2026年江苏南通市如皋市实验初中中考数学第二次模拟练习试卷

**基本信息** 2026年中考二模数学卷以祖冲之圆周率（文化传承）、氢燃料发动机（科技前沿）为情境，通过代数、几何、统计的分层设计，考查数学眼光、思维与语言，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法（第2题）、三视图（第3题）、方差（第5题）|结合生活情境，基础巩固| |填空题|6/22|分式意义（第11题）、旋转角度（第13题）、双曲线与菱形（第15题）|考查空间观念与抽象能力| |解答题|9/98|圆切线证明（22题）、抛物线综合（24题）、折叠探究（25题）|体现推理能力、模型意识与创新意识|

2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.如果表示转盘沿逆时针方向转圈，那么转盘沿顺时针方向转圈可记作(    ) A. B. C. D. 2.我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于将用科学记数法可以表示为    ． A. B. C. D. 3.蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母，又叫形磁铁如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其俯视图是(    ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数及方差，如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6.如图，正方形由四个全等的直角三角形、、，和中间一个小正方形组成．若，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在边长为的菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折得，与边交于点，则的长度为(    ) A. B. C. D. 9.如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点、时的轴上方的部分，且点，将绕点旋转得，与轴交于另一点，将绕点旋转得，且，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，的度数不定，以为边向右作正方形，连接，，则下列结论错误的是(    ) A. 当时， B. 点到直线的距离的最大值为 C. 线段的最大值为 D. 线段的最大值为 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11.若使分式有意义，则的取值范围是        ． 12.若与互为相反数，则          ． 13.已知正五边形按如图所示的方式叠放在正六边形上，边互相重合，延长交于点，则的度数为          ． 14.如图，四边形的对角线与互相垂直，点，分别是，的中点，连接已知，，则的长为          ． 15.如图，点 在双曲线 上，连接 ，交双曲线 于点 ，点 为 轴上一点，四边形 为菱形，若四边形 的面积是 ，则           ． 16.已知直线与直线，若将绕平面内一点顺时针旋转后恰好能与重合，则称点为关于的“顺合点”如图，在平面直角坐标系中，点，，中是轴关于轴的“顺合点”的是          如图，已知直线与直线，交于点，点，是直线上不重合的两点，位于直线右侧的一点是关于的“顺合点”，，连接，点在上，连接，若且，则           ． 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.本小题10分计算和解方程 ． ． 18.本小题10分 如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点作射线． 尺规作图：在射线上找一点，连结，使得不写作法，保留作图痕迹． 根据的作法，若，求的长． 19.本小题10分 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． 命题：若四边形是菱形，则四边形是矩形； 命题：若四边形是矩形，则四边形是菱形任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例． 20.本小题10分 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查本次调查在八年级随机抽取了名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示： 根据图中信息，下列说法中正确的是  ______ 写出所有正确说法的序号； 这名学生上学途中用时都没有超过； 这名学生上学途中用时在以内的人数超过一半； 这名学生放学途中用时最短为； 这名学生放学途中用时的中位数为． 已知该校八年级共有名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过的人数； 调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义． 21.本小题10分 年月日，中国兆瓦级氢燃料航空发动机首飞成功，彰显了中国科技自主创新硬实力小钧和小乐各自计划去某科技馆参观，体验科技的魅力与神奇该科技馆有两个入口和三个出口，其出、入口示意图如图所示，小钧和小乐各自随机选择一个人口进入科技馆，参观结束后再各自随机选择一个出口离开，两人选择每个出、入口的可能性相同，且两人的选择相互之间不受形响． 小钧进入科技馆时选择入口的概率是______； 请用画树状图或列表的方法求小钧和小乐离开科技馆时均没有选择出口的概率． 22.本小题10分 如图，是半圆的直径，是中点，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点  求证：是半圆的切线；  若，，求阴影部分的面积． 23.本小题12分 下面是一道残缺的试题及其部分解析． 排球是年河南体育中考的一个选考项目某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球个，种品牌的排球个，共花费元，已知种品牌排球的单价比种品牌排球的单价____？元，求、两种品牌排球的单价． 解：设种品牌排球的单价为元， 则列出一元一次方程： 横线处的内容为______；填“高”或“低” 本题也可用二元一次方程组来求解，设，两种品牌排球的单价分别为，元，请你据此列出方程组并求，两种品牌排球的单价； 根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的排球共个，总费用不超过元，且购买种品牌的排球不少于个，若排球的单价保持不变，学校共有哪几种购买方案？ 24.本小题13分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧其顶点为，是抛物线第四象限上一点． 求点，的坐标； 如图当时，若，求点的坐标； 在的条件下，如图，过点的直线与轴正半轴交于点，与抛物线交于点，将直接绕点顺时针旋转使其与轴负半轴交于点，与抛物线交于点，若，试判断直线是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由． 25.本小题13分 【数学来源于生活】  小明要铺一个米米的矩形床单，但是他发现床单长宽很接近，为了在图中找出哪个边是米长，在矩形中，小明折叠床单，使点与点重合请你帮小明判断  ______ 边长是米填“”或“”  【综合与实践操作】  在图中，请你用无刻度的直尺和圆规在矩形中，画出线段，使点，分别在边，上，且满足若沿折叠，能使点与点重合不写作法，保留作图痕迹  在条件下，连接，，请证明四边形是菱形  【拓展与深度探究】  如图，在矩形纸片中，点，分别在边，上，，，，剪下四边形如图，折叠四边形纸片，折叠后点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与边，分别交于点，连接，当时，求  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.如果表示转盘沿逆时针方向转圈，那么转盘沿顺时针方向转圈可记作(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：题干规定逆时针方向转圈记作，即逆时针方向转动用正数表示， 与逆时针方向意义相反的顺时针方向转动应用负数表示， 顺时针方向转圈可记作． 2.我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于将用科学记数法可以表示为    ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 3.蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母，又叫形磁铁如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其俯视图是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：这个几何体的俯视图为： 故选：． 根据简单几何体的三视图的画法画出它的俯视图即可． 本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键． 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、，原计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：． 根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 5.某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数及方差，如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B  【解析】解：由平均数越大代表成绩越好可知： 乙和丁的平均数最大，均大于甲和丙的平均数，因此只需从乙和丁中选择， 又方差越小代表发挥越稳定，乙的方差为，小于丁的方差， 乙满足成绩好且发挥稳定的要求． 故选：． 平均数越大成绩越好，方差越小数据波动越小，发挥越稳定，先找出平均数最大的同学，再在其中找出方差最小的同学即可． 本题考查了方差、平均数，熟练掌握以上知识点是关键． 6.如图，正方形由四个全等的直角三角形、、，和中间一个小正方形组成．若，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据正方形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，结合图形得出，从而求出的长，最后在中利用正切定义求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ． ， ， 由图可知点在线段上， ．  在中，， ． 7.如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，连接， 与半圆相切于点， ， ， ， 由圆周角定理得：， 的长为：， 故选：． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算，得到答案． 本题考查的是切线的性质、弧长的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 8.如图，在边长为的菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折得，与边交于点，则的长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据题意可得为等腰直角三角形，，根据勾股定理求得，再由，可得． 【详解】解：在边长为的菱形中，，为边上的高， 根据折叠易得为等腰直角三角形，， ， ， ． 9.如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点、时的轴上方的部分，且点，将绕点旋转得，与轴交于另一点，将绕点旋转得，且，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】根据旋转可知，，得出点的坐标，把点、的坐标代入函数关系式，得出二次函数关系式，从而求出二次函数的顶点坐标，即可求阴影部分的面积． 【详解】根据旋转可知，，点的坐标为， 点的坐标为， 把点、的坐标代入得： 解得： 函数关系式为： ， 顶点坐标为， 根据旋转可知，与轴围成的图形面积等于与轴围成的图形面积， 图中阴影部分的面积为：，故 D正确． 故选：． 10.如图，在中，，，的度数不定，以为边向右作正方形，连接，，则下列结论错误的是(    ) A. 当时， B. 点到直线的距离的最大值为 C. 线段的最大值为 D. 线段的最大值为 【答案】D  【解析】过点作，交的延长线于点，求出，由勾股定理得，故可判断；过点向作垂线，垂足为点，则，可得点到线段的最大距离为，故可判断；将绕点逆时针旋转得到，连接，则，当、、三点在同一直线上时的值最大，最大值为，故可判断；同理，用同样的方法和思路可求出的最大值为，故可判断． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ，即是等腰直角三角形， ， 又， ， 在中，， ，故选项 A正确，不符合题意； B、， ， 一定是锐角． 当或时，过点向作垂线，垂足为点，则；当时，， ， 点到线段的最大距离为，故选项 B正确，不符合题意； C、将绕点逆时针旋转得到，连接，则， ， ，， ， 当、、三点在同一直线上时的值最大，最大值为，故选项 C正确，不符合题意； D、将绕点逆时针旋转得到，连接，则， 同理可得的最大值为，故选项 D 错误，符合题意． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11.若使分式有意义，则的取值范围是        ． 【答案】．  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 12.若与互为相反数，则          ． 【答案】或  【解析】由题意可得， 即，解得或． 13.已知正五边形按如图所示的方式叠放在正六边形上，边互相重合，延长交于点，则的度数为          ． 【答案】  【解析】延长，交于点因为五边形的内角和为，六边形的内角和为，且六边形是正六边形，五边形是正五边形，所以，，又，所以又，所以． 14.如图，四边形的对角线与互相垂直，点，分别是，的中点，连接已知，，则的长为          ． 【答案】  【解析】略 15.如图，点 在双曲线 上，连接 ，交双曲线 于点 ，点 为 轴上一点，四边形 为菱形，若四边形 的面积是 ，则           ． 【答案】  【解析】连接 交 轴于点 ，过点 作 轴于 ，可得 ，进而 ，可得 ，再结合四边形 为菱形，得到 ，根据四边形 的面积是 ，得出 ，继而得出 ，最后求出 值． 【详解】解：连接 交 轴于点 ，过点 作 轴于 ， 四边形 为菱形，  轴， ，  ，  ， 点 在双曲线 上，  ， 点在双曲线上，  ，  ，即： ， 四边形 为菱形，  ，  ， 四边形 的面积是 ，  ，  ，  即： ． 16.已知直线与直线，若将绕平面内一点顺时针旋转后恰好能与重合，则称点为关于的“顺合点”如图，在平面直角坐标系中，点，，中是轴关于轴的“顺合点”的是          如图，已知直线与直线，交于点，点，是直线上不重合的两点，位于直线右侧的一点是关于的“顺合点”，，连接，点在上，连接，若且，则           ． 【答案】   【解析】解：根据定义可知，将轴绕点顺时针旋转得到轴，故轴关于轴的“顺合点”是． 如图，过点作于，作于， ，位于直线右侧的一点是关于的“顺合点”， ， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.本小题10分计算和解方程 ． ． 【答案】解： ； ． 方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为．   【解析】先计算绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，立方根，再进行加减计算即可； 先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验得到最终结果． 本题考查了实数的运算、解分式方程，熟练掌握以上知识点是关键． 18.本小题10分 如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点作射线． 尺规作图：在射线上找一点，连结，使得不写作法，保留作图痕迹． 根据的作法，若，求的长． 【答案】下图即为所作图形：    如图，作于点  是等腰直角三角形，是中线，，  ，，，  ，  ，，    ，  ，  ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题10分 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． 命题：若四边形是菱形，则四边形是矩形； 命题：若四边形是矩形，则四边形是菱形任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】解：命题：真命题，证明如下： 证明：，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，则， 四边形是矩形； 命题：真命题，证明如下： 证明：，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形．  【解析】解：命题：真命题，证明如下： 证明：由条件可知，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，则， 四边形是矩形； 命题：真命题，证明如下： 证明：由条件可知，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形． 命题：先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，即对角线互相垂直可得，由此证明即可； 命题：先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，即对角线互相平分且相等可得，由此证明即可． 本题考查了命题与定理、菱形与矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 20.本小题10分 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查本次调查在八年级随机抽取了名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示： 根据图中信息，下列说法中正确的是  ______ 写出所有正确说法的序号； 这名学生上学途中用时都没有超过； 这名学生上学途中用时在以内的人数超过一半； 这名学生放学途中用时最短为； 这名学生放学途中用时的中位数为． 已知该校八年级共有名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过的人数； 调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义． 【答案】 根据图中信息可知，上学途中用时超过的学生有人， 故该校八年级学生上学途中用时超过的人数为人． 如图： 设直线的解析式为：，根据图象可得，直线经过点，， 将，代入，得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 则这条直线可近似反映该学校学生放学途中用时和上学途中用时的变化趋势．  【解析】解：根据在坐标系中点的位置，可知： 这名学生上学途中用时最长的时间为，故说法正确； 这名学生上学途中用时在以内的人数为：人，超过一半，故说法正确； 这名学生放学途中用时最短的时间为，故说法正确； 这名学生放学途中用时的中位数是用时第和第的两名学生用时的平均数，在图中，用时第和第的两名学生的用时均小于，故这名学生放学途中用时的中位数为也小于，即说法错误； 故答案为：． 见答案 见答案． 根据图中信息，逐项分析即可求解； 根据图中信息，可得上学途中用时超过的学生有人，用总人数抽取的学生中上学用时超过学生所占比例；即可求解； 先画出近似直线，待定系数法求解即可得到直线的解析式． 本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，求一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21.本小题10分 年月日，中国兆瓦级氢燃料航空发动机首飞成功，彰显了中国科技自主创新硬实力小钧和小乐各自计划去某科技馆参观，体验科技的魅力与神奇该科技馆有两个入口和三个出口，其出、入口示意图如图所示，小钧和小乐各自随机选择一个人口进入科技馆，参观结束后再各自随机选择一个出口离开，两人选择每个出、入口的可能性相同，且两人的选择相互之间不受形响． 小钧进入科技馆时选择入口的概率是______； 请用画树状图或列表的方法求小钧和小乐离开科技馆时均没有选择出口的概率． 【答案】   【解析】解：该科技馆有两个人口， 小钩进入科技馆时选择入口的概率是， 故答案为：； 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小钩和小乐离开科技馆时均没有选择出口的结果有种，即、、、， 小钩和小乐离开科技馆时均没有选择出口的概率为． 直接由概率公式求解即可； 画树状图，共有种等可能的结果，其中小钩和小乐离开科技馆时均没有选择出口的结果有种，再由概率公式求解即可． 此题考查的是列表法与树状图法．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22.本小题10分 如图，是半圆的直径，是中点，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点  求证：是半圆的切线；  若，，求阴影部分的面积． 【答案】证明：如图，连接，    是中点，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，即，  ，  为的半径，  为半圆的切线；  解：如图，连接，，    ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  又，  为等边三角形，  ，  ，  ，  又，  为等边三角形，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  故，  ．  【解析】直接利用切线的判定方法结合圆周角定理分析得出，即可得出答案；  求出，的长，证明，得出，再利用，求出答案． 此题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质直角三角形的性质以及扇形面积的求法等知识，得出是解题关键． 23.本小题12分 下面是一道残缺的试题及其部分解析． 排球是年河南体育中考的一个选考项目某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球个，种品牌的排球个，共花费元，已知种品牌排球的单价比种品牌排球的单价____？元，求、两种品牌排球的单价． 解：设种品牌排球的单价为元， 则列出一元一次方程： 横线处的内容为______；填“高”或“低” 本题也可用二元一次方程组来求解，设，两种品牌排球的单价分别为，元，请你据此列出方程组并求，两种品牌排球的单价； 根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的排球共个，总费用不超过元，且购买种品牌的排球不少于个，若排球的单价保持不变，学校共有哪几种购买方案？ 【答案】高  种品牌排球的单价为元，种品牌排球的单价为元  共有种购买方案，购买种品牌的排球个，种品牌的排球个；购买种品牌的排球个，种品牌的排球个；购买种品牌的排球个，种品牌的排球个  【解析】解：根据所列方程得：是排球的单价， 种品牌排球的单价比种品牌排球的高元， 故答案为：高； 根据题意得：， 解得：， 答：种品牌排球的单价为元，种品牌排球的单价为元； 设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个， 依题意得：， 解得：， 又为正整数， 或或， 共有种购买方案： 购买种品牌的排球个，种品牌的排球个； 购买种品牌的排球个，种品牌的排球个； 购买种品牌的排球个，种品牌的排球个． 根据所列的方程求解； 根据学校现决定购买种品牌的排球个，种品牌的排球个，共花费元，种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，根据总费用不超过元，且购买种品牌的排球不少于个，列出一元一次不等式组，解之求出正整数解，即可得出结论． 本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确理解一元一次方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准数量关系关系，正确列出一元一次不等式组． 24.本小题13分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧其顶点为，是抛物线第四象限上一点． 求点，的坐标； 如图当时，若，求点的坐标； 在的条件下，如图，过点的直线与轴正半轴交于点，与抛物线交于点，将直接绕点顺时针旋转使其与轴负半轴交于点，与抛物线交于点，若，试判断直线是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)解：∵抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）， ∴A，两点的横坐标为方程的解， ∵， ∴，解得：， ∴点A，的坐标分别为：．   (2)解：如图：当时，函数解析式为， ∴，顶点， 如图：过C作轴于点E，交于点F，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点F的坐标为，则，， ∴，即，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴， ∴．   (3)解：由（2）可得：当时，函数解析式为，， 设直线的解析式为，则，即， ∴直线的解析式为，， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴； 设直线的解析式为， 同理可得：、， ∵， ∴，解得：， 设直线的解析式为， 则， ①-②可得, , , ∵， ∴， 把代入可得： ， ， ， ∴∴直线的解析式为，整理得： ∴当，即时，， ∴直线经过定点．   【解析】  本题主要考查了二次函数的性质、正切的定义、二次函数与一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先说明，两点的横坐标为方程的解，即方程的解，然后解方程即可解答；  根据题意和二次函数的性质可得、顶点，如图：过作轴于点，交于点，则，可说明，即，则；设点的坐标为，则，，易得，解得：，即；再运用待定系数法求得直线的解析式为，最后与抛物线解析式联立即可解答．  由可得：当时，函数解析式为，，设直线的解析式为可得直线的解析式为、，再与抛物线解析式联立可得；设直线的解析式为，同理可得：、，；再由可得；再运用待定系数法求得直线的解析式进行分析即可解答． 25.本小题13分 【数学来源于生活】  小明要铺一个米米的矩形床单，但是他发现床单长宽很接近，为了在图中找出哪个边是米长，在矩形中，小明折叠床单，使点与点重合请你帮小明判断  ______ 边长是米填“”或“”  【综合与实践操作】  在图中，请你用无刻度的直尺和圆规在矩形中，画出线段，使点，分别在边，上，且满足若沿折叠，能使点与点重合不写作法，保留作图痕迹  在条件下，连接，，请证明四边形是菱形  【拓展与深度探究】  如图，在矩形纸片中，点，分别在边，上，，，，剪下四边形如图，折叠四边形纸片，折叠后点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与边，分别交于点，连接，当时，求  【答案】  作法如图所示：    证明：如中图示，连接，  根据、两点关于直线对称，则，，即直线是线段的垂直平分线．  四边形是矩形，  ，  ，  ，直线也是线段的垂直平分线．    四边形是菱形．  当点在左侧时，如图，沿着折痕翻折得到，交于点，过点作，为垂足．    根据题意四边形为矩形，则，，    ，    设，根据折叠的性质，，  在中，，  ，  ，  ∽  ，  即，解得，经检验，是分式方程的解．  在中，；  当点在右侧时，如图    由翻折得：，，，  ，  设，，  由勾股定理得：，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  ，解得：，  ，  综上：或．  【解析】解：如图，根据题意点和点关于折痕对称，则    四边形为矩形．  ，  在中，  ，  ，长度为米．  故答案为：  作法如图所示：    证明：如中图示，连接，  根据、两点关于直线对称，则，，即直线是线段的垂直平分线．  四边形是矩形，  ，  ，  ，直线也是线段的垂直平分线．    四边形是菱形．  当点在左侧时，如图，沿着折痕翻折得到，交于点，过点作，为垂足．    根据题意四边形为矩形，则，，    ，    设，根据折叠的性质，，  在中，，  ，  ，  ∽  ，  即，解得，经检验，是分式方程的解．  在中，；  当点在右侧时，如图    由翻折得：，，，  ，  设，，  由勾股定理得：，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  ，解得：，  ，  综上：或． 根据轴对称的性质，，然后在中，即可由得出结论．  根据翻折的要求，为的垂直平分线，按照垂直平分线的尺规作图方法作图即可；  由根据平行线分线段成比例，得到，即和互相垂直平分，然后根据垂直平分线的性质得出四边形四边相等证得结论．  分类讨论，当点落在左侧或者右侧，画出图形求解即可． 本题为图形的翻折问题，考查了矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握图形翻折的特点以及利用相似三角形对应边成比例构造方程是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.如果+3表示转盘沿逆时针方向转3圈，那么转盘沿顺时针方向转5圈可记作() A.+5 B.-5 C.+号 D.-号 2.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为需它与π的误差小于0.000003.将0.000003用科学记数法 可以表示为() A.0.3×10-6 B.3×10-6 C.3×10-7 D.3×107 3.蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英 文字母U,又叫U形磁铁如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是() D 正面 4.下列计算正确的是() A.V√2×V3=V5 B2+3=5C3V3-3=2D=3 5.某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如表所 示： 第1页，共9页 甲 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE、△BCF、△CDG,△DAHD和中间一个小正方形EFGH 组成.若AE=3,GH=1,则tanzEAB的值为() A.3 B c D 7.如图，在△ABC中，∠C=30°，AB=1,以AB为直径的半圆0交AC于点D,若BC与半圆0相切于 点B,则BD的长为() π A B￥ c号 D D 8.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△ABE, AB与CD边交于点F,则B'C的长度为() D B--- E ⊙ A.1 B.V2-1 C.2-V2 D.2√2-2 9.如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计 图纸上的部分数据：P1是抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B时的x轴上方的部分，且点A(-3,0), 第2页，共9页 将P1绕点B旋转180°得P2,P2与x轴交于另一点C,将P2绕点C旋转180°得P3,且CD=4,则图中阴 Vakcen OB C A.24 B.24V3 C.28 D.32 10.如图，在△ABE中，AE=√2，AB=4,∠BAE的度数不定，以BE为边向右作正方形EBCD,连接AD, AC,则下列结论错误的是() E D A.当LBAE=135时，SE方形EBCD=26 B.点A到直线BE的距离的最大值为V2 C.线段AD的最大值为6 D.线段AC的最大值为6v2 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分)。 1.若使分式2+4有意义，则x的取值范围是一· 12.若a(a-3)与2(3-a)互为相反数，则a=. I3.己知正五边形GHCDL按如图所示的方式叠放在正六边形ABCDEF上，边CD互相重合，延长LG交AF 于点P,则LAPG的度数为 第3页，共9页 14.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，点E,F分别是AD,BC的中点，连接EF.已知BD=6, AC=8,则EF的长为· 15.如图，点A在双曲线y=(x>0)上，连接0A,交双曲线y=(x>0)于点B,点C为x轴上一点， 四边形OACD为菱形，若四边形ACDB的面积是6，则k=· 16.己知直线l1与直线l2,若将l1绕平面内一点P顺时针旋转n°后恰好能与l2重合，则称点P为l1关于L2的 “n顺合点”如图1，在平面直角坐标系x0y中，点P1(2,2),P2(-1,1),P3(-2,-1)中是y轴关于x 轴的“90顺合点”的是如图2，已知直线L1与直线L2,交于点A,点C,D是直线2上不重合的两点， AC=CD.位于直线L1右侧的一点P是l1关于l2的“60°顺合点”，AP=2,连接PC,PD.点B在L1上，连接BP, 若∠BPC=60°且BP=DP,则AB=· 1 P 2 A/ 的 图1 图2 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.(本小题10分)计算和解方程 第4页，共9页 (1)11-V31+(-3)°-2sin60°+V8. (2②+=1. 18.(本小题10分) 如图，△ABC是等腰直角三角形，AD是斜边BC上的中线，过点A作射线AE/BC. E D (1)尺规作图：在射线AE上找一点F,连结CF,使得CF=BC(不写作法，保留作图痕迹). (2)根据(1)的作法，若AD=1,求AF的长. 19.(本小题10分) 如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,DE/AC,AE//BD, 命题1：若四边形ABCD是菱形，则四边形AODE是矩形： 命题2：若四边形ABCD是矩形，则四边形AODE是菱形任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例. E B 第5页，共9页 20.(本小题10分) 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查本次 调查在八年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐 标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示： 放学途中用时/min个 35 30 25 20 15 10 ● 5 0 5 10 15 20 2530 35上学途中用时/min (1)根据图中信息，下列说法中正确的是 (写出所有正确说法的序号)： ①这20名学生上学途中用时都没有超过30min: ②这20名学生上学途中用时在20min以内的人数超过一半： ③这20名学生放学途中用时最短为5min: ④这20名学生放学途中用时的中位数为15min. (2)已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过25min的人数； (3)调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意 义 第6页，共9页 21.(本小题10分) 2026年4月4日，中国兆瓦级氢燃料航空发动机AEP100首飞成功，彰显了中国科技自主创新硬实力.小 钧和小乐各自计划去某科技馆参观，体验科技的魅力与神奇.该科技馆有两个入口和三个出口，其出、入口 示意图如图所示，小钧和小乐各自随机选择一个人口进入科技馆，参观结束后再各自随机选择一个出口离 开，两人选择每个出、入口的可能性相同，且两人的选择相互之间不受形响。 (1)小钧进入科技馆时选择入口A的概率是： (②)请用画树状图或列表的方法求小钧和小乐离开科技馆时均没有选择出口D的概率. 入口A 入口B 出口E 出口C 出口D 22.(本小题10分) 如图，AB是半圆O的直径，D是BC中点，过点D作AC的垂线，垂足为E,交AB的延长线于点F. (1)求证：EF是半圆O的切线： (2)若BF=2,∠F=30°，求阴影部分的面积. 第7页，共9页 23.(本小题12分) 下面是一道残缺的试题及其部分解析， 排球是2026年河南体育中考的一个选考项目.某中学为此专门开设了“排球大课间活 动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500 元，已知A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价？30元，求A、B两种品 牌排球的单价。 解：设A种品牌排球的单价为x元， 则列出一元一次方程：25x+50(x-30)=4500 (1)横线处的内容为 :(填“高”或“低”) (2)本题也可用二元一次方程组来求解，设A,B两种品牌排球的单价分别为m,n元，请你据此列出方程 组并求A,B两种品牌排球的单价： (3)根据需要，学校决定再次购进A,B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌 的排球不少于23个，若排球的单价保持不变，学校共有哪几种购买方案？ 24.(本小题13分) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B两点（点A在点B的左 侧)其顶点为C,D是抛物线第四象限上一点. 图1 图2 图3 (1)求点A,B的坐标； 第8页，共9页 (2)如图2当a=1时，若tan-CAD=2求点D的坐标： (3)在(2)的条件下，如图3，过点A的直线1与y轴正半轴交于点G,与抛物线交于点E,将直接1绕点A 顺时针旋转使其与y轴负半轴交于点H,与抛物线交于点F,若OG·OH=9,试判断直线EF是否经过定 点.若是，请求出该点坐标：若不是，请说明理由 25.(本小题13分) 【数学来源于生活】 (1)小明要铺一个1.8米×2米的矩形床单，但是他发现床单长宽很接近，为了在图1中找出哪个边是2米 长，在矩形ABCD中，小明折叠床单，使点A与点C重合.请你帮小明判断 边长是2米.（填“AB” 或“AD”) 【综合与实践操作】 (2)①在图2中，请你用无刻度的直尺和圆规在矩形ABCD中，画出线段EF,使点E,F分别在边BC,AD 上，且满足若沿EF折叠，能使点A与点C重合（不写作法，保留作图痕迹） ②在①条件下，连接AE,CF,请证明四边形AECF是菱形. 【拓展与深度探究】 (3)如图3，在矩形纸片ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，AB=4,BE=5,AF=8,剪下四边形 ABEF如图4，折叠四边形纸片ABEF,折叠后点E的对应点E始终落在AF边上，点B的对应点为B',折 痕与边AB,EF分别交于点H,G.连接HE,当sinF=cosLAHB'时，求tanBEH. D B 图1 图2 D E B 图 图4 第9页，共9页