专题05 复数(9大题型56题）（期末真题汇编，江西专用）高一数学下学期北师大版

**基本信息** 复数专题试题汇编，涵盖9大核心考点，精选江西多地高一下期末真题，分层设置基础运算、几何意义、创新应用等题型，聚焦易错点与综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约20题|复数基本运算、几何意义、虚部、分类|基础题如第1题考查复数相等求参数，高频题如第6题判断复平面象限| |填空|约10题|模长计算、轨迹问题|如第29题结合模长条件求复数，第33题求模的最大值| |多选|约10题|多考点综合|如第36题融合模长、虚部、象限判断及最值问题| |解答|约16题|复数方程根、几何意义应用、创新题|如第50题求解复数方程根并分析复平面位置，第53题引入棣莫弗公式考查创新应用|

专题05 复数 高频考点概览 考点01复数的基本运算（易错） 考点02复数的几何意义（高频） 考点03 复数的虚部（易错） 考点04 复数的分类（高频） 考点05 复数的模长（高频） 考点06 与复数模相关的轨迹（图形）问题（难点） 考点07 复数多选题（多考点综合）（重难） 考点08 复数解答题（含复数范围内方程的根）（难点） 考点09 复数的创新题（重难） 考点01 复数的基本运算 1．（24-25高一下·江西宜春·期末）若实数a，b满足（i是虚数单位），则（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据等式求出的值，然后即可求出结果. 【详解】因为， 所以，，所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·江西赣州·期末）（    ） A．2i B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算，计算结果. 【详解】由题意得. 故选：A. 3．（24-25高一下·江西赣州·期末）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 且，故选项C正确. 故选：C. 4．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知复数，则______． 【答案】 【分析】根据复数的乘方进行计算，找出规律，然后根据共轭复数的概念即可得到结果. 【详解】因为；；；， 所以， 那么，所以． 故答案为：. 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复数的乘法可求乘积； （2）利用复数的减法可求差； （3）利用复数的除法可求商. 【详解】（1）. （2）. （3）. 考点02 复数的几何意义 6．（24-25高一下·江西吉安·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出． 【详解】由，知复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 7．（24-25高一下·江西·期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数乘法计算出，再根据共轭复数的定义写出，最后确定对应点在复平面内的位置. 【详解】由，可知，则， 则在复平面内对应的点为，在第四象限. 故选：D. 8．（24-25高一下·江西·期末）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的乘法公式计算，再利用复数的几何意义得出在复平面中对应的点判断即可. 【详解】因为， 所以对应的点为位于第四象限． 故选：D. 9．（24-25高一下·江西九江·期末）若复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的除法算出，确定实部与虚部，即可知其在复平面内对应的点和对应的点所在象限. 【详解】，则复平面内对应的点为，该点位于第二象限. 故选：B. 10．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是复平面的原点，如果向量和对应的复数分别是和，那么向量对应的复数是______. 【答案】 【分析】利用向量，可得其坐标，利用几何意义得到所对应的复数． 【详解】向量． 向量对应的复数是． 故答案为：． 11．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知复数z与复平面内的点对应，则_________. 【答案】 【分析】由点坐标写出复数，再由复数的除法化简即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 考点03 复数的虚部 12．（24-25高一下·江西·期末）复数的实部与虚部之和为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】化简复数，即可根据实部和虚部的定义求解. 【详解】由题意可得，故的实部和虚部分别为1，2，其之和为3． 故选:D． 13．（24-25高一下·江西赣州·期末）复数的虚部为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】由复数乘法、虚部的概念即可求解. 【详解】的虚部为1. 故选：B. 14．（23-24高一下·江西赣州·期末）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出复数，根据复数的代数表示即可求解. 【详解】由， 所以虚部为：， 故选：B. 15．（24-25高一下·江西抚州·期末）在复平面内，复数满足，则的虚部为（   ） A．3i B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，再由共轭复数定义求出，即可解题. 【详解】由可得，所以，所以的虚部为3. 故选：C 16．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义得，进而利用复数的乘法运算得，最后利用共轭复数的概念及虚部的概念求解即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点坐标为，所以， 所以，所以，所以的虚部为. 故选：D 17．（24-25高一下·江西·期末）若复数（为虚数单位），则的虚部为__________． 【答案】1 【分析】根据复数的除法运算及虚部的概念可求. 【详解】因为，所以，即的虚部为1. 故答案为：1. 18．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知，复数，，若为纯虚数，则的虚部为________. 【答案】 【详解】依题意可知为纯虚数，故，解得，所以虚部为. 故答案为：. 考点04 复数的分类 19．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知复数是纯虚数，则实数（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得：. 故选：D. 20．（24-25高一下·江西萍乡·期末）若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1或3 B．1或2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据纯虚数的概念有，求解即可得. 【详解】由题设，可得. 故选：D 21．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法及乘法运算化简，利用纯虚数的定义解得参数，再根据复数的乘方计算，结合周期性求值即可. 【详解】由题意可得， 因为是纯虚数，所以，解得. 则，又，，，， 则时，，，，， 即有时，， 故. 故选：B. 22．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知复数，且为纯虚数，则实数___________． 【答案】1 【分析】由已知计算得，结合已知可得，求解即可. 【详解】因为复数，所以， 又为纯虚数，所以，解得. 故答案为：. 23．（24-25高一下·江西吉安·期末）设复数. (1)若是实数，求m的值； (2)若是纯虚数，求复数z的共轭复数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的乘法运算化简，根据实数条件得到虚部为零，求得的值； （2）利用复数的除法运算化简，利用纯虚数的条件求得的值，进而得解. 【详解】（1）由题知 若是实数，则，解得； （2）由题知 若是纯虚数，则，解得，所以. 考点05 复数的模长 24．（24-25高一下·江西南昌·期末）设复数z满足，则（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据复数乘法化简，再根据复数模的定义求解. 【详解】因为，所以， 故选：A. 25．（25-26高二上·江西宜春·期末）若复数满足（是虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由复数的除法求得复数，然后得到其模长. 【详解】由题意可知， ∴. 故选：B 26．（24-25高一下·江西九江·期末）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用复数相等建立方程求出即可得解. 【详解】设， 则， 即，解得， 所以，， 故选：A 27．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数对应点的对称，可得出，再由复数的加法及复数的模求解. 【详解】因为，所以点． 因为点A与点B关于直线对称， 所以， 所以． 故选：A 28．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数模的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】复数，，则 ，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 29．（24-25高一下·江西九江·期末）已知复数满足，且，则＝______． 【答案】 【分析】先设根据给定条件，结合复数相等和复数模公式计算作答. 【详解】设， 又，所以， 又，所以， 所以， 所以， 所以 ． 故答案为：. 考点06 与复数模相关的轨迹（图形）问题 30．（24-25高一下·江西九江·期末）在复平面内，复数对应的点为，则（    ） A． B．- C． D．复数对应的点满足，则对应的点围成的封闭图形面积为 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义可得，据此计算可判断ABC，利用模的几何意义可判断D. 【详解】因为数对应的点为，所以，所以，故A错误； 由，可得，故B错误； ，故C错误； 因为复数对应的点满足，所以对应的点围成的图形是以为圆心，2为半径的圆， 所以对应的点围成的封闭图形面积为，故D正确. 故选：D. 31．（24-25高一下·江西抚州·期末）若复数（i为虚数单位），其中假命题为（   ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 【答案】D 【分析】A选项，；B选项，计算出，故；C选项，化简得到，由题意得，故也是虚数，C正确；D选项，根据复数的几何意义得到的几何意义为复平面内，到的距离为1的圆，从而求出的最大值. 【详解】A选项，，则，故，A正确； B选项，若，则，， ，B正确； C选项，， 由题意得，故也是虚数，C正确； D选项，的几何意义为复平面内，到的距离为1的圆， 故此圆上的点到原点的距离最大值为，D错误. 故选：D 32．（24-25高一下·江西·期末）已知为常数，且，复数在复平面内满是，则复数对应的点的集合所形成的图形的面积为__________. 【答案】 【分析】利用复数的几何意义先判断点的集合形成的图形形状，再求其面积即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，则表示点到点的距离小于或等于2， 所以复数对应的点的集合所形成的图形是以为圆心，2为半径的圆面，则圆的面积为. 故答案为：. 33．（24-25高一下·江西赣州·期末）复数满足，则的最大值为________. 【答案】/ 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 34．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围. 【详解】由，得复数在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 是点到定点的距离，而，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 考点07 复数多选题（多考点综合） 35．（24-25高一下·江西·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D．的虚部为1 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算求解，根据共轭复数，复数的模长以及虚部的概念逐项分析判断. 【详解】因为， 所以，的虚部为1，，，故ACD正确，B错误； 故选：ACD. 36．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知复数z满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．z的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．若复数满足，则的最小值为1 【答案】ACD 【分析】根据复数的除法乘法运算结合模长公式判断A，根据复数定义判断B，应用复数对应点判断C，应用模长关系计算判断D. 【详解】由，得，所以，，A正确； z的虚部为，B错误； ，在复平面内对应的点为，位于第二象限，C正确； 因为，D正确. 故选:ACD. 37．（23-24高一下·江西鹰潭·期末）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】选项A：取特殊值否定即可，选项B：利用复数的模的性质求解即可，选项C：举特殊的复数否定即可,选项D：利用待定系数法设，，求证即可. 【详解】对于A，取，则， 故A错误； 对于B，结合复数模的性质可知，，故B正确； 对于C，令，则，而，故C错误； 对于D，设，，则时，.又， ，所以，故D正确. 故选：BD. 38．（24-25高一下·江西新余·期末）设复数的共轭复数为，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的乘除法、乘方、模的运算可判断A，C，D；根据特殊三角函数值与共轭复数的关系可判断A. 【详解】对于A，由题可知，所以A正确； 对于B，因为，所以B错误； 对于C，因为，所以C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 39．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）若是复数，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】BCD 【分析】根据复数的乘、除法运算即可判断A；举例说明，结合复数的乘方计算即可判断BCD. 【详解】A：设，由， 得，故A正确； B：当时，满足，但，故B错误； C：当时，满足， 但，故C错误； D：当时，满足，但，故D错误． 故选：BCD． 40．（24-25高一下·江西景德镇·期末）设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则或 B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C．为纯虚数 D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【分析】由复数模长的几何意义可判断A和D，结合复数的减法运算化简以后由纯虚数可判断C，根据复数的几何意义得，将代入方程，化简可得的值判断B. 【详解】对于A，因为，则点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 圆上的点对应的复数有无数个，所以A错误； 对于B，由题意，所以， 即，所以，解得， 则，B正确； 对于C，设，则，所以， 当时，，C错误； 对于D，因为，则点的轨迹是两个圆心为点， 半径分别为的圆形成的圆环，则点的集合所构成的图形的面积为， D正确. 故选：BD 41．（24-25高一下·江西上饶·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】根据复数对应点计算判定C，D，根据复数运算及模长计算可判断选项A，B. 【详解】复数，对应的向量分别为， 则对应的，实部与虚部互为相反数，A选项错误； ，所以，B选项正确； 向量对应的复数为，C选项正确； 若， 在复平面内对应的点位于第三象限，则，则的取值范围为，D选项错误； 故选：BC 42．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知为复数，为纯虚数，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若与互为共轭复数，则 C．若，且为纯虚数，则 D．若，则的虚部为0 【答案】BD 【分析】设，举反例可得A错误；由共轭复数的定义可得B正确；由复数的模长和复数的乘法可得C错误；由复数的除法可得D正确. 【详解】设， 对于A，取，，满足，但不为纯虚数，故A错误； 对于B，若与互为共轭复数，则， 则，故B正确； 对于C，若，且为纯虚数，则， 解得，故C错误； 对于D，若，即，可得， 所以的虚部为0，故D正确. 故选：BD 43．（24-25高一下·江西赣州·期末）以下命题中，正确的有（    ） A．若向量，满足，则 B．若复数，满足，则 C．若向量，满足，则 D．若复数，满足，则 【答案】ACD 【分析】根据向量数量积的运算律以及复数四则运算法则进行计算，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 即，解得，故A正确； 对于B，设，，则， ，由， 则，化简可得， ，故B错误； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，设，， 由 ，则， 可得，即，无论哪种情况都可得，故D正确. 故选：ACD. 考点08 复数解答题（含复数范围内方程的根） 44．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知复数. (1)实数m为何值时，复数z为纯虚数； (2)若，请计算. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为零，据此可得； (2)利用复数的运算法则计算可得，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】（1）欲使z为纯虚数， 则，解得； （2）当时，， 所以， 所以. 45．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是复数，，均为实数，且复数在复平面上对应的点在第四象限． (1)求复数； (2)试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设复数，代入，化简后，根据均为实数，列出关于，的方程组求解即可； （2）由复数在复平面上对应的点在第四象限，化简后根据实部大于，虚部小于，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）设，，， 由，均为实数，得到，解得，， 所以. （2）由（1）得到复数， 因为在复平面上对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 46．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知，. (1)求； (2)若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由复数的四则运算代入计算，即可得到结果； （2）由向量垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以 因为，所以. （2）由（1）可知，则， ，因为，所以， 解得. 47．（24-25高一下·江西·期末）已知复数，在复平面内对应的点分别为，． (1)若，求； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可知：，，进而可求和其模长； （2）整理可得，结合复数的几何意义运算求解. 【详解】（1）由题可知：，，则， 所以． （2）由题意可知：， 因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得， 故实数m的取值范围为． 48．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； （2） ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. 49．（24-25高一下·江西九江·期末）已知为实数，复数，复数在复平面内所对应的点位于第一象限. (1)求的值； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意，由，列出方程求得，再由在复平面内所对应的点位于第一象限，得到的值； （2）由（1）得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：由复数且， 可得，即，解得， 又由在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，故有. （2）解：由复数对应的向量分别是，可得， 则且， 因为为与的夹角，可得， 又因为，所以. 50．（24-25高一下·江西·期末）已知复数z，w是一元二次方程的两个根，且在复平面内，z对应的点在w对应的点的上方. (1)求w和z； (2)求的值； (3)求在复平面内对应的点的坐标. 【答案】(1)． (2) (3)． 【分析】（1）根据复数的求根公式，然后可确定w和z； （2）由复数的线性运算及模长公式可解； （3）根据复数的乘法除法运先求，再利用周期性和几何意义可得结果. 【详解】（1）因为复数是方程的两个根，所以由求根公式可得，， 因为在复平面内对应的点在对应的点的上方，所以的虚部更大， 故． （2）由（1）可得，故． （3）设， 所以， 所以在复平面内对应的点的坐标为． 51．（24-25高一下·江西·期末）已知复数满足的虚部为. (1)求； (2)若的实部为正数，在复平面内对应的点分别为，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，根据复数的乘方、模的公式及虚部的定义求解即可； （2）由（1）可得，进而求得，可得的坐标，再结合平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可. 【详解】（1）设，则， 则，解得或， 或. （2）的实部为正数，， ， 则， 则， . 52．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知复数z是关于x的方程的一个根，且复数z在复平面内所对应的点在第二象限． (1)求z； (2)若复数，所对应的向量分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程，得，由复数z在复平面内所对应的点在第二象限，所以； （2）由（1）可得，由，可得，代入计算可得的值． 【详解】（1）因为，则，解得， 又复数z在复平面内所对应的点在第二象限，所以. （2）由（1）可得， 所以，则， 因为，所以， 解得. 考点09 复数的创新题 53．（24-25高一下·江西·期末）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据棣莫弗定理可得的一般形式，求出、可得答案. 【分析】设，其中，则， 所以，而，则， 故即，故， 故B，D正确，A，C错误. 故选：BD. 54．（24-25高一下·江西萍乡·期末）对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)证明：； (3)若中的为常数，令，对任意，是否一定有常数使得？若有，这样的是否唯一？说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)有，不唯一，理由见解析 【分析】（1）由复数新定义结合三角函数和指数函数的运算计算可得； （2）由复数的新定义结合复数的除法以及两角差的正余弦公式可得； （3）由复数的新定义结合三角函数的诱导公式计算可得. 【详解】（1）由，得， 由得，从而，， 解得，此时，； 故，. （2）设，， 则 又， 所以， 所以. （3）由题意得，， 因为，，， 所以， 所以令，，，则有， 当取不同值时，也有相应的不同值，故存在这样的，但不唯一. 55．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，，在复平面内对应的点分别为，，坐标原点为，点.    (1)证明：； (2)已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点F在线段的延长线上，且，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据复数的几何意义表示出，点的坐标，即可求出，，再根据向量数量积的坐标表示计算可得； （2）依题意，即可得到为的补角的平分线，过点作交的延长线于点，所以平分，结合（1）可得，则. 【详解】（1）因为，在复平面内对应的点分别为，， 所以，， 又， 所以，， 所以，所以； （2）因为， 所以，即， 所以为的补角（有公共边）的平分线， 过点作交的延长线于点，所以平分， 又，即，所以，所以，所以， 所以， 又， 即.    56．（24-25高一下·江西萍乡·期末）数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 【答案】(1)答案见解析 (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）根据代数基本定理可求得方程的个复数根； （2）化简得，令，利用代数基本定理求出方程的三个复数根据，进而可得出方程的三个复数根； （3）由题意可知方程（，且为偶数），方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为，求出这个复数解与轴正方向的夹角，可知与夹角相差，即，利用并项求和法可证得结论成立. 【详解】（1）有解， 又其余个根在复平面内对应的点与对应的点均分单位圆， 所以复向量与轴正方向夹角分别为、、、、、， 故解为，    ，，，， ． （2）化简得，令，即， 由题知，，则， 其余个解与复数对应点均分单位圆， 所以，， 即，，， 综上，在复数域中的所有解为，， ． （3）对于方程（，且为偶数），设该方程有解， 方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为， 故所有解与轴正方向的夹角分别为， 因为为偶数，所以，……， ， ， 所以与夹角相差，即， 所以当，且为偶数时，方程在复数域内的所有解的和为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 复数 高频考点概览 考点01复数的基本运算（易错） 考点02复数的几何意义（高频） 考点03 复数的虚部（易错） 考点04 复数的分类（高频） 考点05 复数的模长（高频） 考点06 与复数模相关的轨迹（图形）问题（难点） 考点07 复数多选题（多考点综合）（重难） 考点08 复数解答题（含复数范围内方程的根）（难点） 考点09 复数的创新题（重难） 考点01 复数的基本运算 1．（24-25高一下·江西宜春·期末）若实数a，b满足（i是虚数单位），则（   ） A．3 B． C．5 D． 2．（24-25高一下·江西赣州·期末）（    ） A．2i B． C． D．0 3．（24-25高一下·江西赣州·期末）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知复数，则______． 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）计算： (1)； (2)； (3). 考点02 复数的几何意义 6．（24-25高一下·江西吉安·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25高一下·江西·期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（24-25高一下·江西·期末）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（24-25高一下·江西九江·期末）若复数满足，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是复平面的原点，如果向量和对应的复数分别是和，那么向量对应的复数是______. 11．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知复数z与复平面内的点对应，则_________. 考点03 复数的虚部 12．（24-25高一下·江西·期末）复数的实部与虚部之和为（   ） A． B．1 C．2 D．3 13．（24-25高一下·江西赣州·期末）复数的虚部为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 14．（23-24高一下·江西赣州·期末）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·江西抚州·期末）在复平面内，复数满足，则的虚部为（   ） A．3i B． C．3 D． 16．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 17．（24-25高一下·江西·期末）若复数（为虚数单位），则的虚部为__________． 18．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知，复数，，若为纯虚数，则的虚部为________. 考点04 复数的分类 19．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知复数是纯虚数，则实数（   ） A．0 B． C．2 D． 20．（24-25高一下·江西萍乡·期末）若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1或3 B．1或2 C．1 D．2 21．（24-25高一下·江西宜春·月考）已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（   ） A．0 B． C． D． 22．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知复数，且为纯虚数，则实数___________． 23．（24-25高一下·江西吉安·期末）设复数. (1)若是实数，求m的值； (2)若是纯虚数，求复数z的共轭复数. 考点05 复数的模长 24．（24-25高一下·江西南昌·期末）设复数z满足，则（ ） A． B．2 C． D．1 25．（25-26高二上·江西宜春·期末）若复数满足（是虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D．2 26．（24-25高一下·江西九江·期末）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（24-25高一下·江西九江·期末）已知复数满足，且，则＝______． 考点06 与复数模相关的轨迹（图形）问题 30．（24-25高一下·江西九江·期末）在复平面内，复数对应的点为，则（    ） A． B．- C． D．复数对应的点满足，则对应的点围成的封闭图形面积为 31．（24-25高一下·江西抚州·期末）若复数（i为虚数单位），其中假命题为（   ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 32．（24-25高一下·江西·期末）已知为常数，且，复数在复平面内满是，则复数对应的点的集合所形成的图形的面积为__________. 33．（24-25高一下·江西赣州·期末）复数满足，则的最大值为________. 34．（24-25高一下·江西赣州·期末）已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是________． 考点07 复数多选题（多考点综合） 35．（24-25高一下·江西·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D．的虚部为1 36．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知复数z满足，则下列结论正确的是（   ） A． B．z的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．若复数满足，则的最小值为1 37．（23-24高一下·江西鹰潭·期末）已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 38．（24-25高一下·江西新余·期末）设复数的共轭复数为，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）若是复数，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 40．（24-25高一下·江西景德镇·期末）设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则或 B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C．为纯虚数 D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 41．（24-25高一下·江西上饶·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 42．（24-25高一下·江西萍乡·期末）已知为复数，为纯虚数，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若与互为共轭复数，则 C．若，且为纯虚数，则 D．若，则的虚部为0 43．（24-25高一下·江西赣州·期末）以下命题中，正确的有（    ） A．若向量，满足，则 B．若复数，满足，则 C．若向量，满足，则 D．若复数，满足，则 考点08 复数解答题（含复数范围内方程的根） 44．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知复数. (1)实数m为何值时，复数z为纯虚数； (2)若，请计算. 45．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是复数，，均为实数，且复数在复平面上对应的点在第四象限． (1)求复数； (2)试求实数的取值范围． 46．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知，. (1)求； (2)若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值. 47．（24-25高一下·江西·期末）已知复数，在复平面内对应的点分别为，． (1)若，求； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 48．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围 49．（24-25高一下·江西九江·期末）已知为实数，复数，复数在复平面内所对应的点位于第一象限. (1)求的值； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小. 50．（24-25高一下·江西·期末）已知复数z，w是一元二次方程的两个根，且在复平面内，z对应的点在w对应的点的上方. (1)求w和z； (2)求的值； (3)求在复平面内对应的点的坐标. 51．（24-25高一下·江西·期末）已知复数满足的虚部为. (1)求； (2)若的实部为正数，在复平面内对应的点分别为，求. 52．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知复数z是关于x的方程的一个根，且复数z在复平面内所对应的点在第二象限． (1)求z； (2)若复数，所对应的向量分别为，，且，求的值． 考点09 复数的创新题 53．（24-25高一下·江西·期末）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高一下·江西萍乡·期末）对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)证明：； (3)若中的为常数，令，对任意，是否一定有常数使得？若有，这样的是否唯一？说明理由. 55．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，，在复平面内对应的点分别为，，坐标原点为，点.    (1)证明：； (2)已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点F在线段的延长线上，且，，求的值. 56．（24-25高一下·江西萍乡·期末）数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $