是乙队的2倍，甲队单独完成全部铺设比乙队少用5天． （1）求甲、乙两个工程队每天能铺设的步道长度各是多少米； （2）若甲队铺设一天需支付费用0.8万元，乙队铺设一天需支付费用0.3万元，要求乙队铺设天数不超过甲队的2倍，要使总费用最低，甲、乙两队应分别铺设多少天？（天数取正整数） 【答案】（1）甲工程队每天能铺设400米，乙工程队每天能铺设200米 （2）总费用最低时，甲队应铺设3天，乙队应铺设4天 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天能铺设米，则甲工程队每天能铺设米，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设甲队应铺设天，铺设总费用为万元，则乙队应铺设天，由题意易得，，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：设乙工程队每天能铺设米，则甲工程队每天能铺设米，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：甲工程队每天能铺设400米，乙工程队每天能铺设200米． 【小问2详解】 解：设甲队应铺设天，铺设总费用为万元，则乙队应铺设天，由题意得： ， 解得：， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵取正整数， ∴当时，总费用最低， ∴； 答：总费用最低时，甲队应铺设3天，乙队应铺设4天． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，） （1）若抛物线经过点时，求抛物线的顶点坐标； （2）在（1）的条件下将抛物线向下平移1个单位长度后与轴交于，两点，求的长． （3）当时，的最大值与最小值之差为5直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用顶点式得出顶点坐标即可； （2）根据函数平移的性质求出平移后的函数解析式，然后利用根与系数以及完全平方公式进行求解； （3）根据函数解析式求出顶点坐标和对称轴，然后表示出最大值和最小值，根据差值得出，然后根据的取值范围求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：将抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为， 当时，设方程的两个根为， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点， ∵， 则在范围内， 当时，， 则， ∴当时，取到最大值为， 当时，取到最小值为， ∵的最大值与最小值之差为5， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的取值范围为． 23. 定义：若连接三角形的一个顶点和对边上一点的线段，能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形． （1）基础理解：如图1，在“智慧三角形”中，，为该三角形的“智慧线”，，，则长为______，的度数为______． （2）性质探究：如图2，为等腰直角三角形，，是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点，，按顺时针排列），，交于点，连结，．当时，求证：是的“智慧线”． （3）结论应用：如图3，中，，．若是“智慧三角形”，且为“智慧线”，求线段的长． 【答案】（1）4； （2）见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （2）证明，，可得结论； （3）由题意易得有两种情形：当时或当时，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是“智慧三角形”， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是直角三角形， ∴是“智慧三角形”，是的智慧线； 【小问3详解】 解：由题意可知有两种情形：当时，是“智慧三角形”，如图， 设，则有， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 当时，是“智慧三角形”．如图，由第一种情形可知： ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：线段的长为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $