第15章 概率单元测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 高中数学概率单元卷，覆盖样本空间、互斥对立事件、独立事件等核心知识点，通过掷骰子、保险赔付、驾驶证考试等情境设计，梯度适配单元复习，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|样本空间（1）、互斥事件（4）|结合排队（4）、喊拳游戏（6），考查概念辨析与基础计算| |多选|3/18|条件概率（9）、独立事件（11）|甲罐取球（9）、骰子点数和（11），多选项强化逻辑推理| |填空|3/15|频率估计概率（12）、数据调查（14）|食盐质量统计（12）、闯红灯调查（14），体现数据意识| |解答题|5/77|独立事件（17）、综合应用（19）|火车正点概率（17）、驾驶证补考费（19），生活情境融合模型观念|

第15章　概率 (考试时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.试验E:“任取一个两位数,观察个位数字与十位数字的和的情况”,则该试验的样本空间为(　　) A.{10,11,…,99} B.{1,2,…,18} C.{0,1,…,18} D.{1,2,…,10} 2.在8件同类产品中,有6件正品,2件次品,从这8件产品中任意抽取2件产品,则下列说法正确的是(　　) A.事件“至少有一件是正品”是必然事件 B.事件“都是次品”是不可能事件 C.事件“都是正品”和“至少有一个正品”是互斥事件 D.事件“至少有一个次品”和“都是正品”是对立事件 3.一个骰子连续投2次,点数和为i(i=2,3,…,12)的概率记作Pi,则Pi的最大值是(　　) A. B. C. D. 4.若干人站成一排,其中为互斥事件的是(　　) A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 5.(2025无锡期末)已知事件A,B满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,则(　　) A.若B⊆A,则P(AB)=0.5 B.若A与B互斥,则P(A+B)=0.7 C.若A与B相互独立,则P(A)=0.1 D.若P(B)+P(C)=1,则C与B相互对立 6.甲、乙两人喊拳,每人可以用手出0,5,10三个数,每人则可喊0,5,10,15,20五个数,当两个所出数之和等于某人喊的数时,喊该数者获胜.若甲喊10乙喊15,则(　　) A.甲胜的概率大 B.乙胜的概率大 C.甲、乙胜的概率一样大 D.不能确定谁获胜的概率大 7.四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着一枚硬币,所有硬币均相同,所有人同时抛出自己的硬币.若落在圆桌上时硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为(　　) A. B. C. D. 8.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示. 所用时间/天数 10 11 12 13 通过公路1的频数 20 40 20 20 通过公路2的频数 10 40 40 10 假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率),为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙,则下列说法正确的是(　　) A.汽车A选择的最佳路径是公路2 B.汽车B选择的最佳路径是公路1 C.汽车A选择的最佳路径是公路2, 汽车B选择的最佳路径是公路1 D汽车A选择的最佳路径是公路1, 汽车B选择的最佳路径是公路2 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以A1,A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,下列说法正确的是(　　) A.P(B)= B.事件B与事件A1相互独立 C.事件B与事件A2相互独立 D.A1,A2互斥 10.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是(　　) A.2个球都是红球的概率为 B.2个球不都是红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球中恰有1个红球的概率为 11.抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件A=“第一枚出现奇数点”,事件B=“第二枚出现偶数点”,事件C=“两枚骰子出现点数和为8”,事件D=“两枚骰子出现点数和为9”,则(　　) A.A与B互斥 B.C与D互斥 C.A与D独立 D.B与C独立 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.从某自动包装机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g): 492　496　494　495　498　497　501　502　504　496　497　503　506　508　507　492　496　500　501　499 则该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g~501.5 g之间的概率约为　　　　.  13.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,二人射击情况互不影响.若甲、乙各射击一次,则预测二人命中同色区域的概率为　　　　.  14.为了了解学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况,调查部门在某学校进行了如下的随机调查,向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题,否则就回答第(2)个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需要回答“是”或“不是”.因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了回答.如果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”,由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体). (1)求两颗骰子向上的点数相等的概率; (2)求两颗骰子向上的点数不相等,且一个点数是另一个点数的整数倍的概率. 16.(15分)某班有两个课外活动小组,其中第一小组有足球票6张,排球票4张;第二小组有足球票4张,排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张,乙从第二小组的10张票中任抽1张. (1)两人都抽到足球票的概率是多少? (2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少? 17.(15分)小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响. (1)求恰好有两列火车正点到达的概率; (2)求至少有一列火车正点到达的概率; (3)求恰有一列火车正点到达的概率. 18.(17分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数/辆 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率; (2)在样本车辆中,车主是新司机的概率占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的概率占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率. 19.(17分)随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要想顺利地拿到驾驶证,需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在每一次报名中,每个学员有5次预约参加科目二考试的机会(这5次预约考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试,若5次都没有通过,则需要重新报名),其中前2次预约参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次预约参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为,女性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为通过科目二考试或者用完5次机会为止. (1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率; (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 参考答案 1.B　由题意可知,考查的是个位数字与十位数字的和的情况,因此样本空间中的样本点为和的结果,个位数字取值从0到9,十位数字取值从1到9,所以该试验的样本空间为{1,2,…,18}.故选B. 2.D　因为抽取的两件产品有可能都是次品,所以A,B错误;因为事件“至少有一个正品”包含事件“都是正品”,所以C错误;因为事件“至少有一个次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件,互为对立事件,所以D正确,故选D. 3.B　样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个.其中两数之和等于7的有6个,两数之和等于其余数字的都少于6个,故P7=最大.故选B. 4.A　由互斥事件的定义可得“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件.故选A. 5.B　选项A,若B⊆A,则P(AB)=P(B)=0.2,故选项A错误.选项B,若A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7,故选项B正确.选项C,若A与B相互独立,则A与相互独立,P(A)=P(A)·P()=0.5×0.8=0.4,故选项C错误.选项D,若P(B)+P(C)=1,则由于不确定C与B是否互斥,所以无法确定两事件是否对立,故D错误.故选B. 6.A　每人用手出0,5,10三个数,有(0,0),(0,5),(0,10),(5,0),(5,5),(5,10),(10,0),(10,5),(10,10),共9种情况.若甲喊10,则有(0,10),(5,5),(10,0),共3种情况获胜,所以甲胜的概率为;若乙喊15,有(5,10),(10,5),共2种情况获胜,所以乙胜的概率为,所以甲胜的概率大.故选A. 7.B　如图,抛四枚硬币,总的结果有16种,“没有相邻的两个人站起来”记为事件A,可分为三类:一是没有人站起来,只有1种结果:二是1人站起来,有4种结果;三是有2人站起来,可以是AC或BD,有2种结果.所以满足题意的结果共有1+4+2=7(种),即P(A)=.故选B. 8.D　通过公路1到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.2,0.4,0.2,0.2;通过公路2到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.1,0.4,0.4,0.1. 设A1,A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发,分别选择公路1,2将货物运往城市乙,且B1,B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发,分别选择公路1,2将货物运往城市乙, 则P(A1)=0.2+0.4=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(B1)=0.2+0.4+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, 所以汽车A最好选择公路1,汽车B最好选择公路2. 故选D. 9.AD　根据题意画出树形图,得到有关事件的样本点数: 因此P,P,P(B)=,A正确;又P(A1B)=,因此P≠PP(B),B错误;同理,C错误;A1,A2不可能同时发生,故彼此互斥,故D正确.故选AD. 10.ACD　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2, 则P,P,且A1,A2独立. 在A中,2个球都是红球为A1A2,其概率为,A正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,B错误;在C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-,C正确;2个球中恰有1个红球的概率为,D正确.故选ACD. 11.BC　记(x,y)表示事件“第一枚点数为x,第二枚点数为y”,对于选项A,因为事件A包含事件(1,2),事件B也包含事件(1,2),所以A∩B≠⌀,故A与B不互斥,故A错误;对于选项B,事件C包含的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个,事件D包含的基本事件有(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),共4个,故C∩D=⌀,即C与D互斥,故B正确;对于选项C,总的基本事件有6×6=36(个),事件A的基本事件有3×6=18(个),故P(A)=,由选项B知P(D)=,而事件AD包含的基本事件有(3,6),(5,4)共2个,故P(AD)=,所以P(AD)=P(A)P(D),故A与D独立,故C正确;对于选项D,事件B的基本事件有6×3=18(个),故P(B)=,由选项B知P(C)=,而事件BC包含的基本事件有(2,6),(4,4),(6,2)共3个,故P(BC)=,所以P(B)P(C)==P(BC),故B与C不独立,故D错误,故选BC. 12.0.25　袋装食盐质量在497.5 g~501.5 g之间的共有5袋,所以其概率约为=0.25. 13.　设甲射中红、黄、蓝三色区域的事件分别为A1,A2,A3,乙射中红、黄、蓝三色区域的事件分别为B1,B2,B3, ∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=, P(B2)=,P(B3)=. ∵二人射击情况互不影响,相互独立, ∴二人命中同色区域的概率P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=. 故答案为. 14.60　设闯红灯的概率为P,由已知中“向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?”再由“被调查者抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题,否则就回答第(2)个问题”,可得回答“是”有两种情况: ①正面朝上且学号为奇数,其概率为; ②反面朝上且闯了红灯,其概率为×P. 故回答“是”的概率为, 解得P=0.1.所以闯红灯人数为600×0.1=60. 故答案为60. 15.解 (1)同时掷两颗骰子包括的基本事件共36种,掷两颗骰子向上的点数相等包括的基本事件为6种,故所求的概率为. (2)两颗骰子向上的点数不相等,且一个点数是另一个点数的倍数时,用坐标记,有(2,4),(4,2),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(5,1),(1,5),(1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,6),(6,3),共包括16个基本事件, 故两颗骰子向上的点数不相等,且一个点数是另一个点数的整数倍的概率为. 16.解 记“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件A;“乙从第二小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件B;“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件;“乙从第二小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件, 则P(A)=,P()=,P(B)=,P()=. 由于甲(或乙)是否抽到足球票,对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响,因此A与B是相互独立事件. (1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件AB发生,根据相互独立事件的概率公式,得P(AB)=P(A)P(B)=. (2)甲、乙两人均未抽到足球票(事件发生)的概率为P()=P()·P()=, 所以两人中至少有1人抽到足球票的概率为P=1-P()=1-. 17.解 用A,B,C分别表示这三列火车正点到达, 则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9, 所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,且A,B,C相互独立. (1)由题意得,恰好有两列火车正点到达的概率为P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398. (2)由题意得,至少有一列火车正点到达的概率为1-P()=1-P()P()P()=1-0.2×0.3×0.1=0.994. (3)由题意得,恰有一列火车正点到达的概率为P(A)+P()+P(C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092. 18.解 (1)设事件A表示“赔付金额为3 000元”,事件B表示“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12. 由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元, 所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)设事件C表示“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24. 19.解 (1)设这对夫妻中,“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件Ai,“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件Bi,则P,P. 设事件A=“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”,事件B=“妻子参加科目二考试不需要交补考费”,事件C=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”, 则P=P=P+P, P=P=P+P,P=P. 因此,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为. (2)设事件D=“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”,事件E=“妻子参加科目二考试需交补考费200元”,事件F=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”,则 P=P, P=P, P=P. 因此,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为. 13 学科网（北京）股份有限公司 $