6.3 第1课时 直线的方向向量、平面的法向量及空间线面关系的判定-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

6.3空间向量的应用 第1课时直线的方向向量、平面的法向量及空间线面关系的判定 第1关练速度 15min为准，你的时间： 方向向量为b=(2,1,之)，则1与m垂直 1.若点A(0,1,2),B(2,5,8)在直线1上，则直 C.直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面ax 线的一个方向向量为 的法向量为n=(1,-1,-1),则l∥a A.(3,2,1) B.（1,3,2) D.平面经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0), C.(2,1,3) D.（1,2,3) C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面ax的 2.（2024·山西朔州高二期末)已知直线1的方 法向量，则u+t=1 向向量是a=(3,2,1),平面α的一个法向量 6.（多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平 是u=(-1,2,-1),则l与的位置关系是 面ABC,∠ABC=90°，∠BAC=60°，PA= A.l⊥ B.l∥ax AB=2,以B为原点，分别以BC,BA,AP的方向 C.相交但不垂直 D.l∥a或lCa 为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标 3.（2024·江苏南京高二月考)已知平面α内有 系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分 一点A(2,-1,2),平面a的一个法向量为n= 别为m,n,则下列结论中错误的是( A.点P的坐标为(0,0,2) (分，石号)，则下列四个点中在平面a内的是 B.PC=(4,0,-2) C.cosm,n〉>0 A.P1(1,-1,1) ,-3, D.n=(0,-2,2) 7.在直三棱柱ABC-AB1C1中，AB=AC=AA1, c.p13,) nB13,） AB⊥AC,E是BC的中点，则AE与平面 AB,C,的位置关系是 （) 4.（2024·四川宜宾高二月考)已知直线1过点 A.相交但不垂直 B.AE∥平面ABC1 P(1,0,-1),平行于向量s=(2,1,1),平面 C.AE⊥平面AB1C1D.A1EC平面AB,C 经过直线1和点A(1,2,3),则平面π的一个 8.已知y1,y2分别是直线1,2的方向向量，那 法向量n的坐标为 ( 么“y1,y2不平行”是“L1,2异面”的 A(2,2,1) B(分1,2) 条件.（填“必要不充分”“充分不必要”“充 要”或“既不充分也不必要”) C.(1,0,-2) D.(1,-2,0) 9.(2023·山东菏泽高二期末)已知平面α与平 5.（多选)(2024·福建莆田高二期中)以下命 面ABC是不重合的两个平面，若平面α的法 题正确的是 A.平面a,B的法向量分别为n1=(0,1,3), 向量为m=(2,-1,4),且AB=(2,0,-1), n2=(1,2,6),则ax∥B AC=(1,6,1),则平面a与平面ABC的位置 B.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的 关系是 选择性必修第二册·SJ学霸016 10.(2024·河南信阳高二期末)已知AB=(2, 和线段BC1上的动点，则满足与AD1垂直的 n,-2),平面a的法向量n=(1,-2,2m), 直线MW () 若AB⊥，则m+n= 11.(2024·山东滨州高三月考)如图，下列正方 体中，0为底面的中心，P为所在棱的中 点，M,N为正方体的顶点，则满足MN LOP A.有且仅有1条 B.有且仅有2条 的是 .(填所有正确的序号) C.有且仅有3条 D.有无数条 15.（多选)(2023·山东临沂高二期末)如图， 在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=√3AD= ② √3AA1=√3，点P是线段AC上的动点，则 下列结论正确的是 () A.当A,C=2AP时，B,P,D,三点共线 B.当AP⊥A,C时，AP⊥D,P C.当A,C=3AP时，D,P∥平面BDC1 第2关练准确率 8题为准，你做对题 D.当A,C=5AP时，AC⊥平面DAP 12.（2024·河南南阳一中高二月考)已知a= D C (2,0,2),b=(3,0,0)分别是平面，B的法 B 向量，则平面α，B交线的方向向量可以是 ( (第15题) (第16题) A.(1,0,0) B.(0,1,0) 16.(2024·江苏连云港高二月考)如图，在四棱 C.(0,0,1) D.(1,1,1) 锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD 13.(2023·河北衡水二中高三期 0 末)如图，在正四棱柱4， B 是她形，=2M0=4,PD=5,E是PH的 ABCD-AB1,CD1中，O是底 中点，FB=2P若点M在矩形ABCD内，且 面ABCD的中心，E,F分别是 0 PM⊥平面DEF,则DM= () BB,DD1的中点，则下列结论正确的是( 453 5 5 D. 5 A.A,O∥EF B.A,O⊥EF 17.已知点A(1,0,0),B(1,1,2),D(0,0,2), C.A,O∥平面EFB1D.A,O⊥平面EFB1 C(0,1,0),若在平面AB1D1内存在点E,使 14.（2024·湖南长沙高二月考)在正方体 得CE⊥平面AB,D1,则点E的坐 ABCD-AB,C,D1中，点M,N分别是棱DD1 标是 第6章学霸017 18.(2024·湖南衡阳高二期末)在棱长为3第3关练思维宽度 难度级别：女☆☆☆女 的正方体ABCD-A,BC,D1中，点E,F分别 21.（2024·江苏泰州高二月考)如图，在棱长 在棱AB,BC上，BE=BF=1,点G,H为棱 为2的正方体ABCD-AB1CD1中，点M是 DD,上的动点.若平面EFG∥平面ACH, CC,的中点，点N是底面正方形ABCD内的 D=入G,则A= 动点（包括边界），则下列选项正确的是 19.(2023·山东泰安高二期末)在直三棱 柱ABC-A1B1,C1中，∠ABC=90°，BC=2, CC1=4,点E在线段BB1上，且EB1=1,D, F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点 (1)证明：B1D⊥平面ABD; (2)证明：平面EGF∥平面ABD. A.不存在点N满足∠AWM= 2 B.满足A1W=5的点N的轨迹长度是T C.满足MN∥平面A,BC,的点N的轨迹长 度是1 D.满足BN⊥A,M的点N的轨迹长度是2 22.(2024·山东聊城高二月考)如 图，正方形ADEF与梯形ABCD 视频讲解 所在平面互相垂直，已知AB∥CD,AD⊥ 20.（2024·广东惠州高二期中)如图，在四棱锥 CD,AB=AD=2CD. P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,AB∥ (1)求证：BF∥平面CDE. DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的 (2)线段EC上是否存在点M,使平面BDM⊥ 中点证明： (1)BE∥平面PAD; 平面0P?若存在，求出觉值若不存 (2)平面PCD⊥平面PAD. 在，请说明理由. 选择性必修第二册·SJ学霸018C,B共面. 第3关（练思维宽度） 21.C解析：以B1为坐标原点，B1A1所在直线为x轴，B1C1所在直 线为y轴，B1B所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系， B D 则B(0,0,2),A(4,0,2),D(4,3,2),C1(0,3,0),设点P(x,y,z), 所以A店=(-4,0,0)，A2=(x-4,y,2-2),A币=(0,3,0)，AC= (-4,3,-2),B1产=(x,y,z).因为1B11=1,所以x2+y2+2=1,所 以x∈[-1,1]，y∈[-1,1]，ze[-1,1],所以11=A店.A2=-4(x 4),12=A.A=3y,13=AC·A2=-4(x-4)+3y-2(z-2),1- 12=-4(x-4)-3y=16-4x-3y>0恒成立，故C正确，A不正确；1- 6=-y+2(-2)=4-3+2,令1=，则y=24,= 9 1√2,1316e+16 9 4×13×16-162 √/13z2-16z+16V4×13 4 3 3 >1，矛盾，所以B不正 确；2-13=4(x-4)+2(z-2)=-20+4x+2z<0恒成立，所以D不正 确.故选C. 22.解：(1)由a=[1,2,3],b=[-1,1,2],知a=i+2j+3k,b=-ij+2k 所以a+b=(i+2j+3k)+(-iti+2k)=3j+5k,所以a+b=[0,3,5]. (2)设i,k分别为与A店，4d,A同方向的单位向量，则A店=2， AD=2j,AA=3k, ①油题得E为BB,中点，ED=AD-A应=(A市+AM)-A店+ d）-破动2d-2*29*=[22,] ②由题意可得AC=A店+A+AA=2i+2+3k,因为AM=[2,,0], 所以A成=2i+.由A立1AC知AM.AC=(2i+)·(2i+2j+3k)= 0,所以42+2t+(4+2t)i·j+6k·i+3k·j=0,即4+2+(4+ 20·子+3=0，解得4=-2，则1=12i-21=V- √42+4-8i·万=√4+4-4=2. 6.3空间向量的应用 第1课时直线的方向向量、平面的 法向量及空间线面关系的判定 第1关（练速度） 1.D解析：点A(0,1,2),B(2,5,8)在直线1上，直线l的一个 方向向量为=(2,46).又：(1,23)=之(24,6)(1,23) 是直线1的一个方向向量.故选D, 2.D解析：因为a·u=-3+4-1=0,所以a⊥u,所以l∥a或lCa.故 选D. 3.C解析：设平面a内任意一点P(x,y,),则A=(x-2,y+1,2-2), 因为平面。的-个法向量为a=(分，石，写），所以子(-2)+ 参考答案 名(+1)+兮(：-2)=0，整理得3+2-9=0面3-1+2-9=-5 0,3-3+3-9=-6≠0,3+3+3-9=0，-3+3-3-9=-12≠0，所以对比 选项可知只有户(1,3，子)在平面a内散选C 4.A解析：由题意可得A应=(0，-2，-4)，设经过直线1和点A的平 面的法向量为a=(,2,则：3女0，令=1，则 (n·8=2xty+z=0, y=-4,z=2,所以n=(1,-4,2),所以经过直线1和点A的平面π 的法向量为(t,-4t,2)(teR,t≠0).故选A 方法总结 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向 量，设出平面的法向量，列出方程组，求出的三个坐标不是具体的 值，而是比例关系，取其中一组解（非零向量）即可 5.BD解析：对于A,向量m1=(0,1,3)与n2=(1,2,6)不共线，平面 。与B不平行，A错误，对于B,由a=(1,-1,2),b=(21,2） 1） 得a·b=1×2-1x1+2x（20,1与m垂直，B正确：对于C, a·n=1×(-1)+(-1)×(-1)=0,a∥a,则1Ca或l∥a,C错误：对 于D,B=(1,-1,-1),B元=(-1,1,0)，由n=(1,4,t)是平面a的 法向量，得 BA·1u0解得{0，即u+t=1,D正确故 Bt·n=-1+u=0, 选BD. 6.ABC解析：由题意可得B(0,0,0),A(0,2,0),C(2w3,0,0),P(0, 2,2),所以P元=(23，-2，-2)，B=(0,2,2).设n=(x,y,z),则 23x-2y-2z=0,取z=2,可得n=(0,-2,2) (2y+2z=0, 因为AB⊥BC,PA⊥BC,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.因为BCC 平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB,所以m⊥n,所以cos(m,n〉= 0.综上所述，A,B,C错误，D正确.故选ABC. 7.A解析：如图所示，建立空间直角坐标 系A-xyz,设AB=1,则A(0,0,0),B1(1,0, 0,c0.1,4(0.0).s(分7 B 0,.AB=(1,0,1),AC=(0,1,1), E 4在-（分宁-1）小设平面4，C,的法 AB1·n=x+z=0, 向量为n=(x,y,z),则 AC·n=y+z=0, 令z=-1,则x=y=1,故n=(1,1,-1),.A1E·n≠0，故A1E与平 面AB,C1不平行.又：A1E与n不共线，A1E与平面AB,C,不垂 直，即A1E与平面AB1C1相交但不垂直 重难点拔 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系（尽可 能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直 线、平面的要素) 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍 然离不开立体几何的有关定理 8.必要不充分解析：若1，"2不平行，则1,2相交或异面；若l1,2 异面，则1,2不平行.所以“1,2不平行”是“1,2异面”的必要 不充分条件.故答案为必要不充分， 9.平行解析：平面a的法向量为m=(2,-1,4),且AB=(2,0,-1), A花=(1,6,1)，m·A店=2×2+4×(-1)=0，m·A花=2×1+(-1)×6+ 学霸11 4×1=0,所以m⊥AB,m⊥A元.又ABOAC=A,所以m1平面ABC,所 以平面ABC的一个法向量为m=(2,-1,4).又因为平面a与平 面ABC是不重合的两个平面，所以平面与平面ABC平行.故答案 为平行. 方法总结 利用向量证明平行问题： (1)线线平行：方向向量平行. (2)线面平行：平面外直线的方向向量与平面法向量垂直. (3)面面平行：两平面的法向量平行. 10. -解析：因为AB⊥a,所以A与n共线.又A=(2,n,-2),n= ，，n2m》,则m≠0，所以1=22%，人=一2一，元三一4，听 -22m 以mn=-号放答案为-是 9 11.②③解析：设正方体的棱长为2， 对于①：如图①，建立空间直角坐标系，则M(2,0,2),N(0,2,2), P(0,2,1),0(1,1,0),可得M=(-2,2,0),0币=(-1,1,1)，则 M.O币=2+2+0≠0，所以M与0P不垂直，即MN与0P不垂直， 所以①错误； ①D 对于②：如图②，建立空间直角坐标系，则M(2,0,0),N(0,0,2), P(2,0,1),0(1,1,0),可得M=(-2,0,2),0=(1,-1,1),则 M.O币=-2+0+2=0，所以M成⊥O币，即MW10P,所以②正确； ② 对于③：如图③，建立空间直角坐标系，则M(2,2,2),N(0,2,0) P(0,0,1),0(1,1,0),可得M=(-2,0,-2),03=(-1,-1,1), 则M.O=2+0-2=0,所以M1O,即MN10P,所以③正确； ③ 对于④：如图④，建立空间直角坐标系，则M(0,2,0),N(0,0,2), P(2,1,2),0(1,1,0),可得M=(0,-2,2),0=(1,0,2),则 M.O市=0+0+4≠0，所以M与O不垂直，即MN与OP不垂直， 所以④错误 故答案为②③. 第2关（练准确率） 12.B解析：因为四个选项中，只有a·(0,1,0)=(2,0,2)·(0,1, 0)=0,b·(0,1,0)=(3,0,0)·(0,1,0)=0,所以平面a,B交线 的方向向量可以是(0,1,0)，故选B. 13.B解析：在正四棱柱ABCD-AB,C,D1中，以点D为原点建立如 图所示的空间直角坐标系，令AB=2a,DD1=2b(a>0,b>0),0是 选择性必修第二册·SJ 底面ABCD的中心，由于E,F分别是BB1, D个2 DD1的中点，则0(a,a,0),A1(2a,0,2b), E(2a,2a,b),B1(2a,2a,2b),F(0,0,b),Af 0A=(a,-a,2b),F2=(2a,2a,0),EB=(0, 0,b),对于A,显然0A与F2不共线，即A10 D 与EF不平行，A不正确；对于B,因为OA1· 0 Fi=a·2a+(-a)·2a+0·2b=0,所以0A11 F克，即A1O⊥EF,B正确；对于C,设平面EFB1的法向量为n=(x, ,则aay=0令=1，得m=1,-1,0.n- （n·EB=bz=0, 2a>0,因此0A与n不垂直，即A10不平行于平面EFB1,C不正 确：对于D,由选项C知，OA与n不共线，即AO不垂直于平面 EFB1,D不正确.故选B. 14.D解析：以点D为坐标原点，分别以DA,D元，DD的方向为x,y,2 轴正方向建立空间直角坐标系，如图， D 设正方体棱长为1，M(0,0,a),N(x,1,1-x),则A(1,0,0),D1(0, 0,1),所以M=(x,1,1-x-a),AD=(-1,0,1).若AD1⊥MN,则 M.AD=-x+1-x-a=0,即2x=1-a(0≤x≤1,0≤a≤1)，方程 有无数组解，故选D. 15.ACD解析：如图，以D为原点，DA,DC, DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直 角坐标系D-x,则D(0,0,0),C(0,3, 0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1), D: B(1,3,0),C1(0,5,1),设A1t=kA1产， A -(1,-1则应-（上 ）可得00产（士原石）本 应() 对于A:当A1亡=2A1产时，点P为对角线A,C的中点，根据长方体 性质可得B,P,D1三点共线，故A正确； 对于，当1衣时，.不花=名+2+1=0，解得= 、3 5亦(g号专）（台套写） 4 (5告）（台兮）名名若0 因此A1D产不正确，故B错误； 对于c:当衣=34时，D市-（子，原，子），设平面00 的法向量为n=(x,y,2),D=(1,5,0),DC=(0,5,1), n…成=+5y=0,当y=-1时，=3，a=5,故n (n.DC=3y+z=0, a1,a0产号5店-0a10汉 D1P￠平面BDC1,.DP∥平面BDC,故C正确； 对于：当=5时，可得亦：（行5专）成 学霸12 (1,0,-1),设平面D14P的法向量为m=（a,b,c),则 m亦号音=0k1,则6561a m.DA=a-c=0, (-1,5,-1).而A1元=(-1,5，-1)，A1元∥m,A1C1平面 D1AP,故D正确故选ACD. 16.D解析：如图，以D为坐标原点，Di,D元，D的方向分别为x,y,2 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),P0,0, 5)o,25)(径÷)成=(1.o,5) 亦（号÷） 设平面DEF的法向量为n=(x,y,z), m·成-x+25 =0, 则 令z=√5，得n=(-2,-1,w5) 315=0, 设M(m,n,0),则p成=（m,n,5 45 .因为PM⊥平面DEF,所以 4v5 成∥，则号=导后，解得 5 8 5·故DM= 4 5,n= vm2+n2=45 故选D (侣g) 解析：不妨设点E的坐标为(x0,0,0),平 面AB1D1的法向量为n=(x1,y1,), 因为A(1,0,0),B1(1,1,2),D1(0,0,2),C(0,1,0), 所以AB=(0,1,2),AD=(-1,0,2),C克=(，0-1,0)，A花= (0-1,y0,20). 因为CE⊥平面ABD1,所以CE⊥AB1,CE⊥AD1, 店-0，即o120,① 所以 C2.AD=0,(-x0+2z=0. 又由n=0,即+2=0， (AD·n=0,（-x1+2a1=0, 不妨令a1=1,则名1=2，y1=-2,故n可以取(2，-2,1)， 因为A立·n=0,所以2x0-2y0+0=2.② 8 1 4 联立①②，可得0=90=920=9， 故点E的标是（侣）号)】 故答案为（侣专）】 18. 2 解析：以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴，建 立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0,0,0),E(2,0,0),F(3,1,0),C(3,3,0),D(0,3,0),设 60,30,由i-A戒河得a(03,☆）设平面4ch的-个 参考答案 法向量为n=(,,),花=(3,3,0)，府=（0,3，☆)，则 （n.A花=3x+3y=0, （x=-y, 。= 0,即{+0-，令y-1.则 At (,-1,3）:设平面Ec的-个法向量为m=a,o, 成=(1,10)，成=(-2,3，，则m武a6=0, 即 (m.Ed=-2a+3b+te=0, (a=-b, 2弘令6=-1，则m=(1.-1.）因为平面G∥平 c t 面ACH,所以n/m,所以3-3(1+），即5=3(1+》，解得A 入t 入 子，故答案为号 A G C D Y x B F 19.证明：(1)以B为坐标原点，BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0),D(0,2, 2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0),所以B=(a,0,0),Bd= (0,2,2),B1D=(0,2,-2).因为B1D.BA=0,B1i.B=0+4-4= 0,所以B1D⊥BA,B1D⊥BD.又BA∩BD=B,所以B,D⊥平面ABD. (2)由题意及(1)知E(0,0,3),c(受，1 B. 4(0,1,4,则=2,1,1），=(0， 1,1).因为B,i.E花=0+2-2=0，B1市.E求= 0+2-2=0,所以B1D⊥EG,B1D⊥EF.又EGn B EF=E,所以B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平 面EGF∥平面ABD 方法总结 利用向量法证垂直问题的类型及常用方法： (1)线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们 的数量积为零 (2)线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线或利用线 面垂直的判定定理转化为证明线线垂直。 (3)面面垂直问题：两个平面的法向量垂直或利用面面垂直的判定 定理转化为证明线面垂直。 20.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,且ABC平面ABCD,所以AB⊥ PA.又因为AB⊥AD,且PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以AB⊥ 平面PAD.依题意，以点A为原点，以AB,AD,AP所在直线分别为 x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， B 则B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的 中点，得E(1,1,1),则B2=(0,1,1),所以A=(1,0,0)为平面 PAD的一个法向量.又克.A店=(0,1,1)·(1,0,0)=0，所以 BE⊥AB.又BE￠平面PAD,所以BE∥平面PAD. 学霸13 (2)由(1)知平面PAD的一个法向量为A店=(1,0,0)，Pi=(0, 2,-2),D元=(2,0,0)，设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,2), 则a可0即-2=0令=1，可得=1，所以4=(01,1. 1m.D元=0,12x=0, 又n·A店=(0,1,1)·(1,0,0)=0，所以n⊥店，所以平面PCD1 平面PAD. 第3关（练思维宽度） 21.D解析：如图，建立空间直角坐标系，则有A(2,0,0),M(0,2, 1),N(x,y,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2). 对于A选项，若L4NM=受，则城·-0，且=(2-，y,0), NM=(-x,2-y,1),故点N的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=2,当 x=0时，y=0,点(0,0)既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的 点N满足条件，A错误；对于B选项，A1N=√5，.AN=1,点N 在底面内轨迹的长度是以A为圆心，1为半径的圆周长的4，故 长度为×2m=号，B错误：对于C选项，A方=(0,2，-2)， A1C=(-2,2,0),设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),故有 {22y00令=1，则=1，=1，放=，山).Mw/平 面A1BC,M.n=0,点N的轨迹方程为x+y-3=0.0≤x≤ 2,0≤y≤2，.点N在底面内轨迹的长度为√2+1区=√2，C错误； 对于D选项，B1=(x-2,y-2,-2),A1M=(-2,2,-1),B1N ⊥A1M,B1衣.A1M=0,点N的轨迹方程为-x+y+1=0,即x y-1=0.0≤x≤2,0≤y≤2，∴，点N在底面内轨迹的长度为 √/12+12=√2，D正确.故选D. 22.(1)证明：因为AB∥CD,AB￠平面CDE,CDC平面CDE,所 以AB∥平面CDE.同理，AF∥平面CDE.又AB∩AF=A,所以平 面ABF∥平面CDE.因为BFC平面ABF,所以BF∥平面CDE. (2)解：存在.因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平 面ABCD=AD,CD⊥AD,CDC平面ABCD,所以CD⊥平面ADEF. 又DEC平面ADEF,故CD⊥ED.而四边形ADEF是正方形，所 以AD⊥DE.又CD⊥AD,所以以D为原点，DA,DC,DE所在直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xz设AD=1, 则AB=1,CD=2,D(0,0,0),B(1,1,0),F(1,0,1),C(0,2,0), E(0,0,1),D=(1,1,0),D币=(1,0,1)，设平面BDF的一个法向 量为n=(x,y,2),则 成=0即y0令=1，则y=-1, n.Di=0,\x+z=0, 所以n=(1,-1,-1).若M与C重合，则平面BDM(C)的一个法向 量为mo=(0,0,1),则mo·n=-1≠0，则此时平面BDF与平面 BDM不垂直.若M与C不重合，如图 之 A B 设E =A(0≤A<1),则M(0,2A,1-A),DM=(0,2,1-),设平 EC 选择性必修第二册·SJ 面BDM的一个法向量为m=(xo,0,0),则 m…成=0，即 (m·DM=0, x0+y0=0, 2A (2Ay0+(1-入)z0=0, 令。=1，则%=-1，=元所以m 2λ 1,-1 .平面BDML平面BDF等价于m·n=0,即1+1- 1 2分0，得A三2e[0,1),所以线段C上存在点M使平面 BDF⊥平面BDM,且L EC 2 第2课时空间角的计算 第1关（练速度） 1.A解析：设两条异面直线所成的角为日，且这两条异面直线的方 向向量分别是m=(1,-2,3),n=(21,0),则s9=m:” lm·ln 1×2+(-2)×1+3×0 √2+(-2)2+32√22+12+02 =0，且0<0≤受，所以这两条异面直 线所成的角为牙，故选A 2.D解析：建立如图所示的空间直角坐标 系，设正方体的棱长为1，易求得平 A 面4CD,的一个法向量为m=(1,-,B, 1),平面ACD的一个法向量为n2=(0,0, )青以mAa语行且 二面角D1-AC-D是锐二面角，所以二面 角D1-AC-D的正弦值为x 不a两-写-5正切 6 值为3=2. 5 3 3.B解析：如图所示，取AC的中点D,以点D为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， M: C 不妨设4C=2,则A(0,-1,0),M(0,0,2),B-3,0,0,所以 -(0,12),平面8Cc6的-个法向量为m=(停，0） 设AM与平面BCC,B1所成角为a,向量AM与n所成的角为6，所 3 以sina=Icos0l= 1AM.l2-15 1n5x/510,即AM与平面BCCB, 所成角的正弦值为压故选B, 10 4.ABD解析：连接BD,因为∠DAB=了，设AB=2AD=2PD=2a,由 余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠BAD,所以BD2=a2+ 42-42.子-302，则BD=3a,则BD2+AD2=A,即D1AD, 学霸14