精品解析：安徽阜阳市第三中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

阜阳三中2024级高二年级下学期期中考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知的展开式中的常数项的系数为20，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（ ） 附：，，. A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 基本合格 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 2026年斯诺克世锦赛5月5日在英国落幕，中国小将吴宜泽夺得冠军，成为亨德利之后最年轻的世锦赛冠军，若小吴将和你参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（ ） A. 70 B. 80 C. 40 D. 35 7. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 已知各项均为正数的数列，其中，是正整数，是实数．若对任意，能构成三角形，则满足条件的的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 无数个 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 含项的系数为15 C. 各二项式系数和为64 D. 各项系数和为64 10. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 在上有最大值 B. 的图象关于点对称 C. D. 方程在内有4个实数解 11. 有个编号分别为的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，为虚数单位，，则______． 13. 安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有______种.（用数字作答） 14. 将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧，记，之间所含其它字母的个数为，则方差_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知中，内角的对边分别为，且满足. （1）若，求的值； （2）求角的最大值，并判断此时的形状. 16. 在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差x 20 15 13 3 2 -5 -10 -18 物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 -0.5 -2.5 -3.5 （1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； （2）若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩． 参考公式：，，参考数据：，． 17. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；在 （3）当时，求关于的不等式的解集. 18. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？ 19. 已知点在抛物线上． （1）求抛物线的标准方程； （2）若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜阳三中2024级高二年级下学期期中考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由对数和正弦函数的性质化简集合，再求交集. 【详解】， 即 故选：C 2. 若，是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质可得“”“”、“” “”，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 当时，由，得， 则“”“”； 当时，由，得， 则“” “”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 已知的展开式中的常数项的系数为20，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理写出通项公式，通过令的指数为0确定的值，结合常数项系数为20即可求解. 【详解】由题意得， 则有， 令，即，则常数项系数为， 解得. 4. 某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（ ） 附：，，. A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 基本合格 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】由题得，，所以，， ，， 因为，， 所以， 根据比例成绩大于分为优秀， 因为， 根据比例成绩在到之间的为良好， ， 根据比例成绩在到之间的为合格， ， 根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的性质直接求解即可. 【详解】由已知得，当时，则，即，， ∵为偶函数，∴，即， ∴，，∴， 故选：. 6. 2026年斯诺克世锦赛5月5日在英国落幕，中国小将吴宜泽夺得冠军，成为亨德利之后最年轻的世锦赛冠军，若小吴将和你参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（ ） A. 70 B. 80 C. 40 D. 35 【答案】A 【解析】 【详解】因为采用7局4胜制，先赢4局者获胜，所以可能赛4局，5局，6局，7局， 若赛4局，则有2种；若赛5局，则有种； 若赛6局，则有种；若赛7局，则有种； 综上所有赛事情况种数为种. 7. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 8. 已知各项均为正数的数列，其中，是正整数，是实数．若对任意，能构成三角形，则满足条件的的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】由判断的范围，由三角形三边关系得的不等关系，构造函数，分析其零点，解不等式可得. 【详解】设， 易知，所以三点共线. 由，得，所以点在线段上. 又，所以均在第一象限. 其中是奇数，是偶数，所以. 若，则. 此时要构成三角形，只需满足，即，即. 若，则. 此时要构成三角形，只需满足，即，即. 令，则是减函数， 又，， 所以存在，使得当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以在区间上有一个零点，记为. 所以当时，；当时，. 令函数，则. 令，是增函数， ， 所以恒成立，恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递增. 因，，满足题意； ，满足题意； 当时，，不满足题意。又函数在时单调递增，故对任意均不满足题意. 综上所述，满足条件的有4个，分别是. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 含项的系数为15 C. 各二项式系数和为64 D. 各项系数和为64 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求出，再利用二项式定理逐项分析判断. 【详解】对于A，由的展开式中仅第4项的二项式系数最大，得展开式共7项，则，A正确； 对于B，在的展开式中，含的项为，此项系数为，B错误； 对于C，的展开式的各二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得的展开式各项系数和为0，D错误. 故选：AC 10. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 在上有最大值 B. 的图象关于点对称 C. D. 方程在内有4个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项：利用周期性将未知区间平移化归到已知解析式的区间来分析最值；B选项：结合已知的对称轴和周期性质，通过代数恒等变形验证中心对称公式成立；C选项：算出单一完整周期内各整数点的函数值之和为零，再利用总项数对周期数求余来确定最终结果，D选项：结合周期性分段画出函数图像，即可确定交点个数即方程在内实数解的个数. 【详解】因为为奇函数，则有，即关于点对称， 因为为偶函数，则有， 令，则， 代入得，即，则关于直线对称， 可得，， 因此为周期函数，最小正周期， 对于A，当时，即时，已知在上，所以， 因此，所以在区间上单调递增， 又，，在此区间内从递增至， 当时，即时， 由关于的对称性可得，在上， 所以，因此， 所以在区间上单调递减， 即，，在此区间内从递减至， 综上，在区间上，在处取得最大值，故A正确； 对于B，由上知，进而有， 且，代入得，即， 故关于点对称，故B正确； 对于C，，，，， ，，，， 一个周期的和为， 从到共有项，包含253个完整周期，其和为0， 剩下的项是，总和为，故C错误； 对于D，方程在的解，就是与在内图像的交点，由上可作图象如下， 通过图像可得交点个数为4个，即在内有4个实数解，故D正确. 11. 有个编号分别为的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据独立事件的概率公式求解判断，对于B，根据条件概率公式求解判断，对于C，根据和事件的概率公式求解判断，对于D，由题意可得，，然后求出比较即可. 【详解】对于A，，所以A错误； 对于B，， 所以，所以B正确； 对于C，因为，， 所以，所以C正确， 对于D，由题意可得，， ， 所以， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以，所以， 所以，则，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，利用全概率公式得到，从而利用构造法求得，由此得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，为虚数单位，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以，所以. 13. 安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有______种.（用数字作答） 【答案】210 【解析】 【详解】若3名老师去3所学校，则共有种分配方案； 若3名老师去2所学校，则共有种分配方案; 所以共有种分配方案. 故答案为：210. 14. 将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧，记，之间所含其它字母的个数为，则方差_________． 【答案】## 【解析】 【分析】的可能取值为0，1，2，利用排列组合知识求得，，的排列数，求得分布列，进而利用方差公式求解即可. 【详解】由题意知, 的可能取值为0，1，2. 由将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧， 当，即，之间没有其它字母时.先将，全排，有种排法， 再把，的全排看作一个大元素，与剩下的3个元素全排列，有种排法， 因此共有种排法； 当，即，之间只有，之一时，先将，全排列有种排法， 再在，中选1个放入，之间，有种选法， 再把这三个元素的排列看作一个大元素，和剩下的2个元素全排，有种排法， 因此共有种排法； 当，即，都在，之间时，先将，全排，有种排法， 把，全排列，有种排法， 再把，全排作为一个大元素放入，之间有1种放法， 再把这4个元素的排列看作一个大元素与全排，有种排法， 因此共有种排法. 所以基本事件共有种. 其中，，， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知中，内角的对边分别为，且满足. （1）若，求的值； （2）求角的最大值，并判断此时的形状. 【答案】（1） （2），等边三角形 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理导出； （2）用余弦定理结合基本不等式可求出角最大值，再根据等号成立条件判断三角形形状. 【小问1详解】 中，由正弦定理得 【小问2详解】 中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立， 的最大值为，此时基本不等式等号成立，即， 为等边三角形. 16. 在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差x 20 15 13 3 2 -5 -10 -18 物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 -0.5 -2.5 -3.5 （1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； （2）若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩． 参考公式：，，参考数据：，． 【答案】（1）；（2）93分． 【解析】 【分析】（1）首先根据题意计算，，再代入公式计算即可得到回归直线方程. （2）首先设出物理成绩，算出物理偏差和数学偏差，再代入回归直线方程即可得到答案. 【详解】（1）由题意，， ， ， 所以， 故线性回归方程为． （2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：． 而数学偏差为， 则（1）的结论可得，，解得， 所以，可以预测这位同学的物理成绩为93分． 【点睛】本题第一问考查线性回归直线方程，第二问考查线性回归直线方程的应用问题，属于简单题. 17. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；在 （3）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解； （2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可； （3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集. 【小问1详解】 ，可化为， 移项整理得，不等式的解集为或， 或是方程的两个跟，且. 将代入方程，可得，解得. 把代入方程，得到，因式分解为， 即，故，. 【小问2详解】 由（1）知，，则，，，， 当且仅当时，即时，等号成立， ，恒成立， ，，， ，， 故的取值范围是. 【小问3详解】 不等式，即，因式分解为， ，的两根为，， ①当，即时，不等式，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？ 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）最可能有6名或7名 【解析】 【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出关系式，求解即可得出答案； （2）根据频率分布直方图求出周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，进而得出每组的人数.根据超几何分布分别求出X分别取0，1，2，3时的概率，列出分布列，即可求出期望； （3）先求出周平均阅读时间在内的概率.进而求出，由解出的范围，即可得出答案. 【小问1详解】 由可得． 【小问2详解】 由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为， ∴10人中，周平均阅读时间在的人数为人，在的人数为人，在的人数为人. 则X所有可能的取值为0，1，2，3， ∴，， ，. ∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴数学期望． 【小问3详解】 用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率， 设周平均阅读时间在内的学生有名，则 ， 所以． 令，解得， 所以当或，最大． 所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名． 19. 已知点在抛物线上． （1）求抛物线的标准方程； （2）若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在定点，定值． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可得抛物线的标准方程； （2）设，求得直线的方程，利用直线与圆相切可得，化简得，进而可得直线过定点；①利用，可求得，进而计算可求得直线的方程；②由题意可得点在以为直径的圆上，进而可得，可得结论. 【小问1详解】 将点代入抛物线方程得，解得， 所以抛物线的标准方程为． 【小问2详解】 设， 因为点，在抛物线上，所以，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 同理可得到直线的距离为， 因为两直线均与圆相切，所以，即， 两边平方得，所以， 所以， 所以 整理得， 因为，是不同的两点，所以， 所以①， 设直线的方程为，与抛物线联立得， 所以，所以，所以， 所以的方程，所以，所以直线过定点. ①因为，，， 所以， 由，得， 显然不符合题意，所以， 所以， 所以②， 由①②得，所以或， 当，得，此时是方程， 又，不符合题意，舍去； 所以，可得， 由，，两式相减得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. ②因为直线过定点，过点作于点， 所以点在以为直径的圆上，所以， 所以存在定点，使得为定值，定值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $