2026届高考数学信心跃升卷03（全国二卷通用）

**基本信息** 2026年高考数学信心跃升卷03（全国二卷通用），120分钟150分，覆盖集合、复数等高频考点，通过梯度设计（如函数零点综合题）与真实情境（生产工序成本计算），考查数学抽象、逻辑推理与数据应用能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、排列组合、统计等|单选基础巩固（如集合运算），多选综合应用（如立体几何二面角）| |填空题|3题/15分|概率期望、抛物线与圆、解三角形|结合几何与概率（如三角形面积最值），考查数学建模| |解答题|5题/77分|数列求和、立体几何、椭圆、概率成本、函数证明|融入生产情境（工序成本计算），函数与数列综合证明（逻辑推理），贴合高考命题趋势|

2026年高考数学信心跃升卷03（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A >0},B={-2,0,1,2},则A∩B=() x-1 A.{-2,0,1 B.{0,1,2 C.{-2,1,2} D.{2,0,2 2.若复数z满足z(2-3i)=3-2i,则z=() A.2-3i B.-2-3i C.2+3i D.-2+3i 3.5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为() A.24 B.48 C.72 D.96 4.已知向量ā=(1,2)，6=(m,-3),若a16,则6=() A.3V5 B.3V5 C.35 D.6 2 5.己知公比大于1的等比数列{an},若aa,=11,a+a,=12,则a21=（) 1 A.21 B.11 C.23 D.121 6.若cosa+_3 45ae0,π〉 则cosa=() 2 A.72 B.、V2 C.72 D.-② 10 10 5 5 7.已知双曲线C:- a2 b2 =1(a>0,b>0)的一个焦点为F,且C的渐近线上存在一点P,使 △OPF为等边三角形(O为原点)，则双曲线C的离心率为() A, 3 B.2 C.2 D.3 x3+2x2 8.已知函数f(x)= 20,rs0 ,g(x)=f(x)-2ax,若函数g(x)有5个零点，则 Inx ,x>0 l x 实数a的取值范围为( ) A. 11 11 B.202e C. D. 1,1 20'4e (40'4e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kW. 之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所 示的频率分布直方图，则下列选项正确的是() 个频率/组距 0.0060 0.0036 0.0024 0.0012 50100150200250300350月用电量/kW.h) A.直方图中x的值为0.0044 B.在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为70户 C.估计该小区用户月用电量的中位数不超过180kW·h D.用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过150kW.h的人数，则 E(X)=1.5 10.在长方体ABCD-ABCD中，AB=AA,=2,AD=1,M是棱AB的中点，下列说法 正确的是() A.BD⊥MC B.二面角D-MC-D的余弦值是 3 C.过DMC的平面截该长方体得到的图形面积是3 D.沿长方体表面从D到M的最近离是√10 25 11.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c= ,A=120°， 3 则() A.b=2 B.C=30 3 C.三角形ABC的周长为2+√5 D.三角形ABC的面积为5 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲、乙两同学分别从6门选修课程中任意选取3门，设X为这6门课程中被选到的课 程数量，则X的数学期望为 13.过抛物线y=4x的焦点且倾斜角为牙的直线被圆(x-3+=3截得的弦长为一 14.在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc,若a=1,则 三角形ABC的面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a3=0,5a2+a4+2=0. (1)求数列{an}的前n项和Sn: (2)记bn=2,数列{bn}的前n项积为Tn,求Tn+Sn的最小值. 16.如图，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角 梯形，∠BAD=∠FAB=90°，AD=2BC,AF=2BE. (I)求证：C,D,E,F四点共面： (2)设AB=2,BC=BE=1,求平面ADE与平面CDE夹角的余弦值， 名5分)已知椭圆。+冷【☑>b>0的离心率为AB分别为椭圆的左，右顶点，0 为椭圆的上顶点，且CA.CB=-4. (1)求椭圆的标准方程： (2)若直线：x=my+3交椭圆于M,N两点，直线AM的斜率为k,直线BN的斜率为k2,求 的值. 18.(17分)生产某种产品需要两道工序，已知各道工序加工相互独立，第一道工序加工合 格的餐率为号，第二道工序加工合格的概率为；，只有两道工序加工均合格，产品才合格。 (1)求一件产品不合格的概率： (2)每件产品的每一道工序均需要验收，若一道工序加工不合格，则需要返工至工序合格.已 知每件产品的第一、第二道工序加工的成本分别为30元、40元，每一道工序返工至合格的 成本为20元，求一件合格品的平均生产成本. 19.7分)已知函数)=a-}-hx,a≥0. ()当a≥)时，试证明函数()存在唯一零点，并求出该零点， (2)当a=1时，设a,=f(n2),且数列{a,}的前n项和为Sn,求证： 0a21: (i)nSn≥(n-1)2. 2026年高考数学信心跃升卷03（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 4．已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D．6 5．已知公比大于1的等比数列，若，，则（    ） A． B．11 C．23 D．121 6．若，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 8．已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（    ） A．直方图中x的值为0.0044 B．在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70户 C．估计该小区用户月用电量的中位数不超过 D．用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过的人数，则 10．在长方体中，，，M是棱AB的中点，下列说法正确的是（    ） A． B．二面角的余弦值是 C．过的平面截该长方体得到的图形面积是 D．沿长方体表面从到的最近距离是 11．在三角形ABC中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．三角形ABC的周长为 D．三角形ABC的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙两同学分别从6门选修课程中任意选取3门，设为这6门课程中被选到的课程数量，则的数学期望为_________． 13．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长为______． 14．在三角形ABC中，内角所对的边分别为，且，若，则三角形ABC的面积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 16．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 18．（17分）生产某种产品需要两道工序，已知各道工序加工相互独立，第一道工序加工合格的概率为，第二道工序加工合格的概率为，只有两道工序加工均合格，产品才合格． (1)求一件产品不合格的概率； (2)每件产品的每一道工序均需要验收，若一道工序加工不合格，则需要返工至工序合格．已知每件产品的第一、第二道工序加工的成本分别为30元、40元，每一道工序返工至合格的成本为20元，求一件合格品的平均生产成本． 19．（17分）已知函数，． (1)当时，试证明函数存在唯一零点，并求出该零点． (2)当时，设，且数列的前n项和为，求证： （i）； （ii）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学信心跃升卷03（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解分式不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】，即，，解得， 又因为集合，则. 2．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由复数的运算性质得， 因为，所以，可得. 3．5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【分析】应用捆绑法计算求解. 【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为.由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：. 4．已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用向量垂直的条件求出参数 ，再计算向量的模长. 【详解】已知 ，，且 ， 因此：，解得：.所以，则 5．已知公比大于1的等比数列，若，，则（    ） A． B．11 C．23 D．121 【答案】D 【分析】利用等比数列性质转化，结合韦达定理求出，再用通项公式求出 【详解】因为为等比数列，所以， 又因为，公比大于1，所以，则是方程的两个根， 且，即， 6．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系求，再根据结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，，则， 可得， 所以. 7．已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据等边三角形的内角特征推导渐近线斜率，再结合双曲线的关系求解离心率. 【详解】由的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点）， 则渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为. 8．已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是1个零点，进而得时，函数有4个零点，将问题转化成与有4个交点分析计算求解即可. 【详解】由题意，可知：当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根，即与图象有4个交点，当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示：    由图可得，解得.故选：D. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（    ） A．直方图中x的值为0.0044 B．在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70户 C．估计该小区用户月用电量的中位数不超过 D．用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过的人数，则 【答案】AB 【详解】对于A，由图可得组距为50，根据频率和为1，得，解得，故A正确； 对于B，用电量落在区间内的频率， 由样本容量为100，得用电量落在区间内的户数，故B正确； 对于C，由图可得第一组的频率为，第二组的频率为 ，第三组的频率为； 前两组的累计频率为，前三组的累计频率为， 中位数位于第三组内； 设中位数为，则，解得； ，中位数超过，故C错误； 对于D，用电量不超过的频率为前两组频率之和，即； 用频率估计概率，从该小区抽取1人，其用电量不超过的概率. 从该小区抽取10人，设X表示用电量不超过的人数， 则X服从二项分布，则，故D错误. 10．在长方体中，，，M是棱AB的中点，下列说法正确的是（    ） A． B．二面角的余弦值是 C．过的平面截该长方体得到的图形面积是 D．沿长方体表面从到的最近距离是 【答案】BC 【分析】可建立适当空间直角坐标系，则可求出、，再计算即可得A；求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得B；延长、使其交于点，连接，设，可得四边形即为过的平面截该长方体得到的图形，再结合勾股定理与梯形面积公式计算即可得C；将对应平面展开并计算即可得D. 【详解】以为原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则、、、、、， 则、，则， 故与不垂直，故A错误； 对B：，，设平面的法向量为， 则，取，则，，则； 由轴平面，故平面的法向量可取， 则，由图可知为锐角， 故二面角的余弦值是，故B正确； 对C：延长、使其交于点，连接，设，连接， 则四边形即为过的平面截该长方体得到的图形， 由为中点，故，则，故为中点， 故、分别为与中点，故且， 则四边形为梯形， 则，故C正确； 对D：如下图，将平面延展开，使得该平面与位于同一平面， 此时； 如下图，将平面延展开，使得该平面与位于同一平面， 此时； 如下图，将平面延展开，使得该平面与位于同一平面， 此时； 综上可得，沿长方体表面从到的最近距离是，故D错误. 11．在三角形ABC中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．三角形ABC的周长为 D．三角形ABC的面积为 【答案】BD 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即，则，得，则， 所以，所以三角形ABC的周长， 所以 三角形ABC的面积为, 由上可知AC错误，BD正确，故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．甲、乙两同学分别从6门选修课程中任意选取3门，设为这6门课程中被选到的课程数量，则的数学期望为_________． 【答案】 【分析】先求的分布列，再求的数学期望. 【详解】由题意，的可能取值为， 当时，甲乙选到相同课程的数量为3，， 当时，甲乙选到相同课程的数量为2，， 当时，甲乙选到相同课程的数量为1，， 当时，甲乙选到相同课程的数量为0，， . 13．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长为______． 【答案】2 【分析】利用抛物线的焦点坐标求出直线方程，然后计算圆心到直线的距离，利用垂径定理求解弦长. 【详解】由题意得，抛物线的焦点为， 则直线方程为，即，圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则，故所求的弦长为.    14．在三角形ABC中，内角所对的边分别为，且，若，则三角形ABC的面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】由余弦定理求出角，再由基本不等式及三角形面积公式即可求解. 【详解】由，可得， 所以，因为，所以， 因为，所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，故三角形ABC的面积的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，联立方程组即可求解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程： 由得： ， 由得： ，联立解得：，， 则由等差数列前项和公式可得 ； （2）由，，可得等差数列的通项公式为：， 则，即数列的前项积为： ， 因此： ，令，， 因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值， 因为的最小值在时取得，即， 代入可得： ，即的最小值为. 16．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,设,通过向量法可证得，即共面; (2)分别求出平面与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由平面平面，，得平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设，则， ，故，， 共面. （2）设，故， 设平面的法向量为，由， 得，取，可得； ， 设平面的法向量为，由， 得，取，所以， ， 设平面与平面夹角为 ,即平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由题意，所以， 因为，所以，又离心率，解得， 联立解得，所以椭圆的标准方程为. （2）将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 18．（17分）生产某种产品需要两道工序，已知各道工序加工相互独立，第一道工序加工合格的概率为，第二道工序加工合格的概率为，只有两道工序加工均合格，产品才合格． (1)求一件产品不合格的概率； (2)每件产品的每一道工序均需要验收，若一道工序加工不合格，则需要返工至工序合格．已知每件产品的第一、第二道工序加工的成本分别为30元、40元，每一道工序返工至合格的成本为20元，求一件合格品的平均生产成本． 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）一件产品不合格则两道工序加工有至少一道不合格，利用事件互斥与独立性来求解； （2）设变量：第一道工序加工至合格生产成本，变量：第二道工序加工至合格生产成本，变量：一件合格品的生产成本；分析变量的可能取值及概率，再分析变量的可能取值及概率，得到变量的可能取值及概率，计算出. 【详解】（1）设事件： 第一道工序加工合格,事件：第二道工序加工合格，事件：一件产品不合格， 那么； （2）设变量：第一道工序加工至合格生产成本，变量：第二道工序加工至合格生产成本，变量：一件合格品的生产成本， 那么可能取值为，可能取值为， ，， 的可能取值为， ， ， ， . 19．（17分）已知函数，． (1)当时，试证明函数存在唯一零点，并求出该零点． (2)当时，设，且数列的前n项和为，求证： （i）； （ii）． 【答案】(1)证明见解析，零点为1． (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，得到函数在上单调递增求解； （2）（i）易证，当时，，从而得到，即求解．（ii）当时，由放缩法得，从而，再结合（i）的结论得到，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）因为，， 所以函数的定义域为，． 令，则． 因为，所以恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以函数在上单调递增． 又因为， 所以函数存在唯一零点，且零点为1． （2）证明：（i）先证明． 令，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即． 当时，． 因为，所以，所以． 又，所以． （ii）当时，由放缩法得，所以． 由（i）知， 所以当时， ， 即． 又当时，，满足， 所以成立． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学信心跃升卷03（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A x-11 B={-2,0,1,2},则A∩B=() A.{-2,0,1 B.{0,1,2 C.{-2,1,2} D.{-2,0,2 【答案】D 【分析】先解分式不等式得出集合A,再应用交集定义计算求解 【详解】1+名>0，即>0，(2x-x->0,解得4-（习+o): x-1 x-1 又因为集合B={-2,0,1,2},则A∩B={-2,0,2}. 2.若复数z满足z(2-3i)=3-2i,则z=() A.2-3i B.-2-3i C.2+3i D.-2+3i 【答案】C 【详解】由复数的运算性质得3-2i=(13)2=13, 因为z-(2-30=3-2,所以2-(2-3)=13，可得2=13 13(2+31) 132+310-2+3i 2-3i(2-31)(2+31) 13 3.5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为() A.24 B.48 C.72 D.96 【答案】B 【分析】应用捆绑法计算求解， 【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为 4!.由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：4×2=24×2=48 4.已知向量ā=(（1,2)，万=(m,-3),若a16,则b=() A.35 B.3V5 C.3V5 D.6 2 【答案】A 【分析】利用向量垂直的条件求出参数m,再计算向量b的模长。 【详解】已知a=(1,2),b=(m,-3),且a⊥b, 因此：1×m+2×(-3)=0,解得：m=6.所以万=(6，-3)，则=√62+(-3)2=36+9=35 5.己知公比大于1的等比数列{an},若a,4,=11,a1+a,=12,则a21=（) 1 A.121 B.11 C.23 D.121 【答案】D 【分析】利用等比数列性质转化a,a,=a,a1,结合韦达定理求出a,41,再用通项公式求出a21 【详解】因为{an}为等比数列，所以a,a,=a,a1=11, 又因为4，+a,=12,公比大于1，所以a1>4,则a1,a1是方程x2-12x+11=0的两个根， 且a=1,a1=11,即a,9°=11→g°=11，a21=ag20=a(g=112-121 6若m+到a 则cosa=() 2 A.72 B. √2 C. 7W2 D. 10 10 5 5 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系求sin a+ 4 再根据a=a& 刀-工结合两角和差公式运 +4厂4 算求解 【解1因为a+引引，则a+） 可得sina+ -cosa+-4 4 5' 所以cosa=cos e到哥乳m引r9 7.已知双由线C:言若=a>6>0的-个焦点为F,且C的新近线上存在一点P,使 △OPF为等边三角形(O为原点)，则双曲线C的离心率为() 1 A.2 3 B 2 C.2 D.3 【答案】C 【分析】根据等边三角形的内角特征推导渐近线斜率，再结合双曲线α，b,c的关系求解离心 率。 【详解】由C的渐近线上存在一点P,使△OP℉为等边三角形(O为原点)， 则渐近线的斜率为P=an60=√5， 所以双曲线C的离心率为e= a2+b2 1+5=2 a V a? x3+2x2+ 21 ,x≤0 8.已知函数f(x)= 20 ,g(x)=f(x)-2ax,若函数g(x)有5个零点，则 In ,x>0 x 实数a的取值范围为( 11 11 11 711 A. 20'4e B 20'2e 20e 40'4e 【答案】D 【分析】x=0是1个零点，进而得x≠0时，函数g(x)有4个零点，将问题转化成y=2a与 y=(四（≠0）有4个交点分析计算求解即可 【详解】由题意，可知：当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，故x=0为g(x)的1个零点： 故当x≠0时，函数g(x)有4个零点，即g(x)=f(x)-2ax=0有4个非0实数根， +2+2 2 x2+2x+ 即2a= 201 x<0 有4个非0实数根，即y=2a与h(x)= 2 ,x<0 图象有4 ,x>0 r2,>0 个交点，当<0助，A(=+2x+动-++动0 20 当x>0时，则h(x)1-2,令H()-0得x=e, 所以soep时i小n.当心t时小s0, 则函数h(x)在 0,e 单调递增，在 e2,+o0 上单调递减， 又he2 0=0,x→0时h(y)→-0，x→+∞时h(x】 且x>1时h(x)>0,x→0时，h(x)→ 21 0 所以h(x)图象如图所示： 米21 20 y=h(x) 1 2e y=2a -7207 -1 1 由图可得 20 <2a< 解得0<a 故选：D 4e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kW.h 之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所 示的频率分布直方图，则下列选项正确的是() ◆频率/组距 0.0060 0.0036 0.0024 0.0012 050100150200250300350月用电量7kW.h) A.直方图中x的值为0.0044 B.在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为70户 C.估计该小区用户月用电量的中位数不超过180kW.h D.用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过150kWh的人数，则 E(X)=1.5 【答案】AB 【详解】对于A,由图可得组距为50，根据频率和为1，得 50×(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)=1,解得x=0.0044,故A正确： 对于B,用电量落在区间[100,250)内的频率P=50×(0.0036+0.0060+0.0044)=0.7, 由样本容量为100，得用电量落在区间100,250)内的户数=100×0.7=70，故B正确； 对于C,由图可得第-一组[50,100)的频率为50×0.0024=0.12，第二组[100,150)的频率为 50×0.0036=0.18,第三组[150,200)的频率为50×0.0060=0.30： :前两组的累计频率为0.12+0.18=0.3，前三组的累计频率为0.12+0.18=0.6， ∴.中位数位于第三组[150,200)内： 设中位数为m,则03+(m-150)x0060=05,解得m=183 183>180,中位数超过180kW-h,故C错误； 对于D,用电量不超过150kW.h的频率为前两组频率之和，即P=0.12+0.18=0.3: ∴.用频率估计概率，从该小区抽取1人，其用电量不超过150kW,h的概率p=0.3. 从该小区抽取10人，设X表示用电量不超过150kW.h的人数， 则X服从二项分布B(100.3),则E(X)=10×0.3=3≠1.5，故D错误. 10.在长方体ABCD-ABCD中，AB=AA=2,AD=1,M是棱AB的中点，下列说法 正确的是() A.BD⊥MC B.二面角D-MC-D的余弦值是5 C.过DMC的平面截该长方体得到的图形面积是3 D.沿长方体表面从D,到M的最近距离是√10 【答案】BC 【分析】可建立适当空间直角坐标系，则可求出BD、MC,，再计算BD·MC即可得A;求 出平面MCD与平面D,MC的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得B:延长CM、DA 使其交于点N,连接D,N,设DN∩AA=P,可得四边形MCDP即为过D,MC的平面截该 长方体得到的图形，再结合勾股定理与梯形面积公式计算即可得C:将对应平面展开并计算 即可得D. 【详解】以D为原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则D(0,0,0)、A(1,0,0)、B(1,2,0)、M(1,1,0)、D(0,0,2)、C(0,2,0), 则BD=(-1,-2,2)、MC=(-1,1,0),则BD·MC=1-2+0=-1≠0， 故BD,与MC不垂直，故A错误： 对B:MC=(-1,1,0),MD=（-1,-1,2),设平面D,MC的法向量为m=(x,y,z), mMC=-x+y=0 则 取x=1,则y=1,z=1,则m=(1,1,1): mMD=-x-y+22=0 由z轴⊥平面MCD,故平面MCD的法向量可取i=(0,0,1), 则cosm,i= mi1_√3 方√3 3 由图可知为锐角， 故二面角D-MC-D的余弦值是Y5,故B正确： 3 C B. D A M B 对C:延长CM、DA使其交于点N,连接D,N,设DW∩AA=P,连接PM, 则四边形MCDP即为过DMC的平面截该长方体得到的图形， 由M为AB中点，故AN=BC=1,则AW=AD,故P为AA中点， 放P、M分别为ND与C中点，故PM1/DC且PM=DC=2+2-2, 2 则四边形MCD,P为梯形， 22-V2月 则 (2W2+2)× 2+ 2 35,故C正确： 梯形MCD,P 2 B M B 对D:如下图，将平面ABCD延CD展开，使得该平面与DCC,D位于同一平面， 此时DM=V(2+1)2+1P=√0： D C A M B 如下图，将平面AADD延AA展开，使得该平面与AABB,位于同一平面， 此时D,M=V1+1)+2=2V2: D M 如下图，将平面ABCD延AD展开，使得该平面与AADD位于同一平面， 此时D,M=V(2+1}+1?=V10: A D D M C 综上可得，沿长方体表面从D,到M的最近距离是2√2，故D错误. 2 11.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c= 3 ,A=120°， 则() A.b=22 B.C=30° 3 C.三角形ABC的周长为2+√5 D.三角形ABC的面积为 3 【答案】BD 【分析】由正弦定理、。=C一得到C=30°，再结合三角形面积公式逐项判断即可。 sin A sin C 【详解】因为a=2,c =25,A=120,所以C<90 3 2V5 由正弦定理可得： smA“snC,即2 a=c 5sinc,则sinC={, =3 ,得C=30°，则B=30°， 2 所以b=c=25,所以三角形ABC的周长a+b+c=2+45, 3 3 三无形C的重限4号22点复 由上可知AC错误，BD正确，故选：BD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲、乙两同学分别从6门选修课程中任意选取3门，设X为这6门课程中被选到的课 程数量，则X的数学期望为 【答】 【分析】先求X的分布列，再求X的数学期望 【详解】由题意，X的可能取值为3,4,5,6， 1 当X=3时，甲乙选到相同课程的数量为3，P(X=3)= ΓC8C620 当X=4时，甲乙选到相同课程的数量为2，P(X=4)= CCIC 9 C8C320 当K=5时，甲乙选到相同课程的数量为1，P(x=5)CCC=9 C·C20 1 当X=6时，甲乙选到相同课程的数量为0，P(X=6)= CgCg 20 E(X)=3× +4x9+5x96 1909 +6× 20 20 20 20202 13。过抛物线广=4x的焦点且倾斜角为牙的直线被圆(x-3)+=3截得的弦长为 【答案】2 【分析】利用抛物线的焦点坐标求出直线方程，然后计算圆心到直线的距离，利用垂径定理 求解弦长 【详解】由题意得tan无=1，抛物线y2=4x的焦点为(L,0), 4 则直线方程为y=x-1,即x-y-1=0,圆(x-3)}+y2=3的圆心为(3,0)，半径r=5, 设圆心到直线的距离为4，则dB-0-」=5，放所求的弦长为2、-=2N3-2=2。 14.在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc,若a=1,则 三角形ABC的面积的最大值为 【答案】 12 【分析】由余弦定理求出角A,再由基本不等式及三角形面积公式即可求解. 【详解】由a2=b2+c2+bc,可得b2+c2-a2=-bc, 所以cosA-b+c-a=0c=-号，因为AE(0,π，所以A=2π 2bc 2bc 3 因为a=1,所以公+c2-1=bc≥2bc-1,即bcs当且仅当b=c= 5时等号成立， n生-c≤5，故三角形ABC的面积的最大值为 3-4 12 2 故答案为： 3 12 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a=0,5a2+a4+2=0. (I)求数列{an}的前n项和Sn; (2)记bn=2,数列{bn}的前n项积为Tn,求Tn+Sn的最小值. 【答案】(1)Sn=n2-4n; @e 【分析】(1)利用等差数列的通项公式和前项和公式，联立方程组即可求解： (2)利用等差数列的前项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值. 【详解】(1)设等差数列{an}的首项为a,公差为d,根据题意列方程： 由a2+a3=0得：(a1+d)+(a1+2d)=2a+3d=0, 由5a2+a4+2=0得：5(a+d)+(a+3d+2=0,6a+8d=-2，联立解得：a1=-3,d=2, 则由等差数列前n项和公式可得S,=a+”,-少d=-3n+n-）=2-4n: (2)由a1=-3,d=2,可得等差数列{an}的通项公式为：an=-3+(n-1)×2=2-5, 则bn=2=2m-5,即数列{b,}的前n项积为： (-3+2n-5)n Tn=b,b2…bn=23×21×2×…×22m-5=23-1++2m-5=22=22-4n, 因此：Tn+Sn=2-4"+(n2-4n),令1=n2-4n=(n-2)2-4,neN°， 因为函数y=2+t是关于t的单调递增函数，因此t最小时，y取得最小值， 因为t的最小值在n=2时取得，即tmm=-4, 代入可得：ym=24+(4=1-4=-63 16 即7+S,的最小值为-63 Γ16 I6.如图，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角 梯形，∠BAD=∠FAB=90°，AD=2BC,AF=2BE. (I)求证：C,D,E,F四点共面； (2)设AB=2,BC=BE=1,求平面ADE与平面CDE夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 e 【分析】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A-z,设 AB=a,BC=b,BE=c,通过向量法可证得EC/FD,即C,D,F,E共面； (2)分别求出平面ADE与平面CDE的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】(1)由平面ABEF⊥平面ABCD,AF⊥AB,得AF⊥平面ABCD,以A为坐标原 点，建立如图所示的直角坐标系A-z: 设AB=a,BC=b,BE=c,则B(a,0,0),C(a,b,0),E(a,0,c),D(0,2b,0),F(0,0,2c), EC(0.b-c).FD.2c)CD ∴.C,D,E,F共面 (2)设AB=2,BC=BE=1,故B(2,0,0),C(2,1,0),E(2,0,1),D(0,2,0), 设平面ADE的法向量为m=(x,,Z),由AE=(2,0,1),AD=(0,2,0),CE=(0,-2,2) 得 2x+31=0 2y=0 ，取书=1，可得名=-2： .m=(1,0,-2), 设平面CDE的法向量为n=(x2,2,z2),由CD=(-2,1,0),CE=(0,-1,1) 得 -5+,=0,取=1，所以为=2,5，=2， 「-2x+y2=0 .n=(1,2,2), 设平面ADE与平面CDE夹角为O ∴.cos0=cos(m,i= 例万53S,即平面ADE与平面CDE夹角的余弦值5 |m列1-45 17.（15分)已知椭圆号+ a2 +京=1(a>b>0)的离心率为，A,B分别为椭圆的左右顶点，C 为椭圆的上顶点，且CA.CB=-4. 1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：x=my+3交椭圆于M,N两点，直线AM的斜率为k,直线BW的斜率为k2,求 含的啦 【答案】+y =1 1612 07 【分析】(1)根据数量积公式，可得a2,b2关系，根据离心率，可得a2,b2的关系，联立求解， 即可得答案 (2)将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设M(:,),N(x2y2),可得y+y2,y2表达式， 由题意得冬的表达式，化简整理，即可得答案 【详解】(1)由题意A(-a,0),B(a,0),C(0,b),所以CA=(-a,-b),CB=(a,-b), 圆为网西4所以4，又离心率-后)吾解郑g 联立解得a2=16,62=12,所以椭圆的标准方程为+少 =1 1612 (2)将直线与椭圆联立 2=1 1612,得(3m2+4)y2+18y-21=0, (x=my+3 -18m -21 设MG,X人N,),则+=3m+43m+4 叉A-4,0B(4,0,所以←x十4名=点 x3-4” -21m -18m 所以套-氏-4-4(m-)_m2y3m+432+4乃 k2y2(x+4)y2(my+7)myy2+7y2 -21m 3m2+4 +7y2 -3m 3m2+4 +y2 -3m 3nm2+4+ > 18.(17分)生产某种产品需要两道工序，已知各道工序加工相互独立，第一道工序加工合 格的概率为行，第二道工序加工合格的概率为)，只有两道工序加工均合格，产品才合格。 (1)求一件产品不合格的概率： (2)每件产品的每一道工序均需要验收，若一道工序加工不合格，则需要返工至工序合格，己 知每件产品的第一、第二道工序加工的成本分别为30元、40元，每一道工序返工至合格的 成本为20元，求一件合格品的平均生产成本. 【省案1写 回元 【分析】(1)一件产品不合格则两道工序加工有至少一道不合格，利用事件互斥与独立性来 求解： (2)设变量X:第一道工序加工至合格生产成本，变量Y:第二道工序加工至合格生产成 本，变量Z:一件合格品的生产成本；分析变量X的可能取值及概率，再分析变量Y的可 能取值及概率，得到变量Z的可能取值及概率，计算出E(Z) 【详解】(1)设事件A:第一道工序加工合格，事件B:第二道工序加工合格，事件C:一 件产品不合格， 那么PC)=1-P(AB)=1-2×{2 323 (2)设变量X:第一道工序加工至合格生产成本，变量Y:第二道工序加工至合格生产成 本，变量Z:一件合格品的生产成本， 那么X可能取值为30,50，Y可能取值为40,60， X=30子x=50字PU=40-Py=60)-3 Z的可能取值为70,90,110， PZ=70)=PX=30PY=40)=3xL} 3231 P(Z=90)=P(X=30)P(Y=60)+P(X=50)P(Y=40)= P7=I0=AX=0ry=0名 2=×70+x90+10-20 1 3 19.17分)已知函数=)n,a20, )当a≥时，试证明函数f心)存在唯一零点，并求出该零点. (2)当a=1时，设an=f(n2),且数列{an}的前n项和为Sn,求证： (ia,21-T 1 (ii)nSn≥(n-1)2. 【答案】(1)证明见解析，零点为1. (2)(i)证明见解析：()证明见解析 【分标1》求导=+) ,得到函数∫(x)在(0，+o)上单调递增求解： (2)易证x-hx≥1，当a=1时，f)=-nx,从而得到/-即fr)21-是 1 1 求解。(D当≥2时，由放缩法得>a-小，从而京>一再结合()的结论 得到a,>1- 1=1- 11 n(n-1)n-1 n 利用裂项相消法求解 【详解11D因为)=x--n,a20, 所以项数的定义技为0四，了)：} 令1=1t>0,则f)=g)=at2-t+a, 因为a≥分所以4=(--4女=1-4a≤0恒成立， 所以g(t)≥0恒成立，即'(x)≥0恒成立， 所以函数f(x)在(0，+oo)上单调递增. 又因为r0=1 -nl=0, 所以函数f(x)存在唯一零点，且零点为1. (2)证明：(i)先证明x-lnx≥1. 令)）=x-nx-10>0),则h0)=1-1=x>0), 所以当x∈(0,1)时，h'(x)<0,当x∈(L,+oo)时，h'(x)>0, 所以函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增，所以h(x)mm=h()=0，所以 h(x)≥h(1)=0,即x-lnx≥1. 当a=1时，fo)=x-1-nx. 因为x-ax≥1，所以心所以/21-， 又a=,所以a,21京 《)当0≥2时，由放缩法得心>a-》,所以是> 1 nn-1) 由)知a,21下 所以当≥2时.及=4+a++a≥0-小[升分+（片期别 -e-- n2-2n+1 n =m-1 n 即nSn>(n-1)2. 又当n=1时，S=0=(1-1)2=0,满足nSn≥(0n-1)2, 所以nSn≥(n-1)2成立.