第15章概率 单元测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第15章　概率　单元测试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列现象中,是随机现象的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.守株待兔 B.瓮中捉鳖 C.水中捞月 D.水滴石穿 2.某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“一种报纸也不订”.判断下列说法正确的是 (　　) A.A与C是互斥而非对立事件 B.C与D是对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与D是对立事件 3.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”,讲的是西施浣纱的故事;“落雁”,指的就是昭君出塞的故事;“闭月”,说的是貂蝉拜月的故事;“羞花”,谈的是杨贵妃观花的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,已知乙扮演杨贵妃,甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为 (　　) A. B. C. D. 4.从甲袋中摸出1个红球的概率是,从乙袋中摸出1个红球的概率是,从两袋各摸出1个球,则等于 (　　) A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率 C.2个球至少有1个红球的概率 D.2个球中恰有1个红球的概率 5.记P(A),P(B)分别为事件A,B发生的概率,则下列结论中不可能成立的是 (　　) A.P(AB)=P(A)P(B) B.P(A+B)=P(A)+P(B) C.P(A+B)<P(A)+P(B) D.P(A+B)>P(A)+P(B) 6.一道竞赛题,A,B,C三人可解出的概率分别为,,,则三人独立解答,仅有一人解出的概率为 (　　) A. B. C. D.1 7.甲、乙两人玩猜数字,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a－b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀” 的概率为 (　　) A. B. C. D. 8.一个电路如图1所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,每个开关闭合的概率均为,且是相互独立的,则灯亮的概率为 (　　) 图1 A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则下列事件中与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件为 (　　) A.2张卡片都不是红色 B.2张卡片恰有一张为红色 C.2张卡片至少有一张为红色 D.2张卡片都为绿色 10.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次.记事件A={第一个四面体向下的一面是偶数};事件B={第二个四面体向下的一面是奇数};事件C={两个四面体向下的一面均是奇数,或者均是偶数}.则下列结论其中正确的是 (　　) A.P(A)= B.P(B)= C.P(AB)= D.P(ABC)= 11.首届中国国际进口博览会期间,甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备,他们购买该机床设备的概率分别为,,,且三家企业的购买结果相互之间没有影响,设 “甲企业购买该机床设备” 为事件A, “乙企业购买该机床设备” 为事件B, “丙企业购买该机床设备” 为事件C,“三家企业中恰有一家购买该机床设备” 为事件D,则下列结论正确的是 (　　) A.P()=,P()= 　 B.P(B)= C.P(AC)= 　 D.P(D)= 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自选择其中1个参加,且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同,则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为　　　　.  13.经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表: 排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时,至少有2人排队的概率是_____,至多有4人排队的概率是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  14.某大学选拔新生补充进“篮球”,“电子竞技”,“国学”三个社团,据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立,2022年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”,“电子竞技”,“国学”三个社团的概率依次为m,,n,已知三个社团他能同时进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,且m>n,则m+n的值是　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求: (1)所取的2道题都是甲类题的概率; (2)所取的2道题不是同一类题的概率. 16.(15分)某玩具生产企业在加大生产的同时,狠抓质量管理,不定时抽查玩具质量,该企业质检人员从所生产的玩具中随机抽取了100个,将其质量指标值分成以下六组:[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100],得到频率直方图,如图2. (1)求出直方图中m的值; (2)利用样本估计总体的思想,估计该企业所生产的玩具的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表,中位数精确到0.01); (3)现规定:质量指标值小于70的玩具为二等品,质量指标值不小于70的玩具为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个玩具中抽出5个玩具,并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析,试求这2个玩具中恰好有1个玩具为一等品的概率. 图2 17.(15分)甲、乙两人玩一个掷骰子游戏,规则如下:甲掷两次骰子,第一次掷出的数字作为十位数,第二次掷出的数字作为个位数,组成一个两位数,然后让乙猜,若乙猜出的结果与该两位数满足的数字特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,一轮游戏结束,然后进行下一轮(每轮游戏都由甲掷两次骰子). 所要猜的两位数的数字特征方案从以下两种猜法中选择一种, 猜法一:猜“两位数的十位大于个位”. 猜法二:猜“两位数的十位不大于个位”. 请回答: (1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜法?并说明理由; (2)假定每轮游戏结果相互独立,规定有人连续获胜两次则整个游戏停止.若乙按照(1)中的猜法进行游戏,求第三轮后游戏停止的概率. 18.(17分)甲、乙两人组成“星队”参加猜谜语活动,每轮活动甲乙各猜一个谜语,已知甲每轮猜对的概率为p,乙每轮猜对的概率为q,p>q.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.甲和乙在第一轮都猜错的概率为,“星队”在第二轮中只猜对一个谜语的概率为. (1)求p,q; (2)求“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语的概率. 19.(17分)某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在每一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即可进入下一科目考试,若5次都没有通过,则需要重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参加科目二考试,每次通过的概率为,女性学员参加科目二考试,每次通过的概率为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止, (1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率; (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 第15章 答案解析 1.A　对于A,“守株待兔”有可能发生,又可能不发生,是随机现象;对于B,“瓮中捉鳖”一定会发生,是确定性现象;对于C,“水中捞月”不可能发生,是确定性现象;对于D,“水滴石穿”一定会发生,是确定性现象,故选A. 2.D　事件C为“至多订一种报纸”包含“只订一种报纸”和“一种报纸也不订”两个事件,则事件C与事件A,事件B,事件C均有公共部分,即能同时发生,故A,B,C选项均错误,事件B与事件D既是互斥事件,也是对立事件,故选项D正确. 3.D　由题意可得,甲、乙、丙扮演角色的所有情况有(甲—西施,丙—昭君,丁—貂蝉),(甲—西施,丙—貂蝉,丁—昭君),(甲—昭君,丙—西施,丁—貂蝉),(甲—昭君,丙—貂蝉,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—昭君,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—西施,丁—昭君),共6种,其中满足条件的有(甲—西施,丙—昭君,丁—貂蝉),共1种,∴所求事件的概率为,故选D. 4.C　分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,易知A,B相互独立.A中所求概率为1－P(A)P(B)=;B中所求概率为P(A)P(B)=;C中所求概率为1－P()P()=1－×=;D中所求概率为P(A)P()+P()P(B)=×+×=.故选C. 5.D　当事件A,B相互独立时,P(AB)=P(A)P(B),故A正确;当事件A,B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B),故B正确;当事件A,B不互斥时,P(A+B)<P(A)+P(B),故C正确;P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB),由于P(AB)非负,故D错误. 6.B　所求概率为××+××+××=++=.故选B. 7.D　由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},用(a,b)表示样本点,依题意得样本点的总数为36.满足要求的样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种.故所求概率为=. 8.B　设“A与B至少有一个不闭合”为事件T,“E与F至少有一个不闭合”为事件R,则P(T)=P(R)=1－×=.记开关C,D不闭合的概率分别为P(),P(),所以灯亮的概率为P=1－P(T)·P(R)P()P()=. 9.ABD　易知所有可能出现的情况有“2张卡片都为红色”“2张卡片都为绿色”“2张卡片都为蓝色”“1张卡片为红色,1张卡片为绿色”“1张卡片为红色,1张卡片为蓝色”“1张卡片为绿色,1张卡片为蓝色”结合选项易知,“2张卡片至少有一张为红色”包含事件“2张卡片都为红色”,故C错误,A,B,D正确. 10.ABC　由古典概型知,P(A)==,P(B)==,故A,B正确;由独立事件的概率公式得,P(AB)=P(A)P(B)=×=,故C正确;∵事件AB与事件C为互斥事件,∴P(ABC)=0,故D错误.故选ABC. 11.ABC　因为P(A)=,P(B)=,P(C)=,所以P()=1－P(A)=1－=,P()=1－P(B)=1－=,P()=1－P(C)=1－=,所以A正确.又P(B)=××=,P(AC)=××=,P(D)=P(A )+P(B)+P( C)=××+××+××=,所以B,C正确,D不正确.故选ABC. 12.　设3个兴趣小组分别为A,B,C,则所有样本点为(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9个,其中满足条件的样本点为(A,B),(A,C),(B,A),(B,C),(C,A),(C,B),共6个.所以所求概率为=. 13.0.74　0.96　由题表知,至少有2人排队的概率为0.3+0.3+0.1+0.04=0.74,至多4人排队的概率是1－0.04=0.96. 14. 　∵三个社团他能同时进入的概率为,至少进入一个社团的概率为, ∴ 解得m+n=. 15.将4道甲类题依次编号为1,2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个,而且这些样本点的出现是等可能的. (1)用A表示事件“2道题都是甲类题”,则A包含的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个,所以P(A)==. (2)用B表示事件“2道题不是同一类题”,则B包含的样本点有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8个,所以P(B)=. 16.(1)由10×(0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1,得m=0.030. (2)平均数=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71. 设中位数为n,则0.1+0.15+0.15+(n－70)×0.03=0.5,得n=≈73.33. 故可以估计该企业所生产玩具的质量指标值的平均数为71,中位数为73.33. (3)由频率分布直方图可知,100个玩具中一等品,二等品各有60个,40个. 由分层抽样可知,所抽取的5个玩具中一等品,二等品各有3个,2个. 记这3个一等品为a,b,c,2个二等品为d,e,则从5个玩具中抽取2个的可能结果有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种, 其中恰有1个玩具为一等品的可能结果有(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),共6种. 故这2个玩具中恰好有1个玩具为一等品的概率为=. 17.(1)记两次掷出骰子的数字所构成的两位数为ab(a,b=1,2,3,4,5,6),则样本空间Ω={11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66},共36个样本点. 设事件A为“两位数的十位大于个位”,B为“两位数的十位不大于个位”,则P(A)==,P(B)==. 为了尽可能获胜,应该选择猜法二. (2)设事件C为“游戏结束时甲连续获胜两次”,D为“游戏结束时乙连续获胜两次”. 则P(C)=×()2,P(D)=×()2, 故第三轮后游戏停止的概率为P(C)+P(D)=×()2+×()2=. 18.(1)由题意可得, 解得 所以p,q是方程x2－x+=0的两个实根, 又p>q,解得p=,q=,经检验知符合题意. (2)设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个,2个谜语, B1,B2分别表示乙两轮猜对1个,2个谜语, 则P(A1)=×+×=,P(A2)=×=, P(B1)=×+×=, P(B2)=×=. 设M表示“星队”在前两轮活动中猜对3个谜语, 由题意知,P(M)=P(A1B2∪A2B1)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=×+×=. 19.(1)用M表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”,Ai表示“丈夫在第i次参加科目二考试中通过”,Bi表示“妻子在第i次参加科目二考试中通过”, 则P(M)=P(A1B1)+P(B1A2)+P(A1B2)+P(A2B2)=×+××+××+×××=. (2)用N表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”. D表示“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”,E表示“妻子参加科目二考试需交补考费200元”,F表示“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”,G表示“妻子参加科目二考试不需要交补考费”, 则P(D)=P(A3)=××=, P(E)=P(B3)=××=, P(F)=+×=,P(G)=+×=, 所以P(N)=P(D)P(G)+P(E)P(F)=×+×=. 所以这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $