2026届高考数学二轮专题高频考点梳理：三角函数的周期性与w的求解

**基本信息** 聚焦三角函数周期性与w求解，以公式应用为基础，图像性质为核心，构建“概念-图像-应用”三阶方法体系，强化逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|4题（单选1-3、填空16）|周期公式直接应用、对称中心与对称轴关系|从周期定义到公式推导，建立w与周期的基本关联| |综合应用|13题（单选4-11、多选12-15）|图像单调性分析、零点个数区间控制、换元法转化|结合图像性质（对称、单调）拓展w的限定条件，形成多维度求解策略| |拓展探究|2题（解答18-19）|分类讨论含绝对值三角函数、周期与零点综合论证|深化复杂情境下w的参数范围探究，培养数学建模与批判性思维|

2026年高考数学二轮专题高频考点梳理： 三角函数的周期性与w的求解 一、单选题 1．如图是函数的图象，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B． C． D．2025 3．已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（    ） A．466 B．467 C．932 D．933 5．已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 6．已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（    ） A．1 B． C． D． 9．已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（    ） A．1 B． C． D． 11．已知函数的图象与y轴的交点为，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为，轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为（B位于M与N之间），若的面积为10（其中O为坐标原点），则函数的最小正周期为（    ） A．6 B． C．12 D． 二、多选题 12．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．直线为图象的一条对称轴 C．将的图象向右平移个单位后关于原点对称 D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象 13．已知函数在上单调递减，且，，，则（    ） A．的最小正周期是2π B．恒成立 C．在上单调递减 D．是奇函数 14．已知函数，如图是直线与曲线的三个交点，其横坐标分别是，则正确的有（   ） A．若，则 B．若，则的单调减区间为 C．若，则 D．若，且，点的横坐标为，则 15．已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 三、填空题 16．若函数在区间上单调，且，则正数的值为 ． 17．已知，顺次连接函数与的任意四个相邻交点，所构成的四边形的周长为，则 ． 四、解答题 18．已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数在区间上的值域 19．已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足 （1）求a的值； （2）求f（x）的最小正周期； （3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间内恰有2020个根.若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B D D D C A B 题号 11 12 13 14 15 答案 C AB BCD ABD AC 1．C 【分析】由对称性可知到间隔半个周期即可求解. 【详解】由三角函数对称性可得，因此， 故选：C. 2．A 【分析】根据正弦型函数的最小正周期求得的值，从而由解析式可得的值. 【详解】依题意得，则， 所以． 故选：A． 3．D 【分析】由周期公式求得，然后由换元法即可求解. 【详解】由题意，解得，， 所以的最大值为3. 故选：D. 4．B 【分析】方法一：根据x的范围，确定的范围，结合已知条件以及函数的零点，得且，分别验证确定的范围，求出的最大值，代入函数解析式即可求解；方法二：利用换元的令，根据x的范围，确定t的范围，由，得出的范围，结合的图象性质，以及已知条件，最终确定的最大值，代入函数解析式即可求解. 【详解】方法一：由题意，函数，可得函数的周期为， 因为，可得， 又由函数在区间上有且仅有一个零点， 且满足，且，可得， 即，且 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以； 当时，，解得，此时解集为空集， 综上可得，实数的取值范围为. 所以，得， ，则，解得 ， 令，则有， 解得，即， 因为，所以共有467个零点. 方法二：由题意，函数，可得函数的周 期为， 因为，可设，则， 又函数在区间上有且仅有一个零点，可得，所以，则由图象性质， 可知，得，即. 或者，得，即. 所以最大为，得. ，则，解得. 令，则有：， 解得：，即， 因为，所以共有467个零点. 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有个零点，需要确定含有个零点的区间长度，一般和周期相关，应用三角函数的图象与性质，列出相应的不等式组求解即可. 5．D 【分析】由题意先求，再逐项验证即可. 【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴， 所以， 又在上单调递增，所以， 所以当时，，故A正确；所以， 由为奇函数，故B正确； 由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数， 令，解得，，故C正确； 由，所以，当，即时，故D错误； 故选：D. 6．D 【分析】根据三角函数周期性将函数化简，再结合单调性计算出的取值，逐个验证后确定和的值，即得到函数的解析式，再根据题意得到平移后的函数解析式，最后结合函数图像的对称性质解得的最小值. 【详解】因为函数，又函数在上单调，所以函数的最小正周期，所以，又，所以，2，3. 若，则，且，又，则无解； 若，则，且，又，则； 若，则，且，又，则无解. 综上，. 所以函数的图像向右平移m个单位长度后对应解析式为， 因为关于轴对称，所以，.所以，，又，所以当时，m取最小值为. 故选：D. 7．D 【分析】根据正弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围. 【详解】由题意，当时，， 因为函数，若在上有且只有个零点， 则，解得． 又对任意实数，在上存在极值点，且的长度为， 而函数的最小正周期为，则，解得， 综上，的取值范围是. 故选：D 8．C 【分析】先根据函数的对称轴与单调区间求出函数的周期，进而得到的值，再结合对称轴求出的值，最后代入求出的值. 【详解】因为函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴， 所以，所以，即，所以或. 又，所以或， 所以或，解得或， 所以或， 所以或. 故选：C. 9．A 【分析】根据三角函数的值域，可得与的取值，利用三角函数周期与最值的关系，可得答案. 【详解】由题意可知函数的最小正周期， 由，且， 则与分别为函数的最大(小)，小(大)值，所以. 故选：A. 10．B 【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，通过最小正周期求出参数和，得到函数的解析式，代入求值即可. 【详解】由题意，函数的最小正周期满足，即所以. 因为是函数图像的对称轴，所以， 解得，又因为，所以. 所以，则. 故选：B. 11．C 【分析】先由的面积求出，再通过代入，求出，再由即可求出周期. 【详解】由题意，作图如下： 因为， 所以，所以， 因为图象与y轴的交点为， 所以，即， 因为，所以， 所以， 又因为图象最靠近y轴的与x轴正半轴的交点为， 所以，所以， 所以，所以. 故选：C. 12．AB 【分析】根据三角函数的图像性质逐项判断即可. 【详解】由题意得，，故A正确； ，故B正确； 因为，是偶函数，故C错误； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故D错误. 故选：AB. 13．BCD 【分析】对于A选项从图象上看，两个关键点横坐标差为半个周期，所以周期.根据周期公式可算出. 对于B选项已知，，代入函数，得到的值，再验证是否成立. 对于C选项令，可算出的范围，结合在对应区间单调性判断单调性. 对于D选项把代入表达式，化简得到，根据奇函数定义判断其为奇函数. 【详解】由题意，的大致图象如图所示． 设的最小正周期为T，由题意得，，A错误． 因为，所以，所以．又，所以，所以，，即，， 又，所以，所以，所以，所以恒成立，B正确． 当时，单调递减，（提示：将当成t，则，在上单调递减，所以在上单调递减）C正确． ，是奇函数，D正确． 故选：BCD. 14．ABD 【分析】求出周期判断A；求出最值点判断B；举例说明判断C；利用图象，结合给定条件求出解析式计算判断D. 【详解】对于A，观察图象知，函数的最小正周期，因此，A正确； 对于B，函数的一个最大值点为，右侧相邻最小值点， 则函数的最小正周期为，单调减区间为，B正确； 对于C，，当时，由，得， 由或或，得或或， 而均在区间内，C错误； 对于D，由，得，由并结合图象得 ，则，解得，， 又，且在的一个减区间内，则，解得， 因此，，D正确. 故选：ABD 15．AC 【分析】分析出关于中心对称，关于轴对称，根据单调性得到，设对称中心和对称轴的距离为，则，设的最小正周期为，分，，，和五种情况，结合函数的性质判断出答案. 【详解】，故关于中心对称， ，故关于轴对称， ，则， 在上是单调函数，所以，故， 设对称中心和对称轴的距离为，则， 设的最小正周期为， 若，则，故，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 当时，，不合要求， 综上，所有可能取值为1或5. 故选：AC 16．2 【分析】根据已知确定对称轴和对称点，进而有，即可求参数. 【详解】由函数在上单调，且， 所以函数的一条对称轴，一个对称点为，且， 所以，可得，故正数的值为2. 故答案为：2 17．/ 【分析】作出图形，分析可知四边形为平行四边形，根据平行四边形的两条邻边长之和为可求出的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知， 联立可得或， 不妨取点，则， 所以， 由题意可知，四边形为平行四边形，且其周长为， 所以， 令，可得，即，整理可得， 即，由可得，故， 即，解得. 故答案为：. 18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）函数在区间上的值域为 【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简函数，由周期公式以及正弦函数的对称轴求解即可； （Ⅱ）由正弦函数的单调性求得函数函数在区间的单调性，比较的大小，即可得出值域. 【详解】（Ⅰ） 则对称轴方程为 （Ⅱ） 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以 当时，取最大值 1 又，当时，取最小值 所以 函数在区间上的值域为 【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式，正弦函数的性质，求正弦型函数的值域，属于中档题. 19．（1）-9；（2）π；（3）存在； 【分析】（1）将和解析式即可求解的值； （2）由求解最小正周期； （3）分别讨论当和时的个数，即求出一个周期上的个数，又，所以再讨论附近的情况即可得到答案. 【详解】（1）由题意，， 即，解得； （2）由（1）知，，所以 ， 所以的最小正周期是； （3）当时，， 令， 则， 所以， 令，解得或， 则，或，或，或， 其中； 当时，， 设， 则， 所以， 令，解得，或， 故在上没有实根； 综上所述，在上有4个根， 又，所以在上有2020个根，此时， 又，所以在上有2019个根，此时， 当时，在上有2020个根， 综上所述，，或. 【点睛】本题主要考查三角函数值的计算、函数周期性的应用和求函数零点个数，对于带绝对值的三角函数，可以对其进行分类讨论，属于难题. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $