9.1.1 变量的相关性课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦线性回归分析中的变量相关性，涵盖相关关系定义、散点图应用及相关系数计算与性质，课堂导入从函数关系复习切入，通过实例对比引出非确定性相关关系，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于结合生活实例（如利润与广告支出）培养数学眼光，通过散点图判断与相关系数计算训练数学思维，用数据公式表达现实问题发展数学语言，题型分析与跟踪训练系统，助力学生深化理解，教师教学更高效。

9.1 线性回归分析 9.1.1 变量的相关性 1 【课标要求】 1.了解变量间的相关关系,并明确其与函数关系的区别和联系. 2.能根据散点图判断两个变量是否具有相关关系. 3.了解两个变量间的相关系数 ,能利用相关系数 判断两个变量线性相关程度的大小. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.相关关系 1.定义 两个变量之间具有一定的联系,但又没有确定性函数关系,这种关系称为相关关系. 2.散点图 为直观地描述样本数据中两个变量间的关系,用横坐标表示其中的一个变量,纵坐 标表示另一个变量,则样本数据都可以用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成的 统计图叫作散点图. 3.线性相关关系 散点落在一条直线附近,我们称这两个变量线性相关. 4 4.相关关系的分类 具有相关关系的两个变量的散点图: （1）如果散点呈从左下向右上方向发展的趋势,则称这两个变量之间正相关. （2）如果散点呈从左上向右下方向发展的趋势,则称这两个变量之间负相关. 名师点睛 散点图的作用： （1）散点图具有直观、简明的特点,能体现样本数据的密切程度,可以根据散点图 判断变量之间是否具有相关关系. （2）通过散点图不但可以从点的位置判断测量值的大小、高低、变动范围与趋 势,还可以通过观察剔除异常数据,提高估计相关程度的准确性. 5 知识点2.相关系数 1.相关系数 的计算公式 . 6 2.相关系数 的性质 （1） . （2）当时,与呈正相关关系;当时,与 呈负相关关系. （3）越接近1,与相关的程度就越强；越接近0,与 相关的程度就越弱. 通常情况下,当时,认为线性相关关系显著;当 时,认为几乎没有线 性相关关系. 名师点睛 当时,两个变量完全正相关;当 时,两个变量完全负相关. 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】相关关系的概念 例1 判断以下两个变量之间是否具有相关关系. （1）正方形的面积与其周长之间的关系; 解 设正方形的面积为,周长为,则 ，即正方形的面积由其周长唯一确定,因此 二者是函数关系,不是相关关系. （2）父母的身高与子女的身高之间的关系; 解 子女的身高除了与父母的身高有一定关系外,还与其他因素有关,即子女的身高 并不是由其父母的身高唯一确定的,因此二者之间具有相关关系. （3）学生的学号与身高; 解 学生的学号与身高之间没有任何关系,不具有相关关系. 9 （4）汽车匀速行驶时的路程与时间的关系. 解 若汽车匀速行驶时的速度为,行驶的路程为,时间为,则有 ,因此当速度 一定时,路程由时间唯一确定,二者是函数关系,而不是相关关系. 规律方法 函数关系是一种确定的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函 数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系. 10 跟踪训练1 （多选题）下列说法正确的有( ) ABD A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系 B.同一物体的加速度与作用力是函数关系 C.圆的周长与面积的关系是相关关系 D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系 [解析] 闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系,但具有相关性,是相关关系,所以A正 确;物体的加速度与作用力的关系是函数关系,B正确;圆的周长与面积的关系是函数关 系,C错误;广告费用与销售量之间是相关关系,D正确. 11 【题型二】散点图的应用 例2 某公司年的年利润与年广告支出 的统计资料如下表所示: 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 利润 百万元 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 支出 百万元 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11 判断与 是否线性相关,若是线性相关,试判断是正相关还是负相关. 解 作出散点图（图略）,由散点图可知,各点分布在一条直线附近,故与 之间线性相 关,且是正相关. 规律方法 判断两个变量和 之间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散 点图.如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相 关的.注意不要受个别点的位置的影响. 12 跟踪训练2 对变量,由观测数据得散点图①，对变量, 由观测数据得散点图②.由这 两个散点图可以判断( ) C A.变量与正相关,与 正相关 B.变量与正相关,与 负相关 C.变量与负相关,与 正相关 D.变量与负相关,与 负相关 [解析] 通过观察散点图可以知道,题图①散点呈从左上向右下方向发展的趋势,所以 与负相关；题图②散点呈从左下向右上方向发展的趋势,所以与 正相关. 13 【题型三】相关系数 角度1 相关系数的性质 例3 （多选题）对两个变量的相关系数 ,下列说法正确的有( ) AD A. 越大,两个变量的相关程度越强 B. 越小,两个变量的相关程度越强 C.当 趋近于0时,两个变量没有线性相关关系 D.当 越接近1时,两个变量线性相关程度越强 [解析] 越大,相关程度越强,A正确;越小,相关程度越弱,B错误;当 越接近于0时, 线性相关关系越弱,C错误;当 越接近1时,线性相关程度越强,D正确. 14 规律方法 相关系数的性质 的绝对值越接近0,相关性越弱; 的绝对值越接近1,相关性越强. 15 角度2 相关系数的计算及判断 例4 某公司对其产品研发的年投资额（单位：百万元）与其年销售量 （单位：千件） 的数据进行统计,整理后得到如下统计表： 1 2 3 4 5 1.5 2 3.5 8 15 求变量和的样本相关系数（精确到,并推断变量和 的线性相关程度 （参考：若,则线性相关程度很强；若 ,则线性相关程度一 般；如果 ,则线性相关程度较弱）. 参考公式：对于变量和变量,设经过随机抽样获得的成对样本数据为 , , ,,其中,, ,和,, ,的均值分别为和 ,称 16 为变量和的样本相关系数.参考数据： . 解 由题意,得, , ,, . . 因为,所以变量和 的线性相关程度很强. 18 规律方法 线性相关强弱的判断方法 （1）散点图:根据散点图只能粗略作出判断,其图象越接近直线,相关性越强. （2）相关系数:相关系数能够较准确地判断相关的程度,其绝对值越大,相关性越强. 跟踪训练3（1） 若已知是的4倍, 是 的1.5倍,则样本相关系数 的值为_____. 0.75 20 [解析] 由 , , 则 . （2）关于两个变量和 的7组数据如下表所示: 21 23 25 27 29 32 35 7 11 21 24 66 115 325 求变量与的相关系数,并判断变量与 之间是正相关还是负相关. 22 解 , , , , , 根据,可得相关系数 . , 变量与 之间正相关. 23 $