精品解析：2025年河南省洛阳市第二次中招模拟考试数学试卷

洛阳市2025年中招模拟考试（二） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个实数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握绝对值越大的负数本数越小成为解题的关键． 根据实数的大小比较方法即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 2. 2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：15.81亿元元， 故答案为：A. 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 4. 如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角垂直的定义，平角的定义，平分线的定义，对顶角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了角的平分线即把一个角分成两个相等的角的射线，垂直的定义，对顶角的性质，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 5. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》,它是儒家思想的核心著作，是中国 传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本),则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键． 【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为，，，，画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即和《大学》（即的可能结果有2种可能， （抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果）， 故选：B． 6. 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选B． 7. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ） A. 40° B. 30° C. 15° D. 10° 【答案】D 【解析】 【分析】连接AD，根据圆周角、弧的关系得到∠DAC=40°，根据直角三角形的两锐角互余得到∠DAB=50°，再根据角的和差即可得解． 详解】解：连接AD， ∵D是 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠DBA＝∠DAC， ∵∠DBA＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∵AB是直径， ∴∠D＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∴∠DAB＝50°， ∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝10°， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 8. 如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：作于H， ∵直径于H， ∴， ∵，分别切于C，B， ∴，直径， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查切线性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出的长． 9. 左老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； ④当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】分别在以上四种情况下以为圆心，的长度为半径画弧，观察弧与直线的交点即为点，作出后可得答案． 【详解】解：如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，故不唯一，故①错误，不符合题意， ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的不符合题意，故唯一，故②正确，符合题意， ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③正确，符合题意， ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意， ； 综上所述，结论正确的是②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的基本性质，关键是确定以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线的交点个数． 10. 如图①，菱形的对角线相交于点，，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，点从点出发匀速运动到点，设，，随变化的图象如图②所示，图中的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，先由菱形的性质得到，，再推出当点P与点B重合时，点Q与点C重合，当点P与点C重合时，点P与点D重合，则当时，，则，利用勾股定理求出，，当时，，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴当点P与点B重合时，点Q与点C重合，当点P与点C重合时，点P与点D重合， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. x的3倍与y的倒数的和用代数式表示为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意，是解题的关键．表示出x的3倍与y的倒数的和，即可． 【详解】解：x的3倍与y的倒数的和为． 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程有实根得出关于m的不等式，然后求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得， ∴的最小值为． 故答案为：． 13. 航天事业可分为三大领域：空间技术、空间应用、空间科学，某校为了解学生掌握航天知识的情况，进行了相关竞赛，并统计了所有学生的竞赛成绩，绘制成如图所示的扇形统计图： 则该班学生航天知识竞赛成绩的平均数是________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，扇形统计图，用对应的得分对应的权重，然后求和即可得到答案． 【详解】解： 分， ∴该班学生航天知识竞赛成绩的平均数是分， 故答案为：． 14. 如图，在中，．将绕点B逆时针旋转一定角度后得到，其中点C的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，旋转的性质，连接，根据旋转的性质，利用分割法得到阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵将绕点B逆时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在锐角中，．点D是边上的一点，将沿所在直线翻折得到交于，则_______，________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠的性质是解题的关键． 过点B作于点G，在等腰直角中，可得，在直角中，利用勾股定理可得，可求出，再由根据以及折叠的性质可得 ，可证得，即可求出． 【详解】解：如图，过点B作于点G， 根据题意得：为直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：； 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，立方根定义进行求解即可； （2）先算除法，然后再算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 2025年是中国时代元年，技术已渗透至社会各领域，重塑职业结构、生活方式与个人发展路径．综合实践小组开展了对代表性的两种AI软件“”、“”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 抽取的对“”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“Deepseek”、“Mauns”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比 88 b 98 88 87.5 c 抽取的对“”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______，_______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次测验中，有300人对“”进行评分，260人对“”进行评分，估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为A等级的共有多少人？ 【答案】（1）15，89，97 （2）“”软件更受用户的喜爱，理由见解析 （3）239人 【解析】 【分析】本题考查调查与统计，利用样本估计总体，掌握中位数、众数的定义是解题的关键． （1）用1减去A，B，D所占百分数，即可得到；根据中位数定义可求b；根据众数的定义可求c； （2）比较A等级所占百分比或中位数即可； （3）用总人数乘以A等级所占百分比，然后相加即可． 【小问1详解】 解：“”的评分数据中B等级数据有7份，占：， ； “”的评分数据中A等级数据份数为：， B等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84， 可知“”的评分数据中从大到小排序，第10，11位数据均为89， ； “”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多， ； 故答案为：15，89，97； 【小问2详解】 解：“”软件更受用户喜爱， 理由：“”评分数据中A等级所占百分比比“”高；（答案不唯一） 【小问3详解】 解：（人） 答：估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为A等级的共有239人． 18. 如图，在中，． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在边右上方确定点D，使，且满足；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，试探究和的关系，并说明理由． 【答案】（1）图见解析； （2），理由见解析； 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线，垂足为，交于点，在右上方截取，则点即为所求； （2）先求出，再证明，即可得出答案． 【小问1详解】 解：作的垂直平分线，垂足为，交于点，在右上方截取，则点即为所求，如图： 由作图可知，垂直平分，， ∴，； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． （1）求反比例函数的解析式； （2）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； （3）如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）10 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的综合题型，解题关键：一是求出反比例函数解析式，二是求出菱形的面积． （1）先把点代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集； （3）根据题意作出辅助线，然后求出的长，根据菱形的性质求出的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出的面积． 【小问1详解】 解：把点代入正比例函数可得：， ∴点， 把点代入反比例函数， 可得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A与点B是关于原点对称， ∴点， ∴根据图象可得，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：如图所示，过点A作轴，垂足为G， ∵， ∴ 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 20. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为 【解析】 【分析】过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键． 21. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，根据题意列不等式，求出不等式的解集，然后再根据购买总费用最少，确定答案即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， 由题意得，， 解得，， ∵A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元， ∴购买A型智能机器人越少，费用越少， ∴购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台时，费用最少． 答：应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 22. 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 4 刹车后行驶的距离 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离单位（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了时，求的值； （3）当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 【答案】（1） （2）当汽车刹车后行驶了时， （3）该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，求函数值，自变量的值的计算是关键． （1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可； （2）根据函数值求自变量的值即可； （3）根据二次函数最值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：由表格中数据可设， 则， 解得，， ∴． 【小问2详解】 解：由题意可得，， 解得， ∵， ∴， ∴． 答：当汽车刹车后行驶了时，． 【小问3详解】 解：∵，由二次函数图象性质可知，有最大值， 当时，， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车． 23. 三角尺是我们几何学习中最常用的学具．在一次综合与实践活动中，数学王老师想让学生以“一副三角尺组合图形”为主题开展数学活动．下面是王老师根据学生摆放的组合图形设计的问题，请你解答． （1）【操作实践】 在同一平面内，将一副三角尺按如图①拼接：含角的三角尺长直角边与含角的三角尺的斜边恰好重合，连接，已知，则的值为________；________． （2）【迁移研究】 在同一平面内，将图①中的一副三角尺和，按如图②叠放在一起，使得点，分别在，边上，已知，若时，求的值； （3）【拓展应用】 在（2）的探求中，如图③，如果点D在边上移动，点F在边上移动，与在同一平面内，若长为，直接写出线段的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，，，解直角三角形求出、的长，即可得解，作交的延长线于，求出为等腰直角三角形，从而得出，再由勾股定理计算即可得解； （2）由题意可得：，，，，解直角三角形得出，证明为等腰直角三角形，得出，作交的延长线于，连接，证明为等腰直角三角形，得出，再由勾股定理计算即可得解； （3）由题意可得：，，，，解直角三角形得出，取的中点，连接、、，，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，再由，得出当、、在同一直线上时，的值最大，即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，，， ∴，， ∴； 如图，作交的延长线于， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作交的延长线于，连接， 则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：，，，， ∴， 如图，取的中点，连接、、， 则， 由直角三角形的性质可得：， 由勾股定理可得：， ∵， ∴当、、在同一直线上时，的值最大，为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳市2025年中招模拟考试（二） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个实数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（　　） A 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》,它是儒家思想的核心著作，是中国 传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本),则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ） A 40° B. 30° C. 15° D. 10° 8. 如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 左老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； ④当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 10. 如图①，菱形的对角线相交于点，，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，点从点出发匀速运动到点，设，，随变化的图象如图②所示，图中的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. x的3倍与y的倒数的和用代数式表示为________． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的最小值为_______． 13. 航天事业可分为三大领域：空间技术、空间应用、空间科学，某校为了解学生掌握航天知识的情况，进行了相关竞赛，并统计了所有学生的竞赛成绩，绘制成如图所示的扇形统计图： 则该班学生航天知识竞赛成绩的平均数是________分． 14. 如图，在中，．将绕点B逆时针旋转一定角度后得到，其中点C的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，在锐角中，．点D是边上的一点，将沿所在直线翻折得到交于，则_______，________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 2025年是中国时代元年，技术已渗透至社会各领域，重塑职业结构、生活方式与个人发展路径．综合实践小组开展了对代表性两种AI软件“”、“”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 抽取的对“”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“Deepseek”、“Mauns”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比 88 b 98 88 87.5 c 抽取的对“”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______，_______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次测验中，有300人对“”进行评分，260人对“”进行评分，估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为A等级的共有多少人？ 18. 如图，在中，． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在边右上方确定点D，使，且满足；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，试探究和的关系，并说明理由． 19. 如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B． （1）求反比例函数的解析式； （2）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集； （3）如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积． 20. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 21. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 22. 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 4 刹车后行驶的距离 0 27 48 72 发现：①开始刹车后行驶的距离单位（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了时，求的值； （3）当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由． 23. 三角尺是我们几何学习中最常用的学具．在一次综合与实践活动中，数学王老师想让学生以“一副三角尺组合图形”为主题开展数学活动．下面是王老师根据学生摆放的组合图形设计的问题，请你解答． （1）【操作实践】 在同一平面内，将一副三角尺按如图①拼接：含角的三角尺长直角边与含角的三角尺的斜边恰好重合，连接，已知，则的值为________；________． （2）【迁移研究】 在同一平面内，将图①中的一副三角尺和，按如图②叠放在一起，使得点，分别在，边上，已知，若时，求的值； （3）【拓展应用】 在（2）的探求中，如图③，如果点D在边上移动，点F在边上移动，与在同一平面内，若长为，直接写出线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $