2026届高考数学二轮专题高频考点梳理：平面向量的范围、最值问题

**基本信息** 聚焦平面向量范围与最值，以代数、几何、三角多维度方法体系为核心，构建从概念到应用的完整知识逻辑链，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数方法|6题|二次函数求最值、基本不等式、数量积运算性质|向量模长与数量积转化，通过函数单调性及不等式求范围| |几何方法|5题|坐标法、极化恒等式、图形分析|结合圆、正方形等几何图形，利用坐标建系及几何性质简化运算| |三角方法|3题|三角函数求最值、三角恒等变换|向量夹角与三角函数结合，通过正弦函数值域求最值|

2026年高考数学二轮专题高频考点梳理： 平面向量的范围、最值问题 一、单选题 1．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量、的夹角为，且满足，则以下四个向量中模长最大的是（   ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．4 4．已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量、满足，，并且当时，取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 6．已知单位向量的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 7．已知向量满足，则的最小值是（    ） A．0 B．2 C． D．5 8．已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，则的最大值为（    ） A．6 B．4 C． D． 10．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（    ）． A． B．0 C． D． 二、多选题 11．已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值是 三、填空题 12．在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 13．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ． 14．已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ． 15．已知平面向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围是： ． 16．在梯形中，，，，，，点满足，则 ；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为 . 17．在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 18．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是 ；最大值是 . 19．在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是 ． ①为定值3                             ②面积的最大值为 ③的取值范围是                ④若为中点，则不可能等于 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D A B D A C C 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 2．D 【分析】考查函数，其中，利用平面向量数量积的运算性质可得出的表达式，结合二次函数的单调性可得出合适的选项. 【详解】考查函数，其中， 由平面向量数量积的定义可得， 所以 ， 由二次函数的基本性质可知，函数在上单调递减， 又因为，故四个选项中，D选项中向量的模长最大. 故选：D. 3．C 【分析】在平面直角坐标系中，设，，，根据平面向量数量积的坐标运算可得出，的值，以及的值，再利用平面向量的模长公式以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】在平面直角坐标系中，设，，， 因为，，， 所以, 所以， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 4．D 【分析】根据向量的线性运算确定，且，再将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量且点D在线段BC上（不包括端点）， 则设，则, 则，结合，可得，且， 故， 当且仅当，结合，即时取得等号， 即 的最小值为， 故选：D 5．A 【分析】结合数量积的定义，利用数量积的运算律求得，然后利用二次函数性质求出取最小值时，即可求解. 【详解】平面向量、满足，，则， 所以， 所以时，取得最小值，即取得最小值， 故，解得：. 故选：A. 6．B 【分析】直接利用数量积与模的关系结合二次函数的性质计算即可. 【详解】易知， 所以 ， 即当时，． 故选：B． 7．D 【分析】根据已知条件设出向量,再求出向量,再根据模长公式结合三角函数的值域得出最小值即可. 【详解】不妨设，则， 则，且， 则， 当时，. 故选：D. 8．A 【分析】首先利用坐标公式求出向量的数量积，然后求出向量夹角的余弦值，根据夹角为钝角条件求出的取值范围. 【详解】因为向量， 所以. 所以向量夹角的余弦值为： 因为向量的夹角为钝角，所以 解得且（当时），所以实数的取值范围为. 故选：A. 9．C 【分析】先利用平面向量数量积的坐标表示与三角恒等变换化简，再根据整体角范围利用正弦函数图象求解最值即可. 【详解】由，得，， 由， 得 ， 因为， 所以当时，取得最大值，且最大值为. 故选：C. 10．C 【分析】设正方形的内切圆圆心为，由题可得为圆的一条直径时，弦的长度最大，，据此可得最大值. 【详解】如下图所示：设正方形的内切圆圆心为， 当弦的长度最大时，为圆的一条直径， 则 . 当与正方形的顶点重合时，， 因此，． 故选：C 11．ACD 【分析】设，利用向量线性运算表示出，即可得到，判断选项AB，然后利用基本不等式求最值，即可判断选项CD. 【详解】由题知，设， 则 ， 因为， 所以，则，且，A正确，B不正确； ， 当且仅当时，等号成立，C正确； 又 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 12． 【分析】依题建系，，分别求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式化简计算得到，结合，即可求得其最小值. 【详解】 如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 依题意，，设， 则， ， 由， 因，则当时，取得最小值为. 故答案为：. 13． 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 14．/ 【分析】由两边平方可得，向量在向量方向上的投影化简为，再由基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以， 因为向量在向量方向上的投影为 ， 当且仅当时等号成立， 故向量在向量方向上的投影的最小值为. 故答案为：． 15． 【分析】由且不共线可得答案. 【详解】由题可得且不共线，则且. 故答案为：． 16． / 【分析】利用可得到大小，根据梯形上下底平行可得线段比例关系，取中点，利用向量数量积可得，通过求的最小值即可得到结果. 【详解】 由得，， 解得，故. 设交于点，由题意得，. 在中，由余弦定理得，，故. 由得，，，所以. 取中点，连接，则，， 所以，故. 因为， 所以当最小时，有最小值，的最小值为点到直线的距离. 由得，，又因为，所以为等边三角形，故点到直线的距离为， 由得点到直线的距离为，即， 此时. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量综合问题，解决问题的关键是利用平面向量的极化恒等式公式得到，问题转化为求线段长的最小值，分析几何图形即可得到结果. 17． 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    18． 0 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】正方形ABCD的边长为1，可得，， •0， 要使的最小，只需要 ，此时只需要取 此时 等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正． 比如 则. 点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题． 【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 19．①②④ 【分析】对于①:利用和数量积的计算公式可求； 对于②：利用面积公式和基本不等式即可判断； 对于③：先判断出，结合的范围即可判断； 对于④：利用求出范围，即可判断. 【详解】设. 对于①:因为，所以D为BC的中点. 因为，所以， 即，所以. 因为，所以， 所以.故①正确； 对于②：， 又，当且仅当“"时,取“=” 此时， 所以.故②正确； 对于③：因为，所以， 所以. 当时，D、E重合，取得最大值3. 可知为锐角，当最大锐角时，最大，但无法取到.故③错误； 对于④：若为中点，则 .故④正确. 故答案为：①②④. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $