二次函数与线段周长高频考点预测练2026年中考数学总复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数与线段周长综合应用，以15道梯度题构建"概念-方法-迁移"体系，融合几何变换与代数推理，强化数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析式求解|5题|待定系数法（三点式/顶点式）|从坐标代入到参数计算，构建函数表达式生成路径| |最值问题|6题|对称转化法/二次函数配方法|通过轴对称将折线转化为直线，结合函数单调性求极值| |几何存在性|4题|分类讨论（等腰/直角三角形）|以勾股定理为核心，建立方程求解动态点坐标|

二次函数与线段周长 高频考点预测练 2026年初中数学中考总复习备考 1．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 2．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 4．如图，抛物线 经过，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)如图，直线经过点，为直线上的一个动点，且位于轴的下方，为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以为邻边构造矩形，求矩形的周长的最小值． (3)如图，设抛物线的顶点为，在（）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)请至少写出两个有别于的抛物线的表达式，使其图像也过A、B两点，且对称轴与抛物线的对称轴一样；并说说它们的表达式有何共同特征； (3)直线与抛物线交于E，F两点，若线段的长度为5，请求出m的值． 6．如图1，已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．点是直线下方抛物线上的动点． (1)当时，求抛物线解析式； (2)在（1）的条件下，作于，求的最大值； (3)如图2，连接，，直线，分别交轴于点，，求的值． 7．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 8．如图，抛物线与轴交于点，点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点． ①求的最大值； ②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形． 9．如图，抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，求的面积． (3)要在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． 10．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 12．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m． ①请用m的代数式表示的长； ②连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 13．抛物线交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于点C． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)已知． ①如图1，点D在第二象限抛物线上，交AC于点E．若，求点D的坐标； ②如图2，过点分别作直线和直线，直线交抛物线于F，G两点，直线交抛物线于M，N两点．设线段，的中点分别为P，Q，若，且，求证：直线必经过一定点． 14．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点， ，与y轴交于点C，连接，，点P为第三象限抛物线上一动点，过点P作 轴交直线 于点 M，过点 P作 交x轴于点N． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图1，求 的最大值及此时点 P的坐标． (3)如图2，当点M在抛物线的对称轴上时，若点 Q，E分别在对称轴和抛物线上，且 ，，求点E的坐标． 15．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，点F在y轴正半轴上，，连接，设点的横坐标为，线段的长的平方为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)如图2，在（2）的条件下，过点作的平行线，对于任意的值，直线都经过点，点在线段上，连接，，若，，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)抛物线解析式为；直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 2．(1)， (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 3．(1) (2)不成立，理由见解析 (3)3 【分析】（1）将，两点代入解析式即可求解； （2）过P作轴,作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接，可推出此时，最小．由翻折可得：，进而得在中， ，最小值为， 最小值为 ，据此即可判断； （3）过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，设，可推出得，；再证得，；进而得；最后证，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不成立．理由如下： 过P作轴， 由题意得：当时，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接， 此时最小． 由翻折可得：， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴． ∴， ∴， 在中， ， ∴最小值为， ∴最小值为 ， ∵， ∴的周长不可能为7； （3）解：过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K， 设， ∴， ∵轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法、翻折、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何和函数基础． 4．(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段和的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值； （3）先利用锐角三角函数证明出 ，进而得到F点的其中一个位置，在另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵经过点， ∴， ∴， ∴直线：； 设，则， ∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称， ∴M点横坐标为， ∴； 又∵， ∴， 当时，的值最小，最小值为； ∴该矩形周长的最小值为； （3）存在，或； 由（2）可知，， ∵抛物线的函数表达式为：； ∴顶点D坐标为， 如图4，作， 因为，， ∴； 又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B， ∴ 令，解得：，； ∴,, ∴, ∴， ∴当F点在点A处时，能使得 ，此时; 如图5，在BC另一侧，当 时， ， 过C点作，垂足为点N， 由角平分线的性质可得：， ∴， 由勾股定理可得：且, 即，且； 解得：，; ∴ ∴ 设直线的函数解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为：， 联立抛物线解析式与直线的函数解析式，得： 解得：（与B点重合，故舍去），或， ∴， 综上可得，抛物线上存在点或，使得 ． 【点睛】本题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容，解决本题的关键是能结合图形理解题意，能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，本题计算量较大，对学生的综合分析思维能力要求也较高，属于压轴题类型，本题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等． 5．(1) (2)有别于的抛物线的表达式可以为或（答案不唯一），它们的表达式的共同特征是与x轴交于两点； (3) 【分析】（1）抛物线的函数表达式为，用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的图象与x轴交于两点，得到抛物线图象的对称轴为，设有别于的抛物线的表达式为，只需令即可求解； （3）根据题意可得轴，联立，则，得到，设为方程的两个实数根，求出，进而得到，利用完全平方公式变形建立关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 将点代入， 则，即， 解得：， 故抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线的图象与x轴交于两点， ∴抛物线图象的对称轴为， 设有别于的抛物线的表达式为， ∵抛物线的函数表达式为， ∴， ∴有别于的抛物线的表达式可以为或（答案不唯一）， 它们的表达式的共同特征是与x轴交于两点； （3）解：∵是平行于x轴的直线，直线与抛物线交于E，F两点， ∴轴， 联立，则， ∵， ∴，即， 设为方程的两个实数根， ∴， ∴， ∵线段的长度为5， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴（符合题意）． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 6．(1) (2) (3) 【分析】（1）分别令，，可求出A、B、C的坐标，然后结合可求出a的值，即可求解； （2）根据待定系数法求出直线解析式，过P作交于E，则可求出，设，则，进而求出，在中，根据正弦定义可求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）设，根据待定系数法分别求出、解析式，则可求出M、N的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，即， 解得，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， ∵，， ∴， 过P作交于E，则， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， 又， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：当时，，即， 解得，， ∴，， 当时，， ∴， 设， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．(1)． (2)①或；②，． 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为抛物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值，进一步求出的最大值和点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． ∴抛物线的解析式为． （2）①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 如图， 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 此时的最大值为， 当时，， ∴点坐标为． 8．(1) (2)①4，②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点坐标，待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）①求出直线的解析式，设，求出点坐标，将的长转化为二次函数，求最值即可； ②根据矩形的性质，推出，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点 设交点式 ，点在轴负半轴， ， 把点代入抛物线解析式得：， ， 抛物线解析式为； （2）①如图1， ， ， 设直线解析式为 ， 解得： 直线 设， 轴， ， 当时，的最大值为4． ②如图2，、关于点对称， 四边形是矩形 ，且与互相平分 ，为中点 由①得当时， 解得：， 的值为或时，四边形为矩形． 9．(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）先利用抛物线的对称轴求出，再把点坐标代入中求出，从而得到抛物线表达式． （2）先把抛物线的表达式一般式配成顶点式，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式为，则可确定，然后根据三角形面积公式计算． （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有，利用两点之间线段最短判断此时的值最小， 则的周长最小，再利用关于轴对称的点的坐标特征得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而可确定点坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， ， 解得， 把代入得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：， ， 把，分别代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 的面积为． （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有， ， 此时的值最小， 此时的周长最小， ， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，此时的周长最小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象中几何图形面积的计算方法，轴对称最短路径的计算方法，二次函数与一次函数图象的交点的计算方法，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 10．(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 11．(1)，顶点的坐标为 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标； （2）利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形； （3）作出点关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当的值最小，即当三点共线时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得． 本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ∴， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：是直角三角形，证明如下： 在中，当时，， ， ∴； 在中，当时，， 解得，， ∴， ，， ∵，，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点C和点D都是定点， ∴的长为定值， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴． 12．(1) (2)存在点P，使得的周长最小，周长的最小值为，理由见解析 (3)①；②存在m，使的面积最大，，理由见解析 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）在和中，分别利用勾股定理求得的长，根据线段垂直平分线的性质，可得对称轴上的点到线段两端点的距离相等，根据两点之间线段最短，可得答案； （3）①设的解析式为，利用待定系数法求解出的解析式，设M点的坐标为，N点的坐标为，根据轴，可得答案； ②根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：将的坐标分别代入中得： ， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）存在点P，使得的周长最小，理由如下： 如图： 在中，， 在中，， 由关于对称得：， 由两点之间线段最短可知：当三点共线时，最小 ， 则在抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，周长的最小值为； （3）如图：连接， ①设的解析式为， 将分别代入可得：， 解得， 则的解析式为， 设M点的坐标为，N点的坐标为， 轴， ； ②存在m，使的面积最大，理由如下： ， 则存在m，使的面积最大，且当时，的面积最大． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，平行y轴直线上的两点间的距离，二次函数的最值，勾股定理，熟练掌握待定系数法，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 13．(1)直线 (2)①或；②见解析 【分析】（1）由抛物线的对称轴方程可得出答案； （2）①过点D作轴交于点P，过点B作轴交的延长线于点Q，证明 得出 求出，，设则 ，求出的值可得出答案； ②联立直线和抛物线的解析式得出，， 得出 ，求出直线的解析式为 ，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为：直线； （2）解：①过点D作轴交于点P，过点B作轴交的延长线于点Q． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴，，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，， 设，则， ∵直线经过点P， ∴， 解得：，， ∴D点的坐标为或； ②联立得， ∴， ∴， 联立得， 同理可得：， ∵，经过点， ∴，， 即：，， ∴，， ∴，Q（）， ∵， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线恒过定点． 【点睛】本题主要考查二次函数以几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，一元二次方程组等知识的综合运用，数形结合分析思想是解题的关键． 14．(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的最值和相似三角形的判定和性质等知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先求得，把代入，然后即可求解； （2）过点 作 轴于点，证明，然后通过勾股定理求得，设 ，求得，设直线：，解得直线：，然后求得，然后即可求解； （3）根据点M在抛物线的对称轴上，求得，，然后分两种情况，和，然后即可求解； 【详解】（1）解：当时， ， ∴， 设， 将代入 中， 解得 ， ∴； （2）解：如图1， 过点 作 轴于点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 设 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 设直线：， 将， 代入直线：， 得 ， 解得：， ∴直线：， 令 ， 解得 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴当时， 有最大值，最大值为， 此时点的坐标为 ； （3） 解：由 (2) 得 ， 且 ，如图： ∵点在对称轴上， ∴， 解得， (舍去)， ∴， ∴， ∴， ∵， 轴， 点在对称轴上， ∴轴， ， ， ∴， 将 代入 ， 得， ， ∴， 将 代入 ， 得 ， 综上所述， ，； 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出．．利用勾股定理即可求出答案； （3）利用相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识求出的值即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得 ． 抛物线的解析式为． （2）由已知，得． 设直线的解析式为． 把代入，得 ． ． 当时，． ． ． ． 在中， ． ．即． （3）， 设直线的解析式为． 则， 解得 直线的解析式为． 直线， 设直线的解析式为． 把代入，得． 直线的解析式为． 对于任意的值，直线过点， ． 当时，．即． 连接 ． 对于．当时，． ． 四边形为平行四边形． 为菱形． ∴菱形为正方形． 连接． ． ， ． ． ． ． ， ． ， ． ． ． 在延长线上取点，使，连接． ， ． ． ． ． ， ． 在中，， 在中，， 即． ，， ． 解得（舍）． ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法、特殊四边形的判定和性质等知识，综合性强，难度大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $